APUNTES DE MATEMÁTICAS CURSO PROPEDÉUTICO

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1 APUNTES DE MATEMÁTICAS CURSO PROPEDÉUTICO Ing. Cecilia Vargas Velasco Ing. Enrique Márquez Rivas Ing. Julio Meléndez Pulido Periodo: Primera edición. 011 Ingeniería Electrónica Ingeniería en Sistemas Computacionales

2 INDICE Págs. 1.0 Expresiones algebraicas Notación y terminología 3 1. Operaciones con polinomios 6.0 Exponentes y Radicales 9.1 Exponentes 9. Radicales 1.3 Racionalización Ecuaciones de primer grado Solución de ecuaciones de primer grado Sistemas de ecuaciones de primer grado Productos Notables y Factorización Productos Notables 4 4. Factorización Solución de ecuaciones de segundo grado Método de factorización 5 5. Por fórmula General Método gráfico 55

3 1.0 EXPRESIONES ALGEBRAICAS 1.1 NOTACION Y TERMINOLOGIA Notación literal. Además de los números usados en aritmética, en el álgebra se usan letras, una letra puede representar cualquier número conocido o desconocido o cualquier intervalo numérico; los números representados por letras se llaman literales. Ejemplo: 3x + 4 = 5 x en Q / -3 < x < Coeficiente. En la expresión 7xy, 7, x, y, son factores. Las literales de un producto como x, y se llaman factores literales. Comúnmente, el factor numérico 7 se llama coeficiente de los otros valores, pero, en forma más general, cualquier factor o factores pueden considerarse como el coeficiente de los factores restantes; así, en 7xy, 7x es el coeficiente de y y 7y es el coeficiente de x. Ejemplo: -5a -5 es el coeficiente numérico y a es la literal a 1 es el coeficiente numérico y a es la literal. Expresiones algebraicas. El signo + o separan una expresión, cada una de estas partes precedida de un signo + o - se llama término. Ejemplos: 3x + Los términos son 3x y. = Los términos son y 3x es una expresión de un solo término, por tanto, es un monomio, x + x 6 es una expresión de tres términos, es decir, es un trinomio. La palabra polinomio se usa para indicar una expresión de dos o más términos. 3

4 1. OPERACIONES CON POLINOMIOS LEYES DE SIGNOS tiene es un valor positivo (300 pesos) y los 800 pesos son los PARA LA SUMA (( + ) + ( + ) = + (( + ) + ( - ) = se efectúa la suma algebraica y se coloca el signo del sumando mayor (( - ) + ( + ) = se efectúa la suma algebraica y se coloca el signo del sumando mayor (( - ) + ( - ) = - PARA LA RESTA Para hallar la diferencia entre dos números relativos se suma el minuendo al sustraendo cambiándole el signo: ( + 8 ) - ( + 4 ) = ( + 8 ) + ( - 4 ) = + 4 ( + 8 ) - ( - 4 ) = ( + 8 ) + ( + 4 ) = + 1 ( - 8 ) - ( + 4 ) = ( - 8 ) + ( - 4 ) = - 1 ( - 8 ) - ( - 4 ) = (( - 8 ) + ( + 4 ) = - 4 PARA LA MULTIPLICACIÓN ( + ) X ( + ) = + ( + ) X ( - ) = - ( - ) X ( + ) = - ( - ) X ( - ) = + PARA LA DIVISION (( + ) ( + ) = + (( + ) ( - ) = - (( - ) ( + ) = - (( - ) ( - ) = + Signos de agrupación Los signos de agrupación se emplean para indicar que las cantidades encerradas en ellos deben considerarse como una sola cantidad. Existen cuatro signos de agrupación: el paréntesis ( ), el corchete [ ], las llaves { } y el vínculo o barra. Regla general para suprimir signos de agrupación: 1. Para suprimir signos de agrupación precedidos del signo +, se deja el mismo signo que tengan cada una de las cantidades que están dentro de él.. Para suprimir signos de agrupación precedidos del signo, se deja cambia el signo que tengan cada una de las cantidades que están dentro de él. 4

5 3. Cuando los signos de agrupación están incluidos dentro de otros, se suprimen uno en cada paso, empezando por el más interior. Ejemplo 1: Obtén el resultado de la suma de polinomios (5 a b) 4(3 a b) 3a b (5 a b) 4(3 a b) 3a b 5a b 1a 4b 3a b 5a b 1a 4b 3a b Ejemplo : Cuál es el resultado de la siguiente operación entre polinomios? ( y z) 4( y z) 4y 6z ( y z) 4( y z) 4y 6z = y z 8y 4z 4y 6z y z 8y 4z 4y 6z Ejemplo 3: Realiza la siguiente resta de polinomios 6( m n) 8(3 m n) 5( m 7 n) 6( m n) 8(3 m n) 5( m 7 n) 6( m n) 4m 8n 5m 35n 6( m n) 4m 8n 5m 35n 1m 6n 4m 8n 5m 35n 5

6 Operaciones con polinomios Para realizar operaciones con polinomios agrupan los términos semejantes y se aplican las leyes de signos correspondientes para simplificar términos, lo coeficientes de cada término siguen las reglas de las operaciones aritméticas. Ejemplo 1: Dada la siguiente operación entre polinomios (7 a b ) (3 a b ) (4 a b ) obtener el resultado (7 a b ) (3 a b ) (4 a b ) a b 6a b 8a b ) Ejemplo : Reduce los términos semejantes de la expresión 15ab 16a b 13b a 10ba Se identifican términos semejantes 4 3 x y z 5? x y z 7 Se suman los términos semejantes 15ab 13b a 8ab a b ba a b

