MODELOS PARA DATOS DE LA ECONOMÍA CANARIA EN LOS DOMINIOS DEL TIEMPO Y DE LA FRECUENCIA

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1 Revsa Elecróca de Comucacoes y Trabajos de ASEPUMA. Rec@ Volume. Pagas 9 a 37 MODELOS PARA DATOS DE LA ECONOMÍA CANARIA EN LOS DOMINIOS DEL TIEMPO Y DE LA FRECUENCIA CONCEPCIÓN GONZÁLEZ-CONCEPCIÓN cogozal@ull.es MARÍA CANDELARIA GIL-FARIÑA mgl@ull.es CELINA PESTANO-GABIO cpesao@ull.es Uversdad de La Lagua (ULL)/ Deparameo de Ecoomía Aplcada Faculad de Cecas Ecoómcas y Empresarales. Campus de Guajara, s/ 387 La Lagua. Teerfe. España Recbdo 2/6/ Revsado 9/7/ Acepacó 5/9/ RESUMEN: La aplcacó de algormos umércos relacoados co la aproxmacó racoal de fucoes y las rasformadas de Fourer y waveles ha sdo objeo de uesras vesgacoes. E ese rabajo queremos presear u breve resume de los resulados cosegudos a vel meodológco e su aplcacó a la modelzacó de daos croológcos. Los lusramos a ravés de daos de la ecoomía caara que ee que ver co dos secores desacados de la ecoomía sleña, a saber, el culvo e declve del pláao que afeca a oda la regó y el cosumo de agua, sempre be escaso, e la cudad de Saa Cruz de Teerfe. E el prmer caso, ulzamos modelos e el domo del empo, e parcular los modelos de Fucó de Trasfereca e el coexo de la meodología Box-Jeks, que ha sdo compleados co la clusó de las expecavas de los pus. E el segudo caso, debdo al erés por coocer los ídces de frecueca relevaes e la sere, hemos ulzado la rasformada de waveles. Así, obeemos smuláeamee propedades e el domo del empo y e el domo de la frecueca, compleado las coclusoes que se obee hacedo uso de la rasformada de Fourer. Palabras claves: Seres Temporales, Modelos de Fucó de Trasfereca, Expecavas, Waveles, Resolucó Múlple, Daos Ecoomía Caara. ABSTRACT: The use of umercal algorhms relaed o raoal approxmao of fucos ad he Fourer ad waveles rasforms have focused our research. I hs paper we prese a summary wh he ma resuls from he mehodologcal approach me seres models. They are llusraed for ecoomc daa seres he Caary Islads wo releva secors for he sular 9

2 2 Cocepcó Gozález-Cocepcó, María Cadelara Gl-Farña y Cela Pesao-Gabo ecoomy, amely, he baaa crop, wh suffers a worryg decle he ere rego, ad he waer cosumpo, a scarce resource he cy of Saa Cruz de Teerfe. I he frs case, models he me doma are cosdered, parcular, Trasfer Fucos models he coex of he Box-Jeks approach, ha are also exeded o clude pu expecaos. I he secod case,, he waveles rasform s cosdered o defy he frequecy dexes he seres. Ths ool allows us o oba boh properes he me doma ad he frequecy doma, hus erchg he fdgs obaed usg he Fourer rasform. Keywords: Tme Seres, Trasfer Fuco Models, Expecaos, Waveles, Mulple Resoluo, Caary Islads Ecoomc Daa.. Iroduccó E ua gra varedad de campos ceífcos y socales, el raameo ssemáco de daos para obeer propedades que perma coocer mejor la evolucó de varables relevaes y, bajo ceros requsos, predecr, es u ema de gra mporaca para la oma de decsoes. Ese esudo pasa por dos fases prcpales: el coocmeo de las varables que represea los daos (o, e érmos de aálss de seres emporales, ajuse) y la realzacó de esudos de sesbldad a pror segú hpóess de parda (o, e érmos de aálss de seres emporales, predccó). Orgalmee hubo ua fuere dvsó ere méodos para aálss de seres emporales e el domo del empo (desde prcpos del sglo XX) y e el domo de la frecueca (seguda mad del sglo XX), la cual aú persse e la mayoría de las herrameas de uso habual. E geeral, el domo del empo ha sdo úl para descrbr la evolucó dámca a lo largo del empo de ua o más varables, esudado la flueca del pasado y, quzá, de ceras expecavas, de dchas varables e su desarrollo acual y fuuro. Meras que el domo de la frecueca se ulza para descrbr ua sere de daos de coduca susodal a ravés de su amplud, período o frecueca y fase. E el prmer caso, se ulza fucoes de auocorrelacó, marces de covaraza de los daos y modelos paramércos, ales como los modelos ARIMA, para descrbr la depedeca dámca de las seres 2. El segudo caso cluye aálss especral o especro de poeca de u proceso calculado e base a la rasformada de Fourer de la fucó de auocorrelacó 3. Se ha realzado umerosas vesgacoes para suavzar esa separacó ere los dos efoques, uo de los cuales se basa e el uso de fucoes orogoales waveles. Ese efoque ha permdo ua geeralzacó mporae de la rasformada de Fourer y provee formacó smuláea e ambos domos. Oras propuesas se ha hecho, por ejemplo, e la líea de los flros de Kalma 4 o los méodos Moe Carlo 5, cevadas por los avaces compuacoales y las facldades recees para vsualzar los méodos e dversas aplcacoes. Cualquera de ellas promueve couamee u feedback ere eoría y prácca. E el domo del empo, se ha propueso modelos racoales po ARIMA y méodos umércos relacoados co la vesgacó eórca e Aproxmacó Racoal de Padé (AP) 6 para defcar algú po de esrucura racoal asocada a los daos. Dversos auores ha cosderado esos méodos e la modelzacó ecoomérca de seres esacoaras y ha propueso alguas éccas que volucra smuláeamee Aálss Numérco, Teoría de Corol, Esadísca Como la esrucura de las covarazas del proceso que sgue ua sere de daos esá relacoada co los órdees de posbles modelos polomales o racoales, es de uldad el uso de algormos umércos relacoados co los deermaes de Hakel y Toeplz para esmar dchos 2

