COLEGIO INTERNACIONAL TORREQUEBRADA. Departamento de matemáticas. CUADERNO DE VERANO MATEMÁTICAS 1º ESO ALUMNO: Cuaderno de Verano Matemáticas 1ºESO

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1 CUADERNO DE VERANO MATEMÁTICAS 1º ESO ALUMNO:

2 OPERACIONES COMBINADAS: En estas operaciones en caso que haya paréntesis o corchetes, deberás realizar primero las operaciones indicadas dentro de ellos. Seguirás con las multiplicaciones y divisiones y, después, las sumas y las restas. Calcula: 45:5 45: :12 20: (16 12) :7 5. (17 12) 15: (11-8) + 35: (25 18) : [3. (17 12)] : [ ( ).7] : 12 [(60 + 3) : 7] + [(57 4).2] + 3 (3024 : 9) (360 : 18) + (25.4) [(37 2) :5] + [(37 2).5] 100 [( ). 2 (37 22) ] ( ) [( ) ( ) ( )] : 3 Resuelve aplicando la propiedad distributiva: 4. ( ) 7.( ) 10.( ) 9.( ) 5.( ) Saca factor común y resuelve: Un NÚMERO es PRIMO si tiene como únicos divisores el 1 y él mismo. Un NÚMERO es COMPUESTO si admite más de dos divisores. Un NÚMERO es DIVISIBLE POR 2 si acaba en 0 o cifra par. Un NÚMERO es DIVISIBLE POR 5 si acaba en 0 o 5. Un NÚMERO es DIVISIBLE POR 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3 Un NÚMERO es DIVISIBLE POR 11 si la diferencia de la suma de las cifras que ocupan lugar par, menos la suma de las cifras que ocupan lugar impar es 0 o múltiplo de 11

3 Cuál de los siguientes números son divisible por 2? Sustituye la x por una cifra, de modo que el número resultante sea divisible por 3. Halla todas las posibilidades: 197x 49x 14x5 x173 Cuál de los siguientes por 5? Sustituye la x por una cifra, de forma que los números resultantes sean divisible por11 1x97 9x2 34x3 x17 MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO: Llamamos máximo común divisor ( m. c. d. ) de dos o más números, al mayor de los divisores comunes de todos esos números. Para su cálculo, descomponemos los números en factores primos y los expresamos como producto de factores, y a continuación tomamos sólo los factores comunes con su menor exponente. Llamamos MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M. C. M.) DE DOS O MÁS NÚMEROS, al menor de los múltiplos comunes de todos esos números. Para cálculo, descomponemos los números en factores primos y los expresamos como producto de factores, y a continuación tomamos los factores comunes y los no comunes (que aparecen en todos los números) con su mayor exponente. Halla el m. c. d. De los siguientes números: 60 y 18 60, 18 y , 126 y , 36, 96 y 144 Halla el m. c. m. de los siguientes números: 60 y , 22 y 55 12, 18, 35 y y 495

4 Halla el m. c. d. y m. c. m. de los siguientes números: 504 y , 390, y , 1250 y , 450 y 726 Dos FRACCIONES son EQUIVALENTES cuando sus productos cruzados coinciden. Averigua si son equivalentes las siguientes fracciones: Halla tres fracciones equivalentes a cada una de las siguientes: 1 5 y y y y Para SIMPLIFICAR UNA FRACCIÓN, se divide su numerador y denominador por algún divisor común, o bien se divide numerador y denominador por el m. c. d. de ambos, o bien se descomponen numerador y denominador en sus factores primos simplificando aquellos que sean comunes. Simplifica todo lo que puedas las siguientes fracciones:

5 Para SUMAR (O RESTAR) FRACCIONES DE IGUAL DENOMINADOR se suma ( o restan) los numeradores y se deja el mismo denominador. Para SUMAR ( O RESTAR) VARIAS FRACCIONES DE DISTINTO DENOMINADOR, se reducen a común denominador y luego se suman ( o restan) los numeradores COMPARACIÓN DE FRACCIONES. Dos fracciones que tienen igual denominador, es mayor la que tiene mayor numerador. De dos fracciones que tienen igual numerador, es mayor la que tiene menor denominador. Cuando las fracciones tienen distinto denominador para hallar cuál es la fracción mayor, se reducen a común denominador y la que tenga mayor numerador es la mayor. Ordena de mayor a menor las siguientes fracciones: 21 7, ,, , 16 4, ,,, ,,,

