PÁGINA 88. Pág. 1. Unidad 9. Problemas métricos en el plano
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- Ignacio Ortíz Ponce
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1 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 88 1 En los siguientes triángulos rectángulos, se dan dos catetos y se pide la hipotenusa (si su medida no es eacta, dala con una cifra decimal): a) 37 cm y 45 cm b) 1 y 30 cm a = hipotenusa a) a = = ,3 cm b) a = = = 34 cm En los siguientes triángulos rectángulos, se da la hipotenusa y un cateto, y se pide el otro cateto (eactamente o con una cifra decimal): a) 45 cm y 37 cm b) 39 cm y 15 cm c = cateto que falta a) c = = 656 5, b) c = = 1 96 = 3
2 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 89 3 De un rombo conocemos una diagonal, 4 cm, y el lado, 13 cm. Halla la otra diagonal. 4 cm = 13 1 = 5 = 5 cm La otra diagonal mide 5 =. 4 Una circunferencia tiene un radio de 15 cm. Una recta, r, corta a la circunferencia en dos puntos, A y B. La distancia entre A y B es de 1. Cuál es la distancia del centro de la circunferencia a la recta? d = 15 9 = 144 = 1 cm La distancia del centro de la circunferencia a la recta es 1 cm. 15 cm d 9 cm 1 cm B A 13 cm 1 5 Averigua cómo son los triángulos de lados: a) 7 cm,, 11 cm b) 11 cm, 17 cm, 15 cm c) 34 m, 16 m, 30 m d) 65 m, 7 m, 97 m a) = 113; 11 = 11. Como 11 > 7 + 8, el triángulo es obtusángulo. b) = 346; 17 = 89. Como 17 < , el triángulo es acutángulo. c) = 1 156; 34 = Como 34 = , el triángulo es rectángulo. d) = 9 409; 97 = Como 97 = , el triángulo es rectángulo. 6 Halla el radio de la circunferencia sabiendo que: O P = 39 cm P T = 3 r = = 5 = 15 cm P T O 7 r 1 = 15 cm, r =, O 1 O = 41 cm Halla la longitud del segmento T 1 T. T 1 r 1 r T O 1 O T 1 9 cm T r O 1 41 cm O La longitud del segmento T 1 T es igual que : = 41 9 = = 40 cm
3 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 90 1 Define como lugar geométrico una circunferencia de centro C y radio. La circunferencia de centro C y radio es el lugar geométrico de los puntos P cuya distancia a C es : CP =. O P Dadas dos rectas paralelas, r y s, cuál es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de ambas? Dibújalo. d/ r d t La recta t es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de las rectas r y s. A la recta t se la llama paralela media a r y s. 3 Dibuja en negro una recta r. Dibuja en rojo el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a r es 1 cm. (ATENCIÓN: son dos rectas). s 1 cm 1 cm r
4 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 9 1 Toma una trama como la del ejercicio resuelto 1 y dibuja en ella: a) Dos elipses con d = 14 y d = 4. b) Dos hipérbolas con d = 8 y d = 4. F F' F F' Toma una trama como la del ejercicio resuelto y dibuja en ella: a) Una parábola de foco F y directriz d. b) Una parábola de foco F y direcctriz d 3. d d 3 F
5 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 93 1 Halla el área de un triángulo cuyos lados miden 10 m, 17 m y 1 m. Aplicamos la fórmula de Herón: Perímetro = p = = 48 m; s = 48 = 4 m 4 (4 10) (4 17) (4 1) = = 84 m Halla el área del heágono regular en el que cada uno de sus lados mide. Aplicamos el teorema de Pitágoras para hallar la apotema. ap = 10 5 = 75 8, ,66 = 59, ap 5 cm 3 Halla el área de un rombo de lado 3 dm, sabiendo que una diagonal mide 4. 3 cm 30 cm Lado = 3 dm = 30 cm = 30 3 = , La otra diagonal mide 19,6 = 38,5 cm 46 38,5 = 885,9 4 Dos de los lados de un triángulo isósceles miden 30 cm y 13 cm. Halla su área. 30 cm 30 cm Los lados iguales del triángulo isósceles miden 30 cm, y el otro lado,. No puede ser de otra forma, porque si los lados iguales miden el otro no podría medir 30 cm. ( = 0 < 30). Aplicamos la fórmula de Herón: p = = 70 cm s = 35 cm 35 (35 30) (35 10) 147,9 cm
