ALGEBRA ABSTRACTA PRIMER CURSO. universidad Nacional Autónoma de México

Transcripción

1 ALGEBRA ABSTRACTA PRIMER CURSO John B. Fraleígh Department of Mathematics unlversity of Rhoúe íslanú versión en español de Manuel López Mateos universidad Nacional Autónoma de México Con la colaboración de Herminia Ochsenlus A. Pontificia universidad Católica dé Chile ADDISON-WESLEY IBEROAMERICANA Argentina Brasil Chile Colombia «Ecuador España Estados Unidos * México «Perú Puerto Rico Venezuela

2 Versión en español de la obra titulada A First Course in Abstract Algebra, third edition, de John B. Fraleigh, publicada originalmente en inglés por Addison- Wesley Publishing Company, Inc., Reading, Massachusetts, E.U.A. 1982,1976, 1967 por Addison-Wesley Publishing Company Inc. Esta edición en español es la única autorizada. A la memoria de mi padre PERCY A. FRALEIGH 1988 por ADDISON-WESLEY IBEROAMERICANA, S. A. Wilmington, Delaware, E.U.A por Sistemas Técnicos de Edición, S. A. de C.V. San Marcos, 102. Tlalpan México, D.F. Reservados todos los derechos. Ni todo el libro ni parte de él pueden ser reproducidos, archivados o transmitidos en forma alguna o mediante algún sistema electrónico, mecánico o de fotorrepraducción, memoria o cualquier otro, sin permiso por escrito del editor. Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial, registro número Impreso en México. Printed in México. ISBN X Addison Wesley Iberoamericana ISBN Sistemas Técnicos de Edición A8CDEFGH1J-M-898

3 Prefacio a la tercera edición Al igual que en las ediciones anteriores, mi propósito continúa siendo enseñar todo lo posible en un primer curso acerca de grupos, anillos y campos. Se han eliminado los cuatro capítulos sobre topología algebraica que aparecían marcados con un asterisco en las ediciones anteriores. Me parece que dichas secciones muy pocas veces se cubrían en clase. Se dispone de ejemplares de las ediciones anteriores en bibliotecas y con muchos libreros personales. Cualquier persona que se interese actualmente en leer la breve e intuitiva introducción a la topología algebraica puede localizarlos. Algunos profesores objetaron la omisión de las demostraciones en las ediciones anteriores donde, en secciones no marcadas con asterisco, simplemente se enunciaron importantes teoremas de la teoría de grupos. Por consiguiente, he añadido secciones marcadas que prueban dichos teoremas. También incluí capítulos sobre la acción de un grupo en un conjunto, seguidos de aplicaciones al conteo de Burnside y a los teoremas de Sylow con demostraciones completas. Se ha incluido un apéndice sobre inducción matemática. He agregado algunos ejercicios. Tomé en cuenta algunos comentarios y omití las respuestas a los ejercicios pares así como a cualquier ejercicio que requiera demostración. Los ejercicios sobre las demostraciones carecen de sentido cuando éstas se encuentran a sólo treinta segundos de distancia. Estoy satisfecho de la respuesta que tuvieron la primera y segunda ediciones, no sólo por parte de estudiantes preuniversitarios y de licenciatura, sino además de estudiantes de posgrado que preparan sus exámenes generales. Espero que esta tercera edición continúe siendo útil. A través de los años he recibido muchas sugerencias y me han corregido diversos errores, lo cual agradezco. Quiero agradecer especialmente a George Bergman, quien me envió doce páginas de comentarios y sugerencias, así como material suplementario, con base en sus experiencias con el libro en el salón de clases. Sus opiniones tuvieron gran influencia en esta revisión. J. B. F.

