Algoritmo para el cálculo de la transformada Z inversa utilizando DERIVE
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- Lorena Sáez Blázquez
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1 Igeiería Mecáica () 9-9 Algorito para el cálculo de la trasforada Z iversa utiliado DERIVE D. Galá Martíe, R. Brito Goále Istituto Superior Politécico José A. Echeverría (ISPJAE) Calle 7 s/, CUJAE, Mariaao 5, Ciudad Habaa, Cuba. Teléfoo: , Fax: (Poecia recibida para ser presetada e el º Cogreso Cubao de Igeiería Mecáica, ISPJAE, Ciudad de la Habaa, Septiebre ) Resue Ua de las herraietas ateáticas ás utiliadas e igeiería e el estudio de los deoiados sisteas de cotrol de datos uestreados es la trasforada Z. La trasforada Z coo étodo operacioal puede ser utiliada e la resolució de ecuacioes e diferecias fiitas; las cuales forula la diáica de los sisteas de cotrol de datos uestreados. Esta trasforada juega u papel siilar que el de la trasforada de Laplace e el aálisis de los sisteas de cotrol de tiepo cotiuo. El presete trabajo tiee coo objetivo la cofecció de u prograa para coputadora digital, utiliado el asistete ateático DERIVE, para la deteriació de la trasforada Z iversa de ua fució algebraica racioal, las cuales odela ateáticaete los sisteas de cotrol de datos uestreados lieales que aparece co ucha frecuecia e el estudio de los procesos de igeiería. Palabras claves: Algorito, trasforada Z, DERIVE, fució algebraica racioal, odelo ateático.. Desarrollo La trasforada Z de ua fució de variable discreta f(k); k,,, L es defiida por la serie de potecias de ua variable copleja, que coo es coocido coverge para > R, es decir, la regió exterior a u círculo co cetro e el orige y radio R e el plao coplejo. Coo se puede apreciar, la trasforada Z puede cosiderarse ateáticaete coo u operador Z : f F que trasfora fucioes defiidas e el doiio de la variable discreta k e fucioes defiidas e el doiio de la variable copleja. F( ) f (k) f () + f () + f () f (k) + L k Se debe destacar que, al aplicar trasforada Z para resolver u problea presetado e u sistea físico de datos uestreados; ésta coduce desde el capo de las fucioes objeto al capo de las iágees, dode se realia las operacioes correspodietes para resolver el problea dado, pero, posteriorete se hace ecesario retorar al capo de las fucioes objeto para dar la respuesta defiitiva al problea. Este últio paso preseta sus dificultades iheretes y reviste u gra iterés tato desde el puto de vista teórico coo práctico. Es por eso que el presete trabajo tiee coo objetivo la cofecció de u prograa para coputadora digital utiliado el asistete ateático DERIVE, para el cálculo de la trasforada Z iversa cuado F() es ua fució racioal algebraica, que so las que odela ateáticaete los sisteas de cotrol de datos uestreados apliaete utiliados e el cotrol digital de procesos tecológicos, de accioaieto eléctrico y de telecouicacioes. Edicioes ISPJAE.
