Semántica Denotacional

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1 Semántica Denotacional Idea: El significado de un programa es la función denotada por el programa Componentes del metalenguaje para la definición semántica denotacional de un L.P.: Dominios sintácticos sintaxis abstracta del L.S. Dominios semánticos significado de constructores Funciones semánticas relación entre los dominios F : Sin Se sintácticos y semánticos Las funciones semánticas se definen mediante ecuaciones semánticas Dominios Un dominio es un conjunto (de valores) que incluye además dos valores especiales: (indefinido) y (error) Representación por enumeración: T = {true, false}º = {true, false,, } Operaciones sobre dominios Dominio producto: Dominio suma: P = D1 D2... Dn p = <d1,d2,...,dn> p i = di S = D1 + D Dn (i-ésima componente) di Di (di in S) S (inyección) s S (s Di) Di (proyección) FLP 2009/10 - Marisa Navarro 50 FLP 2009/10 - Marisa Navarro 51 Dominio función: F = D1 D2 λp.e (lambda-expresión) Prioridad operaciones:, +, D1 D2 D3 + D4 D5 (D1 D2) (D3 + (D4 D5)) Asociatividad a derechas de D1 D2 D3 D1 (D2 D3) Dominio lista: D* = {nil} + D + D 2 + D hd: D* D (cabeza) hd(nil) = tl: D* D* (resto) tl(nil) = append: D* D D* append(l,d) = l^<d> prefix: D D* D* prefix(d,l) = <d>^l SINTAXIS ABSTRACTA del Lenguaje Sujeto Se representa por medio de dominios sintácticos Ejs: Ψ : Prog Σ : Stmt Κ : Comp metavariable (letra griega mayúscula) dom.sintáctico (3 o más letras) Las definiciones de los dominios sintácticos vienen dadas por reglas de producción abstractas Ej: Sentencia while, definiciones equivalentes: Σ : Comp Stmt Σ = Κ Σ Σ ::= while Κ do Σ end FLP 2009/10 - Marisa Navarro 52 FLP 2009/10 - Marisa Navarro 53

2 SIGNIFICADO del Lenguaje Sujeto Se representa el significado de los constructores mediante dominios semánticos Ejs: N = {..., -1, 0, 1,...}º dominio de los números enteros S = Var N Cf = S Fi Fi metavariable (letra griega minúscula) ν : N = {..., -1, 0, 1,...}º dominio de los estados (de memoria) dominio de las configuraciones dom.semántico (1 ó 2 letras) σ : S γ : Cf FUNCIONES SEMANTICAS Son elementos de algún dominio función de la forma Sin Se (y se representan con una letra mayúscula) Ej: S : Stmt (Cf Cf ) indica que el significado de una sentencia es una función de cambio de configuración La definición de una función semántica se hace por medio de ecuaciones semánticas Ej : S [ Ξ := Ε ] = expresión de tipo Cf Cf func.sem. argumento (en sint.abstracta) < Ξ,Ε> o también S [ Ξ := Ε ] (γ) = expresión de tipo Cf FLP 2009/10 - Marisa Navarro 54 FLP 2009/10 - Marisa Navarro 55 Otras