6 MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES. Para multiplicar una fracción por un número entero, se multiplica el numerador por el entero y se mantiene el mismo denominador Para multiplicar fracciones se multiplican los numeradores por los numeradores y los denominadores por los denominadores. Para dividir dos fracciones se multiplican la primera por la inversa de la segunda. Realiza las siguientes operaciones simplificando los resultados: 6 : : : : : : : : Calcula; Los 3 2 de Los de 121 metros 11 Los 5 2 de 1200 litros. El 30 % de Calcula, aplicando la propiedad distributiva: ( ) ( ) ( )

7 Factor común. Proceso: 1. Expresa los sumandos en forma de producto. 2. Identifica el factor común. 3. Saca el factor común, dejando entre paréntesis el resto de los factores, sumando o restando. 4. Resuelve el paréntesis (agrupando positivos y negativos). 5. Realiza el producto final. Resuelve sacando factor común: a (-5) (-12) = b (-7) = c = d = e = f = g = Saca factor común y resuelve: Para realizar OPERACIONES COMBINADAS CON FRACCIONES, debes respetar la jerarquía de las mismas: 1ª Paréntesis 2ª Potencias 3ª Productos y cocientes 4ª Sumas y restas. Calcula el resultado de las siguientes operaciones: : : : : 4 3 3

8 : : : OPERACIONES CON LA UNIDAD SEGUIDA DE CEROS. Para multiplicar un número por la unidad seguida de ceros, trasladamos la coma a la derecha tantos lugares como ceros tenga. Para multiplicar un número por la unidad precedida de ceros, trasladamos la coma a la izquierda tantos como ceros tenga. Para dividir un número entre la unidad seguida de ceros, trasladamos la coma a la izquierda tantos lugares como ceros tenga. Para dividir un número entre la unidad precedida de ceros, trasladamos la coma a la derecha tantos lugares como ceros tenga. Realiza los siguientes ejercicios, utilizando las normas de la unidad seguida y precedida de ceros: ,01 53,7 :1000 3, ,05 : 0,01 4,3.0,1 2,345 : 100 0,09 : ,78 :0,1 0, ,275 : ,32.0,0001 Se llama VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO ENTERO, al valor del número prescindiendo de su signo. Para sumar dos números enteros de igual signo se suman sus valores absolutos y pone el signo que tienen. Para sumar dos números enteros de distinto signo, se restan sus valores absolutos y se pone el signo del de mayor valor absoluto. Para restar dos números enteros, sumamos al primero el opuesto del segundo. Para realizar una suma algebraica (sumas y restas combinadas), transformamos las restas en sumas

9 Ordenar de mayor a menor las siguientes números enteros: -2, -4, +6, +8, -7, 0, +3, +9, -5, , +15, -5, -3, +6, 0, +12. Realiza los siguientes ejercicios: (+3) + (+7) (+12) + (+2) (-5) + (-18) (-6) + (-8) (+12) + (-7) (+6) + (-8) (-15) + (-40) + (-35) (-8) + (+16) + (-10) +(-40) + (+1) (+45) + (-60) + (-5) + (+6) (-8) (-12) (+5) (+6) (+15) (-8) (-3) (+6) (-9) + (-14) (-23) + (+6) (+8) (-5) (- 11) (+16) + (-30) + (+4) (+11) + (-9) (+6) + (-12) (-4) + (-6) + (+9) (+15) + (-19) + (+13) (-17) + (+12) + (-43) (+5) + (-3) + (+3) + (-5) (-10) + (-15) (-35) + (+9) (+14) (-8) (+16) (-10) + (-40) + (+1) (+45) (-60) + (-5) (+6) (-8) (-9) + (-11) (+6) ( ) + ( ) (-5-3+2) ( ) + (6-7-9) (-4+5+9) [(6-10) +(2-5)] [(7+3-5) (8-11)] [14- (12-5-5)] + [-15 + (4-3)] Para multiplicar y dividir números, se multiplican o dividen sus valores absolutos, siguiendo LAS REGLAS DE LOS SIGNOS: + + = + + : + = + + = - + : = + = : + = = + : ˉ = + (-4). (+6) (+2). (-3) (-3). (-5) (+7). (+5) (-1).(+1).(-1).(+1).(-1).(+1) (+1).(-3).(-1).(-1) ( ).(-4) ( ).(-4) ( ).(7 9) ( ).(+5 1) ( ).(11 9) + (14 16).(7 9) (1 + 5).(7 9) 5.(10 7) (-3).(-5) + (-1).(+3)