4 Prefacio a la primera edición El objetivo básico de esta obra es proporcionar un libro de texto a partir del cual el estudiante medio de matemáticas adquiera en un primer curso la mayor exhaustividad y profundidad posibles en el estudio del álgebra abstracta, excluyendo el álgebra lineal. Debido a que el álgebra con frecuencia constituye el primer encuentro del estudiante con una disciplina matemática abstracta, el objetivo secundario es sembrar las semillas a partir de las cuales crecerá una actitud matemática moderna. El dominio de este texto deberá constituir una base fírme para un trabajo más especializado en álgebra y será de gran ayuda para cualquier estudio axiomático ulterior de las matemáticas. De acuerdo con nuestro objetivo secundario, el texto comienza con una sección introductoria acerca del papel de las definiciones en matemáticas, el cual rara vez se menciona. Para poner énfasis en la importancia de las definiciones, cada término, a lo largo del texto, aparece en negritas en su definición. La parte 1 trata de grupos. El estudio de los grupos y en general de todo el material del texto, toma en cuenta, en la medida de lo posible, la experiencia del estudiante con el álgebra. Con frecuencia resulta difícil, aunque de importancia para el estudiante, comprender el concepto de grupo factor. Por consiguiente, el estudio de grupos factores y homomorfismos se posterga hasta que el estudiante haya tenido tiempo de asimilar el concepto de grupo, para lo cual el análisis es paulatino y detallado. En las secciones sin asterisco de la parte I, se presentan algunos resultados importantes bien analizados y con abundantes ejemplos, aunque sin demostración. Me parece que en vista de la amplitud del campo de las matemáticas, es importante adiestrar a los estudiantes para entender y hacer uso de resultados aceptados sin sentir que deben corroborar antes cada detalle de las demostraciones. Por supuesto que los matemáticos profesionales lo han hecho durante años. Esta política concuerda con mi objetivo de lograr cierta profundidad en álgebra,

5 en particular debido a que en muchas escuelas se dedica un solo semestre al estudio de lo que nos ocupa en este libro. La parte 11 está dedicada a anillos y campos. No se escatiman esfuerzos para señalar las analogías con el estudio anterior de los grupos. En la parle II se da principal atención al tema de teoría de campos, que nos conduce a la teoría de Galois y la incluye. Los espacios vectoriales se íratan brevemente, sólo con el fin de desarrollar los conceptos de independencia lineal y dimensión, necesarios en teoría de campos. Debido a que los estudiantes suelen encontrar difícil la teoría de campos, he intentado darle un tratamiento paulatino aclarando siempre lo que queremos lograr y cómo lo haremos. En todo el texto, sin comentarios ni disculpas, se usan propiedades de los racionales que los estudiantes ya conocen aunque nunca hayan visto sus justificaciones rigurosas. Me he dado cuenta que el estudiante medio tiene dificultad para entender la razón de iniciar el estudio formal de resultados que conoce hace años. Después de haber adquirido una visión global de la naturaleza de las estructuras algebraicas, los estudiantes podrán ver estas propiedades de otra manera. Esta forma de estudio concuerda además con mi objetivo inicial de lograr cierta profundidad en un primer curso. En vista de que mi deseo es que los estudiantes de álgebra aprendan lo más posible, decidí tratar de manera muy intuitiva el material de teoría de conjuntos, y sólo conforme fuera necesario. Hay dos maneras de adquirir el conocimiento de las aplicaciones de la teoría de conjuntos: estudiarla per se o sumergirse en ella y usarla según sea necesario. De acuerdo con mi experiencia, los estudiantes encuentran el estudio de los «prerrequisitos de teoría de conjuntos» at inicio de un curso de álgebra, como la parte más desalentadora. A este respecto, mi enfoque es reflejo de mí disposición a sacrificar a lo largo del libro la elegancia de la presentación matemática y a veces hasta el lenguaje, en aras de la comprensión en este primer curso. El texto contiene material suficiente para un curso de dos semestres con alumnos medios. Sin embargo, las secciones no marcadas con asterisco se planearon de manera especifica con el fin de formar un curso de un semestre. Estas secciones son independientes: en ellas no se emplea el material marcado con asterisco, y representan mi intento de presentar material de cierta profundidad e/t álgebra, incluso la teoría de Galois, a un grupo medio, en un solo semestre. Desde luego, es posible formar una gran variedad de cursos de un semestre a partir del material disponible. Ciertos capítulos marcados con asterisco son adecuados para su estudio fuera de clase, en particular los capítulos , 39 y 48. Si no hay tiempo suficiente para terminar la teoría de campos en el texto, el capítulo 35. que analiza minuciosamente el teorema de Kronecker, o bien el capítulo 39, pueden convertirse en sección final satisfactoria. En mi opinión, no vale la pena comenzar el capítulo 40 si no hay tiempo para terminar el material no marcado con asterisco. Los ejercicios al final de un capítulo a menudo están divididos en dos grupos por una recta horizontal. Los que se encuentran en la parte superior se recomiendan para un grupo medio y probablemente son los que el autor asignaría a sus alumnos de la Universidad de Rhodc Island. Con el objeto de que la transición a

