Números enteros (Z) En la multiplicación de dos números enteros, se multiplican sus valores absolutos y, después, se aplica la regla de los signos.

Transcripción

1 Números enteros (Z) Suma de números enteros (+) + (+8) = (+1) ( ) + ( ) = ( 11) (+) + ( 7) = ( ) (+10) + ( 7) = (+) La suma de n os enteros del mismo signo se obtiene sumando los valores absolutos de dichos números poniendo el signo común. La suma de nos enteros de distinto signo se obtiene restando los valores absolutos de dichos números poniendo el signo del que tenga maor valor absoluto. 1. Efectúa las siguientes sumas: a) ( ) + 1 = e) 8 + ( 0) + ( ) = b) ( ) + + ( ) ( ) = f) ( ) ( ) + = c) 1 + ( ) + + ( ) + + ( 0) = g) ( ) ( 7) + ( ) = d) + + ( 1) + ( ) + ( ) + 8 = h) + ( 8) + ( 10) + + = Resta de números enteros ( ) (+) = ( ) + op (+) = ( ) + ( ) = ( 8) 7 ( ) = 7 + op ( ) = 7 + = 11 La resta de dos números enteros se obtiene sumando al minuendo el opuesto del sustraendo. 1. Realiza estas restas con números enteros. a) ( ) 7 = d) ( 7) ( ) = b) ( 7) ( ) ( ) 18 = e) ( ) ( ) ( 7) = c) ( ) ( ) ( ) = f) ( ) 18 ( 10) =. Realiza las siguientes sumas restas combinadas, operando de izquierda a derecha. a) ( ) + + ( ) ( ) = d) ( 10) + ( ) + 8 ( ) = b) ( ) 10 + ( ) ( ) = e) ( 7) ( 1) + 7 ( ) = c) + ( ) + ( 7) 7 ( 10) = f) ( ) + ( ) ( 10) + 1 = Multiplicación de números enteros 1. Calcula: (+) (+) = (+1) (+) ( ) = ( 1) ( ) (+) = ( 1) ( ) ( ) = (+1) En la multiplicación de dos números enteros, se multiplican sus valores absolutos, después, se aplica la regla de los signos. a) ( ) 7 ( 1) ( ) = d) ( ) ( ) = b) ( ) ( 1) = e) ( ) = c) ( ) ( 7) = f) ( ) 8 ( ) 7 = División de números enteros (+1) : (+) = (+7) (+1) : ( ) = ( 7) ( 1) : (+) = ( 7) ( 1) : ( ) = (+7) 1. Calcula: En la división de números enteros, se dividen sus valores absolutos, después, se aplica la regla de los signos. a) ( 100) : : ( ) = d) : ( 1) : ( ) = b) ( ) : ( 1) : = e) 1 : 1 : ( ) = c) ( ) : : ( ) = f) ( 7) : ( 8) : = + + = + + = = = + + : + = + + : = : = : = + Jerarquía de las operaciones con números enteros En la realización de varias operaciones combinadas, se sigue este orden: 1. Se resuelven los paréntesis corchetes. Se realizan las multiplicaciones divisiones (siempre de izquierda a derecha). Se efectúan las sumas restas [( ) ] ( ) + ( 8): ( 8) ( ) + ( 8) : 1 + ( ) = 1 1. Teniendo en cuenta la jerarquía de las operaciones, calcula: a) ( 7) ( ) + ( ) ( ) = e) ( ) ( ) + 1 : ( ) 8 : ( ) = b) ( 8) + ( ) : ( ) 1 : ( ) + = f) 10 + ( ) + 7 ( ) : ( ) 8 : + ( ) : = c) ( ) ( ) ( ) = g) [( ) ( ) + ( )]: ( ) ( ) = d) [( ) + ( ) 7] [( ) + ] 7 = h) [( 10) + ( )]: [ ( ) + 8] + 7 = 1

