TEMA 1. Números Reales. Teoría. Matemáticas

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2 1.- Los números reales Cuáles son los números reales? Los números reales son todos los números racionales y todos los números irracionales. El conjunto de los números reales se designa con el símbolo R. Fíjate en que los números reales contienen los números racionales y los irracionales. 1.1 Los números racionales El conjunto de números racionales está formado por los números enteros y las fracciones de números enteros. Se pueden expresar como una fracción, como un decimal finito o como un decimal infinito periódico. Para identificar los números racionales, conviene recordar cuál es la clasificación general de los números: Recuerda Los números reales (R) pueden ser de distintos tipos: Los racionales (Q): que, a su vez, se distinguen entre: Los enteros (Z): los números naturales (N) y los enteros negativos. Los decimales exactos e infinitos periódicos. Los irracionales. Los números racionales son todos los números que se pueden representar como fracciones de números enteros. También se pueden representar como números decimales exactos o finitos, o como decimales infinitos periódicos. El conjunto de los números racionales se designa con el símbolo Q. Q = { 5, ¼, ½, 1, 0, ¼, ½, ¾, 1, 6,...} 2

3 Los números racionales comprenden: Los números enteros: Los números naturales: son los números que usamos para contar.el conjunto de los números naturales se designa con el símbolo N. N = {0, 1, 2, 3, 4,...} Sus opuestos, es decir, los números negativos: 3, 2, 1,.. Por último, el 0. El conjunto de los números enteros se designa con el símbolo Z. Z = { 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} Recuerda que un número racional se puede expresar como fracción o como número decimal. 1.2 Los números irracionales Los números irracionales son todos los números que cumplen lo siguiente: No se pueden representar como fracciones de números enteros. Se pueden representar como números decimales infinitos no periódicos. El conjunto de los números irracionales se designa con el símbolo I. Es decir, entre otros muchos, son irracionales los siguientes números: 1,23489, 83 o el número π (pi). Si los números irracionales tienen un número infinito de decimales no periódicos y no se pueden poner como fracciones de enteros, entonces, cómo se expresan? Los irracionales pueden expresarse como: Raíces no exactas: Solución de ecuaciones polinómicas: Este último número, aparece en distintas relaciones de la vida cotidiana y de nuestro entorno. Los antiguos griegos lo llamaron número áureo y lo representaron con la letra ϕ. Cualquier número decimal infinito no periódico que podamos imaginar: 0, , Números especiales, que por su importancia se nombran con una letra: 3

4 El númeroπ (pi): π = 3, , que se define mediante la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. El número e: e = 2, , que se encuentra, por ejemplo, en la velocidad de vaciado de un depósito de agua o en el movimiento del sistema de amortiguación de un automóvil, entre otros. Recuerda Los números irracionales son: Números decimales con un número ilimitado de cifras decimales no periódicas, como el número π y el número áureo ϕ. Números decimales que no se pueden expresar como fracción de números enteros. 2.- Operaciones con números reales La suma y resta Recuerda Para resolver la operación de suma o resta con números reales, si estos están expresados en forma de fracción y los denominadores son diferentes, tenemos que aplicar el mínimo común múltiplo (m.c.m.) entre los denominadores. Por ejemplo: = 38 + ( 15) = = La multiplicación La regla de los signos del producto de los números enteros y racionales es igual para los números reales: + + = + + = + = = + Por ejemplo, el producto de dos o más fracciones es una fracción que tiene como numerador el producto de los numeradores de las fracciones dadas y, como denominador, el producto de los denominadores. 4

5 La división La división de dos números reales se define como el producto del dividendo por el inverso del divisor. Para dividir una fracción entre otra, se multiplica la primera por la inversa de la segunda. Por ejemplo, en el caso de la división de dos números racionales: Por ejemplo: = = 20 6 = 10 3 La potenciación Para hallar la potencia de un número real, hay que aplicar la siguiente fórmula: Donde a y b R (recordemos que b puede ser 1, en caso de que no esté representado como fracción). Las propiedades de la potenciación Las propiedades de la potenciación de los números reales son las siguientes: La potencia 0: todo número elevado a la potencia cero dará como resultado 1. La potencia 1: todo número elevado a la potencia 1 dará como resultado el mismo número. El producto de potencias con la misma base: se copia la misma base y se suman los exponentes. La división de potencias con la misma base: se copia la misma base y se restan los exponentes. 5

6 La potencia de una potencia: se copia la misma base y se multiplican los exponentes. El producto de potencias con el mismo exponente: se multiplican las bases y se copia el mismo exponente. El cociente de potencias con el mismo exponente: se dividen las bases y se copia el mismo exponente. Para resolver una potencia negativa de números reales, bastará con invertir el número y elevarlo a la misma potencia pero positiva. 3.- La recta real Podemos representar el conjunto completo de los números reales mediante una recta que denominamos recta real. La recta real se construye en torno al 0, situando los números positivos a si derecha u los negativos a la izquierda. Cada número real está representado en esta recta mediante un punto. También podemos seleccionar partes de la recta real formando los denominados intervalos y semirrectas Intervalos Un intervalo es el conjunto de todos los números reales que forman un segmento de la recta real. Si los números que limitan dicho segmento están incluidos en el intervalo, este se denomina cerrado. Para representar un intervalo cerrado se utilizan los corchetes. 6

7 Ejemplo: El intervalo formado por todos los números comprendidos entre 2 y 6, ambos inclusive, sería [2,6] Por el contrario, so los extremos del segmento no están incluidos en el intervalo se denomina abierto. Los intervalos abiertos se representan utilizando paréntesis. Ejemplo: El intervalo formado por todos los números comprendidos entre 2 y 6, sin incluir los extremos, sería (2,6) También existe la posibilidad de que el intervalo incluya solo uno de los extremos. En ese caso se llama intervalo semiabierto. Ejemplo: El intervalo (3,10] es un intervalo semiabierto que incluye el 10 pero no el Semirrectas Las semirrectas de forman seleccionando todos los números menores o mayores que uno dado. Un extremo de la semirrecta será un número que puede estar o no incluido en ella. El otro extremo se representa con los símbolos + o, designamos infinito o menos infinito y que indican que el intervalo contiene números tan grandes o pequeños como queramos. Ejemplo: El intervalo (2, ) incluye todos los números mayores que 2, pero no el 2 El intervalo (, 7] incluye todos los números menores que 7, incluido el 7 7

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