6 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 94 1 Halla el área de la parte coloreada en las figuras siguientes: a) b) 4 cm 10 c) d) a) 1 cm A círculo grande = π 5 78,54 cm 3 cm 5 cm A círculo pequeño = π 1 3,14 cm A elipse = π ,1 cm A parte coloreada = 78,54 3,14 47,1 = 5,14 cm b) A parte coloreada = π π ,94 cm c) A parte coloreada = = 36 u d) A triángulo = 3 9 = 13,5 u A sector parábola = 36 u (según el ejercicio anterior) 3 u A parte coloreada = A sector parábola A triángulo = 36 13,5 = 4,5 u 9 u
7 Soluciones a Ejercicios y problemas PÁGINA 95 Teorema de Pitágoras 1 Calcula el valor de en estos polígonos: a) 6 m 6 m 6 m b) 15 cm c) 8 m d) 4 dm 10 dm a) 3 m 6 m = 6 3 = 7 5, m b) = = 89 = 17 cm c) = = 18 11,3 m d) 1 dm 5 dm = = 169 = 13 dm Calcula en cada caso: a) b) c) 8 m d) e) 9 m cm 45 1 dm a) Como dos de sus ángulos miden 60, el otro también medirá 60. Como tiene los tres ángulos iguales, el triángulo es equilátero. Si medio lado mide, el lado entero medirá. 9 m () = = 81 8 = 7 5, m b) El triángulo es la mitad de un triángulo equilátero. Por tanto, utilizando el mismo razonamiento que en a), el lado que no mide ni 1 cm ni, es la mitad de 1 cm, es decir,. Por tanto: = 1 6 = ,4 cm c) Como es un heágono, el radio es igual que el lado. Por eso: 8 m 4 m = 8 4 = 48 6,9 m
8 Soluciones a Ejercicios y problemas d) Como es un triángulo rectángulo con un ángulo de 45, el otro tendrá que medir 45 también, por lo que sabemos que el triángulo es isósceles. Así: Pág. = = 7 8,5 cm e) + = 1 8 = = 7 8,5 dm 3 La diagonal de un rectángulo mide 37 cm, y uno de sus lados, 1 cm. Calcula su perímetro y su área. l 8 lado que falta l = 37 1 = 1 5 = 35 cm Perímetro = = 94 cm Área = 35 1 = 40 cm 4 La diagonal de un rectángulo de lados 7 cm y 4 cm mide igual que el lado de un cuadrado. Halla la diagonal de ese cuadrado. d = = 65 = 5 7 cm 4 cm d D = = ,3 D d 5 Calcula en estos trapecios y halla su área: 5 cm A 0 cm 13 cm 1 cm B 4 cm A 5 cm 0 cm 0 13 cm Aplicamos el teorema de Pitágoras en el triángulo: 13 = 5 + (0 ) = = 3 cm, = La solución = 3 cm no tiene sentido, ya que < 0. Por tanto, =. Así: (0 + 8) 5 = 70 cm B 1 cm = 10 6 = 64 = 4 cm Así: (4 + 1) 8 = 144 cm
9 Soluciones a Ejercicios y problemas 6 Clasifica en rectángulos, acutángulos u obtusángulos los triángulos de lados: a) 11 m, 13 m, 0 m. b) 0 m, 1 m, 9 m. c) 5 m, 9 m, 36 m. d) 7 m, 4 m, 5 m. a) = 90; 0 = 400. Como 0 > , el triángulo es obtusángulo. b) = 841; 9 = 841. Como 9 = 0 + 1, el triángulo es rectángulo. c) = 1 466; 36 = Como 36 < 5 + 9, el triángulo es acutángulo. d) = 65; 5 = 65. Como 5 = 7 + 4, el triángulo es rectángulo. Pág. 3 Lugares geométricos y cónicas 7 Cuál es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a una recta r es de cm? Dibújalo. cm cm s r t Las rectas s y t son el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a la recta r es de cm. Las rectas s y t son paralelas a r, cada una a un lado de esta y a cm de distancia de r. 8 Define como lugar geométrico una circunferencia de centro O y radio 5 cm. La circunferencia de centro O y radio 5 cm es el lugar geométrico de los puntos P cuya distancia a O es 5 cm: OP = 5 cm. 9 Cuál es el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos es? Cómo se llaman los dos puntos fijos? El lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a otros dos puntos fijos es es una elipse. Los dos puntos fijos se llaman focos. 10 Cuál es el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a otros dos puntos fijos es 4 cm? Cómo se llaman los dos puntos fijos? El lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a otros dos puntos fijos es 4 cm es una hipérbola. Los dos puntos fijos se llaman focos. 11 Cuál es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto fijo y de una recta dada? Cómo se llaman el punto fijo y la recta? El lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto fijo y de una recta dada es la parábola. El punto fijo se llama foco, y la recta, directriz.