2 Potencias de números enteros a n base eponente Potencias de eponente par Tanto si la base es positiva como si es negativa el resultado es otro número positivo Potencias La potencia es una forma abreviada de epresar una multiplicación en la que la base se repite tantas veces como indique el eponente. Potencias de eponente impar Si la base es positiva el resultado es otro número positivo si la base es negativa el resultado es otro número negativo Propiedades de las potencias Multiplicación de potencias de la misma base: ( ) ( ) = ( ) + = ( ) 7 División de potencias de la misma base: : = = Potencia de una potencia: [( ) ] = ( ) = ( ) 10 Potencia de un producto: [( ) 7] = ( ) 7 Potencia de un cociente: [( 8) ( )] = ( 8) ( ) Potencia de eponente 1: ( ) 1 = ( ) 1 1 = 1 Potencia de eponente 0: 0 = 1 ( 8) 0 = 1 1. Calcula: a) ( 1 ) ( 1 ) = f) ( ) [( 1 ) ] b) ( 7 ) ( 7 ) = g) [( ) ] ( ) = c) ( ) = h) ( 7 )7 [( 7 ) ] = d) [( ) ] = i) [( ) ] ( ) [( ) ] = e) [() ] () = j) ( ) [( ) ] : [( ) ] = Raíces cuadradas Índice a = ±b Radical radicando raíz Operaciones con raíces de igual índice Multiplicación División Potencia = = = = ±, a que = ( ) = no eiste Observa que los números enteros positivos tienen dos raíces cuadradas, una positiva otra negativa, que los números enteros negativos no tienen raíz cuadrada. = 100 = ( ) = () 1. Realiza las siguientes operaciones con raíces cuadradas: a) = d) 1 = g) 7 = b) 1 = e) 100 = h) = c) = f) 81 = i) ( 1 ) = Jerarquía de las operaciones con potencias raíces 1. Se resuelven los paréntesis corchetes. Se realizan las potencias raíces. Se efectúan las multiplicaciones divisiones (siempre de izquierda a derecha. Se resuelven las sumas restas ( ) + ( 1) [( ) + ] ( ) + 1 [( )] 8 : ( ) + 1 ( ) + ( 7) = 1. Calcula: a) (- -) 1 : (-) + (-8) = d) ( ) 1 + ( ) = b) [0 7 7 (-)] : (-) + (-). = e) ( ) + ( ) 7 =

3 c) [(-) (-10)] + = g) ( ) +. ( ) = Números racionales ( ) (Fracciones) Sumas restas Para realizar las mismas, los denominadores tienen que ser iguales. Si los denominadores son diferentes, para resolverlas ha que reducirlas a un común denominador. (m.c.m. de los denominadores) Multiplicación Se multiplican los numeradores entre sí los denominadores entre sí. (Nunca se halla el m.c.m.) División Se multiplica la primera fracción por la inversa de la segunda. (Multiplicamos en cruz) 1. Calcula simplifica siempre que se pueda. a) + 1 ( + 1 ) 8 e) b) (1 + 1 ) + f) 10 + ( 1 ) 18 1 c) ( ) g) ( d) + ( ) + 1 h) (7 + ) Epresiones algebraicas Monomios Un monomio es una epresión algebraica formada por productos de números letras. A los números se les denomina coeficientes, a las letras con sus eponentes, parte literal. EJEMPLOS Monomio ab 7 Coeficiente 7 Parte literal ab Grado de un monomio El grado de un monomio es el número que resulta de sumar todos los eponentes de su parte literal. EJEMPLOS Monomio Grado Eplicación 1 El eponente de es 1 ( 1 ) a La suma de los eponentes de a 1 es + 1 = La suma de los eponentes de es + = 1. Completa la siguiente tabla. Monomio Coeficiente Parte literal Grado 1 a b ab z 7ab c z

4 Monomios semejantes Dos o más monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal. EJEMPLOS son monomios semejantes porque tienen la misma parte literal () son monomios semejantes porque tienen la misma parte literal ( ) no son monomios semejantes Suma resta de monomios La suma resta de monomios sólo se puede realizar cuando los monomios son semejantes. Para sumar o restar monomios semejantes se suman o restan los coeficientes se deja la misma parte literal. EJEMPLOS + = ( + 1) = + La suma se deja indicada porque no son monomios semejantes 1. Realiza las siguientes operaciones. a) b + b + b + b = d) = b) + + = e) = c) mn mn mn = f) p p + p =. Reduce las siguientes epresiones, realizando las sumas restas posibles. a) m + n m + n = f) = b) = g) - + = c) a + a 8b + a + b = h) ab ab + 7ab + ab ab = d) p p + p p = i) ab ab + ab ab + ab = e) b 7b + b b + b = j) = Producto de monomios El producto de dos o más monomios es otro monomio cuo coeficiente es el producto de los coeficientes cua parte literal es el producto de las partes literales. EJEMPLOS = ( ) = ( ) = [ ( )] = 8 1. Opera reduce. a) m 7m = f) ( ) ( ) = b) = g) ( z) (z ) = c) a a = h) 1 ab ac d) 1 i) 1 e) p p j) a a División de monomios El cociente de dos monomios es otro monomio cuo coeficiente es el cociente de los coeficientes cua parte literal es el cociente de las partes literales. EJEMPLOS : :

