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1 1 MATRICES 1 Una matriz es una disposición rectangular de números (Reales); la forma general de una matriz con filas y columnas es Se simboliza tal matriz por y se le llamará una matriz x o matriz de orden x (que se lee por ). Ejemplos: Los números se llaman componentes de la matriz. Obtener los elementos: Observación: Notar que la fila y la columna del elemento se indica por su primero y segundo subíndice respectivamente La componente de está ubicada en la fila y en la columna de la matriz, se dice que ocupa el lugar de. Las matrices se indicarán por letras mayúsculas A, B, C,..., mientras que sus elementos se indican con letras minúsculas Observación : 1) Una matriz de orden x se dice 2) Una matriz de orden de x se dice 3) En una matriz, si la matriz se llamará " " y es de la forma

2 2 En una matriz cuadrada de orden las componentes constituyen la diagonal de Clasificar las siguientes matrices según su forma: IGUALDAD DE MATRICES Dos matrices, son iguales si y sólo sí tienen el mismo orden y = para cada y cada (esto es, entradas correspondientes son iguales, es decir, Propiedades : Si son matrices de la forma, (a) (b) (c) TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ Sea una matriz de la forma. Se llama a la matriz que se obtiene al cambiar las filas por columnas en Se denota por 2 3 Ejemplo : Si, entonces Propiedades : Sean matrices de la forma, 1) 2) 3)

3 3 ALGEBRA DE MATRICES SUMA DE MATRICES Sean, la suma de y es la matriz : = tal que 1) A= , B = A+ B = + = ) A=, B = A + B no está definida ya que las matrices no son del mismo tamaño Propiedades : Para poder efectuar las sumas las matrices deben tener el mismo orden. 1) Clausura : Si son matrices de la forma x entonces también son matrices de la forma x. 2) Propiedad Asociativa : 3) Propiedad Conmutativa : 4) Propiedad del neutro aditivo : A + 0 M = A Se llama matriz cero aquella que tiene todas sus componentes iguales a cero. M [0 ] = ij mxn 5) Propiedad del inverso aditivo : Si designamos por la matriz La matriz es el inverso aditivo de pues M Observación : Se puede definir la diferencia o resta de matrices : 6) Propiedad cancelativa aditiva :

4 4 MULTIPLICACION DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR. Se llamará un escalar a cualquier elemento del conjunto de los Reales Sean y un escalar. Se define la multiplicación de la matriz por el escalar a la matriz : Es decir : Ejemplo Propiedades : Si, y se tiene : 1) 2) 3) 4) A = 0, 5) PRODUCTO DE MATRICES. Sean y entonces el producto de por es la matriz donde AB =... Observación :

5 5 jemplo : Si y no está definido ya que el numero de columnas de B no es igual al número de filas de A. El producto de matrices no es conmutativo. Propiedades : 1) Si matrices, entonces está definido si el número de columnas de es igual al número de filas de. 2) Si matrices, de órdenes y respectivamente ; entonces : 3) Si, C entonces, siempre que las sumas o productos puedan efectuarse: 4) No existe ley de cancelación para el producto. O sea : Si 5) (AB) = B A no se puede deducir que A M M M t t t Propiedades: 1) Propiedad de Clausura : Si y son matrices de orden entonces son matrices de orden 2) Propiedad Asociativa : 3) El producto no es conmutativo 4) Propiedad del neutro multiplicativo : La matriz identidad es el neutro multiplicativo ya que POTENCIA DE UNA MATRIZ Si A es una matriz cuadrada y es un número entero positivo, entonces la ésima potencia de A, escrita por A, es el producto de factores de A:

6 6 A A.A.A...A ( factores) 0 Si A es de orden, se define A = I Si A = calcular A 1 2 Solución: A =A A = = Evaluación de un polinomio en una matriz Sean : un polinomio en la variable, con coeficientes en y matriz de orden la evaluación de para es : cuando (matriz cero), diremos que es solución matricial de la ecuación Ejemplo : es solución de pues MATRIZ DIAGONAL MATRICES ESPECIALES Una matriz diagonal es una matriz cuadrada tal que todas sus componentes que se encuentran fuera de la diagonal principal son ceros. es matriz diagonal A =

7 7 MATRIZ IDENTIDAD La matriz identidad de orden, denotada por I, es la matriz diagonal cuyas entradas en la diagonal principal son numeros uno. I n x 1 0 I 2 =, I 3 = MATRICES TRIANGULARES Una matriz cuadrada se dice triangular superior si todas sus componentes que se encuentran bajo de la diagonal principal son ceros. Sea entonces : es matriz triangular superior A = Una matriz cuadrada se dice triangular inferior si todas sus componentes que se encuentran sobre la diagonal principal son ceros. Sea entonces : es matriz triangular inferior Ejemplo : A = Observación: Una matriz diagonal es una matriz cuadrada que es triangular superior e inferior a la vez. Sea M nxn, A =[a ij] Se define matriz simétrica MATRICES SIMETRICAS Y ANTISIMETRICAS, es decir, a ij = aji matriz antisimétrica, es decir, a ij= a ji 2 3 Ejemplos: A 3 es matriz simétrica.

