Tema 3. Interpretación Abstracta

Transcripción

1 Tema 3. Interpretación Abstracta Herramientas Avanzadas para el Desarrollo de Software Profesora: Alicia Villanueva DSIC, Escuela Técnica Superior de Ingeniería Informática Curso

2 Indice Indice Introducción Fundamentos matemáticos Abstracción de dominios Abstracción por punto fijo Abstracción de objetos

3 Introducción Objetivos del tema recordar e introducir las nociones matemáticas usadas en la interpretación abstracta introducir la teoría de la interpretación abstracta identificar los puntos claves a la hora de diseñar un marco de trabajo abstracto

4 Introducción Introducción IA La Interpretación Abstracta es una teoría de aproximación de estructuras matemáticas. Noción básica: conjunto Se puede aplicar a la construcción sistemática de métodos y algoritmos Aplicaciones: análisis estático, definición de semánticas, optimización de algoritmos de prueba, etc.

5 Introducción Motivación Por qué la necesitamos? Los métodos relacionados con la inferencia, análisis o prueba de propiedades dinámicas de programas de forma estática suelen ser indecidibles o demasiado complejos (NP-completos). Qué nos proporciona: La interpretación abstracta nos proporciona métodos aproximados dan un resultado aproximado pero fiable damos una respuesta parcial

6 Introducción Motivación Semántica concreta de una función: objeto matemático infinito los estados de la semántica concreta no son computables

7 Introducción Motivación Propiedades de programas - safety Es posible analizar propiedades de sistemas cuyo conjunto de estados no es computable. recurriendo a la interpretación abstracta Safety Una propiedad de seguridad (safety) expresa condiciones que nunca se llegan a dar. en otras palabras nunca llegaremos a un punto prohibido

8 Introducción Motivación Propiedades de seguridad:

9 Introducción Motivación si el sistema satisface las propiedades de seguridad, nunca pisará las zonas rojas la intersección de la semántica del programa y el área que cubren las propiedades debe ser vacía sería fácil si se pudiera computar la semántica del programa, pero en muchos casos no se puede recurrimos a métodos parciales: software testing, depuración, etc.

10 Introducción Motivación Software testing

11 Introducción Motivación puede que se ignoren errores existentes: la intersección de las trazas consideradas y las propiedades es vacía todo parece ir bien problema de carencia de cobertura sufrido por software testing y depuración, por lo que no pueden considerarse técnicas de prueba

12 Introducción Interpretación abstracta Semántica abstracta

13 Introducción Interpretación abstracta PUNTOS IMPORTANTES la semántica abstracta cubre toda la concreta abarca un área mayor que la semántica concreta puede representarse de forma simbólica, siendo entonces computable la intersección con las zonas prohibidas es vacía Tiene que ser correcta!

14 Introducción Interpretación abstracta Semántica abstracta no correcta No contiene toda la concreta

15 Introducción Interpretación abstracta PRIMERA CONCLUSIÓN La semántica abstracta debe ser correcta

16 Introducción Interpretación abstracta Semántica abstracta poco precisa Intersección no vacía

17 Introducción Interpretación abstracta SEGUNDA CONCLUSIÓN La semántica abstracta debe ser precisa

18 Introducción Interpretación abstracta Una buena abstracción contendrá todos los elementos concretos del sistema se ajustará de forma apropiada al dominio concreto de forma que no introduzca falsas alarmas

19 Introducción Interpretación abstracta Otra semántica abstracta no correcta

20 Fundamentos matemáticos FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS cómo construimos la semántica abstracta?

21 Fundamentos matemáticos Motivación alpha e4 e1 e5 a1 e6 e2 e9 a2 a4 e7 e8 a3 e3 gamma

22 Fundamentos matemáticos Conjuntos Casi todo puede verse como conjuntos: relaciones, propiedades, sistemas, etc. Notación elementos: comparaciones: x X x X X Y def = a : (a X a Y ) expresiones: X Y P Q P Q X = Y X Y P x : P X Y X Y operaciones: Z = X Y Z = X Y Z = X\Y

23 Fundamentos matemáticos Conjuntos Notación conjuntos: tuplas: {a} {a, b} a, b {a 1,..., a n } {a 1,..., a n...} a 1,..., a n producto cartesiano: x y def = { a, b a x b y} x 1... x n = { a 1,..., a n a 1 x 1... a n x n } potencia: (X) def = {Y Y X}