7 Ejemplo 3: Resuelve la siguiente operación x xy (6xy 5 x ) x xy (6xy 5 x ) x xy 6xy 5x Ejemplo 4: Qué resultado obtienes de la resta 5a 6 b (6 a) 5a 6 b (6 a) 5a 6b 6a 5a 6b 6a? 9. Cuál es el resultado de la operación a b a b a b? a b a b a b a b a b a b a b a b a b 7

8 Ejemplo 5: Selecciona el resultado correspondiente al producto de ( a b z)( a b z ) ( a b z)( a b z ) 7 3 ( )( ) 5 4 a b z 35 1 Ejemplo 6: Cuál es el cociente de 4 3 x y z 5? x y z x y z x y z x7 x y z 5x x y z

9 .0 EXPONENTES Y RADICALES.1 Exponentes Si n es un entero positivo, la notación exponencial a n, representa el producto del número real a multiplicado n veces por si mismo. La expresión a n se lee a a la enésima potencia o simplemente a a la n. El entero positivo se llama exponente y el número real a, base. Entonces podemos generalizar: (recordemos que n es cualquier entero positivo). Casos especiales: Ejemplos: Una vez que hemos conocido lo anterior llegamos a los siguientes teoremas, que comúnmente son llamados leyes de los exponentes. Si m y n son enteros positivos, entonces 9

10 Ejemplos: Las leyes de los exponentes pueden generalizarse: Qué sucede si los exponentes no son positivos? Exponente cero y negativo Para a diferente de 0: 10

11 Ejemplos: El teorema que viene es útil para la solución de problemas con exponentes negativos. Simplificar una expresión donde hay potencias de números reales, significa cambiarla a otra en que cada número real aparece solo una vez y todos los exponentes son positivos. Teniendo presente que los denominadores representan números reales diferentes de cero. Simplificar: Solución: Simplificar: 11

12 . Radicales Radicación es la operación inversa a la potenciación.llamamos raíz n-ésima de un número dado al número que al elevarlo a n nos da el primero. La expresión radicando. n a es un radical de índice n: el número n es el índice del radical y el número a es el n n a b equivale a b a Potencias de exponente fraccionario: Una potencia de exponente fraccionario es equivalente a un radical en el que el denominador de la fracción es el índice del radical y el numerador de la fracción es el exponente del radicando: 1 m n n n n m a a a a Operaciones con radicales: Multiplicar: para multiplicar radicales del mismo índice se deja el mismo índice y se multiplican los radicandos. a. b a. b n n n Ejemplo: Dividir: Para dividir radicales del mismo índice se deja el mismo índice y se dividen los radicandos. n n a b n Ejemplo: 3 3 a b 1

13 Potencia de un Radical Para elevar un radical a una potencia, se eleva el radicando a dicha potencia. ( n a) m n a m Radical de un Radical: Para hallar el radical de otro radical se multiplican los índices de ambos. n m a n. m a Para Reducir a común índice: Si se multiplica o divide el índice del radical y el exponente del radicando por un número natural, se obtiene un radical igual: n n a a a a... a.3 Racionalización Amplificación y simplificación de radicales: Si se multiplican (amplifican) o dividen (simplifican) el índice y el exponente de un radical por un mismo número no nulo, el radical que se obtiene es equivalente al primero a , 4 Los radicales fracciones equivalentes. son equivalentes porque los exponentes de las potencias asociadas son Reducción a índice común: Reducir a índice común varios radicales consiste en reducir a común denominador las fracciones exponentes de su expresión como potencia. Ejemplo: Racionalización: Racionalizar una expresión con radicales en el denominador, por ejemplo, consiste en encontrar una expresión equivalente que no tenga raíces en el denominador. Para ello se multiplica el numerador y denominador por una expresión adecuada, en este caso multiplicamos y dividimos por :

14 3.0 ECUACIONES DE PRIMER GRADO Ecuación Una ecuación es una igualdad en la que intervienen letras, cuyos alores son desconocidos y se denominan incógnitas, las cuales se indican generalmente por las últimas letras del alfabeto. La ecuación está formada por dos partes llamadas miembros, los cuales están separados por el símbolo de igualdad =. Al miembro de la izquierda se le conoce como primer miembro y al de la derecha como segundo miembro. 4x 5 = 16 3 x Primer Miembro Segundo Miembro Grado de una ecuación: El grado de una ecuación queda determinado por el mayor exponente al que está elevada la incógnita de la ecuación, por ejemplo: 4x 5 = 16 3 x 7x 4x + 3 = 0 x 3 + x 18x + 15 = 0 Ecuación de primer grado Ecuación de segundo grado Ecuación de tercer grado 3.1 Solución de una ecuación de primer grado con una incógnita: Resolver una ecuación, es hallar el valor(es) que adquieren la(s) incógnita(s) para satisfacer una ecuación, a este valor o estos valores se les llama solución o raíz de una ecuación. Las ecuaciones de primer grado tienen una sola raíz, las de segundo grado dos y así sucesivamente. Términos de una ecuación: Son cada una de las cantidades que estén conectadas con otra por el signo + ó. 4x 5 = 16 3 x Los términos son 4x, 5, 16 y 3x 14

15 Transposición de Términos: 1. Si un término que está sumando o restando en un miembro de la ecuación, pasará del otro lado de la igualdad con signo contrario al que tiene: 5x 6 = 3x + 4 Está restando pasa sumando 5x = 3x Cualquier cantidad que esté dividiendo en un miembro de la ecuación, pasará del otro lado de la igualdad multiplicando a todo el término: x 1 x 3 x 3(1 x) 3. Cualquier cantidad que esté dividiendo en un miembro de la ecuación pasará al otro lado de la igualdad multiplicando al todo el término: x 13 x 13 x x Axioma fundamental de las ecuaciones Si con cantidades iguales se verifican operaciones iguales, los resultados serán iguales. Esto significa que si a los dos miembros de una ecuación se le suman, restan, multiplican, dividen, se elevan a una misma potencia o se le extrae raíz, sin importar si la cantidad es positiva o negativa, la igualdad no se altera. Cambio de signos: Los signos de todos los términos de una ecuación se pueden cambiar sin que la ecuación se altere. Solución de ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita: 1. Se realizan las operaciones indicadas, si las hay y se simplifica. Se agrupan en el miembro izquierdo de la ecuación los términos que contienen a la incógnita y en el miembro derecho los términos constantes. 3. Se reducen términos semejantes 4. Se despeja la incógnita. 15

