1. Modelos Matemáticos y Experimentales 1

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1 . Modelos Matemáticos y Experimentales. Modelos Matemáticos y Experimentales.. Definición.. Tipos de Procesos.3. Tipos de Modelos 3.4. Transformada de Laplace 4.5. Función de Transferencia 7.6. Función transferencia y ecuaciones de estado 8.7. Linealización.8. Retardos de Trasporte 3.9. Escalado 7.. Diagramas de bloques 8... Álgebra de bloques.. Efecto temporal de Polos y Ceros.. Resumen 3 Modelos.doc

2 .. Definición un modelo es una descripción y reproducción de un proceso determinado para analizar su comportamiento... Tipos de Procesos Hay muchas formas de clasificar los procesos y sus modelos, de acuerdo a su función: válvulas, tanques, hornos por industria: metalurgia, automotriz, alimentos por sus características físicas: térmicos, químicos Los ingenieros de control los clasifican de acuerdo a sus características dinámicas: linealidad estabilidad resonancia retardos adelanto o retraso de fase Modelos.doc

3 .3. Tipos de Modelos Atributo Atributo antagónico Determina si... SISO MIMO... las ecuaciones del modelo tienen una entrada y una salida. Lineal No lineal... las ecuaciones del modelo son lineales en las variables del sistema. Estacionario No Estacionario... los parámetros del modelo son constantes. Continuo Discreto... las ecuaciones describen su comportamiento en cada instante de tiempo, o sólo en muestras discretas. Entrada-salida Espacio de estados... las ecuaciones dependen sólo de las entradas y las salidas, o también de variables de estado. Modelos.doc 3

4 .4. Transformaciones u t G y t Lo que se busca es encontrar una descripción del sistema de modo que exista una relación algebraica entre entrada y salida: Y G U [.] En el dominio tiempo, lo más cercano a esto es el producto de convolución y t g t u t g u t d donde [.] g t es la respuesta del sistema cuando es excitado por una delta de Dirac Es un poco complejo para resolver Se buscan transformaciones, Modelos.doc 4

5 En el dominio frecuencial y mediante la Transformada de Fourier se logra que Y G U [.3] en donde Y y U son las transformadas de Fourier de la salida y la entrada y G e la respuesta en frecuencia de la planta. Pero esta transformada no es cómoda para trabajar con señales no periódicas. Modelos.doc 5

6 .4.. Transformada de Laplace -st X( s ) s x(t) x(t) e dt s = + j La propiedad fundamental es: g tut G su s Y s [.6] [.4] Modelos.doc 6

7 .5. Función de Transferencia Relación entre entrada y salida en transformada de Laplace con condiciones iniciales nulas. Generalmente incluye la dinámica de los actuadores y sensores. Sistemas lineales, estacionarios, en tiempo continuo a y a y a y a y b u b u b u b u [.7] ( n ( n ( m ( m n n m m G s con m n m m B s bm s bm s bs b n n A s ans an s as a se puede factorizar G s m s p s p K s z s z n [.9] [.] Modelos.doc 7

8 .6. Función transferencia y ecuaciones de estado Un sistema podría describirse en forma de ecuaciones de estado x t Ax t Bu t y t Cx t Du t... si aplicamos Transformada de Laplace obtenemos las ecuaciones algebraicas Y s CX s DU s sx s x AX s BU s [.] [.] X s si A x si A BU s [.3] Y s C si A B D U s C si A x la función de transferencia será [.4] G s C si A B D [.5] (no contempla las condiciones iniciales) Terminología z i ceros de G s Modelos.doc 8

9 p i polos de K K n G s b G ganancia estática de G s a b G ganancia estática de G s a m grado relativo de G s cuandon cuandon cuandon m, bm es la ganancia de alta frecuencia de m, G s es estrictamente propia m, G s es bi propia G s Los polos complejos de la Función de Transferencia aparecen con su conjugado G s s 6s s 3 j s 3 j La función de transferencia se puede expresar como suma de fracciones simples: G s 5 7,5 7,5 s 8s 5 s 3 s 5 [.6] [.7] Modelos.doc 9

10 Diferentes sistemas físicos pueden tener igual Función de Transferencia Orden del Sistema: potencia en S más alta del denominador Modelos.doc

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12 .7. Linealización Todo sistema es no lineal Consideración: Desviación pequeña del punto de trabajo Desarrollo en serie de Taylor y f x df d f f x x x x x [.8] dx xx! dx xx en forma aproximada, y y K x x [.9] K df dx [.] x x y K x [.] es lineal en y y x Modelos.doc

13 .8. Retardos de Trasporte Transformada de un Impulso s -st e [.] L t t dt Impulso Desplazado en un tiempo T s -st L t T e [.3] No es racional Modelos.doc 3

