Tema 4.- LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Ampliación de Matemáticas. Ingeniería Técnica Industrial. Especialidad en Electrónica Industrial.

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1 Tem 4.- LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Amplición de Mtemátic. Ingenierí Técnic Indutril. Epecilidd en Electrónic Indutril. Índice Generl Trnformd de Lplce 2 Trformd de lgun funcione elementle 3 3 Propiedde de l trformd de Lplce 6 4 Trlcione, cmio de ecl 7 5 Funcione periódic 8 6 Convolución. Teorem del producto de trnformd 8 7 Algun técnic de cálculo de trnformd inver 8 8 Función delt 9 Trnformd de Lplce En el modelo mtemático linel de un item fíico, como el de un m-reorte o de un circuito eléctrico en erie, el ldo derecho de l ecución diferencil mx + x + kx = f (t), Lq + Rq + C q = V (t) e un función forzd y puede repreentr un fuerz extern f (t) o un voltje plicdo V (t). Y hemo reuelto prolem en lo que et funcione ern continu. Sin emrgo, no e rro encontrre con funcione continu por trmo, en cuyo co reolver l ecución diferencil que decrie el circuito no e fácil. L trnformd de Lplce que etudiremo en ete tem e un vlio herrmient pr reolver eto prolem. Definition Se f :[, + ) R. Se llm trnformd de Lplce de f lfunciónf () definid por l integrl F () = e x f(x)dx = lim e x f(x)dx, () en todo lo vlore de pr lo cule l integrl impropi e convergente. A l función f e l llm trnformd inver de Lplce de F. L función F uele repreentre con el ímolo L[f], y con frecuenci e ecrie tmién F () =L[f(x)]. Aimimo, l función f e uele repreentr con el ímolo L [F ], ecriiéndoe f(x) =L [F ()]. Exiten funcione pr l cule l integrl impropi () no converge pr ningún vlor de. Por ejemplo, éte e el co pr l función f (t) =/t, que crece demido rápido cerc de cero. Del mimo modo, no exite l trnformd de Lplce de l función f (t) =e t2 que crece muy rápidmente cundo t. Coniderremo, en lo que igue, lgun propiedde que egurrán l exitenci de l trnformd de Lplce. Z

2 Tem 4. L trnformd de Lplce. Amplición de Mtemátic. Ep. Electrónic Indutril. 2 Definition 2 Se dice que un función f e continu por trmo, i en cd intervlo (, ) exite un prtición {x,x,...,x n } x x x 2 x n x n de modo que ) L función e continu en cd uintervlo (x i,x i ). ) Lo límite de f cundo x tiende lo extremo de cd uintervlo, on finito. Not: Oérvee que en l definición nterior e exige que f eté definid y e continu en todo lo punto del intervlo (, ) lvo en lo punto de dich prtición. Pero, unque l función no eté definid en lo punto de l prtición, en todo ello deen exitir lo correpondiente límite lterle. Pr etlecer l condicione de exitenci de l integrl de Lplce, e precio hcer lgun hipótei cerc de l función f. Comenzremo por uponer que f e continu por trmo en culquier intervlo (, ) [, + ). Ello implic que l función e x f(x) e integrle en todo intervlo de l form [,] con >, í que l exitenci de l integrl de Lplce dependerá del comportmiento del integrndo pr vlore grnde de x. Definition 3 Se dice que l función f (x) e de orden exponencil α i exiten contnte poitiv M y x tle que e αx f(x) <M pr todo x x. Se puede pror que i f e de orden exponencil α, entonce lim x e x f(x) =, pr todo >α. L funcione que normlmente e encuentrn l reolver ecucione diferencile linele on l vez continu por trmo y de orden exponencil. L trnformd de dich funcione exiten pr vlore de uficientemente grnde. Theorem Si f (x) e un función continu por trmo en [, + ) y de orden exponencil α, entonce u trnformd de Lplce F () =L[f(x)] exite pr todo >α. Un propiedd importnte de l trnformd de Lplce e u linelidd. Propoition 2 Linelidd de l trnformd. Si l funcione f :[, + ) R y g :[, + ) R dmiten trnformd de Lplce, entonce L[αf(x)+βg(x)] = αl[f(x)] + βl[g(x)] pr todo α, β R. L propoición nterior permite egurr que L [αf ()+βg()] = αl [F ()] + βl [G()] pr todo α, β R e decir, que l trnformd inver tmién goz de l propiedd de linelidd. 2 Trformd de lgun funcione elementle El cálculo directo de l trnformd de un función medinte u definición no e, en generl, encillo. No otnte, pr lgun funcione elementle como l contnte, exponencile, trigonométric, hiperólic y potencile, e fctile, con encillo cálculo, otener u trnformd. A continución veremolgunoejemplo.