16 Ejemplo 1: Encontrar la solución de la siguiente ecuación de primer grado 5x= 35 Despejar x. x= 35 = 7; 5 ; x = 7 Ejemplo : Encontrar la solución de la siguiente ecuación de primer grado 5x + = 37 Despejar x ; 5x= 37 = 35 x= 35 = 7; 5 x = 7 Ejemplo 3: Encontrar la solución de la siguiente ecuación de primer grado 5x x = x = 9 x= 9 = 3 3 x = 3 16

17 Ejemplo 4: Encontrar la solución de la siguiente ecuación de primer grado 7x + 5 = 9x - 3 Despejar x ; (7x + 5) () = (9x ) ( 3) 14x + 10 = 7x 6 14x 7x = x = 16 ( 13x = 16) 1 13x = 16 x = Ejemplo 5: Encontrar la solución de la siguiente ecuación de primer grado 1 x x 1 (x 1) 1(x ) x x x x x = 4 17

18 3. Sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Para resolver sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, existen varios métodos, los que se van a abordar en este capítulo serán: Suma y Resta Métodos para resolver sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Gráfico Determinantes Método de suma y resta o reducción Para resolver un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, por el método de suma y resta, se utiliza el siguiente procedimiento: 1. Se multiplica una o las dos ecuaciones por un número negativo o positivo de tal manera que al sumarlos se elimine una incógnita.. Se suman las dos ecuaciones resultantes, se despeja la incógnita y se obtiene su valor numérico. 3. Se sustituye el valor obtenido de la incógnita en cualquiera de las dos ecuaciones originales y se despeja a la otra incógnita. Notas: 1. Para comprobar que los resultados son correctos se sustituyen los valores encontrados de las incógnitas en las dos ecuaciones originales y si las igualdades se cumplen, los valores son correctos.. Si las ecuaciones son fraccionarias, se convierten a lineales y después se aplica el método. 18

19 Ejemplos: 1) El sistema de ecuaciones es: ( ) ( ) Solución: Se multiplica la ecuación (1) por - y se suma con la ecuación (), para eliminar la incógnita. ( ) ( ) Resultando: Despejando, se obtiene: ( ) Se sustituye (5) en (1) y se obtiene: ( ) Se despeja ( ) Por lo tanto la solución es: ) Las ecuaciones son: ( ) ( ) Solución: Se multiplica la ecuación (1) por -4 y se suma con la ecuación () 19

20 ( ) ( ) Resultando: Despejando se obtiene: ( ) Se sustituye (5) en (1) y se obtiene: Se despeja ( ) Por lo tanto la solución es: Método de Determinantes: Este método se basa en establecer dos determinantes de segundo orden para encontrar el valor de las incógnitas (se establece un determinante por cada incógnita). Determinante de segundo orden Son cuatro números colocados dentro de un cuadro con rectas verticales a los lados. La posición de los números será tal que se formen dos filas y dos columnas. Las filas o renglones se forman por los números que se encuentran en una misma línea horizontal, las columnas están compuestas por los números que se encuentran en una misma línea vertical. Segunda fila a c b d Primera fila 0 Segunda columna

21 Primera columna La línea que une a con d se llama diagonal principal y la que une a c con d diagonal secundaria. Los términos a, b, c y d se llaman elementos del determinante, cuyo valor es el producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria. Diagonal principal a c b d = ad cd Ejemplo: Diagonal secundaria = (8)( 5 ) (3)(9) = 40 7 = 67 Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas por el método de determinantes se utiliza el siguiente procedimiento: 1. El valor de la incógnita x será igual a una fracción cuyo numerador será un determinante en el cual la primera columna tendrá a los términos independientes de cada ecuación (cada uno en un renglón) y en la segunda columna los coeficientes de y. El denominador que se conoce como determinante del sistema estará formado en la primer columna por los coeficientes de x (cada uno en un renglón) y en la segunda columna los coeficientes de y.. El valor de y también será una fracción cuyo numerador será un determinante, en el cual en la primera columna tendrá los coeficientes de x y en la segunda el término independiente. El denominador será igual al determinante del sistema. Ejemplo 1: Resolver por determinantes: (1) () De (1) y () Y aplicando (3) y (4) y 1

22 Ejemplo : Entonces:... (1)... () De (1) y () Y aplicando (3) y (4) y Entonces: Método Gráfico Como estamos tratando sistemas lineales, las gráficas de las ecuaciones son dos rectas. Ejemplo 1: Resolver gráficamente el sistema: Hay que hallar la intersección de estas dos rectas en una gráfica:

23 -x ( 4, 3 ) x - y = 1 x + y = 7 f(x) -f(x) La intersección es el punto (4,3). Por lo tanto la solución del sistema es: x=4 y y=3 x Resolver gráficamente el sistema: Hay que hallar la intersección de estas dos rectas en una gráfica: La intersección es el punto ( -3, -5 ). Por lo tanto la solución del sistema es: x= -3 y y= -5 60/1 50/1 40/1 30/1 0/1 10/1 -x 0/ / ( -3, -5 ) - 0/1-30/1 f(x) -f(x) 7x - y = -16 5x - 3y = 0 x 3