notaciones: Semántica Denotacional de Pam (tabla 4.3) f [a / b] indica la función f1 definida: f1 (b) = a f1 (x) = f (x), Si f : D D entonces f n para x b indica f... f (composición n veces) En las ecuaciones semánticas, se usan expresiones condicionales de la forma: ( c e1, e2 ) para indicar: si c es cierto entonces e1 sino e2 Dominios sintácticos Ψ : Prog Σ : Stmt Ξ : Var Λ : Vars Ε : Exp Κ : Comp Ρ : Rel Θ : Opr Ν : Num : Dig programas sentencias variables listas de 1 ó más variables expresiones comparaciones relaciones operadores constantes enteras dígitos decimales FLP 2009/10 - Marisa Navarro 56 FLP 2009/10 - Marisa Navarro 57

3 Reglas de producción abstractas (ver tabla 4.3) Se ha suprimido la serie de sentencias, ahora se tiene permitiendo Ψ ::= Σ Σ ::= Σ 1 ; Σ 2... Similarmente, para las listas de variables: Λ ::= Ξ Λ 1, Λ 2 No hay definición para Ξ porque la estructura interna de las variables no es relevante semánticamente. Dominios semánticos Hay dos dominios primitivos para los números enteros ν : N = {..., -1, 0, 1,...}º los valores de verdad τ : T = {true, false}º y tres dominios definidos para los estados (de memoria) σ : S = Var N los ficheros φ : Fi = N* las configuraciones γ : Cf = S Fi Fi Dada una configuración γ = <σ, φ 1, φ 2 > recordar que γ 1 = σ γ 2 = φ 1 γ 3= φ 2 FLP 2009/10 - Marisa Navarro 58 FLP 2009/10 - Marisa Navarro 59 Funciones semánticas y ecuaciones semánticas (1) M : Prog (Fi Fi ) El significado de un programa M [Ψ ] es alguna función que aplica ficheros (de entrada) en ficheros (de salida) La definición de M [Ψ ] viene dada por la ecuación semántica M [Ψ ] ( φ i ) = ( S [Ψ] (γ i ) ) 3 γ i = < λξ., φ i, nil > es la configuración inicial respecto al fichero de entrada φ i, con memoria (inicial) λξ. y fichero de salida nil Ejemplo: El significado del programa es la función read x,y ; write y M [read x,y ; write y] : Fi Fi definida M [read x,y ; write y] φ i = ( S [read x,y ; write y] (< λξ., φ i, nil > ) ) 3 Si φ i = < 2,7,1> M [read x,y ; write y] φ i = <7> y en general : M [read x,y ; write y] : Fi Fi φ i <hd(tl(φ i ))> FLP 2009/10 - Marisa Navarro 60 FLP 2009/10 - Marisa Navarro 61

4 (2) S : Stmt (Cf Cf ) El significado de una sentencia S [Σ] es una función de cambio de configuración La definición de S [Σ] viene dada por un conjunto de ecuaciones semánticas (una por cada clase distinta de Σ): Secuencia de sentencias: S [ Σ 1 ; Σ 2 ] = S [Σ 2 ] S [Σ 1 ] Ejemplo: S [read x,y ; write y] = S [write y] S [read x,y] Sentencias de lectura y escritura de listas de variables: S [ read Λ 1, Λ 2 ] = S [read Λ 1 ; read Λ 2 ] S [ write Λ 1, Λ 2 ] = S [write Λ 1 ; write Λ 2 ] Ejemplo: S [read x,y] = S [read x ; read y] = S [read y] S [read x] Sentencia de lectura de una variable: S [ read Ξ ] <σ, φ 1, φ 2 > = Ejemplo: error si φ 1 = nil <σ[hd(φ 1 ) / Ξ], tl(φ 1 ), φ 2 > e.o.c S [read x] (<σ 0, < 2,7,1>, nil>) = <σ 0 [ 2 / x], <7,1>, nil> FLP 2009/10 - Marisa Navarro 62 FLP 2009/10 - Marisa Navarro 63 Sentencia de escritura de una variable: S [ write Ξ ] <σ, φ 1, φ 2 > = Ejemplo: Dados error si σ [ Ξ ] = <σ, φ 1, append(φ 2, σ [ Ξ ] )> e.o.c σ 0 = λξ. σ 1 = σ 0 [ 2 / x] σ 2 = σ 1 [7 / y] = ( σ 0 [ 2 / x] ) [7 / y] S [write y] (<σ 2, <1>, nil>) = <σ 2, <1>, <7>> Sentencia de asignación: S [ Ξ := Ε ] <σ, φ 1, φ 2 > = <σ[val / Ξ ], φ 1, φ 2 > con val = E [Ε] (σ) Bucle definido: S [to Ε do Σ end] <σ, φ 1, φ 2 > = con ν = E [Ε] (σ) <σ, φ 1, φ 2 > si ν <1 ( S [Σ] ) ν <σ, φ 1, φ 2 > e.o.c Ambas usan la función semántica E : Exp (S N) E [Ε] (σ) denota el valor (entero) de Ε en el estado σ FLP 2009/10 - Marisa Navarro 64 FLP 2009/10 - Marisa Navarro 65

5 En las sentencias condicionales y el bucle indefinido se usa la función semántica C : Comp (S T) C [Κ] (σ) denota el valor (de verdad) de Κ en el estado σ Sentencias condicionales: S [if Κ then Σ fi] γ = ( C [Κ] (γ 1) S [Σ] γ, γ ) S [if Κ then Σ 1 else Σ 2 fi] γ = ( C [Κ] (γ 1) S [Σ 1 ] γ, S [Σ 2 ] γ ) Bucle indefinido: S [while Κ do Σ end] γ = ( C [Κ] (γ 1) (S [while Κ do Σ end ] S [Σ] ) γ, γ ) (3) C : Comp (S T) El significado de una comparación C [Κ] es una función que aplica estados en valores de verdad Como una comparación es de la forma Κ ::= Ε 1 Ρ Ε 2, C [Κ] se define en términos de E dependiendo de Ρ C [Ε 1 = Ε 2 ] σ = ( E [Ε 1 ] σ = E [Ε 2 ] σ true, false ) C [Ε 1 >= Ε 2 ] σ = ( E [Ε 1 ] σ E [Ε 2 ] σ true, false ) C [Ε 1 <> Ε 2 ] σ = ( E [Ε 1 ] σ E [Ε 2 ] σ true, false ) sintaxis (abstracta) operación en N = {..., -1, 0, 1,...}º FLP 2009/10 - Marisa Navarro 66 FLP 2009/10 - Marisa Navarro 67 (4) E : Exp (S N) El significado de una expresión E [Ε] es una función que aplica estados en valores enteros Como una expresión es de la forma Ε ::= Ε 1 Θ Ε 2 Ξ Ν E [Ε] se define para cada caso de Ε 1 Θ Ε 2 dependiendo de Θ, para el caso Ξ y para los casos de constantes enteras Ν Destacan dos posibles errores semánticos: E [Ε 1 / Ε 2 ] σ = ( E [Ε 2 ] σ = 0 error, E [Ε 1 ] σ E [Ε 2 ] σ ) E [Ξ ] σ = ( σ [Ξ] = error, σ [Ξ] ) Ejercicio Dar el significado (denotacional) del siguiente programa Pam: Ψ = read k; while k>0 do k:= k-1 end; write k Solución: Debe darse qué función concreta denota este programa M [Ψ ] : Fi Fi Φ?? FLP 2009/10 - Marisa Navarro 68 FLP 2009/10 - Marisa Navarro 69