3 Tem 4. L trnformd de Lplce. Amplición de Mtemátic. Ep. Electrónic Indutril. 3 Trnformd de l función contnte L [k] = ke x dx = k e x = lim k e x + k x + ( 6= ) pero lim k x + e x =pr todo >, yi <, entonce ete límite no e finito. conecuenci, En L[k] = k pr todo > Trnformd de e x L[e x ]= e e x e x x( ) dx = e x( ) = lim x + ( 6= ) hor ien, Por coniguiente, e x( ) lim x + Trnformd de en x L[en x] = hor ien, lim x + =pr todo >,yi<, entonce el límite nterior no e finito. L[e x ]= en xe x dx = pr todo > e x en x = lim x + e x en x + lim en xe x dx x + + e x co x co xe x dx ( 6= ) e x en x = lim x + e x co x = pr todo >, y i <, eto último límite no exiten. Tenemo pue que en xe x dx = con lo que reult L[en x] = 2 2 L[en x], y de quí 2 Trnformd de co x L[en x] = en xe x dx pr todo > En el proceo nterior, puede oervre que L[en x] = L[co x], de donde e deduce L[co x] = pr todo >

4 Tem 4. L trnformd de Lplce. Amplición de Mtemátic. Ep. Electrónic Indutril. 4 Trnformd de Sh x Si umo l propiedd de linelidd de l trnformd, podemo ecriir L[Sh x] = 2 L[ex ] 2 L[e x ]= + = 2 2 pr todo que verifique imultánemente > y >, e decir, pr todo >. Por coniguiente, L[Sh x] = 2 2 Trnformd de Ch x Si umo de nuevo l propiedd de linelidd pr todo > L[Ch x] = 2 L[ex ]+ 2 L[e x ]= + + iguldd que como en el co nterior e válid pr todo >, ydequí L[Ch x] = 2 2 pr todo > En l Mtemátic, precen con lgun frecuenci, funcione l que e denomin con ciert migüedd, epecile. El llmrl í e pr diferencirl de l no meno migu ctegorí de l funcione llmd elementle como on l contnte, potencile, exponencile, trigonométric, y l que e otienen prtir de ét medinte inverión, compoición, um, producto y cociente un número finito de vece. Dentro de l mpli gm de funcione epecile, ólo no vmo interer en un de ell, y demá de form muy reve, lo juto pr poderl empler en el cálculo de l trnformd de l funcione potencile. Definition 4 Se llm función gmm l función Γ :(, + ) R definid medinte l integrl l cul e convergente pr todo x>. Γ(x) = t x e t dt Algun propiedde de l función gmm on l iguiente:. Γ() = 2. Γ(x +)=xγ(x) 3. Γ(n +)=n! pr todo n N 4. Γ(/2) = π Hciendo uo de et función gmm, podemo clculr l trformd de l funcione potencile. Trnformd de x. Pr clculr l integrl de Lplce de l función x, hcemo el cmio de vrile x = t con >: µ t L[x ]= x e x t dt dx = e = + t e t Γ( +) dt = +