3 Modelos para Daos de la Ecoomía Caara e los Domos del Tempo y de la Frecueca 2 órdees basádose e los daos observados y quzá e ceras expecavas. Cabe cosderar e ese coexo ao el caso uvarae como mulvarae. E el caso uvarae, la defcacó de modelos ARMA (y e geeral, ARIMA) ha sdo raada exesamee e las úlmas décadas 7,8,9 y se ha corporado e alguos paquees de sofware para su uso esvo e las aplcacoes. S embargo, a pesar de que la uldad y ecesdad de cosderar cojuamee varas seres emporales relacoadas fuero recoocdas hace mucho empo, el aálss mulvarae po VARMA (ver, por ejemplo, Ref. o Ref. 2 y las referecas cludas e ellas) ha sdo a meudo cofado a modelos VAR. Eso puede deberse, e pare, o be a que la geeralzacó de u modelo ARMA a u modelo VARMA se ecuera co problemas ales como la defcabldad, la ercambabldad, o be a que los modelos mulvaraes so mucho más duros de esmar y eeder. Especalmee resalamos, por geosa y avazada, la meodología sobre modelos de compoee escalar (SCM) preseada e Ref. 3 y exedda e Ref. 4 pero, e geeral, se percbe ua propesó a ulzar modelos más smples. U caso parcular eresae de modelos VARMA lo cosuye los modelos de Fucó de Trasfereca (FT) Causales (por ejemplo, ver Ref. 5) y los modelos FT co corporacó de expecavas sobre las varables pus (por ejemplo, ver Ref. 6). Preseamos e ese rabajo u resume de los resulados que hemos obedo aplcado la meodología de los modelos de FT a daos agraros, sobre la relacó ere la produccó plaaera (oupu), el greso percbdo por los agrculores y el cose de produccó (pus) e la sla de Teerfe. Para ello, se realzó u aálss de sesbldad a pror e base al esudo de dferees propuesas para la geeracó de las expecavas de los agrculores sobre su greso fuuro. E ese rabajo, corporamos ua valoracó a poseror de dcho modelo comparado uesras predccoes co los valores reales que ahora coocemos para la produccó, y que parece cofrmar el declve de esa acvdad ecoómca e la sla. Los cálculos se lleva a cabo co SCA y MATHEMATICA. Adcoalmee, la ecesdad de modelzar seres peródcas a la vez que defcar propedades o sólo e el domo de empo so ambé e el domo de la frecueca, os llevó a esudar oros méodos e el coexo de la rasformada wavele como complemeo a la de Fourer. Las vesgacoes sobre la eoría de waveles se ha mulplcado e las dos úlmas décadas así como su uso prácco e ua gra varedad de dscplas (asroomía, geería, medca, físca y muchos oros campos de esudo) cluyedo más receemee ecoomía y fazas 7,8,9. Las waveles so famlas de fucoes orogoales o cuas-orogoales que posee muchas propedades eresaes alguas de las cuales so úles e ecoomía y fazas, auque oras o ao. Por ejemplo, e Ref. 7 se exploraro cuaro maeras e que las waveles puede usarse co éxo e el rabajo empírco e ecoomía y fazas. Ellos se refere e cocreo a aálss exploraoro de daos, esudo de fala de homogeedad local y esmacó de desdades, descomposcó de seres e el domo empo-frecueca y poseror predccó. Los mayores coveees radca e las caraceríscas que debe eer las muesras de daos y las poecales esabldades umércas e los cálculos compuacoales. Ilusramos e ese rabajo los resulados obedos aplcado esa écca a daos horaros de cosumo de agua e la cudad de Saa Cruz de Teerfe. Eso os perme obeer smuláeamee formacó e los domos del empo y de la frecueca, descompoedo la sere de daos por Resolucó Múlple. Los cálculos se lleva a cabo usado MATLAB 7.. 2

4 22 Cocepcó Gozález-Cocepcó, María Cadelara Gl-Farña y Cela Pesao-Gabo El rabajo se dsrbuye como sgue: e los aparados 2 y 3 se presea u resume breve sobre cada ua de las meodologías mecoadas. E el aparado 4 se presea las aplcacoes a los daos reales. Se cocluye co u aparado sobre cuesoes aberas y u lsado de las referecas cadas a lo largo del exo. 2. Modelos e el Domo del Tempo La gama de modelos que cosderamos esá cluda e la caegoría de modelos VARMA. Cosderamos que ua sere mulvarae W de daos emporales sgue u proceso VARMA(p,q) s Φ p (L) W =Θ q (L)U dode Φ p (L) y Θ q (L) so polomos marcales de dmesó y grados p y q respecvamee, e el operador de reardo L, verfcado ceras codcoes ales como versbldad y esabldad y las compoees de U sgue procesos rudo blaco depedees. El operador L acúa sobre cualquer sere de daos s de al maera que L m s =s -m, Z. E parcular, u modelo ARMA(p,q) esacoaro, mmal e verble queda defdo como el caso escalar del modelo aeror, eso es, Φ ( L)x = Θ (L) u dode ahora Φ p (L) y Θ q (L) so polomos de grados p y q y { u ;, ±, ± 2,... } = es proceso rudo blaco. Se asume que Φ p (L) y Θ q (L) o ee facores comues. Ora esrucura parcular de erés recogda e el modelo VARMA es el modelo FT X ϕ α c que surge cuado Z =, Φ p =, Θq =, U =, co lo cual Y ψ φ θ a ϕ(l)x = α(l)c φ(l)y + ψ(l)x Y s φ es versble, Y esá dado por Y = φ (L) ψ(l)x + N, = θ(l)a Z, Z ; N = φ (L) θ(l) a E esa omeclaura, Y es el oupu del modelo que queda expresado como ua fucó de los valores pasados y coemporáeos del pu X. Por ao, e la pare ssemáca se asume la exseca de ua relacó dámca causal e el sedo X Y, elmado así la posbldad de feedback ere oupu e pu. Tao oupu como pu puede referrse a varas varables. Cosderamos e ese rabajo la aplcacó al caso parcular de que egamos u solo oupu y varos pus, expresado el modelo deallado co Y y y X (x ) =,..., de la sguee forma: sedo s y = = ω δ s r s s L δ r (L) L (L) b x + N ω ( L) = ω + ω L ω, ( L) = δ + δ L δ L, b el reardo e la respuesa de y debda a x. La cosderacó de expecavas para las varables pus, e el modelo FT 6, requere ceras modfcacoes e la formulacó aeror. Cosderado de uevo el modelo co u oupu y y varos pus x, resula que para cada pu edríamos e geeral dos seres o, dcho de ora forma, ua sere de dos ramos emporales, ua p r r q 22