24 Fundamentos matemáticos Relaciones Notación relaciones: R X R X Y R X 1... X n R(a 1,..., a n ) def = a 1,..., a n R relaciones binarias: a R b def = a, b R a R b def = a, b R

25 Fundamentos matemáticos Relaciones Propiedades que puede tener una relación binaria R X X Notación a X : (a R a) a, b X : (a R b) (b R a) a, b X : (a R b a b) (b R a) a, b X : (a b) (a R b b R a) a, b, c X : (a R b) (b R c) (a R c) reflexividad simetría antisimetría conexión transitividad

26 Fundamentos matemáticos Relaciones Operaciones sobre relaciónes Notación = { a, a a X} R 1 def = { b, a a, b R} def R 1 R 2 = { a, c b : a, b R 1 b, c R 2 } R 1 R 2 R 1 R 2 R 1 \R 2 1 X def

27 Fundamentos matemáticos Relaciones Dominio El dominio de una relación se define como dom(r) def = {a b : a, b R} Rango El rango de una relación se define como rng(r) def = {b b : a, b R}

28 Fundamentos matemáticos Equivalencias y particiones Las nociones de equivalencia y de partición están íntimamente relacionadas con el concepto de relación. Relación de equivalencia Una relación binaria R sobre X es una relación de equivalencia, si y sólo si goza de las propiedades de reflexión, simetría y transitividad

29 Fundamentos matemáticos Equivalencias y particiones Clase de equivalencia: [a] R def = {b X a R b} Cociente de un conjunto: X/ R def = {[a] R a X}

30 Fundamentos matemáticos Equivalencias y particiones Partición P es una partición de X sii P es una familia de conjuntos disjuntos que cubren X: Y P : (Y ) Y, Z P : (Y Z ) (Y Z = ) X = P

31 Fundamentos matemáticos Órdenes Orden parcial La relación es un orden parcial sobre conjuntos si es reflexiva, antisimétrica y transitiva: X X reflexividad (X Y Y X) (X = Y ) antisimetría (X Y ) (Y Z ) (X Z ) transitividad Ejemplos: sobre los naturales sobre conjuntos orden lexicográfico para caracteres...

32 Fundamentos matemáticos Órdenes Orden parcial estricto La relación es un orden parcial estricto sobre conjuntos si tiene las propiedades de: (X X) irreflexión (X Y ) (Y Z ) (X Z ) transitividad

33 Fundamentos matemáticos Órdenes Poset Un conjunto parcialmente ordenado (poset) es un par X, donde X es un conjunto, y es una relación de orden parcial sobre X. Resultados: si x, es un poset e Y X, entonces Y, es un poset el inverso de un orden parcial, es también un orden parcial

34 Fundamentos matemáticos Órdenes Cobertura La relación de cobertura se define a partir de un poset X, como sigue: a < b def = (a < b) ( c X : a < c < b) b cubre a a si está directamente relacionado con la relación de cobertura podemos dibujar diagramas de Hasse

35 Fundamentos matemáticos Órdenes Cadena Una cadena de un poset X, es un subconjunto Z X que cumple que a, b Z : (a b) (b a). un poset X, es una cadena si X es una cadena Anti-cadena Una anti-cadena de un poset es un subconjunto Z X en el que a, b Z : (a b) (a = b).

36 Fundamentos matemáticos Órdenes Top Un poset P, tendrá un elemento top, supremo o máximo si y sólo si P a P : a Bottom será el elemento bottom, ínfimo, o mínimo de un poset si y sólo si P a P : a Por la propiedad de antisimetría, si existen estos dos elementos, son únicos

37 Fundamentos matemáticos Órdenes Límite superior Sea P, un poset. Entonces M P es un límite superior del subconjunto S P si, y sólo si x S : x M Límite inferior Sea P, un poset. Entonces M P es un límite inferior del subconjunto S P si, y sólo si x S : m x los límites superior e inferior de un conjunto S pueden no estar en S

38 Fundamentos matemáticos Órdenes Menor límite superior El menor límite superior de S, si existiera, es un elemento x que cumple que es un límite superior de S, y que además u P : ( y S : u y) (x u) Al menor límite superior de S lo llamaremos lub(s). Mayor límite inferior El mayor límite inferior de S, si existiera, es un elemento x que cumple que es un límite inferior de S, y que además u P : ( y S : u y) (x u) Al mayor límite inferior de S lo llamaremos glb(s).