10 Soluciones a Ejercicios y problemas 1 Utiliza una trama como esta para dibujar: a) Dos elipses de focos F y F' y constantes d = 16 y d = 0, respectivamente (tomamos como unidad la distancia entre dos circunferencias consecutivas). b) Dos hipérbolas de focos F y F' y constantes d = y d = 7. Pág. 4 F F' Áreas 13 Halla el área de las figuras coloreadas. a) b) 1 m m 13 m c) B AC = 93 m d) BH = 5 m DK = 3 m A H K D C 0 cm a) + = 10 8 = = 50 7,1 cm 7,1 = 50 cm b) 1 m m 13 m 5 m = 13 5 = 144 = 1 m = 19 m c) A triángulo ABC = 93 5 A total = ,5 = 3 487,5 m = 418 m A triángulo ACD = d) A cuadrado = 0 0 = 400 cm A triángulo = A parte coloreada = = 160 cm = 1 069,5 m =
11 Soluciones a Ejercicios y problemas PÁGINA Calcula la longitud de la apotema y el área de un pentágono regular de de lado. Apotema = 0, = 6,8 Área = ,88 = 17 cm 15 Observa el octógono regular de la figura, que tiene de lado, y calcula su área. = 8 8 = 8 Apotema = 4 + = = = 4(1 + ) Área = (1 + ) 309,0 cm 16 El lado de un octógono regular mide. Calcula la longitud de su apotema y su área. = 6 8 = 6 = 6 = 3 Apotema = 3 + = = 3(1 + ) Área = (1 + ) 173, 17 Calcula el área de las figuras coloreadas: a) b) 0 cm c) d) 1 cm a) Como sabemos, el lado del heágono es igual al radio de la circunferencia circunscrita a él. Por eso, del triángulo (que sabemos que es rectángulo) conocemos las siguientes medidas: 0 cm hipotenusa = 10 = 0 cm un cateto = = 0 10 = ,3 cm A triángulo = 10 17,3 = 86,
12 Soluciones a Ejercicios y problemas b) Pág. 0 cm 0 cm = = 800 8, radio = = 14,14 cm A círculo = π 14,14 68,13 cm A cuadrado = 0 0 = 400 cm A total = 68, = 8,13 cm c) r = 1 4 = 3 cm 1 cm r A cuadrado = 1 1 = 144 cm A círculo = π 3 8,7 cm A parte coloreada = ,7 = 30,9 cm d) El diámetro del círculo grande mide = 3 cm. Su radio medirá 3 = 1. A círculo grande = π ,5 cm A círculo mediano = π ,1 A círculo pequeño = π 6 113,1 cm A parte coloreada = 804,5 314,16 113,1 377 cm 18 Halla, en cada caso, el área y el perímetro de un sector circular de un círculo de 15 cm de radio y cuya amplitud es: a) 90 b) 10 c) 65 d) 140 a) π ,71 cm b) π , c) π ,63 cm d) π Halla el área de la zona coloreada en cada figura: a) b) 1 cm ,89 cm 1 cm 1 1 a) Área del segmento de parábola: = 144 cm Área de la zona coloreada = = 7 cm
13 Soluciones a Ejercicios y problemas b) Área de la zona coloreada = A segmento de parábola A triángulo = Pág. 3 1 cm = / = Las diagonales del rombo inscrito en la elipse miden 1 y 30 cm. Halla el área de la parte coloreada. A elipse = π cm A A' A rombo = = 40 cm A parte coloreada = = 137 cm 1 Comprueba que los siguientes triángulos son rectángulos y calcula sus áreas de dos formas: a partir de sus catetos y aplicando la fórmula de Herón. a) 51 cm, 6 y 85 cm. b) 110 m, 64 m y 86 m. c) 7 dam, 135 dam y 153 dam. d) 48 m, 140 m y 148 m. a) = 75 = = 1734 cm = 1734 cm b) = = = 1450 m = 1450 m c) = 3409 = = 4860 dam = 4860 dam d) = 1904 = = 3360 m = 3360 m B B'
14 Soluciones a la Autoevaluación PÁGINA 96 1 Halla la altura de esta figura: 15 m 18 m 15 m 18 h 15 h = 15 9 = 1 m 36 m Halla la longitud del segmento T 1 T aproimando hasta los milímetros. 1 cm T 1 T 19 cm 5 cm 1 cm T 1 T 5 cm 7 19 cm 5 cm T 1 T = 19 7 = 17,7 cm = = 177 mm 3 Completa: a) El lugar geométrico de los puntos que equidistan de los etremos de un segmento es la mediatriz del mismo. b) Una elipse es el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante. 4 Calcula el área de la zona coloreada en cada caso: A cm B 1 1 cm A 8 π 4 + π = 64 1π 6,30 cm B 1 18 π π 4 6 = = 16 30π 11,75 cm 5 En el heágono regular de lado, calcula: F A a) El área del triángulo OAB. b) El área del trapecio ADEF. E O B c) El área del rombo OBCD. D C Apotema = 6 3 5, cm A heágono = 6 6 5, 93, a) A AOB = 1 6 A heágono 15, b) A ADEF = 1 A heágono 46, c) A OBCD = 1 3 A heágono 31, cm
13Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 250
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