6 Semántica Denotacional de Eva (tabla 4.4) Reglas de producción abstractas (ver tabla 4.4) Dominios sintácticos Ψ : Prog Β : Blo : Dec Ι : Ide Τ : Type Σ : Stmt Ε : Exp Ξ : Str Λ : Let programas bloques declaraciones identificadores tipos de datos sentencias expresiones strings literales letras Se han suprimido como dominios sintácticos explícitos la secuencia de declaraciones, permitiendo ::= y la secuencia de sentencias, permitiendo: Σ ::= Σ 1 ; Σ 2... Las listas de parámetros (resp. de argumentos) se especifican con una herramienta notacional elíptica : proc Ι (Τ 1 Ι 1,..., Τ n Ι n ) = Σ call Ι (Ε 1,..., Ε n ) (n 1) (n 1) FLP 2009/10 - Marisa Navarro 70 FLP 2009/10 - Marisa Navarro 71 Dominios semánticos Dominios semánticos necesarios para Eva (1) Debido a la existencia de bloques (definiciones locales) debemos distinguir entre entorno y (estado de) memoria: Ide(ntificador) ρ L(ugar) σ V(alor) Ι ρ [Ι] σ( ρ [Ι] ) ρ [Ι] = lugar de memoria asociado a Ι en el entorno ρ σ(α) = valor contenido en el lugar α del estado de memoria σ Se necesita dar dos pasos (mediante ρ y σ) para alcanzar el valor asociado a un identificador Ι de tipo char ó string. Los estados (de memoria) σ : S = L V los lugares (de memoria) α : L = {1,2,3,...}º los valores (de memoria) los valores carácter los valores string ζ : Z = H* β : V = H + Z + {unallocated}º η : H = {a,b,..., z, space}º unallocated es un valor especial para indicar un lugar sin asignar: Si para todo entorno ρ y todo identificador Ι se tiene que ρ [Ι] α entonces σ (α) = unallocated FLP 2009/10 - Marisa Navarro 72 FLP 2009/10 - Marisa Navarro 73

7 Debido a la existencia de procedimientos, debemos asociar a un identificador Ι de tipo proc un valor de procedimiento π: P Estos valores no serán almacenables (en memoria) sino entidades asociadas a los identificadores por medio del entorno (como ocurre con los lugares). Ide(ntificador) ρ I P(rocedimiento) ρ [Ι] Esto implica definir el dominio U de los entornos así: U = Ide D (en lugar de U = Ide L) siendo D = L + P el dominio de los valores denotables Dominios semánticos necesarios para Eva (2) Los entornos ρ : U = Ide D los valores denotables δ : D = L + P las configuraciones γ : Cf = S Z Z y los valores de procedimiento π : P = L* (Cf Cf ) lista de lugares que se asociarán cambio de configuración a los parámetros formales que producirá el cuerpo del (en la llamada al procedimiento) procedimiento FLP 2009/10 - Marisa Navarro 74 FLP 2009/10 - Marisa Navarro 75 Funciones semánticas y ecuaciones semánticas (1) M : Prog ( Z Z ) El significado de un programa M [Ψ ] es alguna función que aplica ficheros (de entrada) en