PSU Matemática NM-4 Guía 23: Isometrías. Nombre: Curso: Fecha: -

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1 Centro Educacional San Carlos de Aragón. Dpto. Matemática. Prof. Ximena Gallegos H. PSU Matemática NM- Guía : Isometrías Nombre: Curso: Fecha: - Contenido: Isometrías. Aprendizaje Esperado: Analiza traslaciones y/o rotaciones de figuras geométricas. Conceptos Básicos. Un movimiento o isometría es una transformación que preserva todas las distancias y por ello preserva el tamaño y la forma. ( iso significa igual y metría significa medida ). La imagen de una figura bajo esta transformación siempre es congruente con la figura original. Tipos de isometrías en el plano Traslaciones: Las traslaciones son aquellas isometrías que permiten desplazar en línea recta todos los puntos del plano. Este desplazamiento se realiza siguiendo una determinada dirección, sentido y distancia, por lo que toda traslación queda definida por lo que se llama su vector de traslación. Observaciones. La figura conserva todas sus dimensiones, tanto lineales como angulares. Una figura jamás rota, es decir, el ángulo que forma con la horizontal no varía. No importa el número de traslaciones que se realicen, siempre es posible resumirlas en una única. ) En la figura, cuál es el vector de traslación que se aplicó al triángulo A para obtener el triángulo B? 8 6 A B a) (8, ) b) (8, ) c) (, 0) d) (0, ) e) (0, ) ) Si un punto F = (, ) se traslada a F = (, ), qué vector traslación T(x, y) cambia F a F? a) T ( 9, ) b) T (, ) c) T (, ) d) T ( 9, ) e) T ( 9, ) ) Al aplicar una traslación a la figura se obtiene: q Fig. p r s t a) p b) q c) r d) t e) s

2 ) El cuadrado PQRS de la figura ha sido transformado mediante un vector de traslación, en el cuadrado ennegrecido. Cuál(es) de las afirmaciones siguientes es(son) verdadera(s)? I) El vector de traslación fue T(, 0) II) Los puntos Q y R permanecen invariantes. III) El área del cuadrado permanece constante. a) Sólo I b) Sólo I y II c) Sólo I y III d) Sólo II y III e) I, II y III A,, B, y C,. Si se aplica una ) Un triángulo ABC tiene coordenadas ( ) ( ) ( ) traslación según el vector (p, q) y las nuevas coordenadas de A son A (, ); cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) (p, q) = (, 9) II) B = (, ) III) C = (, ) a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo I y II d) Sólo II y III e) I, II y III 6) Cuál(es) de los siguientes casos representa(n) una traslación? I) II) III) a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) Sólo I y II e) Sólo I y III ) Qué vector de traslación reemplaza a una traslación del vector T (, ) seguido de un segundo vector T (, ) a) T (, 9) b) T ( 9, ) c) T ( 9, ) d) T ( 9, ) e) T (, 9) 8) Si Se aplica una traslación a los puntos A( 6, ), B(, ) y C(, ), de tal forma que dichos puntos se mueven dos unidades horizontalmente a la derecha y cinco unidades verticalmente hacia arriba, entonces uno de los vértices trasladados del triángulo ABC toma el valor: B A C a) (6, 0) b) (, ) c) (, ) d) (0, 6) e) (0, 9)

3 9) Los triángulos,,, se han obtenido a partir del triángulo. Cuál de ellos corresponde a la traslación del triángulo? a) Triángulo b) Triángulo c) Triángulo d) Triángulo e) Ninguno 0) El(los) números correspondiente(s) a las letras que son traslaciones de la figura de la izquierda es(son): 6 a) Sólo b) Sólo, y 6 c) Sólo y d) Sólo, y e) Todas Rotaciones Las rotaciones son aquellas isometrías que permiten girar todos los puntos del plano.- Cada punto gira siguiendo un arco que tiene un centro y un ángulo bien determinado, por lo que toda rotación queda definida por su centro de rotación y por su ángulo de giro. Si la rotación se efectúa en sentido contrario a las manecillas del reloj, recibe el nombre de rotación positiva o antihoraria, en caso contrario, se dice que la rotación es negativa u horaria. En la figura, O: centro de rotación y α : ángulo de rotación Observaciones. Una rotación con centro P y ángulo de giro α, se representa por R ( P, α ) rotación es negativa, se representa por R ( P, α ).. Si la Si rotamos el punto (x, y) con respecto al origen O(0, 0), en un ángulo de giro de 90º, 80º, 0º ó 60º, las coordenadas de los puntos obtenidos están dados en la siguiente tabla. Punto inicial R ( 0, 90º ) R ( 0, 80º ) R ( 0, 0º ) R ( 0, 60º ) ( x, y) ( y, x) ( x, y) ( y, x) ( x, y) (,) (,) (, ) (, ) (,) A la siguiente figura, una cara circular, le aplicamos una rotación en torno al centro de la circunferencia. Fig. original Fig. rotada en 90º Fig. rotada en 80º Fig. rotada en 0º (-90º)