5 Modelos para Daos de la Ecoomía Caara e los Domos del Tempo y de la Frecueca 23 correspodee a los daos reales, * ** x, y ora correspodee a las expecavas, x, * x, j j eso es x, j = ** x, j j < El modelo FT co expecavas hace refereca a ua esrucura del po ω (L) y = x + N δ (L) = p + a s + b d r dode ω (L) = ω,p + a L ω,s + b L, δ ( L) = δ,d L δ r L, so ahora polomos llamados de Laure, co b y a represeado respecvamee el reardo de * ** la respuesa de y debda a x y el adelao de respuesa de y debda a x. Se observa que el modelo FT causal queda recogdo como u caso parcular para d =a =, p =b. 2.. Algormos umércos para defcacó de posbles órdees e u modelo FT La defcacó de los posbles órdees e u modelo FT causal se realza e base a la relacó eórca y = = v (L)x + N ; v (L) = asumedo que x ( =...) so procesos depedees y que x ( =...) y. Aálogamee, s clumos expecavas de los pus parremos de la relacó y = v (L)x + N, = * x * * v (L) = = j = * * + ** vjl vjx, j vj = j= j= asumedo que ( x, ) (= ) y. Esa relacó es más geeral que la aeror, quedado aquella recogda como caso parcular. E ambos casos, a la sere v (L) se le llama fucó de respuesa al mpulso (FRI) rasformadora de x (= ) e y. E la prácca, para la búsqueda de modelos FT co o s expecavas de los pus, compuaremos, segú el caso, los pesos vˆ j (valor esmado de v j ) para cada pu y la marz de covarazas usado Mímos Cuadrados o Máxma Verosmlud. S esamos e el caso clásco obedremos k j y vˆ L x + Nˆ. = j= Y s esamos cluyedo expecavas y k = j=m vˆ j x j, j + Nˆ v (m ) dode la esrucura de reardos para cada pu x se aproxma elgedo u úmero fo de érmos y Nˆ represea el érmo esmado para el rudo. A couacó, j L j x **,+ j 23

6 24 Cocepcó Gozález-Cocepcó, María Cadelara Gl-Farña y Cela Pesao-Gabo defmos la secueca de pesos relavos esmados, η ˆ = j) j k o η ˆ respecvamee, correspodees a x como vˆ j vˆ,max = max vˆ j ; ηˆ j = j vˆ,max = ηj) m j k y aplcamos a esa sucesó el algormo elegdo para defcar los órdees del modelo. E alguos casos se requere ceras rasformacoes prevas de la sucesó de pesos para garazar esabldad compuacoal 2. Dada ua sere mulvarae de daos croológcos, varas ha sdo las propuesas para la defcacó de los órdees de posbles modelos FT paredo de los pesos esmados. E el caso clásco, alguas de ellas se ha cosrudo usado algormos basados e g deermaes po Hakel ales como H f,g (ˆ η ) = de(ˆ η,f + h k ) h,k= j = s j < ) y relacoados co la AP, eoría que ambé proporcoa esmacoes cales cossees para la deermacó del correspodee modelo FT s coocmeo prevo de la esrucura del rudo. Esa relacó ere modelo FT y AP surge a parr de la escrura compaca del modelo aes mecoada, por las propedades comues ere la FRI = j v (L) vjl como fucó del operador L y la sere de poecas = j v j z e la = varable z del plao complejo. E el caso que cluye expecavas, alguos méodos se basa e algormos relacoados co la Aproxmacó de Padé-Laure (APL) 2 y resula como geeralzacoes de los propuesos e el caso causal. Así, se geeralza la propuesa dada e Ref. 5 para la esmacó de los pesos, y a couacó se aplca algú algormo de defcacó de los órdees, por ejemplo, omado e cosderacó los deermaes g de po Toeplz ( η ˆ ) = de. T f,g,f+ h k ) h,k= ( ˆ Teorema (Méodo de la Tabla T) 22. vˆ (L) ee ua esrucura racoal co órdees (p,s,d,r,a,b ) s y sólo s se verfca las sguees codcoes: T T T f,r f,d f,g ), f b + s ; T ), f p + a ; T ) =, ), g r ; ), g d ; f b + s +, g r + f p + a -, g d + b + s,g p + a,g Teorema 2 (Méodo del Epslo-algormo) 22. vˆ (L) ee ua esrucura racoal co órdees (p,s,d,r,a,b ) s y sólo s se verfca las sguees codcoes: s + b r j ε2r ), ε2r ) =, j > s + b r p + a d j ε2d ), ε2d ) =, j < p + a d sedo ε ˆ ) ua sucesó doble defda por el algormo eravo k ( η 24