6 tas matemáticas abstractas sea para los estudiantes tan fácil como sea posible, los ejercicios del primer grupo son sobre todo de cálculos. Los estudiantes medios están completamente perdidos frente a una serie de ejercicios que comienzan con las palabras probar o demostrar. Claro que el adiestramiento en las demostraciones es importante. Por lo general, el primer grupo de ejercicios contiene alguno marcado con una daga, lo que significa que requiere demostración. Es politica del autor reunir estos ejercicios marcados, leerlos y hacer que los estudiantes los reescriban y, si es necesario, capacitarlos para escribir matemáticas y no tonterías. Los ejercicios del segundo grupo a menudo incluyen varios que requieren demostración así como algunos adicionales donde se calcula. El asterisco en un ejercicio rto denota dificultad\ sino que dicho ejercicio depende de algún material marcado con asterisco en el texto. Debido a que deseo promover una actitud matemática positiva, algunos ejercicios, en particular al principio del texto, son de naturaleza un tanto matemática. Al final del libro hay respuestas o comentarios acerca de casi todos los ejercicios que no requieren demostraciones. Las demostraciones que se solicitan en los ejercicios no están dadas en las respuestas; no creo que sea pedagógicamente sensato tener tan a la mano dichas demostraciones. Durante el semestre de primavera de 1966, en la Universidad de flfhode Island, se usó una primera versión mimeografíada de este libro. Quiero expresar aquí mi agradecimiento a Gcorge E. Martín quien impartió una de las secciones del curso. Sus comentarios y sugerencias fueron de gran valor al preparar esta versión para su publicación. J. B. F.

7 índice general capitulo 0 Algunas palabras preliminares El papel de las definiciones 1 0,2 Conjuntos 2 0,3 Particiones y relaciones de equivalencia 4 PARTE I GRUPOS capítulo 1 Operaciones binarias Motivación Definición y propiedades Tablas Algunas palabras de advertencia 13 capitulo 2 Grupos Motivación Definición y propiedades elementales Grupos finitos y tablas de grupo 23 capitulo 3 Subgrupos Notación y terminología Subconjuntos y subgrupos Subgrupos cíclicos 33

8 capitulo 4 Permutaciones I Funciones y permutaciones Grupos de permutaciones Dos ejemplos importantes 42 capítulo 5 Permutaciones II Ciclos y notación cíclica Permutaciones pares e impares Grupos alternantes 53 capitulo 6 Grupos cíclicos Propiedades elementales Clasificación de grupos cíclicos Subgrupos de grupos cíclicos finitos 62 capitulo 7 Isomorfismo Definición y propiedades elementales Cómo mostrar que dos grupos son isomorfos 7.3 Cómo mostrar que dos grupos no son isomorfos 7.4 El teorema de Cayley 71 capitulo 8 Productos directos Productos directos externos 78 *8.2 Productos directos internos 83 capitulo 9 Grupos abolíanos finitamente generados Generadores y torsión El teorema fundamental 90 *9.3 Aplicaciones 93 ^capitulo 10 Grupos en geometría y análisis 97 *10.1 Grupos en geometría 97 *10.2 Grupos en anáfisis 102

9 capítulo 11 Grupos 4c clases laterales Introducción Clases laterales Aplicaciones 112 capítulo 12 Subgrupos normales y grupos factores Criterios para la existencia de un grupo de clases laterales 12.2 AutomorflsTnos internos y subgrupos normales Grupos factores Grupos simples 123 * 12.5 Aplicaciones 124 capítulo 13 Homomorfismos Definición y propiedades elementales El teorema fundamental del homomorñsmo Aplicaciones 135 capítulo 14 Seríes de grupos Series normales y subnormales El teorema de Jordán-Hdlder 141 *14.3 El centro y la serie central ascendente 144 capítulo 15 Teoremas del isomorfísmo; demostración del teorema de Jordan-Hólder 146 *15.1 Teoremas del isomorflsmo 146 *15.2 El lema de Zassenhaus (de la mariposa) 149 *15.3 Demostración del teorema de Schreier 150 capitulo 16 Acción de un grupo en un conjunto 155 *16.1 El concepto de acción de grupo 155 *16.2 Conjuntos fijos y subgrupos de isotropia 157 *16.3 Orbitas 158 capítulo 17 Aplicaciones de los G-conjuntos al conteo 162