ficheros (de salida) La definición de M [Ψ ] viene dada por la ecuación semántica M [Ψ ] (ζ i ) = ( S [Ψ] (ρ ini ) (γ i ) ) 3 γ i = < λα. unallocated, ζ i, nil > es la configuración inicial respecto al fichero de entrada ζ i y siendo el entorno inicial ρ ini = λι. El significado de una sentencia S [Σ] y el de una expresión E [Ε] son como en Pam, salvo que en Eva se definen relativas a un entorno U (2) S : Stmt ( U ( Cf Cf )) (3) E : Exp ( U ( S V )) S [Σ] ρ : Cf Cf significado de Σ en el entorno ρ S [Σ] ρ γ = configuración obtenida al ejecutar Σ en el entorno ρ y sobre la configuración γ E [Ε] ρ σ = valor obtenido al evaluar Ε en el entorno ρ y sobre la memoria σ FLP 2009/10 - Marisa Navarro 76 FLP 2009/10 - Marisa Navarro 77

8 La definición de S [Σ] vendrá dada por un conjunto de ecuaciones semánticas (una por cada clase distinta de Σ) El significado de un bloque ( begin Σ end ) es el significado del cuerpo del bloque ( Σ ), pero relativo a un entorno y a una memoria modificados por las declaraciones ( ) del bloque. S [begin Σ end] ρ <σ, ζ 1, ζ 2 > = S [ Σ ] ρ <σ, ζ 1, ζ 2 > ρ y σ se obtienen al modificar ρ y σ según <ρ, σ > = D [ ] ρ <ρ, σ>? Necesidad de la función semántica D para el significado de Supongamos la función semántica D de la forma: (4*) D : Dec ( U S U S ) El significado de una declaración D [ ] sería una función de modificación de pares (entorno, memoria) Las ecuaciones semánticas correspondientes serían: D [char Ι] <ρ,σ> = < ρ [α in D / Ι ], σ [ / α] > α es un lugar nuevo : σ (α) = unallocated D [string Ι] <ρ,σ> = < ρ [α in D / Ι ], σ [nil / α] > α es un lugar nuevo : σ (α) = unallocated FLP 2009/10 - Marisa Navarro 78 FLP 2009/10 - Marisa Navarro 79 D [ 1 2 ] = D [ 2 ] D [ 1 ] es decir: D [ 1 2 ] <ρ, σ> = D [ 2 ] ( D [ 1 ] <ρ, σ> ) D [proc Ι = Σ] <ρ, σ> = < ρ [π in D / Ι ], σ > al procedimiento (sin parámetros) de nombre Ι se le asigna en el nuevo entorno el valor π : L* (Cf Cf ) tal que π (nil) denota el cambio de configuración de Σ (cuerpo de Ι) relativo a qué entorno? a) π (nil) = S [Σ] ρ entorno antes de I b) π (nil) = S [Σ] ρ [π in D / Ι] entorno con I Problema: Ni en a) π (nil) = S [Σ] ρ ni en b) π (nil) = S [Σ] ρ[π in D / Ι] se tiene en cuenta que en el cuerpo Σ se puede hacer referencia a variables declaradas tras proc Ι = Σ (en la misma ) Necesidad de cambiar la función semántica D para el significado de (4) D : Dec U ( U S U S ) El significado de una declaración D [ ] es una función de modificación de pares (entorno, memoria) relativa al entorno correspondiente a la secuencia entera de declaraciones que contiene a FLP 2009/10 - Marisa Navarro 80 FLP 2009/10 - Marisa Navarro 81