10 (+2).(-7) (+8).(-3) (+4).(-6) + (-1).(-9) (-5).((-1) [5.(-6)].(-3) 4.[(-2).3] [7.(-3)].[(-4).2] {4.[(-5).(-2)]}.[(-3).4] {5.[(-3).((-9)}.{(-6).[4.(-2)]} (+27) : (+3) (-27) : (-3) (+27) : (-3) (-27) : (+3) 15 (-4) ( ) : 7 ( ) : 5 ( ) :

11 P0TENCIAS La expresión matemática a n, equivale a una multiplicación de a por sí misma tantas veces como indica n. La POTENCIA DE BASE CERO es igual a cero: 0 5 = = 0 Toda POTENCIA DE BASE UNO es igual a uno:1 3 =1.1.1 =1 Toda POTENCIA DE EXPONENTE UNO es igual a la base: 7 1 = 7 Toda POTENCIA DE BASE DIEZ es igual a la unidad seguida de tantos ceros como indica el exponente: 10 4 = =10000 Toda POTENCIA DE EXPONENTE CERO es igual a la unidad:5 0 =1 Toda POTENCIA DE BASE NEGATIVA Y EXPONENTE PAR es igual a resultado positivo: ( 3) 4 = ( 3).( 3).( 3).( 3) = +3 4 = 81 Toda POTENCIA DE BASE NEGATIVA Y EXPONENTE IMPAR es igual a resultado negativo: ( 2) 3 = ( 2).( 2).( 2 = 2 3 = 8 El PRODUCTO DE POTENCIAS DE LA MISMA BASE es otra potencia que tiene por base la misma y como exponente la suma de los exponentes: a m.a n.a p = a (m+n+p) El COCIENTE DE POTENCIAS DE IGUAL BASE es otra potencia que tiene por base la misma y como exponente la diferencia de los exponentes: a m : a n = a (m-n) La POTENCIA DE UN PRODUCTO es igual al producto de la potencia de cada factor : (a.b.c) n = a n.b n.c n La POTENCIA DE UN COCIENTE es igual a la potencia del numerador entre n n a a la potencia del denominador: n b b POTENCIA DE UNA POTENCIA es igual a otra potencia que tiene por base la misma y como exponente el producto de los exponentes (a m ) n = a (m.n) Realiza los siguientes ejercicios: (-2) 4 (-8) (5 2 ) : 7 3 ( ) : 2 6 ( ) (-1) 5 (-3) 4.(-3 3 (-6) 8 : (-6) 5 (-8) (-1) (-4) 2 + (-4) : (-6) : 7 2 (-6) 6 : (-6) 2 [(-2) 3.(-2) 2 ] (-2) 5.(-2) 3.(-2) 4.(-2) 0