10 *capftulo 18 Teoremas de Sylow 167 *18.1 p-grupos 167 *18.2 Los teoremas de Sylow 169 *capftulo 19 Aplicaciones de la teoría de Sylow 174 *19.1 Aplicaciones a p-grupos y la ecuación de clase *19.2 Aplicaciones ulteriores 176 *capltulo 20 Grupos abelianos libres 181 *20.1 Grupos abelianos libres 181 *20.2 Demostración del teorema fundamental 184 Vapftulo 21 Grupos libres 190 *21.1 Palabras y palabras reducidas 190 *21.2 Grupos libres 191 *21.3 Homomorfismos de grupos libres 193 *21.4 Más sobre grupos abelianos libres 194 VapEtulo 22 Presentaciones de grupos 197 *22.1 Definición 197 ; *22.2 Presentaciones isomorfas 198 * 22.3 Aplicaci ones 200 PARTE II ANILLOS Y CAMPOS capitulo 23 Anillos Definición y propiedades básicas Cuestiones multiplicativas; campos 211 capitulo 24 Dominios enteros Divisores de 0 y cancelación Dominios enteros Característica de un anillo Teorema de Fermat 219 *24.5 Generalización de Euler 220

11 'capítulo 25 Algunos ejemplos no conmutativos 224 *25.1 Matrices sobre un campo 224 *25.2 Anillos de endomorfismos 227 *25.3 Anillos de grupo y álgebra de grupo 230 *25.4 Cuaterniones 232 capitulo 26 El campo de cocientes de un dominio entero La construcción Unicidad 242 capitulo 27 Nuestro objetivo fundamental 246 capitulo 28 Anillos cocientes e ideales Introducción Criterios para la existencia de un anillo de clases laterales 28.3 Ideales y anillos cocientes 253 capitulo 29 Homomorfismos de anillos Definición y propiedades elementales Ideales maximales y primos Campos primos 262 capitulo 30 Anillos de polinomios Polinomios en una indeterminada Homomorfismos de evaluación El nuevo enfoque 273 capitulo 31 Factorización de polinomios sobre un campo El algoritmo de la división en /fx ] Polinomios irreducibles Estructura de ideal en Ffjc] Unicidad de la factorización en Ffx] 286 ^capitulo 32 Dominios de factorización única 291 *32.1 Introducción 291 *32.2 Todo D IP es un DFU 293 *32.3 Si D es un DFU, entonces Z)[x] es un DFU 297

12 "capítulo 33 Dominios euclidianos 304 *33.1 Introducción y definición 304 *33.2 Aritmética en dominios euclidianos 305 *capltulo 34 Enteros gaussianos y normas 312 *34.1 Enteros gaussianos 312 *34.2 Normas multiplicativas 315 capitulo 35 Introducción a los campos de extensión El objetivo fundamental alcanzado Elementos algebraicos y trascendentes El polinomio irreducible de ot sobre F Extensiones simples 325 capitulo 36 Espacios vectoriales Definición y propiedades elementales Independencia lineal y bases Dimensión Una aplicación a la teoría de campos 338 "capitulo 37 Otras estructuras algebraicas 342 *37.1 Grupos con operadores 342 *37.2 Módulos 344 *37.3 Algebras 345 capitulo 38 Extensiones algebraicas Extensiones finitas Campos algebraicamente cerrados y cerraduras algebraicas *38.3 Existencia de una cerradura algebraica 354 *ca pífalo 39 Construcciones geométricas 360 *39,1 Números oonstruibles 360 *39.2 Imposibilidad de ciertas construcciones 364

13 capitulo 40 Automorfismos de campos Isomorfismos básicos de la teoría de los campos algebraicos 40.2 Automorfismos y campos fijos El automorfismo de Frobenius 375 capitulo 41 El teorema de extensión de isomorfismos El teorema de extensión Indice de un campo de extensión 381 *41,3 Demostración del teorema de extensión 384 capítulo 42 Campos de descomposición 388 capitulo 43 Extensiones separables Multiplicidad de los ceros de un polinomio Extensiones separables Campos perfectos 398 *43.4 Teorema del elemento primitivo 400 capitulo 44 Extensiones totalmente inseparables 404 *44.1 Extensiones totalmente inseparables 404 *44.2 Cerraduras separables 406 capitulo 45 Campos finitos Estructura de un campo finito La existencia de CG(p") 411 capitulo 46 Teoría de Galois Resumen Extensiones normales El teorema principal Grupos de Galois sobre campos finitos 420 *46.5 Final de la demostración del teorema principal 421 capitulo 47 Ilustraciones de la teoría de Galois 426 *47.1 Funciones simétricas 426 :'v. *47.2 Ejemplos 428