8 8 es matriz antisimétrica. Propiedades : 1) oda matriz antisimétrica tiene en su diadonal principal sólo elementos no nulos. 2) Toda matriz cuadrada A se puede expresar como la suma de una matriz simétrica y otra antisimétrica 3) Sea A una matriz de orden a) y son matrices simétricas. b) es matriz antisimétrica. 4) Una matriz A se puede escribir como una suma de una matriz simétrica y una antisimétrica de la siguiente forma MATRICES: IDEMPOTENTE, INVOLUTIVA Y NILPOTENTE DE INDICE K Sea A M nxn, se dice que A es : 2 Idempotente si y sólo si A =A 2 Involutiva si y sólo si A = In k Nilpotente de índice k, k si y sólo si A = 0 M MATRIZ INVERSA Si es una matriz cuadrada y existe una matriz C tal que CA = I, entonces C es llamada la inversa de A, y se dice que A es invertible ( o no singular) Sea A = y C = como CA = = I, la matriz C es la inversa de A Puede demostrarse que una matriz invertible, tiene una, y sólo una, inversa, ésto es, la inversa es única. La inversa de A se denota por A La matriz inversa es tal que : a) si es no-singular

9 9 b) siempre que son no-singulares en No toda matriz 0 es invertible. Por tanto si no posee inversa. Se dice que es singular o no-invertible. MATRICES EQUIVALENTES TRANSFORMACIONES ELEMENTALES Las Transformaciones Elementales (T.E.) son funciones matriciales que producen cambios o bien en una fila(renglón) (o bien en una columna) de una matriz. Estas transformaciones elementales son de tres tipos tanto para filas (como para columnas), como se ve en el cuadro siguiente : 1) Intercambio de dos filas de una matriz 2) Multiplicación de una fila de una matriz por un escalar diferente de cero. 3) Suma de un múltiplo de una fila de una matriz a una fila diferente de esa matriz Notación: 1) f Es la T.E. que intercambia la fila con la fila o (R R ) 2) f es la T.E. que multiplica la fila por o ( R 3) f es la T.E. que suma a la fila, la fila multiplicada por o ( R el renglón R permanece igual Observación: Las operaciones también se pueden realizar en columnas Ejemplo : f +f f MATRIZ ESCALONADA. MATRIZ ESCALONADA REDUCIDA. Matriz reducida: Una matriz se dice reducida (escalonada reducida o matriz triangular modificada MTM) si se satisface lo siguiente: 1) Si una fila no consiste solamente en ceros, entonces la primera entrada diferente de cero en la fila, llamada la entrada principal, es 1, mientras que todas las demás entradas en la columna en la que el 1 aparece son ceros. 2) En cada fila, la primera entrada diferente de cero está a la derecha de la primera entrada diferente de cero de cada fila arriba de él. 3) Todas las filas que consistan únicamente en ceros, están en la parte inferior de la matriz. Observación:

10 10 Es posible reducir una matriz A a una matriz triangular modificada MTM. La secuencia de pasos que se utiliza para reducir una matriz no es única; sin embargo, la forma reducida si es única Ejemplo : Reducir la matriz A= Solución: A= RANGO DE UNA MATRIZ Es el número de filas diferentes de 0 que tiene la matriz triangular modificada ( reducida) El rango de la matriz A es 3, se denota rag Método para encontrar la inversa de una matriz Si M es una matriz invertible de, formar la matriz de x, [M I]. Después realizar operaciones elementales sobre filas hasta que la primeras columnas formen una matriz reducida igual a I (Identidad). Las últimas columnas serán M -1 [M I ] [ I M ] -1 Si una matriz M no se reduce a I, entonces M no existe. -1 Determinar A si A es invertible, A= Solución: Siguiendo procedimiento anterior, se puede obtener [A I]= =[I A ]