12 (-7) (10) 2 (-4) 3 [(-2) 3 ] 4 : (-2) (-3) 2.(-3) 4.(-3) 3 [(-2) 3 ] 2 ( ) 2 [(-4) 2.(-4) 3 ] : (-4) : 6 3 [(-10) 3 ] [9 4.(9 5 : 9 2 ).(8 4 ) 2 ] : [(3 2 ) 5.(3 6 : 3 4.3] [4 5.(4 3 ) ] : [4 3.(4 2 ) 5 ] [6 4.(6 : 6 2 ).(6 2 ) 5 ] : [(6 7 :6 3 ) 2 : 6 3 ] [(-5) 4.(-5) 2.(-5).(-5).(-5) 3 ] : (-5) 6 [3.(-3) 2.(-3) 4 ] : 3 5 {[(-8) 4.(-8) 6.(-8) 2 ] : [(-8) 4 ] 5 } 5 Extraer las siguientes raíces : 21609, , 5625, 6889, 2464, 314, 275, 0, 225 Practica y resuelve los siguientes ejercicios Convierte a metros las siguientes unidades de longitud: a) 348 dam b) 12,58 hm c) 23,48 km d) 234 cm e) 6700 mm Convierte las siguientes cantidades: a) 1248 dm a dam b) cm a hm c) 4100 m a km d) 2,34 m a mm e) 125 hm a dm f) 0,05 km a cm Convierte a kg las siguientes cantidades: a) 1200g b) 450 hg c) 12500mg d) 3,2 T e) 42,5 Qm f) 4 3 T Convierte las siguientes cantidades: a) 3kg a dg b) 28 hg a g c) 2,35 g a mg d) 4380 cg a g e) mg a g f) mg a kg Convierte a litros las siguientes cantidades: a) 35 dal b) 2,75 hl c) 0,035 kl d) 250 cl e) 12,5 dl f) 2600 ml Con una tinaja de 3,6 hl de vino, cuántas botellas de un litro se pueden llenar? Si una botella tiene una capacidad de 4 3 de litro, cuántos cl tiene? Con una tinaja de 3,6 hl de vino, cuantas botellas de 4 3 de litro se pueden llenar? Convierte las siguientes cantidades a las unidades que se indican: a) 23 m 16 dm 4 cm a cm b) 1 kg 23 hg 45 dag a g c) 2 km 23 hm a m d) 12 kg 34 hg 56 dag a hg Convierte a forma compleja las siguientes cantidades: a) 235 m b) cg c) 4125,32 g d) 5632 l e) 234,56 hm f) dl

13 Cuál es el perímetro de un decágono regular de 10 cm de lado? Si un octógono regular tiene un perímetro de 72 cm, cuánto mide cada lado? Cuántos cm 2 hay en 1,23 m 2.? Si una casa tiene una superficie de 100 m 2, cuántos mm 2 son? Si el m 2 construido de una casa cuesta 1500, cuánto cuesta una casa de 110 m 2? Un campo de fútbol mide 95 m de largo y 70 de ancho, cuál es su superficie? Convierte las siguientes unidades: a)12 m 2 a cm 2 b) 12,34 dam 2 a mm 2 c) 32,5 km 2 a hm 2 d) 8000 cm 2 a m 2 e) m 2 a hm 2 f) m 2 a km 2 Halla el área de u cuadrado de 12 cm de lado Se están vendiendo parcelas a 600 el m 2, cuánto me costará una parcela de 32 m de larga por 18 m de ancha? Halla el área de cuadrado, en dm 2, si su perímetro es de 36 m. Si el área de rectángulo es de 96 m 2, y la base mide 12 m, cuánto mide la altura? Cuál es el área de un rectángulo, medido en m 2, de 36,8 dam de largo por 21,5 de ancho? Halla el área de un paralelogramo cuya base mide 15 dm, y su altura 6 dm? Halla el perímetro de un cuadrado cuya área es de 81 cm 2. Halla el área de un triángulo de 10 cm de base y 6 cm de altura. Si área de un triángulo es de 24 cm 2, y la base mide 8 cm, cuál es la altura? Queremos solar una habitación de 5,4 m de larga y 4,5 m de ancha con baldosas cuadradas de 30 cm de lado. Cuántas baldosas necesitamos? Calcula el área de un trapecio de 6 cm de altura y cuyas bases miden 8 cm y 12 cm. El área de un trapecio es de 24 m 2. Halla la altura del trapecio sabiendo que las bases miden 5 m y 7 m. Dibuja dos rectas paralelas a 4 cm de distancia. Sobre una de ellas marca un segmento de 6 cm, y sobre la otra, marca otro segmento de 7 cm. Al unir los extremos de los segmentos obtienes un trapecio, de qué área? 2