5 Tem 4. L trnformd de Lplce. Amplición de Mtemátic. Ep. Electrónic Indutril. 5 peroprquelúltimigulddtengentidohdeer +>, porque i no, l integrl que define l función gmm, e divergente. Por otr prte, l hcer el cmio de vrile, µ hemo t exigido que >, yquei =, el cmio no tiene entido, y i <, l potenci no etrí ien definid pr ci todo lo vlore de. Por tnto, L[x ]= Γ( +) + pr todo > yprtodo> Not: Cundo <<, l función x no e continu por trmo, y que en culquier emientorno del origen en el que x>, no etá cotd, e decir tiene un dicontinuidd de egund epecie. El teorem 4, no grntiz l exitenci de l integrl de Lplce de et función. No otnte puede demotrre (unque nootro no lo hremo), que efectivmente hy convergenci y por lo tnto que exite l trnformd que hemo clculdo. 3 Propiedde de l trformd de Lplce Un primer propiedd de l trformd e u continuidd. Propoition 3 Continuidd de l trnformd. Se f :[, + ) R un función continu por trmo y de orden exponencil α, entonceutrnformd de Lplce e continu en (α, + ). Exite un importnte relción entre l trnformd de un función y de u derivd, cuy importnci rdic en el mplio uo que puede hcere de ell en l reolución de prolem de vlore inicile. De hecho, et e un de l herrmient má potente pr ete tipo de prolem. Theorem 4 Se f :[, + ) R continu y con derivd continu por trmo que e demá de orden exponencil, entonce L[f (x)] = L[f(x)] f(). L iguldd del teorem 8 dmite et GENERALIZACIÓN: upongmo hor que exite f yque l igul que f en el teorem, e continu por trmo y de orden exponencil, imimo upongmo que f e continu, entonce pero l utituir L[f (x)] por u vlor, reult L[f (x)] = L[f (x)] f () L[f (x)] = 2 L[f(x)] f() f () El rzonmiento puede generlizre, y dmitiendo que f n) e continu por trmo, de orden exponencil y que f n ) e continu, podemo ecriir L[f n) (x)] = n L[f(x)] n f() n 2 f () f n 2) () f n ) () iguldd que puede demotrre undo el método de inducción. Exite, tmién, un interente relción entre l trnformd de un función y de u primitiv Theorem 5 Se f :[, + ) R continu por trmo y de orden exponencil, entonce Z x L f(t)dt = L[f(x)] Z f(x)dx.

6 Tem 4. L trnformd de Lplce. Amplición de Mtemátic. Ep. Electrónic Indutril. 6 Do propiedde reltiv l derivción e integrción de trnformd de Lplce on l iguiente. Theorem 6 Se f :[, + ) R un función continu por trmo, de orden exponencil α ytlque f (x) exiten L y R F (p)dp iendo F () =L[f(x)], entonce x f (x) F (p)dp = L x Theorem 7 Se f :[, + ) R un función continu por trmo y de orden exponencil α, entonce L[f(x)] e derivle pr todo >α yeverific que F () = L[xf(x)] Lo iguiente reultdo etlecen relcione entre lo comportmiento de un función y de u trnformd, pr vlore grnde o pequeño de l vrile. Propoition 8 Se f :[, + ) R continu por trmo y de orden exponencil, entonce u trnformd verific lim F () = Theorem 9 Teorem del vlor inicil Se f :[, + ) R continu y con derivd continu por trmo que demá e de orden exponencil, entonce lim L[f(x)] = f() Theorem Teorem del vlor finl Se f :[, + ) R continu y con derivd continu por trmo que demá e de orden exponencil α iendo α negtiv, entonce lim L[f(x)] = lim f(x) x 4 Trlcione, cmio de ecl Veremo en et ección cómo fect l trnformd de Lplce un trlción en l vrile x y, í como lo cmio de ecl. Previmente introducimo l iguiente definición. Definition 5 Se llm eclón unidd l función u : R R definid í ½ i x u(x) = i x< Aprtirdeldefinición e inmedito compror que L[u(x)] =. Theorem Primer fórmul de trlción Si e un número rel culquier, entonce Theorem 2 Segund fórmul de trlción Si >, entonce L[e x f(x)] = F ( ) L[f(x )u(x )] = e L[f(x)]

