TEMA 2 MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN

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1 D37 ESTADÍSTICA. Tema TEMA MEDIDAS DE CETRALIZACIÓ. Caacteístcas de las meddas de poscó cetal.. Meddas de cetalzacó: meda atmétca, medaa y moda. Popedades. Relacó ete meda, medaa y moda..3 Cuatles: cuatles, decles y pecetles..4 Medas geométca, amóca. ITRODUCCIÓ E este tema y los dos sguetes vamos a obtee uos úmeos que cuatfque las popedades fudametales de la dstbucó de fecuecas. Estos úmeos podemos clasfcalos e: Meddas de localzacó (poscó). So coefcetes de tpo pomedo que tata de epeseta ua detemada dstbucó, puede se de dos tpos:.-cetrales: -Medas: Atmétca Geométca Amóca -Medaas -Moda.-O CETRALES: -Cuatles: Cuatles Decles Cetles o pecetles Meddas de dspesó. So complemetaas de las de poscó e el setdo que señala la dspesó e couto de todos los datos de la dstbucó especto de la medda o meddas de localzacó adoptadas. -Meddas de dspesó absoluta: Recodo -Meddas de dspesó elatva: Recodo tecuatílco, desvacó meda, vaaza, desvacó típca. -Coefcete de vaacó PEARSO. -Dagama de caa. Meddas de foma Estuda la asmetía- smetía y defomacó (aputameto, aplastameto) especto de ua dstbucó modelo deomada dstbucó ORMAL Coefcete de asmetía y coefcete de Cutoss. Meddas de cocetacó Estuda la cocetacó de ua dstbucó fete a la ufomdad. IDICE DE GII, CURVA DE LOREZ. Aputes de estadístca pág de

2 D37 ESTADÍSTICA. Tema. CARACTERÍSTICAS DE LAS MEDIDAS DE POSICIÓ CETRAL. Las meddas de poscó so pomedos y puede se de tedeca cetal o o, las más mpotates so las que hemos dcado e la toduccó, esto es: meda, medaa, moda y los cuatles.. MEDIDAS DE CETRALIZACIÓ: MEDIA ARITMÉTICA, MEDIAA Y MODA. PROPIEDADES. RELACIÓ ETRE MEDIA, MEDIAA Y MODA. MEDIA ARITMÉTICA: de elemetos. Es la suma de todos los valoes de la vaable dvdda ete el úmeo total 3... S el valo de la vaable se epte veces, apaece e la epesó de la meda atmétca de la foma:, que seá la epesó que cosdeaemos deftva de la meda atmétca. Como f ota posble epesó seá f Eemplo: S teemos la sguete dstbucó, se pde halla la meda atmétca, de los sguetes datos epesados e g , g 0 OTA: A la meda atmétca se la deoma també CETRO DE GRAVEDAD de la dstbucó. S la vaable esta agupada e tevalos (vaable cotua), se asga las fecuecas a las macas de clase y se pocede como s la vaable fuea dsceta. E el futuo cosdeaemos dsttamete c Eemplo: [L-,L) c c [30, 40) [40, 50) [50, 60) Añadmos las columas segú las ecesdades Aputes de estadístca pág de

3 D37 ESTADÍSTICA. Tema MEDIA ARITMÉTICA PODERADA: E ocasoes o todos los valoes de la vaable tee el msmo peso. Esta mpotaca que asgamos a cada vaable, es depedete de la fecueca absoluta que tega. Seá como u aumeto del valo de esa vaable, e tatas veces como cosdeemos su peso. Es la meda atmétca que se utlza cuado a cada valo de la vaable () se le otoga ua podeacó o peso dstto de la fecueca o epetcó. Paa pode calculala se tedá que tee e cueta las podeacoes de cada uo de los valoes que tega la vaable Se la suele epeseta como: w Aputes de estadístca pág 3 de w w Sedo w la podeacó de la vaable y w la suma de todas las podeacoes. Eemplo: U estudate ealza 3 eámees de compledad cecete, obteedo los sguetes esultados: 5, 8 y 7. El pme eame lo hzo e ½ hoa, el segudo e hoa y el teceo e hoa y meda, po lo que se les atbuye ua podeacó de, y 3 espectvamete. Se pde calcula la ota meda. W w S calculamos la meda atmétca tedemos que : ,67. 3 Ahoa be, s calculamos la meda podeada, obtedemos: ( 5) ( 8) ( 73) w ( ) Popedades de la meda atmétca PROPIEDAD : La suma de las desvacoes de los valoes de la vaable co especto a la meda atmétca es 0. ( Veamos que esulta al opea la sguete epesó: ) ( ). 0 0 ( ). Tedemos que ( ) ( ) ( ) PROPIEDAD : La meda atmétca de los cuadados de las desvacoes de los valoes de la vaable co especto a ua costate cualquea se hace míma cuado dcha costate cocde co la meda atmétca (Teoema de KÖRIG). ( ) ( ) D( ) pop 0 0 Paa (meda atmétca) el valo de las desvacoes seá míma. PROPIEDAD 3: S a todos los valoes de la vaable se le suma ua msma catdad, la meda atmétca queda aumetada e dcha catdad: Supogamos que teemos ua vaable de la que coocemos su meda. Supogamos ahoa que teemos ota vaable, que se calcula a pat de la ateo de la sguete foma: y. S ahoa queemos calcula la meda de esta seguda vaable:

4 D37 ESTADÍSTICA. Tema y y ( ) ( ) como s susttumos tedemos Y que es lo que petedíamos demosta. PROPIEDAD 4: S todos los valoes de la vaable se multplca po ua msma costate la meda atmétca queda multplcada po dcha costate. La demostacó se ealzaía de maea aáloga a la ateo. OTA: De las dos popedades ateoes se deduce que la esta y la dvsó se ealzaía de gual maea paa la popedad 3 y 4 espectvamete. Coolao: S ua vaable es tasfomacó leal de ota vaable (suma de u úmeo y multplcacó po oto), la meda atmétca de la ª vaable sgue la msma tasfomacó leal co especto a la meda atmétca de la ª vaable, sedo y a b, dode a y b so úmeos eales: y ( a b) ( a b ) a b y a b Podemos utlza esta metodología paa calcula la meda de la sguete dstbucó S efectuamos u cambo de vaable cetado, tedemos:: y tomado como ueva vaable el valo más y y ( )/ ( )/ ( )/ ( )/ ( )/ y 3 y 7 9 Como y, etoces y , , 9 PROPIEADAD 5: - S e u couto de valoes se puede obtee ó más subcoutos dsutos, la meda atmétca del couto se elacoa co la meda atmétca de cada uo de los subcoutos dsutos de la sguete foma: Aputes de estadístca pág 4 de

5 D37 ESTADÍSTICA. Tema Aputes de estadístca pág 5 de I Sedo la meda de cada subcouto y el úm. de elemetos de cada subcouto. Veamos la demostacó de la popedad: Sea la dstbucó,, 3, 4,,,., obsevado que había como dos subcoutos de y - elemetos cada uo. S cosdeamos la meda atmétca de la dstbucó: y calculamos los sumatoos paa los dos subcoutos, la epesó de la meda quedaía: S multplcamos umeado y deomado de cada ua de las faccoes po ua msma catdad el esultado o vaía, po tato, multplcaemos la pmea po que es su úmeo de elemetos del pme subcouto y la seguda po que es el coespodete, la epesó quedaá: como y so la meda del pme y segudo subcouto, la epesó la podemos epesa de la sguete maea: que es lo que queíamos demosta ya que s las fecuecas se multplca o dvde po u msmo úmeo, la meda o vaía IMPORTATE: Hay que tee e cueta que la meda atmétca es muy sesble a los valoes etemos, es dec, a valoes umécos muy dfeetes, (tato po lo gades, o pequeños que sea), al esto de la muesta. Esto puede esulta u poblema. Hay fomas de esolvelo, que veemos más adelate. Meda geométca y amóca. a) Meda geométca: Respode a la sguete epesó G... 3 y se la puede defe, como la aíz -ésma del poducto de todos los valoes de la vaable. També la podemos epeseta como: G 3 ) ( 3... OTA: E muchas ocasoes, los valoes de la dstbucó os mpde pode efectua los cálculos al ecede la capacdad de la calculadoa. Utlzaemos las popedades de los logatmos: lg (a.b) lg a lg b lg a lg a