14 Cuatro triángulos rectángulos iguales cuyos lados perpendiculares midan 5 cm y 6cm, construimos un rombo. Cuál es su área? Halla el área de un rombo cuyas diagonales miden 7 cm y 10 cm. Un rombo tiene un área de 48 cm 2, y una de las diagonales mide 12 cm. Cuánto mide la otra? Halla el área de un pentágono regular de 8 cm de lado y 5,5 cm de apotema. Halla el área, en m 2, de un pentágono regular de 10 cm de lado y 6,88 de apotema. Calcula el área de hexágono regular sabiendo que el lado mide 5 cm, y su apotema, 4,33cm. La apotema de un hexágono regular se halla multiplicando la longitud del lado por 0,866. Cuál es su área? Calcula el área de un octógono regular de 5 cm de lado y 6 cm de apotema. Halla la apotema de un octógono regular que tiene un área de 480 cm 2 y cuyo lado mide 10 cm. Un octógono regular tiene un área de 1080 cm 2,y la apotema mide 18 cm. Cuánto mide el lado del octógono? Calcula el área de decágono regular cuyo lado mide 8 cm y su apotema 12,3 cm. Calcula la longitud de una circunferencia de radio 1,5 m. La longitud de una circunferencia es de 18,84 cm. Cuál es el radio? Halla el área de un círculo de 2 cm de radio Cuántos m 2 de superficie ocupa un círculo de 8 dm de radio? Un círculo tiene una superficie de 706,5 cm 2. Cuál es su radio? Halla el área de círculo sabiendo que la longitud de su circunferencia es de 43,96cm. Dos círculos concéntricos (tienen el mismo centro) tienen unos radios de 5 cm y 7 cm. Halla el área de la zona comprendida entre ambos círculos. Calcula el área y perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 48 y 90 mm., respectivamente. Los lados contiguos de un rectángulo miden 16 y 30 dm. Cuánto mide su diagonal?

15 Una escalera de mano de 6,5 m. de larga está apoyada contra una pared; si el pie de al escalera dista 2,5 m. de la pared. qué altura alcanza? Los catetos de un triángulo rectángulo miden 5 y 12 cm. Calcula la hipotenusa. La hipotenusa de un triángulo vale 25 cm., y uno de sus catetos 15 cm. Cuánto vale el otro cateto? Una plancha de acero en forma de trapecio tiene las siguientes dimensiones: 14 m. de base mayor, 8 m. de base menor y 5 m. de lados oblicuos. Calcula el precio de la plancha si metro cuadrado vale a 30. La base menor de un trapecio rectángulo mide 8 cm., la diagonal menor 10 cm. y el lado oblicuo 9 cm. Halla el área. Un triángulo isósceles sus lados iguales miden 50 m. cada uno, el otro lado 60 m. Halla su área y su perímetro. ÁLGEBRA Las siguientes expresiones pasarlas a lenguaje algebraico: * El cuádruplo de un número * El doble de un número menos tres * Un número aumentado en tres unidades * Un número disminuido en siete unidades * El triple de sumar uno a un número * La cuarta parte de un número * El doble de un número * El cubo de un número. Expresa en lenguaje común las siguientes expresiones algebraicas: * 7 a * x y * 3x 2y * a 2 b 2 * (a b) 2 2x * 5 * x y 2 * 2 (a + b) Resuelve las siguientes ecuaciones: a). 8x 4 = 4x b) x = 12 c) 7x 7 = 2x + 3 d). 11x 10 = 2x +8 e). x + 4 = 2x 14 f). 2 (x 2) 4 (x 1) = 2 (x + 2) g). (x 2) (2x 3) = 4 h). 2 (2x 5) = 26 i). 3x 2 (2 x) = 16 j). 2x 3 (2x 4) 3 = 7 2 (x 6) 7x