7 Modelos para Daos de la Ecoomía Caara e los Domos del Tempo y de la Frecueca 25 + ε ) = ηˆ ; ε ) =, ε k + = ε k +, Z,k + ε ε Ese méodo se obee como cosecueca de que ε 2k ) cocde co el AP de orde (+k)/k asocado a la FRI de pesos relavos y al hecho de que ε 2k ) = s y sólo + s de(ˆ η, k 2+ + j),j= =. E la prácca, los órdees del modelo asocado a ua FRI depede del valor críco que se use de refereca para la sgfcacó esadísca ya que los valores e los modelos eórcos so, e la modelzacó de daos reales, valores sgfcavamee ulos respeco a dcho valor críco. E ese puo es ambé mporae la arméca de cálculo y la sgfcacó esadísca de los elemeos que se obee por la aplcacó de cada uo de los algormos. 3. Modelos e el Domo del Tempo-Frecueca El raameo de seres que posee comporameos susodales requere de ua meodología dferee, que ome e cosderacó los ídces de frecueca relevaes e los daos. Eso ocurre e ecoomía cuado se raa de aalzar daos correspodees a ua acvdad ecoómca que presea ceros cclos e su esrucura deermsa, como puede ser, por car alguos ejemplos, la produccó de bees agrícolas ecológcos s cosderamos daos mesuales o de mayor desagregacó por la flueca de las esacoes e los culvos, o ceros cosumos de bees báscos, como el agua y la eergía s cosderamos seres horaras o de mayor desagregacó. k k 3.. Modelos basados e la rasformada wavele dscrea Las fucoes rgoomércas bases del aálss de Fourer (seos y coseos) so muy úles cuado se rabaja co seres esacoaras o cuya perodcdad es homogéea a lo largo del empo. S embargo, a medda que se perde la esacoaredad, lo que ocurre frecueemee e ecoomía y fazas, la rasformada de Fourer perde efceca para capurar las propedades de la sere. S las compoees de la frecueca camba a lo largo del empo se ha recurrdo a ulzar la rasformada de Fourer por veaas (de Gabor) o la rasformada wavele. La prmera alerava os daría formacó e el domo de la frecueca sacrfcado el domo del empo, meras que la seguda comba formacó procedee de ambos domos 8. Las waveles so fucoes más flexbles que las rgoomércas báscas, cuyo uso ee smludes y dferecas mporaes co el aálss de Fourer. Muchas seres de daos e las aplcacoes presea fala de homogeedad a lo largo del empo por lo que, e geeral, la cosderacó de ese po de fucoes puede ser más coveee. De las umerosas famlas de fucoes waveles exsees, usaremos e ese rabajo el caso dscreo y, e cocreo las waveles Daubeches (dbn) 23. Se raa de la famla de waveles orogoales más seclla posble después de las de Haar, las cuales queda recogdas como u caso parcular (db). La úca wavele Daubeches que ee expresó explíca es la db, el reso de las dbn o adme al po de expresó. Las dbn o so smércas y e alguas de ellas la asmería es muy proucada, meras que la regulardad varía segú puos y aumea co el orde. 25

8 26 Cocepcó Gozález-Cocepcó, María Cadelara Gl-Farña y Cela Pesao-Gabo 3... Modelo basado e la descomposcó por Resolucó Múlple de la sere de daos El objevo de la descomposcó por Resolucó Múlple (MRD) es obeer, a parr de la sere orgal, varas seres, e cada ua de las cuales desaca u vel de frecueca dfícl de vsualzar e la sere orgal. La veaja respeco a los resulados que se obee del uso del aálss de Fourer es que e ese caso, como veremos se obee u resulado que comba adecuadamee domo del empo y domo de la frecueca. E geeral, decmos que la señal s se descompoe e el vel N e la sere múlple dada por {a N, d N, d N-,..., d } sedo s =a N +d N +d N d. Pero eso se hace paso a paso, es decr: Nvel : s = a + d Nvel 2: a = a 2 + d 2 ; s = a 2 + d2 + d Nvel : a - = a + d ; s = a + d d A a se le llama señal edeca e el vel y a d se le llama señal dealle e el vel. Esas señales se cosruye, respecvamee, usado las waveles que llamamos padre (que represea la edeca o baja frecueca) y madre (que represea el dealle o ala frecueca) 9. E ecoomía, s es ormalmee ua sere de daos e el domo del empo. Eoces, podemos usar drecamee la rasformada wavele dscrea (DWT) o la versó coua (CWT), s ajusamos ua fucó coua x() que aproxme a s. E geeral, la CWT es ua fucó de dos varables W(u,r) que se obee por proyeccó de la fucó x() sobre ua wavele parcular ψ, eso es, W(u,r) = x() ψ () d u, r, u sedo ψu,r () = ψ la versó rasladada (vía u) y dlaada (vía r) de la r r wavele orgal. Por ao, la rasformada queda más caracerzada por la forma de escalado (u,r) que por la ψ. E cosecueca podemos ver la DWT como ua dscrezacó de la CWT. També puede verse la rasformada de Fourer como u caso 2πu parcular e el cual ψ u,r () = ψ u ( u) = e (r=, = ). U caso comú es aquel e el cual la DWT es obeda desde la CWT usado waveles co r=2 -j y u=k2 -j dode j j / 2 j y k so eeros (bases dádcas). Se demuesra que ψ u,r () = r ψ( 2 k) produce ua base orogoal. La erpreacó de la MRD usado la DWT para la descomposcó y, poserormee, su versa IDWT para la recosruccó de la sere orgal es úl para coocer la frecueca e la que cera acvdad ocurre e el domo del empo. La erpreacó de los dealles d para defcar los cclos e los que ee lugar la acvdad e esudo es dferee depededo del po de daos (auales, mesuales, semaales, daros, horaros ). 26

