FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS, INGENIERÍA Y AGRIMENSURA U.N.R.

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1 FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS, INGENIERÍA Y AGRIMENSURA U.N.R. PROGRAMA ANALÍTICO DE LA ASIGNATURA: CALCULO I Código 1.1 PLAN DE ESTUDIOS: 2002 CARRERA: Profesorado en Matemática DEPARTAMENTO: Matemática -ECEN PROFESOR: María Susana Montelar 2002 HASTA AÑO TENTATIVO DEFINITIVO DE EXAMEN PROGRAMA ANUAL SEMESTRAL TRIMESTRAL Táchese lo que no corresponda. OBSERVACIONES: PRESUPUESTO HORARIO SEMANAL PROMEDIO TEORÍA: 4 1 PRÁCTICA: 3 2 LABORATORIO: - 3 TOTAL ASIGNADO: DEDICACIÓN DEL ALUMNO FUERA DE CLASE: 6 5 PRESUPUESTO TOTAL: PROGRAMA BASADO EN SEMANAS ÚTILES : 30 7 HORAS TOTALES ASIGNADAS: 210 7x4 HORAS TOTALES PRESUPUESTAS: 390 7x6 OBJETIVOS: (qué debe saber el alumno al concluir el curso) El objetivo fundamental de esta asignatura es lograr que el alumno comprenda los contenidos conceptuales y procedimentales del Cálculo en una Variable y desarrolle la facultad de pensar por sí mismo y con espíritu crítico, teniendo en cuenta que la precisión y el rigor no deben ser obstáculos para la intuición ni fines en sí mismos. UBICACIÓN EN LA CARRERA Y CARACTERÍSTICAS GENERALES: Corresponde al primer año de la carrera. Teniendo en cuenta que este curso se dirige a futuros profesores de matemática, en esta asignatura se estudian con ciertos detalles los conceptos fundamentales del Análisis Matemático como el de límite funcional, el de continuidad y el de convergencia de sucesiones y series y se presta especial atención a aquellas técnicas del Cálculo Diferencial e Integral que se destacan por su utilidad, versatilidad y potencia. Si bien la matemática expuesta con rigor es una ciencia deductiva sistemática, la única forma de aprender matemática es hacer matemática. MATERIAS RELACIONADAS: Previas: Simultáneas recomendadas: 1.1 Algebra; 1.3 Geometría I Posteriores: Cálculo II Firma Profesor Fecha Aprob. Escuela Fecha Aprobado en reunión de Consejo Académico de fecha:...

2 CONTENIDO TEMÁTICO Ordenar temas utilizando codificación decimal UNIDAD I NÚMEROS REALES 1.1. Números Reales: definición axiomática. Axiomas de cuerpo. Propiedades Axiomas de Orden. Interpretación geométrica de los números Reales. Subconjuntos de R: números naturales, enteros y racionales Valor absoluto de un número real: definición, propiedades. Inecuaciones con valor absoluto. Concepto de entorno Supremo e ínfimo de un conjunto de números Reales. Caracterización del supremo. Axioma del Supremo. Propiedad de Arquímedes y consecuencias. Parte entera de un número real. Raíz cuadrada de un real no negativo. Números irracionales Números naturales. Principio de inducción matemática. Demostración por inducción. Definición por inducción El símbolo sumatorio. Coeficiente factorial. Número combinatorio. Binomio de Newton. UNDAD II SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS 2.1. Sucesiones numéricas: definición y ejemplos. Representación gráfica Límite de una sucesión. Sucesiones convergentes y divergentes. Propiedades de los límites de sucesiones (unicidad, intercalación, suma, producto, cociente) Límites infinitos: definición y propiedades. Sucesiones monótonas. Sucesiones acotadas. Propiedad de las sucesiones monótonas y acotadas. El número e Sucesión de Cauchy. Criterio de convergencia de Cauchy para sucesiones Series numéricas. Sumas parciales. Convergencia de una serie. Propiedades. Series geométricas. Series telescópica. p-series Criterios de convergencia de series a términos no negativos. Criterio de comparación. Criterio del cociente (D'Alambert). Criterio de la raíz (Cauchy) Series alternadas. Criterio de Leibniz. Series absolutamente convergentes. UNIDAD III FUNCIONES REALES 3.1. El concepto de función real. Funciones inyectivas, suryectivas y biyectivas. Representación gráfica de funciones. Funciones pares e impares. Funciones monótonas Ejemplos de funciones reales con su representación gráfica: constante, identidad, lineal afín, valor absoluto, cuadrática, raíz cuadrada. Funciones trigonométricas Operaciones con funciones: suma, resta, producto, cociente y composición. Funciones polinómicas. Funciones racionales Transformaciones elementales de la gráfica de una función: traslaciones verticales, traslaciones horizontales, reflexiones, contracciones y dilataciones Función inversa, gráfica. Función raíz n-ésima. Funciones trigonométricas inversas. UNIDAD IV LÍMITE Y CONTINUIDAD 4.1. Límites de una función cuando la variable tiende a infinito. Propiedades. Asíntota horizontal Límite de una función en un punto. Interpretación geométrica. Propiedades fundamentales de límite (unicidad, carácter local, acotación, conservación del signo). Límites básicos. Límites laterales, relación con el límite ordinario Límite de la suma, del producto y del cociente de funciones. Límite de funciones polinómicas,

