Procesamiento Digital de Señales Octubre 2012

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1 Proceaiento Digital de Señale Octubre 0 Método de ntitranforación PROCESMIENTO DIGITL DE SEÑLES Tranforada Z - (Parte II) Hay tre étodo de antitranforación, o Tranforación Z Invera para obtener la función f(t) a partir de F(), baado en: a) el dearrollo de una erie infinita de potencia, b) el dearrollo de fraccione parciale, y c) la integral curvilínea. a) Obtención de la Tranfotada Z invera dearrollando F() en una erie infinita de potencia. Si e dearrolla F() en una erie de potencia convergente, e decir: f(0) = 0 f(t) = 0 f ( T). f (0) f ( T ). f (T ).... i 0 f(t) = 0 e pueden deterinar lo valore de f(t) por iple inpección. f(t) = 70 Si F() tiene la fora de una función racional, e puede lograr el dearrollo f(4t) = 50 en una erie infinita de potencia, ipleente dividiendo el nuerador en el denoinador. Si la erie reultante e convergente, lo coeficiente de - en la erie on lo valore de f(t) de la ecuencia teporal. Nota: Para obtener lo coeficiente de la diviión e debe ecribir tanto el nuerador coo el denoinador, en orden creciente de la variable -. Deventaja del étodo: unque ete étodo da lo valore de f(0), f(t), f(t),... etc., en fora ecuencial, habitualente e difícil obtener a partir de eto coeficiente la expreión del térino general de la uceión. Ejeplo : Hallar f(t) para =,,, 4,, cuando F() etá dado por F ( 0 )( ) Efectuando la diviión:

2 Proceaiento Digital de Señale Octubre 0 Ejeplo : Hallar f(t) para =,,, 4,, cuando F() etá dado por F 7 ( ) 5 6 Efectuando la diviión: F() = f(t) = 7δ() +6 δ(-) + 8 δ(-)+94 δ(-)+4 δ(-4) Eta erie infinita no converge. Por iple inpección e obtiene: f(0) = 7 ; f(t) = 6 ; f(t) = 8 ; f(t) = 94 ; f(4t) = 4 b) Método de obtención de la Tranforada Z invera dearrollando F() en fraccione parciale F Ete étodo e baa en obtener el dearrollo en fraccione parciale de en fraccione parciale y la identificación de cada uno de lo térino en la tabla de tranforada. b0 b b... b b F ; con n n n n a0 a a... an an Priero e debe decoponer el denoinador de F() encontrando la raíce o polo. F Luego e dearrolla en fraccione parciale de anera de poder reconocer cada térino en una tabla de tranforada Z. La tranforada Z invera de F() e la ua de toda la tranforada Z invera de la fraccione parciale. Ejeplo : Hallar la f(t) i F() etá dada por: F ( 0 )( F Priero e dearrolla en fraccione parciale: F( ) ( )( ) De la Tabla de Tranforada (e uetra á adelante) e obtiene: Z ; Z, por lo tanto: f(t) = 0 (- + ), con = 0,,,,... O bien: f(0) = 0 ; f(t) = 0 ; f(t) = 0 ; f(t) = 70 ; f(4t) = 50 Eto reultado coinciden con lo obtenido por el étodo de la diviión de polinoio. )

3 Proceaiento Digital de Señale Octubre 0 c) Método de obtención de la Tranforada Z invera por la Integral curvilínea Ete étodo e utilia aplicando la integral curvilínea obre el círculo unitario (en el plano - ) en el entido antihorario, a abo iebro de la ecuación (α): F ( ) f ( T) f (0) f ( T ) f (T )... f ( T)... (α) 0 Multiplicando abo iebro de (α) por -, eto e: F( ) d f (0) d f ( T) d f (T ) d... f ( T) Por el Teorea de Cauchy, todo lo térino del egundo iebro de la ecuación on iguale a cero, excepto el térino f ( T) d, por lo tanto: F( ) d f ( T) d, de donde obteneo: f ( T) F( ) d Eta ecuación e puede calcular coo: j f ( T) Reiduo de F( ) en lo polo de F( ) d... Ejeplo: Obtener f(t) utiliando el étodo de la integral curvilínea, iendo: Reolución: 0 f ( T) j ( )( ) d 0 j ( ) 0 ( ) d = F ( 0 )( ) 0 0 Re Re 0 0. ( ) ( ) (*) ; con = 0,,,,... (*) Para el cao de un polo iple e tenía: Re f a Re p( ) q( ) a p( a) q'( a)

4 Proceaiento Digital de Señale Octubre 0 EXPNSIÓN EN FRCCIONES PRCILES Sea H () n P () an... a a Q b... b b o o, con n< Cao : Si la raíce del denoinador on iple, entonce el denoinador puede decoponere coo:... Q, donde,,..., on la raíce Por lo tanto, el dearrollo puede ecribire coo: n an... a ao K H... ( )( )...( ) donde li( ) H li( ) H... K li( ) H Ejeplo: Cao : li( ) ( )( ) li( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) Q() preenta raíce reale últiple H () n n P () an an... ao Q ( ) ( )...( ) donde α, β y γ on lo órdene de ultiplicidad de la raíce. La contante e calculan coo: Ejeplo: H ( ) j i d i, i j li ( i ) F j i ( j )! i d C D ( ) E ( ) 4

5 Proceaiento Digital de Señale Octubre 0 Calculao la contante: C D E d 0 li ( 0) d ( ) d 0 li d ( ) ( ) S 0 d li d ( ) ( ) li ( ) Cao : H a) Raíce iaginaria iple: ( ) P Q a c C Ejeplo: ( 4) j j C li 0 ( 4) 4 li j ( j ) 8 li j ( j ) 8 b) Raíce iaginaria últiple Ejeplo: H () ( ) ( ) (OJO Reviar) 8 8 ( 4) 4 j j C D ( 4) ( j) ( j) ( j) ( j) l deterinar la contante obteneo: j j ( 4) ( j) ( j) 8 8 5

6 Proceaiento Digital de Señale Octubre 0 PLICCIONES DE L TRNSFORMD Z Tranforación y ntitranforación uando la Tabla de Tranforada Ejercicio : Encontrar la función tranferencia H( - ) del STD aociado a la ecuación de diferencia: y() a y (-) x()=0 Reolución: Si y(), x() on funcione cauale, y exiten Z[y()] = Y( - ) y Z[x()] = X( - ) Ejercicio : Y( - ) a - Y( - ) X( - )=0 Y( - ) [ a - ] = X( - ) H Y X ( ) a Uando la función tranferencia del ejercicio anterior, encontrar la repueta y() del STD, para la iguiente funcione de entrada x(): a) ipulo δ() ; b) ecalón u() Reolución: Sabiendo que H( ), a y H Y X, entonce: a) x()= q δ() = q = 0 0 < 0 Y ( ) H ( ). X ( ) ntitranforando eta expreión, obteneo la repueta y(): b) x()= h u() = h >= 0 0 < 0 6

7 Proceaiento Digital de Señale Octubre 0 Para antitranforar eta expreión, e neceario epararla en uando antitranforable individualente. Eto puede reolvere por decopoición en fraccione parciale, o fraccione iple, por ua de reiduo egún el étodo de la integral curvilínea, etc. Igualando térino a térino, veo que: ; Y reeplaando en la priera expreión: Eto térino uado on antitranforable, y podeo aociar cada ódulo con una tranforada en la tabla. De eta anera obteneo la repueta en el tiepo: Se puede ditinguir una repueta tranitoria, la exponencial a, que tiende a deaparecer en el tiepo, y una repueta peranente debida a la función de entrada. 7

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