39 Fundamentos matemáticos Órdenes Propedades: Sea P, un poset y X P. Si lub(x) existe, entonces es único. Sea P, un poset y X P. Si glb(x) existe, entonces es único

40 Fundamentos matemáticos Retículos Join semi lattice Un Join semi lattice P,, es un poset P, tal que cualquier par de elementos x, y P tienen un lub x y Meet semi lattice Un Meet semi lattice P,, es un poset P, tal que cualquier par de elementos x, y P tienen un glb x y Lattice Un retículo se define como la tupla P,,, donde P,, es un join semi lattice y P,, es un meet semi lattice.

41 Fundamentos matemáticos Retículos Resultados: En un join semi lattice P,, tenemos para todo elemento a, b P que a b a b = b En un meet semi lattice P,, tenemos para todo elemento a, b P que a b b = b a En un lattice P,,, tenemos para todo elemento a, b P que a b a b = b a = a b Propiedades de un retículo: asociatividad, conmutatividad, idempotencia, absorción existe un punto fijo para toda función continua definida sobre un cpo

42 Fundamentos matemáticos Funciones Función Una función de aridad n sobre un conjunto de elementos X es una relación R de aridad n + 1 sobre X para la que a dom(r), b rng(r) tal que ( a, b R a, c R) (b = c) Notación R(a 1,..., a n ) = b es equivalente a a 1,..., a n, b R X Y son funciones totales: dom(f ) = X y rng(f ) Y X \Y son funciones parciales: dom(f ) x y rng(f ) y

43 Fundamentos matemáticos Funciones Tipos de funciones función inyectiva: a, b X : a b f (a) f (b) a, b X : f (a) = f (b) a = b función sobreyectiva: b Y : a X : f (a) = b función biyectiva (isomorfismo): inyectiva + sobreyectiva La inversa de una función biyectiva se define: f 1 = { b, a a, b f }

44 Fundamentos matemáticos Conexión de Galois Operador de cierre por arriba Un operador de cierre por arriba (uco) ρ sobre un poset P, es un operador extensivo ( x P : x ρ(x)), monótono ( x, y P : (x y) (ρ(x) ρ(y))) e idempotente (ρ(ρ(x)) = ρ(x))

45 Fundamentos matemáticos Conexión de Galois Operador de cierre por abajo Un operador de cierre por abajo ρ sobre un poset P, es un operador reductivo ( x P : ρ(x) x), monótono ( x, y P : (x y) (ρ(x) ρ(y))) e idempotente (ρ(ρ(x)) = ρ(x))

46 Fundamentos matemáticos Conexión de Galois Theorem Un operador ρ sobre un poset P, es un operador de cierre por arriba si, y sólo si x, y P : x ρ(y) ρ(x) ρ(y) Theorem Un operador de cierre está completamente representado por sus puntos fijos

47 Fundamentos matemáticos Conexión de Galois Conexión de Galois Sean P, y Q, posets, decimos que un par α, γ de mapeos α P Q y γ Q P es una conexión de Galois si, y sólo si: x P : y Q : α(x) y x γ(y) P, γ α Q,

48 Fundamentos matemáticos Conexión de Galois Propiedades: α γ α = α γ α γ = γ γ α es un operador de cierre por abajo sobre Q, α : (P) Q tiene la propiedad de que y Q, y = α(γ(y)) escribiremos que α(x) = y cuando y sea el menor elemento de Q que describa (o cubra) x α γ es un operador de cierre por arriba sobre P, γ : Q (P) tiene la propiedad de que x (P), x γ(α(x)) escribiremos que γ(y) = x cuando x sea el mayor elemento de (P) al que describa (o cubra) y

49 Fundamentos matemáticos Conexión de Galois Ejemplo: ( (P), ) es un retículo completo.

50 Fundamentos matemáticos Conexión de Galois EJEMPLO: LOS SIGNOS (1/3) Dominio: enteros Objetivo: abstraer según el signo de los enteros Definición de dominio abstracto: [ ] [0] [+]

51 Fundamentos matemáticos Conexión de Galois EJEMPLO: LOS SIGNOS (2/3) [ ] [0] [+] Función de concreción: γ([ ]) = {x Z x < 0} γ([0]) = {0} γ([+]) = {x Z x > 0} γ( ) = Z γ( ) =