14 [1] Algunas palabras preliminares 0.1 EL PAPEL DE LAS DEFINICIONES La mayoría de los estudiantes no comprenden la enorme importancia que tienen las definiciones en matemáticas. Esta importancia surge, en parte, de la necesidad de Jos matemáticos de comunicarse entre si acerca de su trabajo. Si dos personas que tratan de intercambiar opiniones acerca de un tema tienen ideas diferentes acerca del significado de ciertos términos técnicos, puede haber malos entendidos, fricciones y, quizá, hasta derramamiento de sangre. Imaginen los aprietos en que se encuentra un carnicero frente a un cliente iracundo que trata de comprar lo que todo el mundo llama un costillar pero él insiste en llamar lomo. Desafortunadamente, parece imposible alcanzar el ideal de una terminología generalizada, ni siquiera entre seres tan precisos como los matemáticos. Por ejemplo, cuando se habla de funciones en matemáticas, los matemáticos han dado, al término rango, dos significados distintos. Es por ello que, hoy dia se tiende a evitar el uso de este término ambiguo y en su lugar, se usa imagen o contradominio. En matemáticas debemos luchar para evitar ambigüedades. Un ingrediente muy importante de la creatividad matemática es la capacidad de elaborar definiciones útiles que conduzcan a resultados interesantes. Un estudiante que inicia estudios de posgrado podría pensar que invierte mucho tiempo discutiendo definiciones con sus compañeros. Cuando el autor hacía estudios de posgrado oyó quejarse a un estudiante de física, quien afirmaba que durante la comida los estudiantes de matemáticas siempre se sentaban juntos y discutían, y que el objeto de sus discusiones era siempre una definición. Es común, en los exámenes orales, preguntar definiciones. Si un estudiante no puede explicar el significado de un término, probablemente tampoco pueda dar respuestas sensatas a preguntas que incluyan dicho concepto. -

15 2 ALGUNAS PALABRAS PRELIMINARES Se entiende que toda definición es una proposición del tipo si y sólo si aunque se acostumbre suprimir el sólo si. Por tanto, cuando definimos: «un triángulo es isósceles si tiene dos lados de igual longitud», en realidad queremos decir que un triángulo es isósceles si y sólo si tiene dos lados de igual longitud. Ahora bien, no piensen que es necesario memorizar una definición palabra por palabra. Lo importante es comprender el concepto para que cada estudiante pueda definir precisamente ese mismo concepto con sus propias palabras. Así, la definición «un triángulo isósceles es aquel que tiene dos lados iguales», es totalmente correcta. También es correcta la definición «un triángulo isósceles es aquel que tiene dos ánguios iguales», pues los triángulos que llamamos isósceles en estas definiciones, son los mismos. Es importante notar que una vez definido un concepto, para probar algo cor respecto a dicho concepto, se debe usar la definición como parte de la demostración. Inmediatamente después de definir un concepto, la definición es la única información disponible acerca del concepto. A lo largo del libro, cuando un término aparece en negritas, es porque se está definiendo. Los principales conceptos algebraicos se definen de manera explícita; muchos otros se destacan con negritas, sin dar una definición explícita. De esta forma se destacarán uteas en párrafos del libro, teoremas y ejercicios. 0.2 CONJUNTOS La importancia básica de las definiciones en matemáticas es también una debilidad estructural, por la razón de que no todos los conceptos usados pueden definirse. Supongamos, por ejemplo, que definimos el término conjunto: «un conjunto es una colección bien definida de objetos». Es natural preguntarse de inmediato el significado de colección. Quizá definamos entonces: «una colección es un agregado de cosas». Y qué es un agregado? Ahora, como nuestro lenguaje es finito, después de algún tiempo se nos acabarán las palabras nuevas y tendremos que repetir algunas de las ya cuestionadas. Entonces, la definición es circular y, obviamente, carece de sentido. Los matemáticos saben que debe haber algunos conceptos sin definición o primitivos. Por el momento, están de acuerdo en que conjunto debe ser uno de dichos conceptos primitivos. No definiremos conjunto, pero esperamos que al usar expresiones como «el conjunto de todos los números reales» o «el conjunto de todos los miembros del senado de Estados Unidos», las ideas que de su significado tienen distintas personas sean lo bastante similares para permitir la comunicación. Resumimos brevemente algunas de las cuestiones que se asumirán con respecto a los conjuntos. 1 Un conjunto S está formado por elementos, y si a es uno de estos elementos, lo denotaremos por a e S. 2 Existe sólo un conjunto sin elementos. Es el conjunto vacio, que denotam os por 0.