24 4.0 PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION 4.1 Productos Notables Dentro de la multiplicación algebraica existen algunos productos que pueden ser desarrollados en forma directa, debido a que cumplen con ciertas reglas fijas, y su resultado puede ser escrito por inspección, sin que se necesite multiplicar término a término primero y luego reducir. Estos productos se conocen como productos notables y son: Potencia de un binomio de la forma Cubo de un binomio (a ± b) n Binomios conjugados Cuadrado de un binomio Productos Notables Binomios con término común Binomio conjugado Son dos factores cuyos términos son iguales, solo difieren del signo, y su producto será igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término Ejemplo 1: Igual Ejemplo : Igual x y x y x y x y

25 Ejemplo 3: n1 m n1 3m n1 3m n 6m 5a 3a 5a 3a 5a 3a 5a 9a Binomio con término común Son dos factores que tienen un término en común y su producto es igual al cuadrado del término común más el producto del término común por la suma de los términos no comunes y más el producto de los términos no comunes: Ejemplo 1: igual Ejemplo : (x 7)(x 4) x (7 4)x (7)( 4) x 3x 8 Ejemplo 3: (x 6)(x ) x (7 4)x ( 6)( ) x 8x 1 Cuadrado de un binomio El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término más (o menos) el producto del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo término. Ejemplo 1: a 3b a a 3b 3b 4a 1ab 9b 5

26 Ejemplo : n1 n n1 n1 n n x y x x y y x x y y n n1 n n4 Ejemplo 3: x 3y x x x 3y x 3y x x 3x y x 9y x Cubo de un binomio El cubo de un binomio es igual cubo del primer término más (o menos) el triple producto del cuadrado del primer término por el segundo, más el triple del primer término multiplicado por el cuadrado del segundo, más (o menos) el cubo del segundo término Ejemplo 1: 3xy 3xy 33xy 33xy x y 3 9x y 3 3xy x y 54x y 36xy 8 Ejemplo : x y 3x 33x y 33x y y x 3 9x y 3 3x y y x 7x y 9x y y

27 Ejemplo 3: n m n n m n m m x y 3x 33x y 33x y y x 3 9x y 3 3x y y 6n 4n m n m 3m 7x 7x y 9x y y 6n 4n m n m 3m Potencia de un binomio de la forma a b n. Triángulo de Pascal El triángulo de Pascal nos permite elevar un binomio a cualquier potencia, directamente, sin tener que hallar las potencias anteriores. Este método se divide en dos partes, primero se encuentran los coeficientes del desarrollo del binomio de cualquier potencia y después se encuentran los factores literales, el producto de cada coeficiente y de cada factor literal formará cada uno de los términos del desarrollo del binomio. Coeficientes del binomio Los coeficientes de los términos del desarrollo del binomio, se obtienen utilizando el triángulo de Pascal. La manera de formar el triángulo es de la siguiente forma: 1. Comienza y termina con 1. En la segunda fila horizontal se coloca 1, espacio 1 3. En la tercera fila y en las siguientes se empieza por 1 y cada número posterior se obtiene sumando en la fila anterior el primer número con el segundo, el segundo con el tercero, el tercero con el cuarto y así sucesivamente y se termina con uno. 4. La primera fila corresponde a los coeficientes a b de 0 5. La segunda fila corresponde a los a b coeficientes de La tercera fila corresponde a los coeficientes a b de 8. La fila n-ésima da los coeficientes de a b n1 7

28 El triángulo de pascal para el valor n = 10 queda de la siguiente manera: Los factores de las literales se obtienen de la siguiente manera: 1. El primer factor de a b n debe contener n a. El primer factor literal es n a, el segundo es a términos b n1 1 a b, el tercer término es n y así sucesivamente. El grado del término a decrece medida que el término del grado b aumenta hasta llegar a 3. Cada término se forma con el coeficiente numérico obtenido del triángulo de Pascal y el factor literal señalado en el puto anterior. a b 4. Si el binomio es de la forma n positivos a b 5. Si el binomio es de la forma n +,, empezando con el signo positivo n b., todos los signos de los términos del desarrollo del binomio, serán, los signos de los términos del desarrollo del binomio se alternarán 6. En el triángulo de pascal el segundo número de la fila horizontal indica el exponente n del binomio Ejemplo 1: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8

29 Ejemplo : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 4. Factorización El proceso inverso de desarrollar una multiplicación es la factorización. Factorizar una expresión algebraica (suma de términos algebraicos), consiste en escribirla en forma de multiplicación, para lo cual se debe identificar a los factores comunes a todos los términos y agruparlos. Los factores comunes son aquellos números que aparecen multiplicando a todos los términos de una expresión algebraica y pueden ser números o literales. Existen varios métodos de factorización dependiendo del tipo de expresión algebraica que se tenga, los más utilizados son: Factorización Factor común Por agrupación Diferencia de cuadrados Trinomio de la forma Diferencia de cubos División sintética Trinomio cuadrado perfecto Completar trinomio cuadrado perfecto x + bx + c ax + bx + c FACTOR COMUN En este tipo de expresiones todos los términos presentan un monomio factor común, que puede ser una literal, o bien un coeficiente. La ley distributiva de la multiplicación permite expresar estos términos como un producto de dos factores, donde uno de ellos es el monomio factor común. Para llevar a cabo este tipo de factorización se utiliza el siguiente procedimiento: 1. Determinar el máximo común denominador de todos los coeficientes presentes en la expresión algebraica. Identificar la(s) literal(es) que se repiten en cada uno de los términos y escoger la de menor potencia 3. El coeficiente y literal seleccionadas en los pasos anteriores será el monomio factor común 4. Aplicando la ley distributiva escribir la expresión algebraica como una multiplicación 9