52 Fundamentos matemáticos Conexión de Galois EJEMPLO: LOS SIGNOS (3/3) Se verifica que: [ ] [0] [+] α(x) Y X γ(y ) X γ(α(x)) X γ(y ) α(x) Y α(γ(x)) X si Q Q, entonces γ(α(q)) γ(α(q )) γα γα = γα,

53 Fundamentos matemáticos Conexión de Galois P, γ α Q, es una conexión de Galois α es monotona, γ es monotona, α γ es reductora y γ α es extensiva. Dualidad P, γ α Q, si y sólo si Q, α γ P,

54 Abstracción de dominios Motivación alpha e4 e1 e5 a1 e6 e2 e9 a2 a4 e7 e8 a3 e3 gamma

55 Abstracción de dominios Abstracción de dominios Mundo real vs Mundo aproximado Mundo concreto vs Mundo abstracto Relacionando mundos Las conexiones de Galois establecen la relación entre el mundo real (concreto) y el aproximado (abstracto) podemos abstraer un elemento (o un conjunto de elementos) concreto(s) podemos concretizar un elemento (o conjunto de elementos) abstracto(s)

56 Abstracción de dominios Abstracción de dominios IDEA La idea es obtener aproximaciones composicionales de las expresiones del lenguaje. Es decir, que si la aproximación de x e y es x α e y α respectivamente, entonces la aproximación de z = x y queremos que sea z α = x α α y α

57 Abstracción de dominios Abstracción de dominios Dominio: enteros Z EJEMPLO: PRODUCTO DE ENTEROS Lenguaje L de expresiones aritméticas Perfil del producto: : Z 2 Z Dominio abstracto D α = {[ ], [+]} Función abstracta para el producto: α [ ] [+] [ ] [+] [ ] [+] [ ] [+] Nos serviría para asegurar que x 2 es siempre positivo

58 Abstracción de dominios Abstracción de dominios EJEMPLO: PRODUCTO DE ENTEROS (2) Se pueden definir distintas abstracciones para el mismo problema. Versión más precisa de la abstracción del producto de enteros: Dominio abstracto: D α = {[ ], [0], [+]} Función abstracta para el producto: α [ ] [0] [+] [ ] [+] [0] [ ] [0] [0] [0] [0] [+] [ ] [0] [+] Podríamos saber que z = y (0 x) da siempre 0

59 Abstracción de dominios Abstracción de dominios α(3) = α({3, 4}) = α({ 1, 3}) = [ ] [0] [+]

60 Abstracción de dominios Abstracción de dominios Dominio: Z EJEMPLO: SUMA DE ENTEROS Dominio abstracto: D α = {[ ], [0], [+], } Perfil de la suma: + : Z 2 Z Función abstracta para la suma: + α [ ] [0] [+] [ ] [ ] [ ] [0] [ ] [0] [+] [+] [+] [+] Podríamos ver que z = x 2 + y 2 es siempre positivo

61 Abstracción de dominios Abstracción de dominios REFINANDO EL RETÍCULO Dominio abstracto: D α = {, [ ], [0 ], [0], [0 + ], [+], } Función de concreción: γ( ) = γ([ ] = {x Z x < 0} γ([0 ] = {x Z x 0} γ([0] = {0} γ([0 + ] = {x Z x 0} γ([+] = {x Z x > 0} γ( ) = Z + [0 ] [0 ] [ ] [0] [+] {[ ], [0]} = [0 ] {[+], [ ]} =

62 Abstracción de dominios Abstracción por punto fijo Abstracción de dominios Abstracción por punto fijo Punto fijo El punto fijo de un operador dado f : X X es un elemento x X para el que x = f (x). Existe una cercana relación entre puntos fijos, operadores de cierre, y retículos completos Si X es un retículo completo y f es monótono, entonces los puntos fijos de f son también un retículo completo

63 Abstracción de dominios Abstracción por punto fijo Abstracción de dominios Abstracción por punto fijo lfp(f ) será el menor elemento del retículo, también llamado menor punto fijo para calcular los puntos fijos aplicamos el operador sucesivamente: f 0(x) = x f n(x) = f (f (n 1)(x)) f ω(x) = {f n(x) n < ω} Escribiremos f α( ) como f α

64 Abstracción de dominios Abstracción por punto fijo Abstracción de dominios Abstracción por punto fijo Existe un ω para el que f ω = lfp(f ) Si tenemos un retículo con cadenas ascendentes finitas, entonces la secuencia hasta llegar al menor punto fijo es finita Un retículo completo tiene cadenas ascendentes si, y sólo si, para toda cadena no vacía Y X, Y Y.