2 D. Galá Martíe, R. Brito Goále El retoro desde el capo de las iágees al capo de las fucioes objeto se realia ediate la aplicació de la trasforada Z iversa dada por: [ ()]; k,,, L f (k) Z F Existe diversos étodos para el cálculo de la trasforada Z iversa de ua fució; e este trabajo se cetra la ateció al étodo coputacioal. El étodo coputacioal es epleado e la práctica cuado se desea ecotrar, de ua fora eficiete y rápida co el auxilio de ua coputadora digital, u úero fiito de térios de la trasforada Z iversa de ua fució F y puede ser utiliado cuado F() es ua fució racioal algebraica e la cual el grado del uerador es eor o igual que el grado del deoiador. La esecia del étodo radica e covertir la fució F() dada e ua ecuació e diferecias fiitas lieal co coeficietes costates y posteriorete resolver la ecuació obteida ediate la cofecció de u prograa de coputació digital. La desvetaja iherete del étodo coputacioal está e el hecho de ediate la aplicació del iso o se obtiee ua expresió geeral, e fora copacta, para la trasforada Z iversa. Obsérvese la esecia del étodo. Si se tiee que: bo + b b F () () + a + L + a Dode y so úeros aturales tales que. Etoces la fució F() puede ser escrita e la fora: bo + b b F( ) U () () + a a Dode U(), pero, se debe teer presete que para que U() sea igual a uo debe suceder que: U ( ) u(k) u() + u() u(k) + L k Siedo u() y u(k) si k,,,... Puede deostrarse que la expresió () se puede covertir e ua ecuació e diferecias fiitas lieal de orde co coeficietes costates de la fora: f (k + ) + a f (k + ) + a f (k + ) + L + a f (k) b u(k + ) + b u(k + ) Que se debe resolver sujeta a codicioes cosecutivas) f(), f(),..., f(-). Las codicioes cosecutivas f(), f(),..., f(-) debe ser obteidas a partir de la ecuació () evaluado e orde sucesivaete e la isa para k, +, L, k, k ; Y así se obtedría e orde f(), f(),..., f(-). Es iportate destacar que se debe teer e cueta que, e todo el proceso de evaluació, los valores de las fucioes f y u so iguales a cero para valores egativos de sus arguetos. bu(k) () Se ilustra por siplicidad y a aera de ejeplo, el procediieto descrito ateriorete para el caso e que ; e tal caso b + b + b F() U () (4) + a + a Dode: U() si k u(k) Z [ U ()] si k ±, ±, L La expresió (4) se covierte e la ecuació e diferecias fiitas: f + (k + ) + a f (k + ) + a f (k) b u(k + ) + b u(k + ) b u(k) (5) Dode, evaluado sucesivaete para valores de k y k se obtiee que: f () b y f () b ab. Aplicado trasforada Z a abos iebros de la ecuació (5) y e virtud del teorea de liealidad y el de traslació real a la iquierda para la trasforada Z, se tiee que:
3 Algorito para el cálculo de la trasforada Z iversa utiliado DERIVE F() f () f () + a[f () f ()] + af() b[ U () u() u()] + b[u () u()] + bu () Sustituyedo los valores de f() y f() e la ecuació aterior y siplificado se tiee que: F () + a F() + a F() b U () + b U () + b U () y así despejado F() se tiee fialete que: b + b + b F() U () : + a + a La expresió aterior coicide co la dada por (4); que es lo que se quiere ostrar. Coo se puede apreciar, el problea de la deteriació de la trasforada Z iversa de ua F() dada por la expresió () se reduce al problea de Cauchy de resolver la ecuació e diferecias fiitas () sujeta a las codicioes cosecutivas especificadas. La ecuació () se puede resolver ediate u prograa para coputadora digital utiliado cualquiera de los leguajes de prograació coocidos de uso frecuete al resolver probleas cietíficos; por ejeplo, FORTRAN, BASIC, PASCAL, C, Borla Delphi, etc. E este trabajo, para elaborar el algorito de deteriació de la trasforada Z iversa, o se utiliará u leguaje de prograació específico, sio, u leguaje auxiliar de los deoiados de pseudocódigo. Estos leguajes de pseudocódigo so uy cóodos de usar y e ellos se obvia los estrictos detalles iheretes a cualquier leguaje de prograació y e ello radica las vetajas de su utiliació. Recordar que el problea a resolver es la deteriació de u úero fiito de térios de la trasforada Z iversa de la fució racioal algebraica F () bo. + b + L + b + a a Co Lláese: J: Catidad de valores de f (k) Z [ F ()] que se desea obteer. : Grado