30 Ejemplo 1: Factorizar: 3 8a b3a c 4a 1. En la expresión algebraica que se quiere factorizar encontramos que los coeficientes de los tres términos son 8, 3 y 4, su mínimo común denominador es = = 5 El factor que aparece en los tres coeficientes es el, y su potencia mínima es 3, por lo tanto máximo factor común es 3 = 8. La literal que aparece en los tres términos es la letra a y la de menor potencia es a, por lo que esta será la literal factor común. 3. Podemos concluir que el monomio factor común es 8a. 1 4 = 3 x 3 4. Dividir cada término entre 8a y después aplicar la ley distributiva: 3 3 8a b 3a c 4a 8a b3a c 4a ab 4a c 3 8a 8a 8a 5. El término factorizado queda de la siguiente manera 8a ab 4a c 3 30

31 Ejemplo : Factorizar x y 4x y z 40x y b 1. En la expresión algebraica que se quiere factorizar se encuentra que los coeficientes de los tres términos son 16, 4 y 40, su mínimo común denominador es = 4 4 = 3 x 3 40 = 5 x 3 El factor que aparece en los tres coeficientes es el, y su potencia mínima es 3, por factor común es 3 = 8 lo tanto máximo. La literal que aparece en los tres términos es la letra x y y, la de menor potencia de x es x 3, y la de menor potencia de y es y, por lo que esta será la literal factor común. 3. Se puede concluir que el monomio factor común es 8x 3 y. 4. Dividir cada término entre 8ª y después aplicaremos la ley distributiva: x y 4x y z 40x y b 16x y 4x y z 40x y b = 3xz 5x yb x y 8x y 8x y 5. El término factorizado queda de la siguiente manera 3 8x y 3xz 5x yb Factorización por agrupación Cuando un polinomio consta de cuatro términos, y no tienen un mismo factor en común, en algunas ocasiones éstos pueden factorizarse mediante un arreglo que consiste en reescribir dicha expresión algebraica como dos binomios, agrupando adecuadamente los términos, para explicar este método se utilizarán los siguientes ejemplos: 31

32 Ejemplo 1: Factorizar: ax bx ay by 1. Se observa que los dos primeros términos tienen en común a la literal x y los dos último términos a la literal y, vamos a agrupar estos términos de la siguiente forma: ax bx ay by. Factorizar cada uno de los términos: xa b ya b 3. Se puede observar que estos dos términos tienen ahora un factor en común que es (a + b), finalmente se vuelve a factorizar: x ya b Ejemplo : Factorizar: 3m 6mn 4m 8n 1. Se puede observar que los dos primeros términos tienen en común a la literal m y al coeficiente 3, mientras que los dos últimos términos tienen como factor al coeficiente 4, vamos a agrupar estos términos de la siguiente forma: 3m 6mn 4m 8n. Factorizar cada uno de los términos: 3m m n 4m n 3. Se puede observar que estos dos términos tienen ahora un factor en común que es (m n), entonces finalmente volvemos a factorizar: 3m 4m n 3

33 Ejemplo 3: Factorizar: x 3xy 4x 6y 1. Se puede observar que los dos primeros términos tienen en común a la literal x, mientras que los dos últimos términos tienen como factor al coeficiente, vamos a agrupar estos términos de la siguiente forma:. Factorizar cada uno de los términos: x 3xy 4x 6y xx 3y x 3y 3. Se puede observar que estos dos términos tienen ahora un factor en común que es (x 3y), entonces finalmente volvemos a factorizar: NOTA: x x 3y El ejemplo 3 también se puede resolver de la siguiente forma Factorizar: x 3xy 4x 6y 1. Se puede que el primero y tercer término tienen en común a la literal x, y al coeficiente, mientras que el segundo y cuarto término tiene como factor común a la literal y y al coeficiente 3, vamos a agrupar estos términos de la siguiente forma:. Factorizar cada uno de los términos: x 4x 3xy 6y xx 3y x 3. Se puede observar que estos dos términos tienen ahora un factor en común que es (x ), entonces finalmente volvemos a factorizar: x x 3y el resultado es el mismo Factorización de una diferencia de cuadrados Si recordamos que al multiplicar dos binomios conjugados, el producto de éstos es una diferencia de cuadrados, por lo tanto si lo expresamos de forma inversa, estaremos factorizando una diferencia de cuadrados: 33

34 El método para llegar a esta factorización es extraer la raíz cuadrada del primero y segundo término y multiplicar la suma de estas raíces por su diferencia Ejemplo 1: Factorizar 16x 5y 4 16x 5y 4x 5y 4x 5y 4 16x 4x 5y 5y 4 Ejemplo : Factorizar 6 a 9b a 9b a 3b a 3b a a 4 9b 3b Ejemplo 3: Factorizar n 6m 4a 9b 4a 9b a 3b a 3b n 6m n 3m1 n 3m1 4a n a n 9b 3b 6m 3m1 34

35 Factorización de un trinomio cuadrado perfecto Antes de estudiar este método definamos lo que es un trinomio cuadrado perfecto: Un trinomio cuadrático es perfecto cuando es el producto del binomio al cuadrado, así el trinomio a b porque resulta de elevar a ab b es cuadrado perfecto Cuando se requiere factorizar un trinomio cuadrado perfecto, es recomendable, verificar si lo es, este trinomio debe cumplir con dos características: 1. Las literales del primero y tercer término deben tener raíz cuadrada exacta. El segundo término debe ser igual a: segundo término = ab Ejemplo 1: Factorizar 4x 0xy 5y 1. Verificar si es trinomio cuadrado perfecto. 4x 0xy 5y a b 4x x 5y 5y El segundo término debe ser igual a ab ab x 5y 0xy 3. Factorizar Igual al segundo término, si es trinomio cuadrado perfecto 35