16 0.2 CONJUNTOS 3 3 Podemos describir un conjunto aludiendo a una propiedad que caracterice a los elementos, como «el conjunto de todos los miembros del senado de Estados Unidos», o listando ios elementos. La manera usual de describir un conjunto mediante el listado de sus elementos, consiste en encerrar en llaves las designaciones de los elementos, separados por comas, por ejemplo, 1,2, 15}. Si se describe un conjunto mediante la propiedad P(.v) que caracteriza a sus elementos.v, también es común usar la notación {x P(.v)], que se lee «el conjunto de todas las.v tales que la proposición P(.v) acerca de v es verdadera». Así, {2, 4, 6, 8} = {.v.v es un número entero positivo par < 8} - {2.v.y = 1,2, 3, 4). 4 Decir que un conjunto está bien definido, significa que si S es un conjunto y a es un objeto, entonces, o a está sin lugar a dudas en S, lo que se denota por a S, o a, sin lugar a dudas, no está en S, lo que se denota por a $ S. Por tanto, no debemos decir «considérese el conjunto S de algunos números positivos», pues no está definido si 2 e S o 2 i S. Por otra parte, sí podemos considerar el conjunto T de todos los enteros positivos primos. Todo entero positivo es definitivamente primo o no lo es. Así, 5 e T y 14 $T. En la práctica puede ser difícil determinar si un objeto está realmente en un conjunto. Por ejemplo, cuando este libro entró a la imprenta no se sabia si 2(2?) + 1 estaba en T\ sin embargo, 2<2I,) + I con certeza o es primo, o no lo es. Para el estudiante al cual está dirigido este libro, no será posible basar cada definición en el concepto de conjunto. El autor está consciente de que construye sobre definiciones muy intuitivas, particularmente, al principio del libro. La primera definición del capítulo 1 dice: «una operación binaría en un conjunto es una regla... conjunto». Y... qué es una regla? En este libro trabajaremos con varios conjuntos de números ya conocidos. Abordaremos el asunto de la notación de estos conjuntos de una vez y para siempre. Z es el conjunto de todos los enteros (es decir, números enteros: positivos, negativos y cero). Z + es el conjunto de todos los enteros positivos. (Se excluye el cero.) Q es el conjunto de todos los números racionales (esto es, números que pueden expresarse como el cociente m//r de enteros, donde n 0). Q + es el conjunto de todos los números racionales positivos. R es el conjunto de todos los números reales. R + es el conjunto de todos los números reales positivos. C es el conjunto de todos los números complejos.

17 4 ALGUNAS PALABRAS PRELIMINARES 0.3 PARTICIONES Y RELACIONES DE EQUIVALENCIA Se describió Q como e1conjunto de todos los números que pueden expresarse como cocientes mjn de enteros, donde n # 0. Sería incorrecto describir Q como el conjunto S de todas las «expresiones cociente» mjn para ni y n en Z y n # 0, pues, claramente* 3 y son expresiones de cociente distintas pero sabemos que representan el mismo número racional. De hecho, cada elemento de Q está representado por un número infinito de distintos elementos de S. En aritmética, identificamos como uno solo a los elementos de 5 que representan el mismo número racional en Q. La ilustración del párrafo anterior es típica de algunas situaciones en las que consideraremos elementos diferentes de un conjunto como aritmética o algebraicamente equivalentes, de manera que nuestro conjunto se parte en celdas, cada una de las cuales podremos considerar como una entidad aritmética o algebraica única. Si b es un elemento de dicho conjunto, /> representa, por lo general, la celda de todos los elementos identificados con b. Por ejemplo, en el conjunto anterior S de cocientes formales, tenemos n e Z y n ^ 0 Demos una definición precisa de dich'1 partición. Definición Una partición de un confmnto es una descomposición del conjunto en celdas, tales que todo elemento del conjunto está en exactamente utui de las celdas. Dos celdas (o conjuntos) que no tengan elementos en común son ajenas. Asi, las celdas de una partición de un conjunto son ajenas. Cómo sabremos si dos expresiones cocientes mjn y ris de nuestro conjunto S anterior están en la misma celda, esto es, si representan al mismo número racional? Una manera de decidirlo es reducir ambas fracciones a su expresión más simple. Esto puede ser difícil; por ejemplo, 1909/4897 y 1403/3599 representan el mismo número racional, pues * * *83 y Sin embargo, aun con una cal fiadora manual, puede ser difícil encontrar estas factorización es, es una tarea de adivinar y corregir un poco tediosa. Pero como