11 11 EQUIVALENCIA DE MATRICES A = Sean matrices de orden 1) es equivalente por filas con se obtiene a partir de por una sucesión de T.E. filas. 2) es equivalente por columnas con se obtiene a partir de por una sucesión de T.E. columnas. 3) es equivalente con se obtiene a partir de por una sucesión de T.E. filas y/o columnas. Ejemplos : es equivalente con ya que : SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Es natural encontrarse en casi todos los campos de estudio, tales como: matemática, física, química, biología, ciencias económicas y administrativas, todas las ramas de la ingeniería, etc., con sistemas de ecuaciones lineales de ecuaciones, plantearlos, resolverlos e interpretarlos. Una ecuación para las variables y los coeficientes (constantes) se llama ecuación lineal, donde, Un sistema de ecuaciones lineales de ecuaciones con incógnitas es de la forma: Ejemplos: 1)

12 12 2) = = Para el sistema se tiene : a) Los se dicen los coeficientes del sistema, los son las incógnitas y los, los términos constantes. El sistema se dirá un sistema de o bien un sistema de ecuaciones con incógnitas. b) Una solución del sistema es un conjunto de elementos de, tales como que tienen la propiedad de satisfacer cada una de las ecuaciones del sistema. c) Si el sistema tiene a lo menos una solución se dice que es compatible, en caso contrario, o sea, si no hay soluciones, se dice que es incompatible. d) Si el sistema se llama homogéneo. La solución se denomina solución trivial del sistema homogéneo asociado a Notación Matricial de un sistema de ecuaciones Usando la multiplicación de matrices un sistema tal como simplemente por X = se puede denotar Los coeficientes del sistema se puede ordenar en una matriz : llamada la matriz de los coeficientes del sistema. Análogamente los términos constantes se ordenan en una matriz columna b que es la matriz de las constantes del sistema. Como resulta que el sistema se puede escribir en notación matricial :

13 13 donde Luego tenemos : es solución del sistema Llamamos matriz ampliada del sistema a la matriz : = EJEMPLO: Para el sistema se tiene que es su matriz de los coeficientes y que la matriz ampliada es: DISCUSIÓN DE LAS SOLUCIONES DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Dado un sistema de ecuaciones lineales, denotado matricialmente : podemos buscar sus soluciones de distintas maneras, según el caso : a) En caso que sea una matriz cuadrada e invertible, entonces podemos multiplicar por por la izquierda a la ecuación matricial y obtenemos : que sería la única solución del sistema. b) Si es cualquier matriz de orden, entonces la alternativa es efectuar transformaciones en el sistema para eliminar incógnitas en algunas ecuaciones ( método de Gauss). Este método es válido cualquiera que sea y es el que se desarrollará

14 14 Dado el sistema, observemos que las "transformaciones" que se hacen para "eliminar" incógnitas, corresponden a T.E.(transformaciones elementales) por filas en la matriz ampliada del sistema. TEOREMA 1 Dados los sistemas se tiene que : si es equivalente por filas con entonces y tienen exactamente el mismo conjunto solución (se dice que, en este caso, los sistemas y son equivalentes) OBSERVACION Si se hace una T.E. fila en la matriz ampliada donde es una escalonada reducida de obtenemos una matriz MTM TEOREMA 2 Dado el sistema con incógnitas : a) Si a a, entonces no tiene solución. b) Si a a, entonces tiene una única solución. c) Si a a y, entonces tiene infinitas soluciones. Además en este caso incógnitas dependen de las - restantes. d) Un sistema homogéneo es un sistema de ecuaciones lineales de la forma : Propiedades : a) Todo sistema homogéneo tiene solución ya que : es siempre solución de, y esta se llama la solución trivial de b) Si con incógnitas, entonces : a tiene una única solución que es la trivial a tiene infinitas soluciones

15 15 EJEMPLOS 1) Dado el sistema : Se tiene : es su matriz de los coeficientes y la matriz ampliada Hacemos T.E. fila en para escalonar : = concluímos que = ) Dado Su matriz ampliada es : Obtenemos una escalonada para... Esta última matriz escalonada corresponde al sistema : cuya última ecuación no tiene sentido. O sea, no hay solución. Luego el conjunto solución del sistema dado es.