6 D37 ESTADÍSTICA. Tema 3 3 lgg lg( 3... ) lg( 3... ) 3 (lg lg lg 3... lg sabedo que lo podemos epesa e otacó compacta: lg ( lg lg 3 lg 3... lg ) lgg, po lo que podemos dec que lg G at lg El logatmo de la meda geométca es la meda atmétca de los logatmos de los valoes de la vaable. El poblema se peseta cuado algú valo es 0 ó egatvo y epoete de la aíz pa ya que o esta aíz pa de u úmeo egatvo. Suele utlzase cuado los valoes de la vaable sgue ua pogesó geométca. També paa pomeda pocetaes, tasas, º ídces, etc. sempe que os vega dados e pocetaes. Eemplo: Halla la meda geométca de la sguete dstbucó: ) lg lg G po lo tato seá coveete ampla la tabla co lo que os quedaá lg lg 00 0 lg lg , lg , lg , lg 45, lg G,056 G at lg.,0555 3,63 OTA: E la calculadoa el atlogatmo se halla apetado la tecla SHIFT log b) Meda amóca. La epesetaemos como H: Es la vesa de la meda atmétca de las vesas de los valoes de la vaable, espode a la sguete epesó: H Se utlza paa pomeda velocdades, tempos, edmeto, etc. (cuado fluye los valoes pequeños). Su poblema: cuado algú valo de la vaable es 0 o pómo a ceo o se puede calcula. Eemplo: calcula la meda amóca de la sguete dstbucó: 00 0 Aputes de estadístca pág 6 de

7 D37 ESTADÍSTICA. Tema Paa pode hallala, es ecesao que calculemos el veso de y el veso de la fecueca po lo que amplaemos la tabla co columas adcoales : / / 00 0 / / / / H,8 4, 545 0,95 Ete la meda atmétca la meda geométca y meda amóca se da sempe la sguete elacó: H G Aputes de estadístca pág 7 de

8 D37 ESTADÍSTICA. Tema MEDIAA: Me La medaa o valo medao seá el valo de la vaable que sepaa e dos gupos los valoes de las vaables, odeadas de meo a mayo. Po tato es ua catdad que os dca ode deto de la odeacó. El luga que ocupa se detema dvdedo el º de valoes ete : Cuado hay u úmeo mpa de valoes de la vaable, la medaa seá usto el valo de ode cetal, aquel cuya fecueca absoluta acumulada cocda co. Es dec: < Me. Po tato la medaa cocde co u valo de la vaable. El poblema está cuado haya u úmeo pa de valoes de la vaable. S al calcula esulta que es u valo meo que ua fecueca absoluta acumulada, el valo de la medaa seá aquel valo de la vaable cuya fecueca absoluta cumpla la msma codcó ateo: < Me. Po el cotao s cocde que, paa obtee la medaa ealzaemos el sguete cálculo: Me Eemplo: Sea la dstbucó luga que ocupa 35 7, 5 como se poduce que El oto caso lo podemos ve e la sguete dstbucó: < < 6 < 7,7 < 6 Me,po lo tato Me Luga que ocupa 3/ 6 > Me 6 ota que e este caso se podía habe poducdo que hubea ua fecueca absoluta acumulada supeo a 6. E este caso se calculaía como e el eemplo ateo. E dstbucoes agupadas, hay que detema el tevalo medao [ L, ) L, la foma de hacelo seá calcula el valo de la mtad de, y obseva que tevalo tee ua fecueca absoluta acumulada que cumpla < <. Después de sabelo haemos el sguete cálculo: Me L a Aputes de estadístca pág 8 de

9 D37 ESTADÍSTICA. Tema Sedo: [ L -, L ) el tevalo que cotee a la fecueca acumulada / a ampltud de dcho tevalo. Eemplo: [ L -, L ) [0, 5) [5, 30) [30, 35) [35, 40) [40, 45) / ; Me estaá e el tevalo [30-35 ). Po tato ealzamos el cálculo: 33,5 50 Me L a 30 * 5 3,38 00 Aputes de estadístca pág 9 de