18 O S PARTICIONES Y RELACIONES DE EQUIVALENCIA 5 saben, en aritmética de fracciones sucede que m/n = r/s si y sólo si ms = nr. Esto nos da un criterio más eficaz para resolver nuestro problema, a saber, (I909)(3599) = (4897)(1403) = !. Denotemos por a ~ b el hecho de que a eslá en la misma celda que b para una partición dada de un conjunto que contenga tanto a a como a b. Es claro que siempre se satisfacen las propiedades siguientes: a ~ a. El elemento a está en la misma celda que él mismo. Si a ~ b entonces b ~ a. Si a está en la misma celda que ó, entonces b está en la misma celda que a. Si a ~ b y b ~ c, entonces a ~ c. Si a está en la misma celda que b y b está en la misma celda que c, entonces a está en la misma celda que c. El siguiente teorema es fundamental; afirma que una relación ~ entre elementos de un conjunto que satisface las tres propiedades recién descritas, produce una partición natural dei conjunto. Muchas veces, exhibir una relación con estas propiedades, es la forma más concisa de describir una partición de un conjunto, y es por esta razón que analizamos ahora este material. Teorema 0.1 Sea S un conjunto no vacío y sea ~ una relación entre elementos de S que satisface las propiedades siguientes: 1 (Reflexividad) a a para todas las a e 5. 2 (Simetría) Si a ~ b, entonces b a. 3 (Transitividad) Si a ~ b y b ~ c, entonces a ~ c. Entonces, ~ produce una partición natural de S, donde a = {x e S \ x ~ a} es la celda que contiene a a para todas las a e S. Recíprocamente, rada partición de S da lugar a una relación natural ~ que satisface las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva si se define a b como a e 5. Demostración Ya hemos demostrado la parte «recíproca» del teorema. Para la afirmación directa, sólo falta demostrar que las celdas definidas por á = {x e S x ~ a] si constituyen, en efecto, una partición de S, esto es, que todo elemento de 5 está en exactamente una celda. Sea a S. Entonces a s á, por la condición 1, de modo que a está en al menos una celda. Supongamos ahora que a también estuviera en la celda 5. Es necesario mostrar que a = 5 como conjuntos; esto mostraría que a no puede estar en más de una celda. Para ello mostramos que cada elemento de a está en i y cada elemento de E está en a. Sea x e á. Entonces, x ~ a. Pero aee, luego a ~ b; entonces, por la condición transitiva (3), x ~ b de modo que x e í Así, á es parte de E. Sea ahora > e S. Entonces y ~ b. Pero a e E, de manera que a ~ b y, por simetría (2), b ~ a. Entonces, por transitividad, y ~ a, de modo que y e a. De aquí