9 Dealle Modelos para Daos de la Ecoomía Caara e los Domos del Tempo y de la Frecueca 27 Daos Auales. Idefcacó de Frecueca ere d 2-4 años 2-4 meses (cluye cclo rmesral) d años 4-8 meses (cluye cclo semesral) d años (cluye cclo de década) Tabla. Dealles e Idefcacó de Frecuecas Daos Daos Mesuales. Semaales. Idefcacó Idefcacó de Frecueca de Frecueca ere ere ere 8-6 meses (cluye cclo aual) Daos Daros. Idefcacó de Frecueca Daos Horaros. Idefcacó de Frecueca ere 2-4 semaas 2-4 días 2-4 horas 4-8 semaas (cluye cclo mesual) 8-6 semaas (cluye cclo rmesral) d meses 6-32 semaas (cluye cclo semesral) d meses semaas (cluye cclo d meses (cluye cclo de década) aual) semaas d semaas 4-8 días (cluye cclo semaal) 8-6 días (cluye cclo quceal) 6-32 días (cluye cclo mesual) 4-8 horas 8-6 horas (cluye cclo de medo día) 6-32 horas (cluye cclo daro) días horas días (cluye cclo rmesral) días (cluye cclo semesral) horas horas (cluye cclo semaal) Noa: E la prácca covee eer e cuea: El úmero de observacoes T codcoa la eleccó del po de wavele y el úmero N de dealles d que puede ser obedas e la descomposcó. Se debe verfcar T 2 N. El uso de waveles Daubeches ecesa muesras dádcas, auque receemee se ha realzado alguas propuesas para evar ese requso poco realsa e umerosas aplcacoes 8. El cálculo de ua MDR excesvamee larga puede ocasoar correlacó e los resulados. El cálculo de ua MDR usado waveles de grado alo puede collevar esabldades umércas que codcoe u bue comporameo asóco debdo a la ecesdad de calcular raíces de polomos. Además, se requere u cero úmero de valores cales para empezar los cálculos. El aálss MDR asume que los daos esá muesreados e ervalos gualmee espacados. Los resulados so sesbles al po de daos volucrados e el esudo. Así, s se raa de u esudo de daos ecoómcos y dada la auraleza de los cclos ecoómcos, e parcular, carece de erés ua descomposcó más allá del vel 3 para daos auales, del vel 6 para daos mesuales Además, la erpreacó de los dealles e seres muy desagregadas (que volucra, por ejemplo, daos semaales, daros, horaros ) es más delcada (e la Tabla hemos usado lera cursva para dcar alguos cclos), pueso que el úmero de horas/día, horas/semaa, semaas/mes, días/mes, horas/mes, semaas/año, días/año, horas/año o ee u valor fjo. També, segú el po de acvdad, ua muesra puede coeer daos asocados sólo co ceros días u horas (por ejemplo, el caso de acvdades sólo duras o sólo ocuras, acvdades que se realza sólo alguos días de la semaa ) 4. Resulados para Daos de la Ecoomía Caara 4.. Modelo de Fucó de Trasfereca co Expecavas para Igreso-Produccó del Pláao e la sla de Teerfe E base a ceros modelos dámcos FT co u oupu y uo o dos pus y el correspodee aálss de sesbldad, llevamos a cabo u esudo de la suacó acual 27

10 28 Cocepcó Gozález-Cocepcó, María Cadelara Gl-Farña y Cela Pesao-Gabo del culvo del pláao e Caaras. El modelo se cosruye e base a daos auales de y se usa los daos reales poserores para corasar y, e su caso, valdar el aálss de sesbldad y las predccoes proporcoadas por el modelo. El período aalzado cluye como puos clave los años 993 y 26, momeos e los que hubo reformas mporaes e la ormava comuara (la roduccó de la ayuda compesaora y el comezo de la lberalzacó del mercado, respecvamee) que ha afecado al culvo del pláao y su comercalzacó. El erés ceífco de esudos referdos al culvo del pláao desde dferees ámbos es dscuble, a deducr de la cadad de referecas bblográfcas que podemos cosular. S os ceñmos a cas e Joural Cao Repors (Scece Cao Idex ad Socal Scece Cao Idex) ecoramos más de cco ml referecas especalmee para esudos de carácer socal y ecoómco a parr de la década de los ovea. Alguas parcularmee se refere al uso de méodos cuaavos para aalzar modelos ecoomércos, daos esadíscos, pos de compevdad e el mercado, elascdades preco-demada (ver, ere oros, Ref. 24; Ref. 25). U aspeco que ha lmado la obecó de resulados cuaavos parece deberse a la escasez de daos relavos a varables decsvas que afeca a los resulados de cualquer aálss (por ejemplo, relavos a los coses y precos a lo largo de la cadea de ofera). Específcamee exse pocos esudos a vel cuaavo cocerees a la suacó del culvo e las Islas Caaras. E ese coexo, los prmeros modelos FT causales y co expecavas aparece e Ref. 26 referdos a la relacó ere produccó comercalzada e greso percbdo por los agrculores. Se dspuso de ua base de daos auales relavos a Caaras correspodee al período ,28. Poserormee se compleó el esudo roducedo ua ercera varable represeava del cose uaro de produccó que, dada la exseca de daos ofcales, se elaboró a parr de los daos dspobles sobre agua y ferlzaes (aporados por agrculores del ore de Teerfe, propearos de fcas represeavas). La elaboracó de ua sere de amaño razoable fue posble por medo de erpolacó leal 29, de maera que sólo los daos pares correspode a daos reales. El uso de rasformacoes logarímcas y de prmeras dferecas garazó ua varaza más homogéea e los daos y la esacoaredad del proceso. Los modelos obedos aparece e Ref. 3. A modo de resume, hemos cosderado las sguees varables e el empo : * z =lprod -lprod - (-L)lProd, dode, para par, Prod es la cadad producda e mles de oeladas y para mpar, Prod es el resulado de la erpolacó ere Prod - y Prod +. * x =li -li - (-L) li dode, para par I es el ídce de greso uaro del agrculor (pas/kg) (pas=peseas, la moeda corree e España aeror al Euro) (Ídce 996=) y, para mpar, u valor erpolado. * Y aálogamee la varable y represeava del cose uaro medo, Cos. Sguedo la meodología descra e el aparado 2, obuvmos los sguees modelos, prevo esudo del sedo de causaldad ere las varables mplcadas e cada caso. E odos ellos el subídce ere paréess represea el valor del esadísco -Sude e el corase free a cero. Más dealles puede ecorarse e las referecas aes mecoadas. () Modelo FT causal Igreso Produccó (Modelo Clásco): z =.658 (4.98) L 4 x +( (-24.46) L)a 28