65 Abstracción de dominios Abstracción por punto fijo Abstracción de dominios Abstracción por punto fijo Podemos representar la semántica de un programa mediante una caracterización por punto fijo. Podemos obtener abstracciones de operadores de punto fijo que representen la semántica abstracta, lo que nos permitirá demostrar propiedades en el abstracto que valen para el concreto

66 EJEMPLO Lenguaje gráfico Tendrá elementos básicos (constantes) Tendrá operaciones sobre elementos para componerlos transformarlos...

67 Un lenguaje gráfico CONSTANTES Un pétalo:

68 Un lenguaje gráfico OPERACIONES Rotaciones: r[a](o)

69 Un lenguaje gráfico OPERACIONES Uniones: o 1 o 2 Resultado de unir ocho pétalos debidamente rotados

70 Un lenguaje gráfico OPERACIONES Otras funciones: stem(corola)

71 Un lenguaje gráfico OPERADORES DE PUNTO FIJO

72 Abstracción de objetos Abstracción de objetos para abstraer un objeto de nuestro lenguaje, podemos definir por ejemplo el trazo resultante de repasar el borde del objeto con un rotulador más grueso

73 Abstracción de objetos Abstracción de objetos puede haber muchas abstracciones posibles de un objeto concreto puede que unas abstracciones contengan a otras, pero también puede que haya abstracciones que sean incomparables debemos ser capaces de recuperar los elementos concretos a partir de una abstracción recuperar todos los puntos negros de nuestras flores la función de concreción mapea objetos abstractos o a objetos concretos: γ(o)

74 Abstracción de objetos Abstracción de operaciones A parte de la abstracción de objetos, debemos definir versiones abstractas de operaciones. incluídos los operadores de punto fijo se podría calcular el punto fijo y a continuación abstraer problema si el cálculo concreto es demasiado costoso

75 Abstracción de objetos Abstracción de operaciones EJERCICIO 1 Trata de representar el hecho de que α y γ son monótonas de forma gráfica con el ejemplo del lenguaje gráfico. 1. recuerda qué era la monotonía 2. el orden entre objetos es el orden natural (un pétalo es menor que una corola, etc.) 3. la abstracción se define como el trazo más grueso del contorno de los objetos

76 Abstracción de objetos Abstracción de operaciones EJERCICIO 2 Representa de forma gráfica el hecho de que para cualquier objeto concreto x, γ α(x) x Usa el ejemplo del lenguaje gráfico.

77 Abstracción de objetos Abstracción de operaciones EJERCICIO 3 Representa de forma gráfica el hecho de que para cualquier objeto abstracto y, α γ(y) y Usa el ejemplo del lenguaje gráfico.

78 Abstracción de objetos Abstracción de operaciones EJERCICIO 4 Obtén el resultado gráfico de la siguiente operación: ramo abstracto = α(γ(rot 30 (flor abstracta)) γ(flor abstracta) γ(rot 30 (flor abstracta)))

79 Cuando decimos que queremos analizar un sistema, en realidad nos referimos a que queremos analizar ciertos aspectos del sistema. Por ejemplo: Valores de variables: enteros, booleanos,... representados como V Nombres de variables, representados como X Entornos, representados como X V Pilas de valores: asignaciones de valores a variables en el contexto de lenguajes de programación estructurados: ([1, n] (X \ V)) n 0

80 puntos de control representados usando nombres de procedimientos y etiquetas, etc. estados del sistema representados por un punto de control y un estado de la memoria del sistema Observable Cualquier aspecto del sistema que nos resulte interesante. Punto de referencia para observar y analizar el sistema

81 Otros observables usados normalmente: prefijos finitos de las trazas de ejecución trazas maximales finitas (o infinitas) conjuntos de trazas tanto finitas como infinitas (para lenguajes no deterministas)... Pero no todo es observar, también hay que analizar

82 Propiedades de sistemas Propiedad Podemos representar o caracterizar una propiedad dada usando el conjunto de objetos que satisfacen dicha propiedad. Por ejemplo: números impares: {1, 3, 5,..., 2n + 1,...} números pares: {2z z Z} los valores de las variables enteras en un programa: {z Z minint z maxint} valores de las variables enteras (posiblemente no inicializadas): {z Z minint z maxint} {Ω n m M} y M es el conjunto de mensajes de error