36 a ab + b = a b 4x 0xy 5y x 5y mismo signo Ejemplo : Factorizar 5a 40ab 16b 4. Verificar si es trinomio cuadrado perfecto 5a 40ab 16b a b 5a 5a 16b 4b El segundo término debe ser igual a ab ab 5a 4b 40ab 5. Factorizar Igual al segundo término, si es trinomio cuadrado perfecto a ab + b = a b 5a 40ab 16b (5a 4b) mismo signo Factorización completando el trinomio cuadrado perfecto 36

37 En algunas ocasiones el trinomio no está completo, puede faltar el segundo o tercer término o bien no están completas, en estos casos se puede completar el trinomio de la siguiente forma: Caso No.1: Se tiene una suma de cuadrados, falta el segundo término Para completar el trinomio se utiliza el siguiente procedimiento: 1. Determinar cuál sería el segundo término y sumarlo y restarlo a la expresión para que no se altere, para ello utilizaremos la siguiente fórmula segundo término = ab. La expresión resultante es una diferencia de cubo que se puede factorizar fácilmente. Ejemplo 1: Completar el trinomio cuadrado perfecto y factorizar la siguiente expresión algebraica: a 4b Calcular del segundo término a 4b 4 4 a a 4 4b b 4 El segundo término debe ser igual a ab ab a b 4a b. Sumar y restar el segundo término 4 4 a 4b 4a b 4a b 3. Agrupar términos a 4a b 4b 4a b

38 4. Factorizar el trinomio a b 4a b 5. Factorizar la diferencia de cuadrados a b 4a b a b ab a b ab 6. Finalmente la expresión algebraica queda de la siguiente forma: 4 4 a 4b a b ab a b ab Ejemplo : Completar el trinomio cuadrado perfecto y factorizar la siguiente expresión algebraica: 4 x 9 1. Calcular del segundo término 4 x 9 x x Sumar y restar el segundo término El segundo término debe ser igual a ab ab x 3 6x x 96x 6x 38

39 3. Agrupar términos x 6x 9 6x 4 4. Factorizar el trinomio x 3 6x 5. Factorizar la diferencia de cuadrados x 3 6x x 3 6x x 3 6x 6. Finalmente la expresión algebraica queda de la siguiente forma: 4 x 9 x 3 6x x 3 6x Caso No.: Si se tiene el primero y segundo término o el trinomio no es perfecto En este caso se debe calcular el tercer término mediante la siguiente fórmula: ndo.término Tercer término = 1er.término El procedimiento se explica con los siguientes ejemplos: Ejemplo 1: Completar el siguiente trinomio para que sea perfecto y factorizar: a 6ab 16b 1. Verificar si el trinomio es cuadrado perfecto, este paso lo omitiremos, para cualquier duda consultar el tema Calcular el tercer término a 6ab 16b ndo.término 6ab 6ab Tercer término = 3b 9b 1er.término a a 39

40 3. Sumar y restar el tercer término a 6ab 16b 9b 9b 4. Agrupar los dos primeros términos 5. Factorizar el trinomio a 6ab 9b 16b 9b a 6ab 9b 5b a 3b 5b 6. Factorizar la diferencia de cuadrados 7. La expresión algebraica factorizada queda: Ejemplo : a 3b 5b a 3b 5b a 3b 5b = a 3b 5b a 3b 5b = a 8b a b a 6ab 18b a 8b a b Completar el siguiente trinomio para que sea perfecto y factorizar: x 4x 1. Calcular el tercer término x 4x ndo.término 4x 4x Tercer término = 4 1er.término x x. Sumar y restar el tercer término x 4x Agrupar los dos primeros términos x 4x

41 4. Factorizar el trinomio x 4 5. Factorizar la diferencia de cuadrados 6. La expresión algebraica factorizada queda x 4 x x x x = x 4 x x 4x x x 4 Factorización de un trinomio de la forma x + bx + c Para que un trinomio sea de la forma x + bx + c se debe cumplir con las siguientes condiciones: a) El coeficiente del primer término debe ser 1 y la literal(es) debe(n) tener raíz cuadrada exacta b) El segundo término tiene la misma literal que el segundo y tercero pero su exponente es la mitad de éstos. c) El tercer término puede tener cualquier coeficiente, pero su literal(es), si la tiene(n) debe(n) tener raíz cuadrada exacta. Para factorizar este tipo de expresiones se utiliza el siguiente método: 1. Ordenar el trinomio en forma decreciente respecto a una de las literales. Abrir dos paréntesis cuyo primer término será la raíz cuadrada del primer término del trinomio 3. Descomponer el coeficiente del tercer término en dos factores que sumados de cómo resultado el coeficiente del tercer término y multiplicados el coeficiente del tercer, estos factores se colocan como segundos términos dentro de los paréntesis. Ejemplo 1: Factorizar x 7x 1 1. Ordenar el trinomio en forma decreciente respecto a una de las literales x 7x 1. Abrir dos paréntesis cuyo primer término será la raíz cuadrada del primer término del trinomio x 7x 1 x x 41

42 3. Descomponer el coeficiente del tercer término en dos factores que sumados de cómo resultado el coeficiente del tercer término y multiplicados el coeficiente del tercer, estos factores se colocan como segundos términos dentro de los paréntesis. Factores de 1 1 x = 7 4 x 3 = 1 x 7x 1 x+4 x 3 Ejemplo : Factorizar x 180y 3xy 1. Ordenar el trinomio en forma decreciente respecto a una de las literales x 3xy 180y. Abrir dos paréntesis cuyo primer término será la raíz cuadrada del primer término del trinomio. Si el tercer término tiene literal, también se le extrae su raíz cuadrada y solo quedará pendiente el coeficiente que la acompañará x 3xy 180y x y x y 4