4 ) Cuál de las siguientes alternativas representa una rotación de la figura en º con centro en p? P a) b) c) d) e) ) Qué figura se obtiene al aplicar una rotación de centro O y un ángulo de giro de 90º, en sentido antihorario, a la figura siguiente? O a ) b) c) d) e) ) Al aplicar una rotación de centro O y ángulo de giro de 80º, a la figura se obtiene: O a) b) c) d) e) ) Al punto P de la figura se le aplica una rotación de centro en el origen y ángulo de giro de 0º, en sentido antihorario, obteniendo el punto P cuyas coordenadas son: P a) (, ) b) (, ) c) (, ) d) (, ) e) (, ) ) El trazo de la figura intersecta a los ejes en los puntos (, 0) y (0, 6). Si al trazo se le realiza primero una rotación en 80º con respecto al origen (0,0) y después un desplazamiento de unidades hacia abajo, cuál de los siguientes gráficos representa mejor esta situación? 6) Mediante una rotación de centro O y un ángulo de 90º (en cualquier sentido), el ABC ocupa la posición A B C. Esto NO se cumple en: a) b ) c) d) e)

5 ) Si El triángulo ABC de la figura, se le aplica una rotación de 90º, con centro en el origen y luego una traslación T (, -), el vértice C sería: A 6 - C B a) (, 6) b) (6, ) c) (, -) d) (,) e) Ninguna de las anteriores. 8) La medida del ángulo de rotación con centro en O que transforma F en F es: F' F a) º b) 90º c) º d) 80º e) 0º 9) La edad de José es (x + ) años Cuántos años tenía hace (x - ) años? a) x + b) 8 c) d) x + 8 e) No se puede determinar 0) Las tres figuras son cuadrados. Cuánto mide el área no achurada? a) 0 cm b) 8 cm c) cm d)0cm e) n.a ) En cuál de los siguientes triángulos se cumple siempre que sus tres ángulos interiores son menores o igual que 90? I. Acutángulo II. Rectángulo III. Isósceles IV. Equilátero V. Escaleno a) I, II, III, IV b) III, V c) I, IV d) I, II, IV e) III, IV, V ) En la figura, ABCD es un rombo, S y R son puntos de la diagonal AC tales que CR = AS. Por cuál criterio los triángulos CDR y ABS son congruentes? a) L, A, L b) L, L, L c) A, L, A d) L, L, A e) A, A, A ) Si x = ; entonces x + =? x x a) b) 0 c) d) e) 9

6 6 ) Podemos decir que P es par si: I) P + es par II) P es par III) P es par a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) I y II e) I y III ) El área de un rectángulo es 8x + 6x, cuáles podrían ser las medidas del rectángulo? a) 8 x y x b) x y x + c) 8x y x d) x y 8x + 8 e) n.a. 6) El valor de x x x en la ecuación = es: a) b) 0 c) d) e) ) El de la figura es equilátero h: altura Cuánto mide la superficie sombreada? a a a a) b) c) d) No se puede determinar e) n.a. 8 8) Cuál es el perímetro de la figura, si se sabe que: AC = ED = 0 cm; BC = 6 cm, AE = cm a) cm b) 0 cm c) 6 cm d) 8 cm e) cm 9) La figura muestra una circunferencia C(O, ), donde x + y = 0, cuál es el valor del área achurada? a) 90 π cm b) 9 π cm c) 8 π cm d) π cm e) 9 log x + log x =, entonces x =? 0) Si ( ) 8 π cm 9 a) b) c) d) e) n.a.

7 ) En el triángulo rectángulo de la figura, CD = 6 cm, DB = cm, entonces AC=? a) cm b) 0 cm c) 0 cm d) cm e) 8 cm ) En la figura, el trazo PQ es paralelo al lado AB del triángulo ABC. Si CP es la tercera parte de PA y QB = 9 cm, entonces CQ =? a) cm b) 6 cm c) 9 cm d) cm e) cm ) Qué valor debe tener x para L // L? a) b) c) 6 d) e) Otro valor ) En la figura, la tangente PR mide 6 cm y la secante PB = 8 cm, entonces BA mide: a) 6 cm b) 6 cm c) 9 cm d) cm e) cm ) Si D es la mitad de la diagonal de un cuadrado, cuál es su perímetro? a) D b) D c) D d) D e) D 6) Cuál es la longitud de una circunferencia circunscrita a un triángulo equilátero de 6 cm de perímetro? a) π cm b) π cm c) 8 π cm d) 6 π cm e) π cm ) Si el total de diagonales de un polígono es, cuántos lados posee el polígono? a) b) c) 6 d) e) 8

8 8 8) En el rectángulo ABCD de lados a y b, E y F son puntos medios de BC y CD respectivamente. El área del triángulo ABF es: a) ab b) ab c) ab d) ab e) ab ) En el sistema cartesiano se le aplicó una traslación al segmento AB obteniéndose el segmento A B. Se puede determinar el vector de traslación si: () Se conocen las coordenadas de A y B () Se conocen las coordenadas de B y A a) () por sí sola b) () por sí sola c) Ambas juntas, () y () d) Cada una por sí sola, () ó () e) Se requiere información adicional 0) En una división exacta entre dos números enteros, se puede conocer su divisor si: () Se sabe que el dividendo es 60 y el resto es cero () El cuociente es un número primo, que dentro del conjunto es único en su especie a) () por sí sola b) () por sí sola c) Ambas juntas, () y () d) Cada una por sí sola, () ó () e) Se requiere información adicional Hoja de Respuestas. ) e ) e ) d ) c ) c 6) e ) e 8) d 9) c 0) c ) e ) d ) a ) d ) b 6) b ) b 8) e 9) b 0) b ) d ) a ) c ) e ) b 6) c ) c 8) c 9) d 0) d ) d ) c ) b ) a ) b 6) c ) d 8) d 9) c 0) c

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