83 Propiedades de sistemas Por ejemplo (continuación) igualdad de dos variables X e Y: {ρ X \V X, Y dom(ρ) ρ(x) = ρ(y)} una propiedad invariante de un programa con estados en el conjunto Σ: I (Σ) una propiedad relacionada con una traza: T (Σ ) una propiedad de la semántica de trazas: P ( (Σ ))

84 Propiedades de sistemas El conjunto de propiedades concretas de un programa forma un retículo completo Sea el conjunto de objetos Σ, (Σ) representa el conjunto de propiedades sobre dichos objetos es decir, son los posibles subconjuntos de objetos, y cada subconjunto representa una propiedad determinada (Σ),,,,,

85 Propiedades de sistemas (Σ),,,,, la propiedad P (Σ) es el conjunto de objetos que satisfacen P es la implicación lógica P Q implica que todo objeto con la propiedad P tiene que satisfacer también la propiedad Q es la propiedad false Σ es la propiedad true es la disyunción es la conjunción es la negación ( P Σ\P)

86 Propiedades de sistemas Desde el punto de vista de propiedades: una abstracción sustituye lo concreto por una descripción esquemática más manejable. una abstracción no considerará todas las propiedades (Σ) del sistema concreto, sino sólo algunas de ellas por lo tanto, el modelo abstracto inferido describirá sólo algunas de las propiedades del original Una abstracción de propiedades A es un subconjunto de propiedades concretas A (Σ)

87 Cumple que: A (Σ) las propiedades en A son las propiedades que no se ven afectadas por la función de abstracción. Son propiedades que la abstracción es capaz de describir las propiedades en (Σ)\A son las propiedades que se ven afectadas por la función de abstracción. la pérdida de información al aplicar la abstracción conlleva que estas propiedades no sean descritas totalmente en el modelo abstracto es necesario aproximarlas de alguna forma usando propiedades de A

88 En un análisis abstracto (usando la abstracción de una computación) sólo pueden usarse de forma segura las propiedades de A (Σ) llamamos propiedad abstracta a toda propiedad perteneciente al conjunto A llamamos propiedad concreta a toda propiedad perteneciente al conjunto (Σ)

89 Decimos que una aproximación es correcta porque las propiedades concretas que son también abstractas pueden usarse directamente para razonar sobre la computación abstracta las propiedades concretas que no son abstractas no pueden usarse directamente pero podemos usar aproximaciones P A (P P) para seleccionar la propiedad P podemos seguir dos caminos...

90 Dos aproximaciones Cuando aproximamos una propiedad concreta (y no abstracta) podemos recurrir a: una aproximación por arriba (o sobre-aproximación): P P una aproximación por abajo (o sub-aproximación): P P De esta forma estableceremos una relación entre la propiedad concreta y su aproximación.

91 Dos aproximaciones EJEMPLO (1/5) Supongamos que tenemos puntos bidimensionales:

92 Dos aproximaciones Sub-aproximación: EJEMPLO (2/5) y las aspas representan P P P x

93 Dos aproximaciones Contestar razonando sobre P: EJEMPLO (3/5) El punto (x,y) pertenece a P? si (x, y) P, entonces sabemos que la respuesta es afirmativa si (x, y) P, entonces no podemos asegurar nada puede que el punto en concreto sea uno de los que están en P pero no en su aproximación

94 Dos aproximaciones Sobre-aproximación: EJEMPLO (4/5) y las aspas representan P P P x

95 Dos aproximaciones Contestar razonando sobre P: EJEMPLO (5/5) El punto (x,y) pertenece a P? si (x, y) P, entonces no podemos asegurar nada puede que el punto concreto sea uno de los que no satisfacen P si (x, y) P, entonces sabemos que la respuesta es negativa todos los puntos de P están considerados en P

96 Conclusiones En este tema se ha introducido: el formalismo matemático que sostiene todo análisis basado en la interpretación abstracta la idea perseguida al definir una determinada abstracción lo que se ha de garantizar la definición según los objetivos las dos posibles técnicas para aproximar propiedades la definición de las respuestas que es capaz de dar un análisis abstracto de qué depende el éxito o fracaso de una pregunta