16 2x 7 k). 9 3 l). 2x 5 = 2x 6 2 m). x 1 x 2 x x 2x n) x 3 x 3 p) q). x 3 x 5 x Resuelve los siguientes problemas utilizando ecuaciones: 1.- La suma de dos números consecutivos es 213. Cuáles son los números? 2.- Dos amigos tienen 267 cromos entre los dos. Si uno tiene el doble que el otro. Cuántos cromos tienen cada uno? 3.- El perímetro de un rectángulo es 112 cm. Sabemos que la base mide 2 cm. más que la altura. Cuánto miden la base y la altura? 4.- Descompón el número 25 en dos sumandos tales que la tercera parte del primero más la quinta parte del segundo sea igual a En un partido de baloncesto un jugador anotó la mitad de los puntos de su equipo más 11. Si anotó 32 puntos. Cuántos puntos anotó su equipo? 6.- Javier tiene 4 años más que su hermana Elena. Hace seis años Javier tenía el doble de edad que entonces tenía Elena. Calcula la edad actual de cada uno. Resuelve los siguientes problemas por regla de tres: 1.- Cuatro lápices cuestan 2,40. Cuánto cuestan seis lápices? 2. Si tres hombres necesitan 24 días para realizar un trabajo. Cuánto tardarán 18 hombres en hacer el mismo trabajo? 3.- Una fuente vierte en 8 minutos 120 litros de agua. Cuánto verterá en una hora? 4.- Una piscina se llena en 24 horas empleando un grifo que arroja 180 litros de agua por minuto. Cuánto tardaría en llenarse la piscina si el grifo arrojara 540 litros por minuto? 5.- Miguel y su hermana Luisa compran, en una frutería, 8 kilos de manzanas por 3,6. Cuántos kilogramos pueden comprar con 6,75.?

17 6.- Un barco marcha a una velocidad de 30 km./h y tarda 9 días y 12 horas en recorrer una distancia entre dos puertos. Cuánto tardará otro barco en recorrer la misma distancia si va a una velocidad de 36 km./h? Expresiones algebraicas: Es un conjunto de números y letras unidos por los signos de operaciones aritméticas. Ejemplo: 3x 3 + 2x 6. Valor numérico de una expresión algebraica.- Es el valor que se obtiene al sustituir las letras por los números y operar. Ejemplo: Halla el valor de 3x 3 2x 2 4, para x = 2, x = = = 12 3 (-2) 3 2 (-2) 2 4 = = - 36 Cuando dos monomios tienen la misma parte literal, se llaman semejantes. Los monomios semejantes se pueden sumar o restar. Suma (o resta) de dos monomios semejantes.- Se realizan sumando (o restando) los coeficientes y dejando la misma parte literal. Ejemplo = 7x 5 4x 5 + 8x 5 = 11x 5 Producto de monomios.- Es otro monomio que tiene: Como coeficiente el producto de los coeficientes de los factores. Como parte literal, las letras que aparecen en los monomios, con exponente igual a la suma de los exponentes de los factores Ejemplo: 5x 3 x 6 = 5x 9 3x 2 y 4 5x y 7 = 15x 3 y 11-6x 2 yz 3 2xy = - 12x 3 y 2 z 3 División de monomios.- Se dividen los coeficientes del dividendo y el divisor y se restan los exponentes de sus letras. Ejemplos: x 5 : x 3 = x 2 16x 5 yz 2 : 2x 3 yz= 8x 2 z. Ejercicios.- 1. Halla el valor numérico de la siguientes expresiones algebraicas: a) 2x 3 3x 2 + x -2, para x = 1, x = -1, x =2, x = -2 b) 7(a b), para a = - 2, b = -3 c) 3(b c), para b = -1, c = - 4 d) 5x 2 4y, para x = -3, y = Reduce las siguientes expresiones: a) 9x 2 3x + 12x 2 5x 2 b) 12x 4 3x +8x 4 + 5x x

18 c) 7b 3b d) 4z 8z + 9z e) 9xy 2xy f) 3x 2 z + 9x 2 z 3x 2 z COLEGIO INTERNACIONAL TORREQUEBRADA. 3. Reduce las siguientes expresiones: a) 7y 2 4y + 12y 2 2y 2 b). 7x 5 4x + 12x 5 + x x c). 7x 2 y 2xy 2 + 9x 2 y 8xy 2 d). 12abc 2 + 3ab 2 c + 5abc 2 + 7ab 2 c 4. Opera los siguientes monomios: a) 8y 3x b) -7d (- 9d) c) 8x 9x d) 4z 10z e) 5x 2 11x 3 f) 5ab 7ab g) 7c 3 3c 2 h) 9x 4 y 2 5xy 2 5. Opera y reduce: a) 12y : 3x b) 15b : -3b c) 12x 2 : 6x 3 d) 18y 3 : - 6y 3 e) 4x 2 b : 8x 2 b f) 9x 3 b 2 c : 3x 2 bc.