10 D37 ESTADÍSTICA. Tema MODA: Mo Seá el valo de la vaable que más veces se epte, es dec, el valo que tega mayo fecueca absoluta. Puede est dstbucoes co más de ua moda: bmodales, tmodales, etc. E las dstbucoes s agupa, la obtecó de la moda es medata. Eemplo: Moda {, 4}, e este caso teemos ua dstbucó bmodal. E los supuestos que la dstbucó vega dada e tevalos, es dec, sea agupada, se puede poduc dos casos: que tega la msma ampltud, o que esta sea dstta. S tee la msma ampltud, e pme luga tedemos que ecota el tevalo modal, seá aquel que tedá mayo fecueca absoluta, L ). Posteomete ealzaemos el sguete cálculo: [ L Mo L a Sedo: L- etemo feo del tevalo modal a ampltud de dcho tevalo - desdades de fecueca de los tevalos ateo y posteo espectvamete al que cotee la moda. Cuado los tevalos sea de dstta ampltud, el tevalo modal seá el de mayo desdad de fecueca, es dec d,ya que cosdeaemos la caldad del tevalo e fucó de la fecueca y de la a ampltud. Paa ealza el cálculo, tedemos e cueta la sguete epesó: Mo L ota:.- Cuado hay ua úca moda, la medaa suele esta compedda ete y Mo..- Cuado la dstbucó es smétca (co moda) se cumple que: MeMo Eemplo: Halla la moda de la sguete dstbucó d d d a [L-,L) d /a [0, 5) [5, 50) [50, 00) [00, 50) [50, 00) Calculamos el tevalo modal [5 50). Opeamos: d Mo L a d d 3, ,8 3,6 45,5 Aputes de estadístca pág 0 de

11 D37 ESTADÍSTICA. Tema.3 CUATILES: CUARTILES, DECILES Y PERCETILES So meddas de localzacó smlaes a las ateoes. Se las deoma CUATILES (Q). Su fucó es foma del valo de la vaable que ocupaá la poscó (e tato po ce) que os teese especto de todo el couto de vaables. Podemos dec que los Cuatles so uas meddas de poscó que dvde a la dstbucó e u ceto úmeo de pates de maea que e cada ua de ellas hay el msmo de valoes de la vaable. Las más mpotates so: CUARTILES, dvde a la dstbucó e cuato pates guales (tes dvsoes). C,C,C3, coespodetes a 5%, 50%,75%. DECILES, dvde a la dstbucó e 0 pates guales (9 dvsoes).d,...,d9, coespodetes a 0%,...,90% PERCETILES, cuado dvde a la dstbucó e 00 pates (99 dvsoes).p,...,p99, coespodetes a %,...,99%. Este u valo e cual cocde los cuatles, los decles y pecetles es cuado so guales a la Medaa y así veemos Dstguemos ete dstbucoes agupadas, y las que o lo está: E las dstbucoes s agupa, pmeo hallaemos el luga que ocupa: Etoces tedemos que : < (%). < Q e el supuesto que (%). Q Pmeo ecotaemos el tevalo dode estaá el cuatl: luga < (%) < Itevalo [L -, L ), e este caso: Q Eemplo: DISTRIBUCIOES O AGRUPADAS: E la sguete dstbucó ( ) % L a Me Calcula la medaa (Me); el pme y tece cuatl (C,C3); el 4º decl (D4) y el 90 pecetl (P90) Medaa (Me) Luga que ocupa la medaa luga 0/ 0 Como es gual a u valo de la fecueca absoluta acumulada, ealzaemos es cálculo: 0 5,5 Pme cuatl (C) Luga que ocupa e la dstbucó ( ¼). 0 0/4 5 Como - < (5%). <, es dec 3 < 5 < 0 esto mplcaa que C 0 Tece cuatl (C3) Aputes de estadístca pág de

12 D37 ESTADÍSTICA. Tema Luga que ocupa e la dstbucó (3/4).0 60/4 5, que cocde co u valo de la fecueca absoluta 5 0 acumulada, po tato ealzaemos el cálculo: 3 C 7, 5 Cuato decl (D4) Luga que ocupa e la dstbucó (4/0). 0 80/0 8. Como - < (%). < ya que tato D < 8 < 0 po oagésmo pecetl (P90) Luga que ocupa e la dstbucó (90/00) /00 8. que cocde co u valo de la fecueca 0 5 absoluta acumulada, po tato ealzaemos el cálculo: 90 P, 5 Eemplo: DISTRIBUCIOES AGRUPADAS: Halla el pme cuatl, el cuato decl y el 90 pecetl de la sguete dstbucó: [L -, L) [0, 00) [00, 00) [[00, 300) [300, 800) Pme cuatl (C 4 ) Luga ocupa el tevalo del pme cuatl: (/4) /4 5. Po tato C 4 estaá stuado e el 5 90 tevalo [00 00).Aplcado la epesó dectamete, tedemos: C Cuato decl (D 4 ) Luga que ocupa: (4/0) Po tato D 4 estaá stuado e el tevalo [00 00). Aplcado la epesó tedemos: D , oagésmo pecetl (P 90 ) Luga que ocupa: (90/00) , po tato P 90 estaá stuado e el tevalo [ ). Aplcado la epesó tedemos: P , Aputes de estadístca pág de