3 racionales y trigonométricas Continuidad de una función en un punto. Discontinuidades evitables e inevitables. Continuidad lateral Continuidad de la suma, del producto y del cociente de funciones continuas. Continuidad de las funciones polinómicas y de las racionales. Continuidad de las funciones trigonométricas. Teorema de Intercalación. Límite de senx/x. Composición de funciones continuas Teorema de Conservación del Signo. Teorema de Bolzano. Teorema de los Valores Intermedios. Ceros de una función: Método de Bisección. Existencia de la raiz n-esima. Continuidad de la función inversa. Función potencial con exponente racional. UNIDAD V CÁLCULO DIFERENCIAL 5.1. El problema de la recta tangente. Derivada de una función en un punto. Interpretación geométrica. Función derivada. Derivada de las funciones básicas. Notaciones para derivada. Derivadas de orden superior. Continuidad de las funciones derivables Derivada como razón de cambio. Velocidad y aceleración Propiedades de la derivada: suma, producto y cociente Diferencial de una función. Aproximación lineal. Interpretación geométrica. Diferenciabilidad Derivada de la función compuesta: regla de la cadena. Derivada de la función inversa Derivada de potencias de exponente racional. Derivada de las funciones trigonométricas inversas Razones de cambio relacionadas. Problemas. UNIDAD VI COMPLEMENTOS DEL CÁLCULO DIFERENCIAL 6.1. Extremos de una función. Acotación de funciones continuas. Teorema de Weierstrass. Condición necesaria de existencia de extremos. Punto crítico Teoremas del Valor Medio: Teorema de Rolle, Teorema de Lagrange y Teorema de Cauchy. Aplicaciones Primitivas de una función. Caracterización y propiedades. Cálculo de primitivas elementales Formas indeterminadas. Teorema de Bernoulli-L Hôpital. Extensiones de la regla de L Hôpital 6.5. Solución numérica de ecuaciones no lineales: Métodos de Newton y Método de la Secante. UNIDAD VII CÁLCULO INTEGRAL 7.1. El problema del área. Función área. Propiedades de la función área. Calculo del área de un segmento de parábola Partición de un intervalo. Norma de una partición. Sumas superiores y sumas inferiores de una función acotada. Propiedades. Definición de integral de una función como límite de sumas superiores e inferiores. Integrabilidad de las funciones continuas. Área de un conjunto de ordenadas expresada como una integral Sumas de Riemann de una función. Relación con las sumas superiores e inferiores. Existencia del límite de sumas de Riemann como condicion necesaria y suficiente de integrabilidad Funciones integrables. Propiedades de la integral. Integral de funciones que difieren en un número finito de puntos. Funciones seccionalmente continuas, su integrabilidad. Propiedades de orden de la integral. Teorema del valor medio del cálculo integral La función integral. Continuidad y derivabilidad de la función integral: primer teorema fundamental del cálculo. Segundo teorema fundamental del cálculo, regla de Barrow. Cálculo de áreas de conjuntos de ordenadas.

4 UNIDAD VIII FUNCIONES LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES 8.1. Definición de logaritmo natural. Propiedades y representación gráfica de la función logaritmo. El número e. Derivación logarítmica La función exponencial como la inversa de función logaritmo natural. Propiedades y representación gráfica de la función exponencial Función potencial. Propiedades. Derivada de la función potencial Logarítmos en otras bases: propiedades, representación gráfica, derivada. Función exponencial de base a: propiedades, representación gráfica, derivada. Función exponencial generalizada Comportamiento de la función logaritmo y de la función exponencial en el infinito Funciones hiperbólicas. Propiedades y representación gráfica. Funciones hiperbólicas inversas.

5 TRABAJOS PRÁCTICOS a) Enumeración: Trabajo Práctico Nº 1: Números reales Trabajo Práctico Nº 2: Sucesiones Numéricas Trabajo Práctico Nº 3: Series Numéricas Trabajo Práctico Nº 4: Funciones reales Trabajo Práctico Nº 5: Límite y continuidad Trabajo Práctico Nº 6: El Teorema de Bolzano Trabajo Práctico Nº 7: Cálculo diferencial Trabajo Práctico Nº 8: El Teorema del Valor Medio Trabajo Práctico Nº 9: Cálculo Integral Trabajo Práctico Nº 10 : Las funciones Logarítmo y Exponencial b) Guías de trabajos prácticos publicadas: (con su código de publicación) Mencionados en a)

6 BIBLIOGRAFÍA a) Adecuada al programa. Ordenada por temas y con su codificación de biblioteca, incluidas las publicaciones de la Cátedra con su código de publicación. Apostol, Tom - " Calculus" Volumen 1-2ª edición - Editorial Reverté Spivak, Michael - "Cálculo Infinitesimal" - Editorial Reverté Stewart, J. - "Cálculo" - Thomson Editores Purcell, E.J., Varberg, D., Rigdon, S.E. - "Cálculo" - Editorial Pearson Educación Notas de teoría de la cátedra. b) Complementaria para profundización o extensión de temas. Apostol, Tom - " Análisis Matemático" - Editorial Reverté Rey Pastor, J, Pi callejas,p, Trejo, C.A. - "Análisis Matemático" Volumen 1- Editorial Kapelusz

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