5 1. Efectúa las siguientes operaciones. a) (7 : ) + = b) ( 7 : ) ( : ) = c) (8a b : ab) + b = d) ( + 1) ( :) = e) (1a b : a b) b = f) ( : ) = g) [( ) : ( )] + ( 1) = Polinomios La suma (o resta) indicada de dos monomios recibe el nombre de binomio. La suma (o resta) indicada de tres monomios recibe el nombre de trinomio. En general, la suma (o resta) indicada de varios monomios recibe el nombre de polinomio. El grado de un polinomio es el maor de los grados de los sumandos que lo forman. EJEMPLO: es un trinomio de º grado. 1. Anota el grado de cada uno de los siguientes polinomios: a) + grado c) + grado b) 8 + grado d) 7 + grado. Ordena según el grado de los sumandos reduce los siguientes polinomios: a) b) EJERCICIO RESUELTO: Calcular el valor numérico del polinomio A = para = Sustituendo por ( ) ( ) 7 ( ) + ( ) + = 81 ( 7) 7 + ( ) + = = 7 Solución: El Valor numérico del polinomio A para = es 7.. Calcula : a) El valor numérico del polinomio M = para = 0. b) El valor numérico del polinomio N = para = 1 Suma Resta de polinomios Para sumar dos o más polinomios se colocan uno debajo de otro, haciendo coincidir, en la misma columna, los monomios semejantes. Sumar los polinomios A = + 7 B = A + 7 B A +B + El opuesto de un polinomio es otro polinomio, que sumado con él, lo anula. El opuesto de P = es P = + +, a que, sumándolos, se obtiene el polinomio nulo. Para restar dos polinomios se suma el primero con el opuesto del segundo. Es decir, se le cambia el signo al segundo se suman. Vamos a restar los polinomios A B de arriba: A + 7 B + + A B + + -

6 1. Dados los polinomios M = 7 +,, N = K = +, calcula: a) M + N b) M + K c) M + N +K Producto de polinomios Producto de un polinomio por un número ( - + 1) = 1 + Producto de un polinomio por un monomio ( + 1) ( ) = Producto de dos polinomios ( + 1) ( + ) = = Efectúa: a) ( + 1) ( ) = d) ( + ) ( + 1) = b) ( 1) ( + ) = e) ( + + ) ( + 1) = c) ( + ) ( 1) = Etracción de factor común Observa la siguiente epresión: a b + a c a d Se trata de una suma cuos sumandos son productos. Todos estos productos contienen un factor común a. Entonces podemos transformar la suma, sacando factor común colocando un paréntesis: a b + a c a d = a (b + c d) EJEMPLOS: + = ( + ) ( ) + = + = ( + ) + = 1 + = ( ) (1 + ) 1. Etrae factor común en cada una de las siguientes epresiones: a) a + b e) + b) a + 10 f) + c) a + 1a g) + z + d) ab + a b h) + +. Simplifica, etraendo factor común donde se pueda, las siguientes fracciones: a) b) a b c) a 10 d)

7 Productos notables Cuadrado de una suma El cuadrado de una suma de dos sumandos es igual al cuadrado del primero más el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo. (a + b) = a + ab + b EJEMPLOS: ( + ) = + + = + + ( + ) = + + () = Cuadrado de una diferencia El cuadrado de una diferencia es igual al cuadrado del primero menos el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo. (a b) = a ab + b EJEMPLOS: ( ) = + = 10 + (1 ) = () = 1 + Suma por diferencia Suma por diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados. (a + b) (a b) = a b EJEMPLOS: ( + ) ( ) = = - ( + ) ( ) = () = 1. Calcula: a) ( + 1) d) ( ) g) (a 1) b) ( 1) e) ( + ) h) (a + b) c) ( + ) f) ( ) i) ( b + a). Quita paréntesis: a) (a + 1) (a 1) c) (+ 1) ( 1) b) ( + ) ( ) d) (a + b) (a b) Cociente de polinomios El cociente de un polinomio entre un número, se obtiene dividiendo cada término del polinomio entre dicho número. EJEMPLO: ( ) : = + 1 : = 10 : = 0 : = / El cociente de un polinomio entre un monomio, se obtiene dividiendo cada término del polinomio entre dicho monomio. EJEMPLO: (1 + ) : = 8 + R = 1 : = : = 8 : = : = No se puede dividir 1 + /