7 Tem 4. L trnformd de Lplce. Amplición de Mtemátic. Ep. Electrónic Indutril. 7 Theorem 3 Cmio de ecl Se f :[, + ) R un función continu por trmo y de orden exponencil α, entonce F (k) = ³ x i hf k L pr todo k> yprtodo> α k k ylterntivmente ³ F = kl[f(kx)] pr todo k> yprtodo>αk k 5 Funcione periódic En el co de l funcione periódic que tengn trnformd de Lplce, el cálculo de l integrl e reduce l de un integrl ordinri. Theorem 4 Se f : R R un función continu por trmo y periódic de período T,entonce L[f(x)] = Z T e T e x f(x)dx pr todo > 6 Convolución. Teorem del producto de trnformd Definition 6 Sen f :[, + ) R y g :[, + ) R funcione integrle en [,x] pr todo x>. Se llm convolución de f y g, lfunciónf g :[, + ) R definid í (f g)(x) = Z x f(x t)g(t)dt De l definición e deduce de form inmedit que l convolución de do funcione e conmuttiv, e decir que f g = g f. Theorem 5 Teorem del producto de trnformd Si f :[, + ) R y g :[, + ) R on funcione continu por trmo y de orden exponencil, entonce L[(f g)(x)] = L[f(x)]L[g(x)] 7 Algun técnic de cálculo de trnformd inver Se preent con frecuenci el cálculo de l trnformd inver de un función rcionl del tipo P () Q() donde P y Q on polinomio y el grdo de Q myor que el de P. Semo que en tl co, l función dmite un decompoición en frccione imple de lgun de et form A A ( ) n A + B ( ) que correponden repectivmente ríce rele imple, ríce rele múltiple y pre de ríce complej conjugd imple del denomindor (no coniderremo el co de ríce complej múltiple).

8 Tem 4. L trnformd de Lplce. Amplición de Mtemátic. Ep. Electrónic Indutril. 8 Se puede compror que l trnformd inver de cd un de et frccione, depué de plicr l linelidd de l ntitrnformd, on l iguiente: A L = Ae x 8 Función delt L A ( ) n = A xn (n )! ex L A + B ( ) = Ae x co x + A + B e x en x Ahor vmo etudir un función muy epecil. Fue introducid en 93 por P.A. M. Dirc, premio Noel de Fíic en 933, en u liro Principio de Mecánic Cuántic (edición epñol, Ariel 967) de et mner tn informl:... introducimo l cntidd δ(x) que depende de un prámetro x y tifce l condicione δ (x) dx = δ(x) = pr todo x 6= Si queremo tener un imgen de δ(x), conideremo un función de l vrile rel x que e nul fuer de un pequeño dominio de mplitud lrededor del origen y que en el interior de ee dominio tome vloregrnde. Noimportlformexctdelfuncióndentrodeeedominio,contldequenoufr en él vricione innecerimente ruc (por ejemplo, con tl de que l función e iempre del orden de ). Pndo l límite pr, et función tenderá confundire con δ(x). δ(x) no e un función de x egún definición mtemátic ordinri de función que le exigirí tener un vlor definido pr cd punto de u dominio ino lgo má generl que llmremo función impropi pr detcr u diferenci con l funcione definid de modo ordinrio. Por tnto, δ(x) no e un cntidd que pued ure en nálii mtemático con tnt generlidd como l funcione ordinri, y u uo dee retringire cierto tipo de expreione encill pr l que e evidente que no puede dr lugr inconecuenci lógic. Poteriormente, y pr jutificr l función δ definid por Dirc de ete modo heurítico, L. Schwrz introdujo l teorí de l ditriucione, dentro de l cul qued definid con todo rigor. Pero l citd teorí tiene un nivel muy uperior l contexto en el que no itumo en et igntur, por lo que pr derrollr lgun propiedde de l función δ, en epecil l relciond con l trnformd de Lplce, volvemo l punto de vit informl con que fue introducid. Quede clro pue que en lo rzonmiento que iguen, eremo delierdmente poco riguroo, por lo que éto no reitirán un crític eri, pero per de ello, optmo por ete punto de vit poco forml, pr evitr í el tener que preentr lo reultdo in ningun cle de jutificción, ofreciendo l meno uno rgumento pluile unque poco pto pr purit. De cuerdo con l repreentción nterior, i definimo l función ½ / i x f (x) = i <x podremo ecriir que f (x) ' δ(x) pr vlore pequeño de. Vmo clculr entonce l trnformd de Lplce de f L[f (x)] = e x f (x)dx = Z e x dx = e c c [, ]

9 Tem 4. L trnformd de Lplce. Amplición de Mtemátic. Ep. Electrónic Indutril. 9 En l ultim iguldd hemo empledo el primer teorem de l medi pr integrle. Ahor ien, l iguldd proximd f (x) ' δ(x) e tnto má exct cunto má pequeño e, ylo mimo le ocurre l iguldd proximd e c '. De lo que podemo inferir que L[δ(x)] =