16 16 Notemos que en este caso, mirando la matriz escalonada que se obtuvo, se tiene que: a y a son distintos 3) Dado el sistema : entonces : 1.. Cómo son los rangos de la matriz ampliada con el de la matriz de los coeficientes? y con el número de incógnitas? Qué puede concluir al respecto según teorema anterior? O sea :,, Hay infinitas soluciones! El conjunto solución del sistema dado es : DETERMINANTES Se introducirá una nueva función llamada. Aquí las entradas serán matrices cuadradas, pero las salidas serán números reales. Si A es una matriz cuadrada, entonces la función determinante asocia con exactamente un número real llamado " " de A. Denotado por A, se puede pensar la función determinante como A A matriz cuadrada número real = determinante de A Para cada, su imágen será el "determinante de ". Esta función se llama la función determinante de orden, y anotamos por det A o por A si entonces A

17 17 DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE ORDEN 1 Si definimos det. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE ORDEN 2 Si entonces definimos det. O sea : Ejemplo : si, 3 4 A DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE ORDEN 3 Para el caso de una matriz cuadrada de orden 3, se tiene A = el determinante se puede obtener como: A Ejemplo 2 1) Verificar si A = 27, para A= ) Calcular A, si A= Nota: Se debe hacer notar que para una determinante anterior para calcular el determinante. no hay método equivalente al

18 18 Hay una manera más práctica de obtener el determinante para una matriz de orden 3, escribiendo a continuación de la matriz A, las dos primera columnas y efectuar la suma de los productos de los elementos de la diagonal principal y de las paralelas a ellas, y luego hacer lo mismo con la diagonal secundaria pero en este caso restando, el resultado de esas operaciones es el determinante, es decir: Si anotamos las dos primeras columnas a la derecha de y entonces los productos de las componentes de las diagonales a la derecha se suman y las otras se restan. Así se obtiene det Efectuar para la matriz A= 2 3 En el caso de una matriz de orden mayor a tres se debe efectuar lo siguiente: Desarrollo de un determinante por sus cofactores Definición. Sea A = [ una matriz de orden Sea la submatriz de un orden menor, que se obtiene al eliminar la i-ésima fila y la j-ésima columna de A. El determinante M ij se llama menor del elemento Definición. Sea A= [ una matriz de orden el cofactor de se define por M ij EJEMPLOS : Sea obtener los cofactores :

19 19 cof M =, cof 0 cof, cof, etc Entonces para encontrar el determinante de cualquier matriz cuadrada A de orden n (mayor que 2), seleccionar cualquier fila (o columna de A ) y multiplicar cada entrada en la fila (o columna ) por su cofactor. La suma de estos productos será el determinante de A, llamado determinante de orden Obtener por desarrollo por primera fila el determinante de si A= 2 3, comprobar usando desarrollo por la segunda columna. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES 1 Si tiene una fila o columna de ceros, entonces det. 2. Si tiene dos filas o dos columnas iguales, entonces det = Si es una matriz triangular superior ( o inferior) entonces deta es igual al producto de las entradas de la diagonal principal =( )( )( )( )=

20 20 4. Si es la matriz obtenida sumando un múltiplo de una fila (o columna) de A a otra fila (o columna ), entonces el 5. Si en se intercambian 2 filas o columnas consecutivas, cambia el signo de su determinante. 6. Si en se multiplica solo una fila (o columna) por un factor, entonces el determinantes de la matriz resultante es det 7. El determinante de es igual a det. O sea, det det 8. El determinante de un producto de matrices cuadradas es el producto de las determinantes de cada una. O sea, det det det 9. En general det det det. Observación: Las propiedades de 1 a 6 son útiles en la evaluación de ya que nos dan una manera de expresar en forma triangular (se dice triangulamos), entonces por la propiedad 3, se considera el producto de sus diagonales Comprobar por triangulación que el determinante de la matriz es Matriz Inversa: Otra manera de calcular la matriz inversa es usando la matriz de los cofactores MATRIZ DE LOS COFACTORES Sea, la Matriz de los cofactores de es la matriz de orden cuyas componentes son los cofactores de lugar de. Anotamos : cof con cof x Llamamos matriz adjunta de a la transpuesta de la matriz de los cofactores de O sea : Adj cof EJEMPLOS :

21 21 Sea entonces : cof, cof cof, cof, etc Así cof y Adj 2) Obtener Ud. la matriz adjunta de Teorema : Si entonces : Adj (det ) Adj Corolario : Sea Entonces es invertible det y en este caso : det Adj EJEMPLO a) Si, entonces det, y así no es invertible, o sea es singular. b) Si, entonces det y por lo tanto es invertible.

22 22 Se tiene, por lo visto en ejemplo anterior, Adj SISTEMAS DE ECUACIONES USANDO DETERMINANTES Regla de Cramer: Sea un sistema de ecuaciones lineales con incógnitas como sigue Si el determinante de la matriz de los coefcientes es distinto de cero, entonces el sistema tiene solución única. La solución está dada por donde kes el determinante de la matriz obtenida al reemplazar la k-ésima columna de A por la columna de las constantes. Resolver el sistema siguiente utilizando la regla de Cramer Respuesta: Como = 3 2 entonces

23 23

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