8 1. Efectúa los siguientes cocientes de polinomios. a) ( + 8 ) : = d) ( ) : = b) ( ) : = e) ( ) : = c) ( + 1) : = f) ( ) : = Ecuaciones de 1 er grado Resolución de ecuaciones de 1 er grado Resolver una ecuación de primer grado con una incógnita, es encontrar el valor de la letra (incógnita). Es hallar su solución. Para resolver una ecuación despejamos la incógnita, es decir, la dejamos sola en uno de los miembros. Para despejar la incógnita necesitamos transponer (cambiar de lado) los términos. Al sumar, restar, multiplicar o dividir por el mismo número en los dos miembros de la ecuación, obtenemos otra ecuación equivalente (con la misma solución). PRIMER CASO + 7 = = 7 = 7 Lo que está sumando pasa al otro miembro restando. SEGUNDO CASO = 8 + = 8 + = 8 + Lo que está restando pasa al otra miembro restando. TERCER CASO CUARTO CASO Lo que está multiplicando pasa al otro miembro dividiendo. Lo que está dividiendo pasa al otro = miembro multiplicando. 1. Resuelve las siguientes ecuaciones. a) + = 7 f) 1 k) 1 b) + 10 = g) 1 l) 1 10 c) = h) = m) = 1 d) 7 = 8 i) n) + 18 = e) = j) 1 1 ñ). Resuelve. a) + = + 1 d) 8 = + 1 g) + +8 b) + = e) + 1 = 1 + h) + + = + c) = 10 + fj) + 1 = + - i) = 8

9 Método general de resolución de ecuaciones Resuelve la ecuación ( ) ( + ) = Para resolver una ecuación es conveniente seguir estos pasos: 1.º Eliminar paréntesis. 8 =.º Reducir términos semejantes. 1 =.º Transponer términos. Restamos en ambos miembros (segundo caso) 1 = - 1 = Sumamos en ambos miembros (primer caso) 1 + = + 10 =.º Despejar la incógnita. Dividimos ambos miembros entre (tercer caso) Resuelve estas ecuaciones. a) + 8 ( + 1) = ( + ) 7 f) ( ) + 8 = + b) ( 1) = g) ( ) = + - c) ( + 1) ( 1) = ( + 10) h) ( + ) = 8 ( ) d) ( ) = ( + 1) i) + ( ) = ( + ) e) ( ) + 1 = ( + 1) j) ( 1) ( ) = 1 Resolución de ecuaciones con denominadores Resuelve la ecuación 1 7 Para resolver una ecuación con denominadores es conveniente seguir estos pasos: 1.º Eliminar los denominadores. m.c.m. (,,) = = 1 ( 1) ( ) ( 7) ( 1) = ( ) + ( 7).º Eliminar paréntesis. 8 = º Reducir términos semejantes. 8 = 1 º Transponer términos. Restamos 8 en ambos miembros 8 8 = 1 8 = 7 Sumamos en ambos miembros + = 7 + = 7.º Despejamos la incógnita. Dividimos ambos miembros entre Resuelve estas ecuaciones. 1 1 a) b) c) 1 d) e) 0 f) 10 7 g) 1 h) ( ) 7( ) 10 i) 11 j) 1 8 k) 1 l) 1 m) 1 n)