10 Tem 4. L trnformd de Lplce. Amplición de Mtemátic. Ep. Electrónic Indutril. Trnformd de Lplce Fórmul Generl F () =L[f(x)] = R e x f(x)dx f (x) =L [F ()] Nomre, comentrio Definición de trnformd L[αf(x)+ βg(x)] = αl[f(x)] + βl[g(x)] Linelidd L[f (x)] = L[f(x)] f() L[f (x)] = 2 L[f(x)] f() f () L[f n) (x)] = n L[f(x)] n f() f n ) () Derivción de un función L R x f(t)dt = L[f(x)] R f(x)dx Integrción de un función L[xf(x)] = F (), L[x n f(x)] = ( ) n F n) () f (x) L = R F (p)dp x Derivción de l trnformd Integrción de l trnformd L[e x f(x)] = F ( ) L [F ( )] = e x f(x) Trlción (Primer fórmul de trlción) L[u(x λ)f(x λ)] = e λ L[f(x)], L e λ F () = u(x λ)f(x λ) Trlción x (Segund fórmul de trlción) (f g)(x) = R x f(x t)g(t)dt L[(f g)(x)] = L[f(x)]L[g(x)] Convolución L[f(x)] = e T R T e x f(x)dx f periódic de periodo T

11 Tem 4. L trnformd de Lplce. Amplición de Mtemátic. Ep. Electrónic Indutril. Trnformd de Lplce f (x) F () =L[f(x)] F () =L[f(x)] f (x) k k πx x x n (n =, 2,...) x ( +> ) 2 n! n+ Γ( +) + e x ( ) 2 xe x ( ) k Γ (k) xk e x ( )( ) e x e x en x co x Sh x Ch x ( ) ex en x ( ) e x co x x ( ) 2 en x 2 u(x) e u (x ) δ(x) e δ(x )

12 Tem 4. L trnformd de Lplce. Amplición de Mtemátic. Ep. Electrónic Indutril. 2 Apéndice.- INTEGRALES IMPROPIAS El ignificdo ddo en curo nteriore l integrl de Riemnn R f (x) dx preupone que f e un función cotd en el intervlo cotdo [, ]. Ahor ien, e poile extender el concepto de integrl cundo e preentn l meno uno de lo do co iguiente, hlándoe, cundo eto ucede, de integrle impropi: ) Uno l meno de lo límite de integrción no e finito (integrl impropi de epecie) ) L función f no etá cotd ore el intervlo [, ] (integrl impropi de 2 epecie) Pmo definir ólo el co ) que e el que no intere. Si f e un función rel de vrile rel, definid l meno en un intervlo de l form [, ), yf e integrle Riemnn en todo intervlo cotdo [, x] con x, tiene entido plntere el límite Z x lim x f (t) dt (*) cundo el límite (*) exite y e finito, e deign por R f (t) dt y e dice que l integrl impropi R f (t) dt e convergente. Si el límite (*) exite y no e finitooiennoexite,edicequelintegrl impropi e divergente. Análogmente, i hor f e un función rel de vrile rel, definid l meno en un intervlo de l form (,], yf e integrle Riemnn en todo intervlo cotdo [x, ] con x, tiene entido plntere el límite Z lim x x f (t) dt y pondremo R f(t)dt = lim R f (t) dt cundo ete límite exit y e finito. x x Por otr prte, cundo el dominio de f e R, y demá f e integrle Riemnn en cd intervlo cotdo R de l rect rel, tiene entido plntere lo do límite nteriore. En ete co l integrl + f (t) dt e dice que e convergente cundo lo en imultánemente l integrle R + f (t) dt y f (t) dt y pondremo R Z + f (t) dt = Z f (t) dt + Z + f (t) dt Conviene oervr que i l integrl R + R x f (t) dt e convergente u vlor e igul lim f (t) dt, pero x x puede ocurrir que ete último límite exit y e finito in que dich integrl e convergente; en culquier co,ellímite Z x lim f (t) dt x x recie el nomre de vlor principl de l integrl.