14 Aproximación: e -st 3 3 T T T T - s s s s e! 3! T 3 s T T T 3 e s s s! 3! [.4] Limitando términos se obtienen distintas aproximaciones Primer orden e -st T s s T T s s T [.5] Modelos.doc 4

15 Segundo orden: e -st T s s s j T! T T T T s s s j! T T [.6] j T T j T T T T j T T j T T Modelos.doc 5

16 Aproximación menos precisa: e e st st Ts [.7] st e Ts [.8] Modelos.doc 6

17 .9. Escalado Un factor importante antes de trabajar con un modelo es hacer una buena selección de los factores de escala (unidades) para las variables y el tiempo. Un buen escalamiento hará los cálculos más simples y más precisos y disminuirá enormemente los problemas de simulación en computador. Modelos.doc 7

18 .. Diagramas de bloques Capturan la esencia del sistema en un formalismo gráfico abstracto de simple manipulación. Representan el flujo y procesamiento de las señales dentro del sistema. Los diagramas de bloques permiten ver la similitud esencial entre distintos tipos de sistemas (independizan del dominio físico). Bomba Modelos.doc 8

19 Sistema físico Bomba Caudal de salida señal de velocidad Diagrama de Bloques u Señal de Velocidad Función de transferencia G y Caudal de Salida Modelos.doc 9

20 ... Álgebra de bloques Modelos.doc

21 .. Efecto temporal de Polos y Ceros "Hoy es fácil y muy didáctico calcular polos, ceros, respuesta al escalón y división en fracciones simples" g=tf(,poly([-]));[y,t]=step(g);plot(t,y);grid;axis([ 6.5]) pzmap(g);sgrid;axis([- - ]).5 Pole-zero map Imag Axis Real Axis Modelos.doc

22 g=tf(.5,poly([-.5])).5 Pole-zero map Imag Axis g=tf(.5,poly([.5])) Real Axis.5 Pole-zero map Imag Axis Real Axis Modelos.doc

23 g=tf(,poly([])) Pole-Zero Map Imaginary Axis Real Axis Para una función de transferencia de Primer Orden, G s Y s K K U s s s La respuesta temporal a un escalón es, t K y t L K e s s Modelos.doc 3

24 g=tf(5,poly([-.4+.i -.4-.i])) (85 grados) Pole-zero map Imag Axis Real Axis g=tf(5,poly([ i i])) (75 grados) Pole-zero map Imag Axis Real Axis g=tf(5,poly([-.9-.7i i])) Modelos.doc 4

25 Pole-zero map g=tf(,poly([ i i])) Imag Axis Real Axis Pole-zero map Imag Axis Real Axis Modelos.doc 5

26 Para una función de transferencia de Segundo Orden, G s Y s Kn Kn U s s s s j s j n n n n n n La respuesta temporal a un escalón es, K n K K s n K n yt L L s ns n s s s n n s n n e n t y t K sen n t arctg Modelos.doc 6

27 Ceros g=tf(/3*poly([-3]),poly([- -])) Pole-zero map Imag Axis Real Axis Modelos.doc 7

28 g=tf(/.5*poly([-.5]),poly([- -])).5.8 Pole-zero map Imag Axis Real Axis g=tf(/.5*poly([-.5]),poly([- -])) Pole-zero map Imag Axis Real Axis Modelos.doc 8

29 g=tf(-/.5*poly([.5]),poly([- -])) Pole-zero map Imag Axis Real Axis g=tf(-/.5*poly([.5]),poly([- -])) Pole-zero map Imag Axis Real Axis Modelos.doc 9

30 g=tf(-/.9*poly([.9]),poly([- -])) Pole-zero map Imag Axis Real Axis Las plantas con ceros en el semiplano positivo se llaman plantas de fase no mínima o de respuesta inversa (péndulo invertido, grúas) Modelos.doc 3

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32 .. Resumen Para poder diseñar en forma sistemática un controlador para un sistema es necesario disponer de una descripción formal aunque posiblemente simple del mismo. Esta descripción es el modelo matemático del sistema. Los modelos matemáticos pueden obtenerse en forma experimental o analítica, y en general, en la práctica, mediante una combinación de ambos métodos. En general, los modelos matemáticos involucran un conjunto de ecuaciones diferenciales no lineales. En muchos casos, estas ecuaciones pueden linearizarse alrededor de un punto de operación, con lo que se obtiene un modelo incremental lineal mucho más tratable. La elección de unidades adecuadas (escalado) de las variables y el tiempo permite mejorar los modelos desde el punto de vista computacional. Las funciones transferencia describen las propiedades entrada-salida de los sistemas en forma algebraica en el dominio Laplace. Modelos.doc 3