Unidad 1 Lección 1.2. Funciones Logarítmicas. 23/04/2014 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 1 de 19
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- Cristián Ortiz Carmona
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1 Unidad Lección. Funciones Logarítmicas /04/04 Prof. José G. Rodríguez Ahumada de 9
2 Actividades. Referencias: Capítulo 4 - Sección 4. Funciones Logarítmicas; Ejercicios de Práctica: Páginas 49, 50 y 5: Impares 45. Use GRAPH par las gráficas de 49 57; 59 6 Asignación: Acceder KhanAcademy Algebra II Logaritmos ; Ver video Logaritmos; Hacer ejercicios Evaluando Logaritmos y Evaluando Logaritmos ; Writing Logarithms and Eponential Form; Ver video Propiedades de Logarítmos: Introducción a las propiedades de logaritmo; Logaritmos de una potencia, Suma de logaritmos con la misma base; Utilizando las propiedades del logaritmo para simplificar. Referencias del Web: Khan Academy Algebra II Logaritmos ; Propiedades de Logarítmos College Algebra Tutorial: Logarithmic Functions Videos Cambiar a logarítmitca; Cambiar a forma eponencial /04/04 Prof. José G. Rodríguez Ahumada de 9
3 Definición de logaritmos Sea a > 0 and a. Entonces, el logaritmo con base a de un número log a y a y Ejemplos: log log log /04/04 Prof. José G. Rodríguez Ahumada de 9
4 Ejemplo Escriba los siguientes enunciados en forma logarítmica: log log log 7 4 e 0.5 t log t 0. o ln t 0. 5 Escriba los siguientes enunciados en forma eponencial y determine el valor de : log log e 5 log /04/04 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 4 de 9
5 Ejercicio # Escriba los siguientes enunciados en forma eponencial y determine el valor de : log log ( 4 ) /04/04 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 5 de 9
6 Cálculo de logaritmos La mayoría de calculadoras realizan el cálculo de logaritmos de base 0 (log ) o de base e (ln ). log (0.5) ln (0.005) Para calcular logaritmos de otras base usamos la siguiente igualdad: loga M log M loga ln M logb M lna logb a log 5 6 = log 5 6 = log 6 log ln 6 ln 5 Aproime a la milésima más cercana: log log /04/04 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 6 de 9
7 Ejercicios # Resuelva la ecuación: log ( ) Aproime los siguientes logarítmos a la milésima más cercana: log log /04/04 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 7 de 9
8 La Función Logarítmo (base > ) Si a >, la función logarítmo es creciente. f ( ) log a Si 0< a <, la función logarítmo es decreciente. f ( ) log f ( ) log / f ( ) log f ( ) log / 0 f ( ) log 5 f ( ) log 5 En GRAPH entre log() para la función con base 0 y use el formato logb(, a) para la función con base a. /04/04 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 8 de 9
9 Características de las funciones con logarítmos Dominio = (0,), Rango = (-, ) El intercepto en ocurre en (,0). No hay intercepto en y. El eje vertical, = 0, es un asíntota vertical de su gráfica. a> 0<a< /04/04 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 9 de 9
10 Función Logaritmo natural y = ln si y sólo si e y = f ( ) ln En GRAPH entre ln() para la función con base e. En EXCEL entre LN() para la función logaritmo con base e. /04/04 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 0 de 9
11 Ejemplo 4 Cuál es el dominio, recorrido y asíntota de: f ( ) ln Dominio : (, ) Recorrido : (-, ) Asíntota : /04/04 Prof. José G. Rodríguez Ahumada de 9
12 Ejemplo 5 Eprese en notación eponencial y resuelva por : ln e 8 e e /04/04 Prof. José G. Rodríguez Ahumada de 9
13 Ejemplo 6 Determine la función logarítmica cuya gráfica es: a) b) c) d) y y y log 4 ninguna de las ln log anteriores Solución Correcta: d) Ninguna de las anteriores. Observe que la la gráfica muestra que es un logarítmo con base menor que. /04/04 Prof. José G. Rodríguez Ahumada de 9
14 Propiedades básicas de Logaritmos log a = 0 log a a = Si log a (u) = log a (v) si y sólo si u = v Ejemplo: Resuelva por : log ( ) log 4( ) /04/04 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 4 de 9
15 Propiedades de Logaritmos. log a (uv) = log a u + log a v. log a (u/v) = log a u - log a v. log a (/v) = - log a v 4. log a (u n ) = n log a (u) /04/04 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 5 de 9
16 Ejemplo 7 Epande las siguientes epresiones logarítmicas a) log (9) log 9 log log b) c) log ( y ln 5 y z 5 ) log log ln yln log 5log 5 y 5 y z ln ln ln ln y ln z y ln z 5 /5 /04/04 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 6 de 9
17 Ejemplo 8 Combine las epresiónes a un solo logarítmo: 4log log( ) 4log log( ) log( log 4 log( ) log 4 ( ) log 4 log 4 log( log ( 4 ) ) 4 ( ) log ( ) log( ) ) log( ) /04/04 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 7 de 9
18 Ejercicios # Epande Combina 0 ) ( ln ) log( ) log( 4log /04/04 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 0 ) ln( ln ln ) 0ln( ln ln 4 ) log( ) log( log 4 ) ( ) ( log 4 ) log( ) ( log 0 ) ln( ln 8 de 9
19 Problema de Aplicación (Fechado de Carbono) La edad de un objeto antiguo se puede determinar por la cantidad de carbono 4 radioactivo que permanece en él. Si D 0 es la cantidad original de carbono 4 y D es la cantidad restante, entonces la edad A del objeto (en años) se determina por: A = 867 ln D D 0 Encuentre la edad de un objeto si la cantidad D de carbono 4 que permanece en el objeto es 7% de la cantidad original D 0 Solución: A = 867 ln años /04/04 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 9 de 9
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