11 Modelos para Daos de la Ecoomía Caara e los Domos del Tempo y de la Frecueca 29 Para el ajuse se ulzaro los daos correspodees al período (aeror al esablecmeo de la ayuda compesaora) y para las predccoes se cluyó la ayuda compesaora como pare del greso. Ese modelo, a ravés del parámero de reardo b=4, muesra la flueca del greso percbdo e los dos años prevos a la recogda y comercalzacó del culvo. (2) Modelo FT causal (Igreso, Cose) Produccó: z =.9 (2.8) L 4 x +.46 (.58) L 2 y +( (-3.5) L (5.74) L 2 )a Se puede coclur que el agrculor cosdera su greso como varable más relevae que el cose de produccó a la hora de decdr la realzacó de su acvdad. (3) Modelo FT co Expecavas Igreso Produccó (Escearos a 4). Ajusamos el modelo usado 993 como puo clave, ya que fue el año e que comezó a aplcarse la ayuda para compesar a los agrculores de la pérdda de poder adqusvo por los escasos gresos percbdos procedees del mercado. * Cosderamos, por u lado, ( x = x ) 992 como los daos reales y, por oro, ** ( x x ) 993 = como las expecavas geeradas sguedo los daos reales co ayuda compesaora hasa 997 y cuaro posbles escearos sguedo cuaro hpóess dferees geeradas a parr de 997 sguedo la Fgura. E la hpóess, el agrculor espera couar co gresos esables e los próxmos años. E la hpóess 2, el agrculor espera ua merma e sus gresos debdo prcpalmee a la dsmucó de la ayuda compesaora. E la hpóess 3, el agrculor espera que después de u período críco sus gresos vaya a reorar a u vel acepable. Por úlmo, e la hpóess 4 el agrculor o vslumbra el fal de la crss. Fgura. Daos Igreso y Escearos para Expecavas Igreso a parr de 997 (cluyedo ayuda compesaora) GENERACIÓN DE EXPECTATIVAS DEL INGRESO Escearo Escearo 2 Escearo 3 Escearo 4 29

12 3 Cocepcó Gozález-Cocepcó, María Cadelara Gl-Farña y Cela Pesao-Gabo E odos los casos, los daos reales co ayuda compesaora poserores a 997 se reservaro para valorar la capacdad predcva del modelo propueso. E odos ellos, se observó a ravés del parámero de adelao de respuesa, a=7, la flueca que sobre la produccó edrá las expecavas de greso del agrculor desde los res o cuaro años aerores a la comercalzacó del produco. E la Fgura 2, se lusra los cco modelos FT de Igreso Produccó, eso es, el modelo clásco y el modelo que cluye las expecavas geeradas sguedo las cuaro hpóess aes mecoadas (escearos a 4). A pesar de que la capacdad de ajuse esá garazada e odos los modelos, se observa que los modelos FT co expecavas ofrece mejores predccoes a coro plazo. E esos momeos ua vez coocdos los daos más recees, se observa que las hpóess 2 y 3 fuero las más realsas, a las que correspode los modelos respecvos: (3a) Modelo Expecavas. Escearo 2:.66(3.) 7 2 z = L x 2 + ( (8.8) L.2469(2.89) L ) a.547 L (3.62) (3b) Modelo Expecavas. Escearo 3:.645(3.6) 7 2 z = L x 2 + ( (8.94) L.277(3.4) L ) a.5543(3.86) L lo que poe de mafeso el empeño por coservar ese culvo radcoal e las slas. 6 Fgura 2. Modelos FT Igreso->Produccó Daos Produccó M. Clásco M. Expecavas - Escearo M. Expecavas - Escearo 2 M. Expecavas -Escearo 3 M. Expecavas - Escearo 4 3

13 Modelos para Daos de la Ecoomía Caara e los Domos del Tempo y de la Frecueca 3 No obsae, odo parece cofrmar el declve, auque más leo de lo esperado, de la acvdad plaaera e Teerfe, probablemee e oda Caaras, después de alguos años de elevados veles de produccó. E la realdad, se observa que la políca de proeccó de la produccó medae el esablecmeo de la llamada ayuda compesaora cevó la aparcó de la agrculura esva po empresaral, llegado a límes de sobreproduccó y beefcado más a ese uevo po de produccó que al agrculor radcoal al que, e prcpo, quso proeger la ley. Podría decrse que acualmee la produccó del pláao e Caaras procede de dos orígees dferees, de la agrculura radcoal y de la agrculura esva. Por ao, u esudo desagregado esas dos procedecas de la produccó podría ser úl para valorar las verdaderas cosecuecas de los uevos acuerdos, ere la Uó Europea y Ceroamérca, e cada uo de esos secores de produccó plaaera e Caaras. Los daos parece preocupaes al meos para la agrculura radcoal ya que la Uó Europea acaba de compromeerse a reducr el aracel de 76 euros por oelada esablecdo e 26 hasa 45 a fales de ese año para dsmur gradualmee hasa los 4 e cluso, para alguos países, hasa 75 euros por oelada e u período de dez años. Teedo e cuea que se esma que los cosumdores europeos se abasece acualmee co uas 4,5 mlloes de oeladas al año, el fuuro del pláao e las regoes ulraperfércas de la Uó Europea va a depeder de las codcoes adcoales que esablezca la Uó Europea, por ejemplo, e cuao a los límes drecos que se pueda esablecer para las mporacoes procedees del exeror o, e su defeco, a oras varables a vel de comerco mudal que equlbre los efecos de la globalzacó, como puede ser: ecfcacó, méodos de produccó, codcoes laborales e los dferees países. Acualmee o parece vable que podamos comper e preco pueso que dero de la Uó Europea los coses laborales so más alos, la producvdad es más baja, exse lmacoes e el uso de pescdas Auque podríamos comper e caldad, esa vía parece meos sesble que la ecoómca desde el puo de vsa del cosumdor. Desde 992 la Uó Europea esablecó la creacó de ssemas de proeccó para las Deomacoes de Orge Proegdas (DOP), las Idcacoes Geográfcas Proegdas (IGP) y las Especaldades Tradcoales Garazadas (ETG), co el f de promover y proeger producos agroalmecos, que para el caso del pláao o ha sdo aplcada auque e u rabajo del MAPA 3 se recomedó crear la DOP Pláao de Caaras Modelo de descomposcó por Resolucó Múlple para el cosumo de agua e la Cudad de Saa Cruz de Teerfe E ese caso la sere de daos horaros exhbe por su propa auraleza u cero comporameo peródco o homogéeo a lo largo del empo, báscamee segú días laborables y fesvos. Los daos fuero ceddos por la empresa ecargada del sumsro de agua e la cudad de Saa Cruz de Teerfe, ENMASA (Empresa Mxa de Aguas de Saa Cruz de Teerfe). Ulzamos la descomposcó medae waveles para revelar a la vsa del vesgador los dferees veles de perodcdad que esá presees e los daos. Los cálculos y gráfcos ha sdo hechos co el módulo WAVELETS -D de MATLAB 7.. El agua demadada por los cudadaos es dsrbuda desde u cojuo de depósos, cada uo de los cuales abasece ua zoa de la cudad. A la salda de dchos depósos se 3