10 Ecuaciones de º grado Ecuación de º grado Una ecuación de segundo grado es una igualdad algebraica del tipo a + b + c = 0, donde: a, b c son los coeficientes de la ecuación, siendo a 0. a término cuadrático b término lineal c término independiente es la incógnita. Fórmula general para la resolución de ecuaciones de segundo grado Una ecuación de segundo grado puede tener dos, una o ninguna solución. Para obtener las soluciones de una ecuación de segundo grado se aplica la siguiente fórmula: a b b ac 1 b b ac a b c 0 a b b ac a EJEMPLO: Resuelve la ecuación de segundo grado + + = 0. a = 1,, b =,, c = Sustituendo los valores en la ecuación + + = 0, se comprueba que la cumple. ( ) + ( ) + = = = 0 0 = 0 ( ) + ( ) + = = = 0 0 = 0 1. Resuelve estas ecuaciones de segundo grado. Resuelve. a) + + = 0 d) = 8 b) + 8 = 0 e) + = c) 7 = 0 f) ( ) ( 1) = a) ( ) + = ( 1) c) ( ) 1 = 0 b) ( ) ( ) = 0 d) 11 = ( ) Ecuaciones del tipo a + c = 0 Las ecuaciones de la forma a + c = 0 son ecuaciones de segundo grado. Responde al tipo a + b + c = 0, donde b = 0. Para resolverlas se puede seguir este proceso: a c 0 a c * Si el radicando es positivo, ha dos soluciones opuestas: * Si el radicando es negativo, no ha solución. EJEMPLOS: 1 c a ,, No tiene solución c a c a c a 10

11 1. Resuelve las siguientes ecuaciones.. Resuelve: a) 7 8 = 0 d) = b) 180 = 0 e) 18 7 = 0 c) = 0 f) = 1 a) = 18 + c) + 8 = + b) + = 10 d) Ecuaciones del tipo a + b = 0 1 Las ecuaciones de la forma a + b = 0 son ecuaciones de segundo grado. Responde al tipo a + b + c = 0, donde c = 0. Para resolverlas se puede seguir este proceso. a + b = 0 Factor común 1 = 0 (a + b) = 0 a b 0 Estas ecuaciones tienen siempre dos soluciones, siendo cero una de ellas. b a EJEMPLOS: 1 = 0 ( 1) = 0 + = 0 ( + ) = 0 1 = 0 1 = 0 = 1 1 = Resuelve las siguientes ecuaciones. a) + = 0 f) 7 = + b) 8 = 0 g) = c) = 0 h) ( ) = ( 1) d) + 0 = 0 i) ( ) + 8 = ( + ) e) + = j) ( 1) Sistemas de ecuaciones lineales Método de sustitución Resuelve el sistema: 1º Se despeja una de las incógnitas en una de las ecuaciones. (en este caso en la primera ecuación): + = = º Se sustitue la epresión obtenida en la otra ecuación: = ( ) = º Se resuelve la ecuación resultante. ( ) = = = = 1 º Se calcula la otra incógnita en la ecuación despejada. = = 1 = 1 11

12 1 1. Resuelve por el método de sustitución: a) c) 7 1 b) 1 1 d) 1 Método de igualación Resuelve el sistema: 1º Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones (por ejemplo, ): º Se igualan las epresiones obtenidas: º Se resuelve la ecuación de una incógnita resultante: 7 1 ) ( ) ( º Se calcula el valor de la otra incógnita sustituendo en una de las ecuaciones despejadas en el paso 1º: 0 0 ) ( 1. Resuelve por el método de igualación: a) 8 c) 8 b) 10 d) 1 11 Método de reducción Resuelve el sistema: 11 1º Se igualan los coeficientes de una incógnita, ecepto el signo, para lo cual se elige un múltiplo común de ambos coeficientes. Multiplicamos por los dos miembros de la primera ecuación s º Se suman o se restan las dos ecuaciones del sistema resultante. Hemos reducido el sistema a una ecuación sencilla = 1 º Se resuelve la ecuación de una incógnita resultante: º Se calcula el valor de la otra incógnita sustituendo en una de las ecuaciones del sistema: + = + = + = = = 1