43 3. Descomponer el coeficiente del tercer término en dos factores que sumados de cómo resultado el coeficiente del tercer término y multiplicados el coeficiente del tercer, estos factores se colocan como segundos términos dentro de los paréntesis. Factores de x x 3x 180 x+1 x = 3 1 x 15 = 180 Factorización de un trinomio de la forma ax + bx + c 15 1 Para que un trinomio sea de la forma ax + bx + c debe cumplir con las siguientes condiciones: a) El coeficiente del primer término debe ser diferente a 1 y la literal(es) que lo acompaña(n) debe(n) tener raíz cuadrada exacta b) El segundo término tiene la misma literal que el segundo y tercero pero su exponente es la mitad de éstos. c) El tercer término es diferente al primero y segundo, su coeficiente puede ser cualquier número real y su literal(es) debe(n) tener raíz cuadrada exacta Para explicar el método de factorización de este tipo de expresiones se utilizarán los siguientes ejemplos: Ejemplo 1: Factorizar 6x 7x 3 1. Multiplicar el coeficiente del primer término por el del tercero y el resultado se sustituye en lugar del tercer término: 6x 7x 3 6 x 3 = 18 43

44 6x 7x 18. Descomponer el trinomio en dos factores cuyo primer término sea el producto del coeficiente del primer término por la raíz cuadrada de su literal. 6x 7x 18 6x 6x 3. Buscar dos números que multiplicados den el tercer término, es decir 18 y sumados el segundo, 7. 1 x x 7x 18 6x 9 6x 4. Dividir la expresión entre el coeficiente del primer término del polinomio original, pero descomponiéndolo en dos factores que sean divisibles entre los coeficientes de los paréntesis obtenidos en el paso anterior. 6 x x 9 6x 6x 7x 18 x 3 3x 1 3 x Ejemplo : Factorizar 0x 7x 6 1. Multiplicar el coeficiente del primer término por el del tercero y el resultado se sustituye en lugar del tercer término: 0x 7x 6 0x 7x 10 0 x 6 = 10 44

45 . Descomponer el trinomio en dos factores cuyo primer término sea el producto del coeficiente del primer término por la raíz cuadrada de su literal. 0x 7x 10 0x 0x 3. Buscar dos números que multiplicados den el tercer término, es decir 18 y sumados el segundo, x x 7x 10 0x +15 0x 8 4. Dividir la expresión entre el coeficiente del primer término del polinomio original, pero descomponiéndolo en dos factores que sean divisibles entre los coeficientes de los paréntesis obtenidos en el paso anterior. 0 x x +150x 8 0x 7x 10 4x 3 5x 5 x 4 Factorización de una diferencia de cubos La suma o diferencia de cubos son dos términos cuyas literales que tienen raíz cúbica exacta, separados por un signo positivo o negativo. 45

46 Ejemplo 1: Factorizar: 3 x 8 x 3 8 x x x 4 x 3 3 x 3 8 Ejemplo : Factorizar: 3 8x 7 8x 3 7 x 34x 6x 9 8x 3 3 x Factorización por división sintética En algunas ocasiones el polinomio que se desea factorizar es de un grado mayor o igual a 3, y no se pueden emplear los ya vistos, sin embargo es posible factorizarlo, empleando la división sintética y una vez que el polinomio ya sea de segundo grado, entonces se pueden utilizar los métodos anteriores. A continuación e explica el procedimiento de la división sintética: 1. Se ordena el polinomio en forma decreciente de acuerdo con las potencias de la variable x, sin omitirse los coeficientes cero.. Determinar las posibles raíces del polinomio, las cuales serán identificadas con la letra a Para determinar las raíces del polinomio se deben considerar los factores p y q, donde q es el coeficiente del término que contiene a la x con mayor exponente y p, es el término independiente, todas las posibles combinaciones de p/q, serán las posibles raíces del polinomio. Ejemplo: Sea polinomio 4 3 x 3x 14x x 4 q = p = 4 46

47 p =, los factores de p son ± 1 y ± y ± 4 q = 4, los factores de q son ± 1, ± Por lo tanto las posibles raíces son: p ±, ±, ±,,±, ± q p 1 ±1, ±, ±4,,±1, ± q p 1 ±1, ±, ±4, q 3. Colocar los coeficientes del polinomio con sus respectivos signos en un renglón, incluyendo los que son igual a cero. Dejar un renglón vacio y trazar una línea horizontal 4. Colocar el valor de a, en el extremo derecho de la primera fila, recordar que este valor(es) son las posibles raíces del polinomio, determinadas el paso. 5. Bajar el primer coeficiente hasta el tercer renglón (debajo de la línea horizontal) y se multiplicarlo por el valor de a, el resultado se coloca debajo del segundo coeficiente en el renglón vacio y hacer la simplificación algebraica colocando el resultado en la columna del segundo coeficiente, pero debajo de la línea horizontal (tercer renglón), este resultado se vuelve a multiplicar por el término independiente a y así sucesivamente hasta el último término. El último coeficiente del tercer renglón es el residuo, para nuestros fines de factorización debe ser cero. 6. El polinomio quedará degradado un grado y este quedará multiplicado por el factor (x a) Ejemplo 1: Factorizar el polinomio 3 p(x) x 5x 3x 9 1. Se ordena el polinomio en forma decreciente de acuerdo con las potencias de la variable x, sin omitirse los coeficientes cero. 3 p(x) x 5x 3x 9. Posibles raíces del polinomio 3 p(x) x 5x 3x 9 q = 1 p = 9 47