del polioio del uerador de F(). : Grado del polioio del deoiador de F(). b i ; i,,, L, : Valores de los coeficietes del polioio del uerador de F() coeado por el tério de grado. a i ; i,, L, : Valores de los coeficietes del polioio del deoiador de F() coeado por el tério de grado. Y así utiliado u leguaje de pseudocódigo se tedría el siguiete algorito geeral: Lectura de valores iiciales: J,,, bi ; i,,, L, ; ai ; i,, L,. FOR k TO f k IF k THEN u k ELSE u k FOR k TO J f k biuk + i aifk i (6) i i Mostrar f k Utiliado el asistete ateático DERIVE, teiedo e cueta el algorito del pseudocódigo adoptado ateriorete y las especificidades de la prograació e DERIVE, se cofeccioó u prograa que se deoió TZINV cuyas istruccioes so las siguietes:
4 D. Galá Martíe, R. Brito Goále ) F(a,b,,,k) : IF(k <,, ELEMENT(b,i + )IF ( i + + k i ELEMENT(a, i)f(a, b,,, k i)) i ) TZINV(a, b,,, j) : VECTOR([k, F(a, b,,, k)], k,, j ),, ) Dode a y b so dados e fora de vector, es decir, a [a, a, L, a ] y b [b, b, L, b ], y so los grados del polioio del deoiador y del uerador de F(), respectivaete. Ejeplo : Utiliar el asistete ateático DERIVE para deteriar los 5 prieros valores de: + f (k) Z. ( + )( ) Solució: E este caso: + F () De dode se puede observar que: Etoces se debe platear la siguiete istrucció e el software DERIVE: TZINV([, ], [, ],,, 5) Tabla Resultados dados por DERIVE para el ejeplo. k f(k) Ejeplo : Utiliar el asistete ateático DERIVE para deteriar los prieros valores de: f (k) Z. 8 + Solució: E este caso se tiee que F (). 8 + De dode se puede observar que: Los resultados de los cálculos se ecuetra reflejados e la tabla.,, b, b, b, b, a, a 8 y a, Etoces se debe platear la siguiete istrucció e el software DERIVE: TZINV([, 8, ], [,,, ],,, ) Los resultados de los cálculos co DERIVE se ecuetra reflejados e la tabla. Tabla Resultados dados por DERIVE para el ejeplo. k 4 f(k) Coclusioes Coo se puede apreciar, ediate el prograa presetado e este trabajo para u ordeador digital utiliado el software DERIVE, puede ser calculada la trasforada Z iversa de cualquier fució racioal algebraica de ua fora relativaete secilla y rápida, sobre todo, cuado se desee deteriar pocos térios de la isa, coo e ocasioes es requerido e la práctica. El prograa desarrollado puede ser útil para igeieros y profesioales que se dedique al cotrol de
5 Algorito para el cálculo de la trasforada Z iversa utiliado DERIVE procesos tecológicos ediate el procesaieto digital de señales.. Bibliografía. Alvare M. Y otros, Mateática Nuérica, L a Habaa, Editorial Felix Varela, Brito R., Valido I., Itroducció a las ecuacioes e diferecias fiitas, UNEXPO, Barquisieto, Veeuela, Cadow J. A., Discrete-ties systes, a itroductio with iterdiscipliary applicatios, New Jersey, Pretice-Hall, Ic., Eglewood Cliffs, Derrick W. R., Variable Copleja co Aplicacioes, Seguda Edició, Grupo Editorial Iberoaérica, México, Jury E. I., Theory ad applicatio of the - trasfor ethod, New York, Joh Wiley &, Sos, Ic Ogata K., Igeiería de cotrol odera, La Habaa, Edició Revolucioaria, Ogata K., Discrete-Tie systes, New Jersey, Pretice-Hall, Ic., Eglewood Cliffs, 99. Algorith for the calculatio of the trasfored iverse Z usig the atheatical assistat DERIVE. Abstract Oe of the atheatical tools ore used i egieerig i the study of the deoiated systes of data cotrol saples is the trasfored Z. The trasfored Z like as a operatioal ethod ca be used i the resolutio of equatios i fiite differeces; which forulate the dyaics of the systes of data cotrol saples. This trasfored plays a siilar paper that the Laplace trasfored i the aalysis of the systes of cotrol i cotiuous tie. The preset work has as objective the cofectio of a progra for digital coputer, usig the atheatical assistat DERIVES, for the deteriatio of the Z iverse trasfored of a ratioal algebraic fuctio, which odel atheatically the systes of lieal data cotrol saples that appear very frecuetly i the study of the egieerig processes Key words: algorith, Z iverse trasfored, Derives, Digital coputer progra, Ratioal algebraic fuctio, atheatical odel.
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