13 1. Resuelve por el método de reducción: a) 10 8 b) 0 1 c) d) 8 1. Resuelve los siguientes sistemas por el método más adecuado a) b) ( ) ( 1) c) 0 ( 7) 0 d) ( ) 0 ( ) 1 1 ( ) ( ) 7 Proporcionalidad numérica Razón entre dos números o cantidades Una razón es el cociente indicado entre dos números, a b, que se pueden comparar: a b En una razón, los números pueden ser cualquiera:,,, 10 ; mientras que en una fracción los números son enteros: ; ; 10, Proporción Si igualamos dos razones, obtenemos una proporción a = c TÉRMINOS DE UNA es una proporción PROPORCIÓN b d a, d se llaman etremos b, c se llaman medios Magnitudes directamente proporcionales Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando: - Al aumentar una cantidad el doble, el triple,, la otra aumenta el doble, el triple - Al disminuir una cantidad la mitad, la tercera parte,, la otra también disminue la mitad, la tercera parte, La razón entre dos cantidades es siempre la misma se llama constante de proporcionalidad. 1. Tres obreros realizan una zanja de metros en un día, Si mantienen el mismo ritmo de trabajo, cuántos metros de zanja abrirán en un día, si se incorporan obreros más?. El precio de 1 fotocopias es 0,0. Cuánto costará hacer 0 fotocopias?. En un eamen, Enrique ha contestado correctamente de 10 preguntas, en otro, de preguntas ha respondido bien a 1. Obtendrá en ambos eámenes la misma calificación?. Si por tres kilos de manzanas he pagado,, Cuánto me costarán 8 kilos?. Un tarro de ogur de 1 gramos tiene los siguientes componentes: Proteínas:, gramos; hidratos de carbono: 1, gramos; grasas:, gramos calcio: 10 miligramos. Si el tarro pesara 1 gramo, Qué cantidades de cada componente habría? Y si fuera de 100 gramos? Problemas de porcentajes 1. En una clase de º ESO el 0% de los alumnos son chicas. Si en total ha 0 alumnos, calcula el número de chicas, de chicos el porcentaje de estos últimos.. Una fábrica produce 100 automóviles al mes. El % son furgonetas, el 0 % turismos el resto monovolúmenes. Halla las unidades producidas de cada tipo.. Unas zapatillas que antes costaban 0 tienen un descuento del 1 %. Cuánto valen ahora?. En un instituto de 100 alumnos se han publicado los resultados de una encuesta sobre música moderna: el 0 % de los alumnos prefiere música tecno, el % pop, el 0 % rock, el resto, música melódica. Calcula los alumnos que prefieren cada modalidad musical el porcentaje de los que eligen la música melódica. 1

14 . De un colegio de 00 alumnos, el 0 % son de educación primaria, el % de ESO el 1 % de bachillerato. Halla el número de alumnos de cada nivel educativo. Una tienda de telefonía decide aumentar sus precios en un %. Cuál será ahora el precio de un teléfono que costaba 1?. Calcula que porcentaje de aumento se produce en cada caso: a) Aumento de a c) Aumento de 1 a 0 b) Aumento de a d) Aumento de 1000 a 100 Magnitudes inversamente proporcionales Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando: - Al aumentar una el doble, el triple,, la otra disminue la mitad, la tercera parte, - Al disminuir una la mitad, la tercera parte,, la otra aumenta el doble, el triple Al multiplicar (o dividir) uno de los valores de una magnitud por un número, el valor correspondiente de la otra magnitud queda dividido (o multiplicado) por el mismo número. 1. Un depósito de agua se llena en 18 horas si un grifo vierte 0 litros de agua cada minuto. a) Cuánto tardaría en llenarse si vertiera 70 litros por minuto? b) Y si salieran 0 litros por minuto?. Un ganadero tiene vacas pienso suficiente para alimentarlas durante días. Si decide comprar 18 vacas más. para cuántos días tendrá pienso?. Se está construendo una autopista ha que realizar un túnel en la montaña. Está planificado que dos máquinas realicen la obra en 0 días. Para reducir ese tiempo a la tercera parte, cuántas máquinas hacen falta?. Si 0 obreros levantan un muro de ladrillos en días, cuánto tardarían obreros?. Un camión tarda horas en recorrer una distancia a velocidad constante de km/h. a) Qué velocidad llevará un automóvil que recorre la misma distancia en la mitad de tiempo? b) Y una avioneta que emplea minutos? Proporcionalidad geométrica Teorema de Tales Polígonos semejantes 1. Determina las longitudes desconocidas. 1

15 . Calcula las longitudes desconocidas.. Considera la figura:. Cuál es la altura de la torre?. La sombra de una guagua a cierta hora mide 8 m. A la misma hora, la sombra de un coche, que mide 1, m, es de, m. Qué altura tiene la guagua?. Qué altura tiene el poste? 1

16 7. Un jugador de baloncesto de 1, m, que está situado a, m de la canasta, lanza un balón hacia la misma. Calcula la altura a la que está el balón cuando va por la mitad del recorrido. Figuras planas. Áreas Teorema de Pitágoras Áreas a = b + c a hipotenusa b c catetos 1. Calcula el perímetro el área de estas figuras.. Calcula el área de las siguientes figuras:. Obtén el área de las zonas coloreadas. 1