48 p = 9, los factores de p son ± 1 y ± 3 y ± 9 q = 1, los factores de q son ± 1, Por lo tanto las posibles raíces son: p ±, ±, ± q p ±1, ±3, ±9, q 3. Colocar los coeficientes del polinomio con sus respectivos signos en un renglón, incluyendo los que son igual a cero. Dejar un renglón vacio y trazar una línea horizontal 3 p(x) x 5x 3x Colocar el valor de a, en el extremo derecho de la segunda fila, recordar que este valor(es) son las posibles raíces del polinomio, determinadas el paso. Probando el valor p 1 q Bajar el primer coeficiente hasta el tercer renglón (debajo de la línea horizontal) y se multiplicarlo por el valor de a, el resultado se coloca debajo del segundo coeficiente en el renglón vacio y hacer la simplificación algebraica colocando el resultado en la columna del segundo coeficiente, pero debajo de la línea horizontal (tercer renglón), este resultado se vuelve a multiplicar por el término independiente a y así sucesivamente hasta el último término. El último coeficiente del tercer renglón es el residuo, para nuestros fines de factorización debe ser cero. Probando el valor p 1 q 48

49 x 1 x 1 x Residuo Como el residuo no es cero se prueba con otro valor de a Probando el valor p 1 q Residuo 6. El polinomio quedará degradado un grado y este quedará multiplicado por el factor (x a) ( x a ) Residuo x x Num Con signo contrario La factorización queda: x 6x 9x 1 Ahora el primer factor es un trinomio que se puede factorizar fácilmente con los métodos ya vistos anteriormente x 6x 9x 1 x 3x 3x 1 x 6x 9x 1 x 3 x 1 Finalmente la factorización completa queda de la siguiente forma: 49

50 Ejemplo : Factorizar el polinomio 3 p(x) x 3x x 3 Se ordena el polinomio en forma decreciente de acuerdo con las potencias de la variable x, sin omitirse los coeficientes cero. 1. Posibles raíces del polinomio 3 p(x) x 3x x 3 3 p(x) x 3x x 3 q = 1 p = 3, los factores de p son ± 1 y ± 3 p = 3 q = 1, los factores de q son ± 1, Por lo tanto las posibles raíces son: p 1 3 ±, ±, q 1 1 p ±1, ±3, q Probando para p 1 q 3 p(x) x 3x x El polinomio quedará degradado un grado y este queda Residuo ( x a ) x x Num Con signo contrario 50

51 La factorización queda: x 4x 3x 1 Ahora el primer factor es un trinomio que se puede factorizar fácilmente con los métodos ya vistos anteriormente. Finalmente la factorización completa queda de la siguiente forma: 5.0 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Ecuación cuadrática con una incógnita Es una ecuación en la cual, el mayor exponente de la incógnita es dos, se representa de la siguiente manera: Donde a, b, c son constantes, b y c pueden tomar cualquier valor, a, debe ser diferente a cero, sin lo a ecuación se convierte en una de primer grado. ECUACION CUADRÁTICA Completas Incompletas Tiene la forma son aquellas donde b y/o c toman el valor de cero donde a,b y c son constantes diferentes a cero 51

52 Raíces de una ecuación cuadrática Son los valores de la incógnita que satisfacen la ecuación la solución, las ecuaciones de segundo grado tienen dos raíces, en donde ambos valores satisfacen la ecuación. Métodos para encontrar la solución de una ecuación de segundo grado Las ecuaciones de segundo grado se pueden resolver, es decir, encontrar sus raíces por tres métodos distintos: FORMULA GENERAL MÉTODO GRÁFICO FACTORICACIÓN SOLUCION ECUACION DE SEGUNDO GRADO 5.1 Factorización: Si el primer miembro de la ecuación cuadrática se puede descomponer en dos factores, las raíces se determinan directamente a partir de dichos factores; igualando a cero cada uno de los factores y despejando la incógnita. Ejemplo 1 Ejemplo ( )( ) ( )( ) x x Raíces x x Ecuaciones cuadráticas incompletas: Raíces Si la ecuación es de la forma incompleta, es decir a = 0 y/o b = 0 se utiliza el mismo procedimiento descrito anteriormente o bien se realiza el despeje correspondiente: 5

53 Ejemplo 1 Ejemplo ( ) x x x Raíces Raíces Raíces imaginarias: x i x i Raíces 5. Por fórmula general: Las raíces de una ecuación de segundo grado, también se pueden obtener utilizando la fórmula general para ecuaciones de segundo grado, sin importar si la ecuación está completa o no. Fórmula General x b b ac a Donde: a = Coeficiente de b = Coeficiente de c = el término independiente 53

54 Ejemplo 1 ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) x x Ejemplo Ejemplo 3 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) x x x x 54

55 5.3 Por el método gráfico: Al graficar una ecuación de segundo grado con una incógnita, se obtiene una parábola. Para encontrar sus raíces se debe graficar la ecuación y las raíces son el punto de intersección de la parábola con el eje de las abscisas, es decir el eje x. La gráfica de una parábola tiene las siguientes características: Cóncava hacia arriba, El valor de a = + Cóncava hacia arriba, El valor de a = x x x x Coordenadas del vértice: [ ] Al graficar una ecuación cuadrática es conveniente calcular su vértice y determinar su concavidad para asignar los valores adecuados para graficar. Ejemplo 1: 55

56 [ [ ] ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ] Tabulación x y [ ] 1 [ ] [ ] Punto de intersección en x = o Entonces las raíces x x Ejemplo : [ ( ) ( ) [ ] ( )( ) ( ) ( ) ] Tabulación x y [ ]

57 [ ] 0 NOTA: Adicionar la coordenada del vértice cuando se grafique Punto de intersección en x = 1 y x = 4 Entonces las raíces x x 57

58 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 1. BALDOR Aurelio;(1995), Algebra, México D.F., México Editorial Publicaciones Cultural. CARREÑO, X y Cruz, X. (003), Álgebra, México D.F., México, Editorial Publicaciones Cultural 3. CUÉLLAR Carvajal, Juan; (004), Álgebra, México D.F., México, Editorial Mc Graw Hill 4. LEHMANN Charles; (008), Álgebra, México D.F., México, Editorial Limusa 5. Lovaglia, F., Elmore, M., Conway, D. (004). Álgebra. México, D.F, México.: OXFORD. 58