9 Por eso, en el significado de los bloques se necesita poner: Por último, para los procedimientos con parámetros: S [begin Σ end] ρ <σ, ζ 1, ζ 2 > = S [ Σ ] ρ <σ, ζ 1, ζ 2 > < ρ, σ > = D [ ] ρ <ρ, σ> y las ecuaciones semánticas para D son ahora las siguientes: D [char Ι] ρ <ρ,σ> = < ρ [α in D / Ι ], σ [ / α] > D [string Ι] ρ <ρ,σ> = < ρ [α in D / Ι ], σ [nil / α] > en ambos casos con σ (α) = unallocated D [ 1 2 ] ρ = D [ 2 ] ρ D [ 1 ] ρ D [proc Ι = Σ] ρ <ρ,σ> = < ρ [π in D / Ι ], σ > siendo π (nil) = S [Σ] ρ FLP 2009/10 - Marisa Navarro 82 D [proc Ι (Τ 1 Ι 1,...,Τ n Ι n ) = Σ] ρ <ρ,σ> = < ρ [π in D / Ι ], σ > siendo π (<α 1,..., α n >) = S [Σ] ( ρ [α 1 in D / Ι 1,..., α n in D / Ι n ] ) Esto es, el valor π toma una lista de lugares (que se conocerán en el momento de cada llamada) y produce la función π (<α 1,...,α n >) : Cf Cf denotada por el cuerpo del procedimiento relativo al entorno: ρ [α 1 in D / Ι 1,..., α n in D / Ι n ] que es el entorno ρ actualizado con la asignación de dichos lugares a los parámetros formales. FLP 2009/10 - Marisa Navarro 83 Ejemplo begin end Consideramos el programa Ψ siguiente: proc p (char x) = Σ 3 1 string a begin char a 2 char b end Σ 4 Σ 5 Σ 1 call p (b) Σ 2 Σ 6 FLP 2009/10 - Marisa Navarro 84 Ejemplo (cont) Sean ρ 0 = λι. y σ 0 = λα.unallocated S [Ψ] ρ 0 <σ 0, ζ 1, ζ 2 > = S [begin 1 Σ 1 end] ρ 0 <σ 0, ζ 1, ζ 2 > = S [Σ 1 ] ρ 1 <σ 1, ζ 1, ζ 2 > <ρ 1, σ 1 > = D [ 1 ] ρ 1 <ρ 0, σ 0 > = D [string a] ρ 1 ( D [proc p (char x) = Σ 3 ] ρ 1 <ρ 0, σ 0 > ) = D [string a] ρ 1 <ρ 0 [π/p], σ 0 > = siendo π (<α>) = S [Σ 3 ] (ρ 1 [α /x]) = <ρ 0 [π/p, 1/a], σ 0 [nil /1] > ρ 1 σ 1 FLP 2009/10 - Marisa Navarro 85

10 Ejemplo (cont) S [Ψ] ρ 0 <σ 0, ζ 1, ζ 2 > =... = S [Σ 1 ] ρ 1 <σ 1, ζ 1, ζ 2 > = = S [Σ 1 ] ( ρ 0 [π/p, 1/a] ) <σ 0 [nil /1], ζ 1, ζ 2 > = siendo π (<α>) = S [Σ 3 ] (ρ 1 [α /x] ) = S [Σ 3 ] (ρ 0 [π/p, 1/a, α /x]) = S [begin 2 Σ 2 end Σ 4 ] (ρ 0 [π/p, 1/a]) <σ 0 [nil /1], ζ 1, ζ 2 > = = S [Σ 4 ] (ρ 0 [π/p, 1/a]) ( S [begin 2 Σ 2 end] (ρ 0 [π/p, 1/a]) <σ 0 [nil /1], ζ 1, ζ 2 > ) S [Σ 1 Σ 2 ] ρ = S [Σ 2 ] ρ S [Σ 1 ] ρ secuencia de sentencias FLP 2009/10 - Marisa Navarro 86 Ejemplo (cont) S [Ψ] ρ 0 <σ 0, ζ 1, ζ 2 > =... = = S [Σ 4 ] (ρ 0 [π/p, 1/a]) ( S [begin 2 Σ 2 end] (ρ 0 [π/p, 1/a]) <σ 0 [nil /1], ζ 1, ζ 2 > ) = ρ 1 σ 1 = S [Σ 4 ] (ρ 0 [π/p, 1/a]) ( S [Σ 2 ] ρ 2 < σ 2, ζ 1, ζ 2 > ) <ρ, σ 2 2 > = D [ 2 ] ρ 2 <ρ 1, σ 1 > = D [char a char b] ρ 2 <ρ 1, σ 1 > = D [char b] ρ 2 ( D [char a] ρ 2 <ρ 1, σ 1 > ) = D [char b] ρ 2 < ρ 0 [π/p, 2/a], σ 0 [nil /1, / 2] > = = <ρ 0 [π/p, 2/a, 3/b], σ 0 [nil /1, / 2, / 3] > ρ 2 σ 2 FLP 2009/10 - Marisa Navarro 87 Ejemplo (cont) Lo obtenido hasta ahora es: La ecuación semántica correspondiente a la llamada a un procedimiento con parámetros es: S [Ψ] ρ 0 <σ 0, ζ 1, ζ 2 > =... = = S [Σ 4 ] ρ 1 ( S [Σ 2 ] ρ 2 <σ 2, ζ 1, ζ 2 > ) ρ 1 = ρ 0 [π/p, 1/a] ρ 2 = ρ 0 [π/p, 2/a, 3/b] y σ 2 = σ 0 [nil /1, / 2, / 3] Nota: El significado de Σ 2 se define relativo al entorno ρ 2 debido a las declaraciones locales 2, mientras que el significado de Σ 4 se define relativo al entorno ρ 1 porque dichas declaraciones locales pierden su efecto al salir del bloque interno. S [call Ι (Ε 1,...,Ε n )] ρ <σ, ζ 1, ζ 2 > = (ρ [Ι] P) (<α 1,...,α n >) (<σ, ζ 1, ζ 2 >) π α i son lugares nuevos: σ (α i ) = unallocated (i=1...n) y distintos entre sí: α i α j (i j) y σ se obtiene al actualizar σ asignando a cada α i el valor del correspondiente argumento Ε i σ = σ[ E [Ε 1 ] ρ σ /α 1,..., E [Ε n ] ρ σ /α n ] FLP 2009/10 - Marisa Navarro 88 FLP 2009/10 - Marisa Navarro 89

11 Ejemplo (cont) S [Ψ] ρ 0 <σ 0, ζ 1, ζ 2 > = Siguiendo con el ejemplo: = S [Σ 4 ] ρ 1 ( S [Σ 5 call p (b) Σ 6 ] ρ 2 <σ 2, ζ 1, ζ 2 > ) = = S [Σ 4 ] ρ 1 ( S [Σ 6 ] ρ 2 ( S [call p (b)] ρ 2 ( S [Σ 5 ] ρ 2 <σ 2, ζ 1, ζ 2 > ) ) ) suponemos que da = S [Σ 4 ] ρ 1 ( S [Σ 6 ] ρ 2 ( S [call p (b)] ρ 2 <σ 3, ζ 3, ζ 4 > )) = S [Σ 4 ] ρ 1 ( S [Σ 6 ] ρ 2 (π (<4>) <σ 3 [E [b] ρ 2 σ 3 / 4], ζ 3, ζ 4 >)) suponemos nuevo y como π (<α>) = S [Σ 3 ] (ρ 0 [π/p, 1/a, α /x]) = S [Σ 4 ] ρ 1 ( S [Σ 6 ] ρ 2 ( S [Σ 3 ] (ρ 0 [π/p, 1/a 4/x]) <σ 3 [E [b] ρ 2 σ 3 / 4], ζ 3, ζ 4 > )) FLP 2009/10 - Marisa Navarro 90 La ecuación semántica correspondiente a la llamada a un procedimiento sin parámetros es: S [call Ι ] ρ <σ, ζ 1, ζ 2 > = (ρ [Ι] P) (nil) (<σ, ζ 1, ζ 2 >) Las demás ecuaciones semánticas para S son: S [input Ι ] ρ <σ, ζ 1, ζ 2 > = ( ζ 1 = nil error, < σ [hd(ζ 1 ) in V / (ρ [Ι] L)], tl(ζ 1 ), ζ 2 > ) S [output Ε] ρ <σ, ζ 1, ζ 2 > = <σ, ζ 1, append(ζ 2, E [E] ρ σ H)> S [eq Ε 1, Ε 2 : Σ] ρ γ = (E [Ε 1 ] ρ σ = E [Ε 2 ] ρ σ) S [Σ] ρ γ, γ ) (neq) ( ) σ = γ 1 S [cons Ε,Ι] ρ <σ, ζ 1, ζ 2 > = < σ[ prefix(e [E] ρ σ H, σ(ρ [Ι] L) Z) in V / (ρ [Ι] L)], ζ 1, ζ 2 > FLP 2009/10 - Marisa Navarro 91 Finalmente, la función semántica de las expresiones es (3) E : Exp ( U ( S V )) y sus ecuaciones son: E [Ι] ρ σ = ( σ(ρ [Ι] L) = error, σ (ρ [Ι] L) ) E [space] ρ σ = space in V (para el carácter blanco) E [ a ] ρ σ = a in V (para el resto de caracteres) E [ ] ρ σ = nil in V (para el string vacío) E [ Ξa ] ρ σ = append( E [ Ξ ] ρ σ Z, a ) in V E [head Ε] ρ σ = ( s nil hd(s), error ) in V E [tail Ε ] ρ σ = ( s nil tl(s), error ) in V ambas con s = E [Ε] ρ σ Z FLP 2009/10 - Marisa Navarro 92