14 32 Cocepcó Gozález-Cocepcó, María Cadelara Gl-Farña y Cela Pesao-Gabo oma medda dgal del caudal de agua salee. La Fgura 3 coee los daos de cosumo correspodees a uo de esos depósos, el de Cueva Roja, ua sere formada por 754 observacoes a ervalos de hora a lo largo de 3 días, desde : del de Ocubre de 996 hasa 9: del de ovembre de 996. Hablamos de cosumo refrédoos a la suma de la cadad demadada y de las pérddas por fallos ao e el ssema de depóso como e el ssema de dsrbucó. Fgura 3. Daos de cosumo de agua e S/C Teerfe Las perodcdades de esa sere de daos fuero esudadas ulzado la rasformada de Fourer 32. El uso de waveles os perme observarlas e el domo del empo medae seres separadas para cada ua de ellas. Elgedo las Daubeches db3 y descompoedo hasa el vel 8 (el máxmo úmero de veles posble debdo al amaño de la muesra sería 9, 2 9 =52), observamos los dferees veles de descomposcó e las sguees fguras. La Fgura 4 muesra la descomposcó correspodee al prmer vel, eso es a o prmera señal edeca (líea azul) y d o prmera señal dealle (líea verde). Fgura 4. Descomposcó waveles db3 e Nvel 6 4 a d

15 Modelos para Daos de la Ecoomía Caara e los Domos del Tempo y de la Frecueca 33 E ese prmer vel observamos que a es smlar a la sere orgal y podríamos erprear d como ua lmpeza de los daos, es decr, u cojuo de rregulardades o compoees de rudo que ha sdo elmados de la sere para su poseror esudo. S repemos el proceso como dca el modelo de descomposcó, la Resolucó Múlple de la sere evolucoa como se muesra e la Fgura 5 dode observamos alguos de los 7 prmeros veles de la descomposcó que acaba revelado odos los dealles. La señal a 7 coee la edeca de la sere orgal. Fgura 5. Descomposcó waveles db3 e oros veles 6 5 d2 3 2 d d4 d orgal sgal a4 5 orgal sgal a La señal dealle d 2, al gual que d, muesra rregulardades locales. Las señales d 3 y d 4 so los dealles más regulares de odos y revela las perodcdades herees a los daos, eso es, de 2 horas (medo día) y 24 horas (daras), respecvamee. La sere d 4 33

16 34 Cocepcó Gozález-Cocepcó, María Cadelara Gl-Farña y Cela Pesao-Gabo es la de mayor magud. Esa crcusaca cocde báscamee co los resulados obedos a ravés de la rasformada de Fourer. Co la écca waveles, la combacó ere empo y frecueca perme asocar las frecuecas co ceros períodos emporales, segú los cuales los valores de máxmo cosumo ee lugar e horaro de mañaa y los mímos e horaro de arde. La señal d 3 revela valores mímos asocados a las 7: a.m. e sábados y domgos e la prmera pare de la sere y e cualquer día e la úlma pare de la sere; d 6 revela de uevo valores máxmos e horaro de mañaa y mímos e horaro de arde. De maera más precsa, podemos esudar esas perodcdades a ravés del especro correspodee a cada dealle desde d hasa d 8 (Fgura 6). Nóese que se cofrma que el de mayor magud es d 4, segudo de d 3. Los ídces de frecueca más relevaes se dca e la Tabla 2. Fgura 6. Especro de los dealles de la descomposcó db3 6 x x 6 2 x 7 5 x x x x x Tabla 2. Ídces relevaes e la descomposcó db3 db3 Ídces más relevaes Período d 253, 22, 283, horas d 2 27,, horas d horas d horas ( día) Como se obee, usado MATLAB, y de acuerdo co la Tabla 2, la descomposcó hasa el vel cuaro co la aproxmacó a 4 y los dealles d a d 4 complea los resulados que se había obedo e érmos de frecueca co la rasformada de Fourer. La señal orgal se muesra e la Fgura 7 acompañada de las aproxmacoes edecales a 4 y a 7, así como de la suma de los dealles desde el vel al 4 y desde el vel al 7 respecvamee. Esa fgura os perme observar la progresó de ambas seres. 34