19 6 ALGUNAS PALABRAS PRELIMINARES que B también es parte de a y, por tanto* B ~ a, con lo cual queda completa nuestra demostración. Definición Una relación - en un conjunto S, que satisfaga las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva descritas en el teorema 0.1, es una relación de equivalencia en S. Cada celda a en la partición natural dada por una relación de equivalencia es una ciase de equivalencia. Por lo general, reservamos el símbolo para una relación de equivalencia. Usaremos para una relación entre elementos de un conjunto S que no es por fuerza una relación de equivalencia en 5. El término natural, que aparece dos veces en el teorema 0.1, tiene el siguiente significado: si se empieza con una relación de equivalencia, luego se forma la partición de clases de equivalencia y se considera después la relación dada por esta partición, se trata de la relación de equivalencia original. En forma análoga, si se comienza con una partición, luego se pasa a la relación de equivalencia y después se construyen las clases de equivalencia, se obtiene la partición original. Ejemplo 0.1 Verifiqúese directamente que m n ~ rjs si y sólo si ms = nr es una relación de equivalencia en el conjunto S de expresiones cociente formales que consideramos antes. Rejlexwidad. mfn ~ mjn, puesto que mn ~ nm. Simetría. Si mfn ~ rjs, entonces, ms = nr. De aquí que rn = sm y, por tanto, rfs ~ mjn. TransUividad. Si mjn ~ rjs y r/s ~ ujv, entonces ms ~ nr y rv = su. Reordenando términos y sustituyendo, obtenemos mvs = vms = vnr nrv nsu ~ ñus. Como j / 0, deducimos que mv = nu, entonces, mfn ~ ujv. Se considera que cada clase de equivalencia de S es un número racional. El análisis del conjunto S de expresiones cociente formales que culminó con el ejemplo 0.1 es un caso particular del trabajo que llevaremos a cabo en el capítulo 26. Ejemplo 0J2 Defínase una relación en el conjunto Z mediante n Mm si y sólo si nm ^ 0 y véase si á? es una relación de equivalencia. Rejlexwidad. a á? a, pues a2 0 para toda a e Z. Simetría. Si a M b, entonces ab > 0; por tanto, ba 2: 0 y b & a. TransUividad. Sí a á? b y b 9t c, entonces ab 0 y be 0. Entonces, ab2c = = acb2 > 0. Si supiéramos que b1 > 0, podríamos deducir que «c > 0 y, por tanto, que a0lc. Debemos examinar por separado el caso en que b 0.

20 EJERCIOOS 7 Pensándolo bien vemos que 3.^ 0 y Oj-^5, pero 3 ^ 5, así que la relación dt no es transitiva y, por tanto, no es una relación de equivalencia. Para cada we Z 4 tenemos una relación de equivalencia en Z muy importante: la congruencia módulo n. Para ó, k e Z definimos h congruente con k módulo n, lo cual se escribe h s k (mod n), si h k es divisible entre n, es decir, que h k = ns para alguna sez, Por ejemplo, 17 = 33 (mod 8) puesto que = 8( 2). Las clases de equivalencia para la congruencia módulo n son las clases residuales módulo n. Cada una de estas clases residuales contiene un número infinito de elementos. Por ejemplo, pueden convencerse fácilmente de que, para la congruencia módulo 8, la clase residual que contiene el 17 y el 33 es, -47, -39, -3 1, -2 3, , 1,9, 17, 25, 33, 41, 49, }. Esta clase residual contiene cada octavo número, comenzando con 1. De hecho, hay siete clases residuales más en la partición dada por la congruencia módulo 8. En el ejercicio 0.18 pedimos mostrar que, en efecto, la congruencia módulo n es una relación de equivalencia y que examinen algunas otras clases residuales. Ejercidos En os ejercicios 1 ai 4, descríbase el conjunto listando sus elementos. 0.1 {.x e R.v2 = 3} 0i2 {m e Z m2 3} 0l3 {m e Z [ mn = 60 para alguna n e Z} 0.4 {/n e Z\ m2 m < 115} En los ejercicios 5 al 10 dígase si lo descrito es en efecto un conjunto (si está bien definido). Dése otra descripción paro cada conjunto. <L5 {n e Z 4 n es un número grande} 0.6 {ir e Z n2 < 0} 0.7 {n e Z 39 < n3 < 57} 08 {.x e Q el denominador de.x es mayor que 100} 0.9 {.x e Q se puede escribir x con denominador mayor que 100} O10 {.x e Q 1x se puede escribir con denominador menor que 3} En los ejercicios II ai 19, determínese si ia relación dada es una relación de equivalencia en el conjunto. Descríbase la partición que surge de cada relación de equivalencia ndtm en Z si nm > x& y en R si x ^ y 0.13 xdty en R si jc = y 0.14 x& y en R si \x y\ n0lm en Z 4 si n y m tienen el mismo número de dígitos en la notación usual de base diez n 0t m en Z 4 si n y m tienen el mismo dígito final en la notación usual de base diez.