17 Modelos para Daos de la Ecoomía Caara e los Domos del Tempo y de la Frecueca 35 Fgura 7. Señal orgal, edecas y dealles de la descomposcó waveles db3 5 orgal sgal a4 d+d2+d3+d4 5 orgal sgal a7 d+d2+d3+d4+d5+d6+d Coclusoes E ese arículo hemos resumdo los resulados obedos a ravés del uso de algormos para defcar modelos racoales e el domo del empo, especalmee e modelos de FT co expecavas, y de waveles e empo-frecueca, e parcular usado waveles Daubeches. Además, vsualzamos los modelos obedos e dos casos relevaes de la Ecoomía Caara: el culvo del pláao y el cosumo domésco de agua. Se raa de aprecar a ravés de esas aplcacoes cocreas la uldad de las dferees éccas propuesas, cluso s ecesdad de erar e los dealles sobre la meodología que se ha do desgraado e varas publcacoes prevas. E cuao a la prmera aplcacó, pasados uos años desde la cosruccó del prmer modelo, covedría e érmos ecoómcos esudar las seres acualzadas e el uevo coexo de lberalzacó de mercado y omeclaura de araceles fjada por la Uó Europea. El empo de las ayudas y subvecoes ermará por desaparecer y creemos que ese po de modelos cuaavos os perme esudar a pror dferees polícas presupuesaras y acparos a las cosecuecas de las decsoes que se vaya a adopar, a ravés de los correspodees aálss de sesbldad. Es evdee que esa líea de vesgacó requere la dsposcó de seres largas de daos y, e ocasoes, más desagregadas. Auque se avaza posvamee e la cofeccó de bases de daos, es mafesa la escasez de ésas sobre lo que ocurre e odo el proceso de produccó y comercalzacó del pláao e Caaras, problema comú a oras umerosas acvdades ecoómcas y socales. E cuao a la seguda aplcacó, creemos que el esudo de ídces de frecueca y su vsualzacó a lo largo del empo puede ayudar, ere oras cosas, a omar decsoes más efcees sobre el almaceaje, dsrbucó y cosumo del agua e ua gra cudad, así como al esablecmeo de dferees arfas de precos e fucó de los cosumos regsrados como máxmos y mímos co el objevo de eder a u mejor reparo del cosumo por horas y días. També e ese coexo, el uso de modelos VARMA sería de erés, por la posbldad que ofrece de esudar relacoes ere varables. No obsae, la geeralzacó de los méodos esudados al caso mulvarae o es rval. Por ejemplo, la cosderacó de deermaes marcales ha de susurse por ora, como la de 35

18 36 Cocepcó Gozález-Cocepcó, María Cadelara Gl-Farña y Cela Pesao-Gabo ragos de marces y, como hemos comeado, surge seras dfculades como la o defcabldad del modelo 33. Además, os efreamos a la escasez de bases de daos y de sofware dspoble a al f. E parcular, la meodología de modelos de compoee escalar (SCM) propuesa e Ref 3 y exedda e Ref. 4 presea alguas veajas ales como la esmacó de modelos VARMA parsmoosos e defcables y las mejores predccoes que ofrece los modelos VARMA mxos esmados free a, por ejemplo, los VAR puros. S embargo, aú o hemos ecorado esa propuesa como pare de u sofware comercalzado que perma comparacó empírca de meodologías. E realdad, al mplemeacó requerría ua mayor eraccó por pare del usuaro que co oras meodologías e modelos ARIMA como las expuesas e ese rabajo. 6. Recoocmeo Ese rabajo ha sdo parcalmee facado por los Proyecos de Ivesgacó MTM y MTM C5-3 del Pla Nacoal del Msero de Educacó y Ceca. 7. Referecas Bblográfcas. J.G. De Goojer y R.J. Hydma, 25 years of me seres forecasg. Ieraoal Joural of Forecasg, 22 (26) G.E.P. Box y G.M. Jeks, Tme Seres Aalyss: Forecasg ad Corol. (Holde Day, Sa Fracsco, 976) (edcó revsada) 3. P.J. Brockwell y R.A. Davs, Tme Seres: Theory ad Mehods. Sprger Seres Sascs (Sprger-Verlag, 99). 4. A.C. Harvey, Forecasg, srucural me seres models ad he Kalma fler (Cambrdge Uversy Press, 989). 5. D.F. Hedry y B. Nelse, Ecoomerc modellg: a lkelhood approach (Oxford, Prceo Uversy Press, 27). 6. G.A. Baker y P. Graves-Morrs, Padé Approxmas. Ecyclopaeda of Mahemacs ad s Applcaos, 53, (Cambrdge Uversy Press, 996) (seguda edcó) 7. J.M. Begu, C. Goureroux y A. Mofor, Idefcao of a Mxed Auoregressve-Movg Average Process: The Corer Mehod O. D. Aderso (ed.), Tme Seres, Norh-Hollad, Amserdam (98) B. Mareschal y G. Mélard, The Corer Mehod for Idefyg Auoregressve Movg Average Models. Appled Sascs 37(2) (988) P. Clavere, D. Szpro y R. Topol. Idefcao des Modèles à Foco de Trasfer: La Méhode Padé-Trasformée e z. Aales d Ecoome e de Sasque, 7 (99) M.H. Queoulle, The aalyss of mulple me-seres (Grff, Lodo, 957) (seguda edcó).. H. Lükepohl, Iroduco o mulple me seres aalyss (Sprger-Verlag, Berl- Hedelberg, 993) (seguda edcó). 2. G.C. Resel, Elemes of Mulvarae Tme Seres Aalyss (Sprger Verlag, New York, 997) (seguda edcó). 3. G.C. Tao y R.S. Tsay, Model Specfcao Mulvarae Tme Seres. J. Roy. Sas. Soc., Seres B 5 (989) G. Ahaasopoulos y F. Vahd, A complee VARMA modellg mehodology based o scalar compoes. Joural of Tme Seres Aalyss, 29 (28)

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