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1 MATERIA: Ecuaciones Diferenciales CÓDIGO: REQUISITOS: Cálculo en Varias Variables (08275) PROGRAMAS: Ingeniería Industrial, Ingeniería Telemática, Química PERIODO ACADÉMICO: INTENSIDAD SEMANAL: 4 horas CRÉDITOS: 3 1 OBJETIVO GENERAL: Como resultado del estudio de este curso el estudiante aprenderá a identificar y resolver ecuaciones lineales de primer orden y de orden superior con coeficientes constantes; será capaz de aproximar soluciones utilizando series en el caso más general, y podrá plantear y resolver modelos matemáticos que aproximen el comportamiento real de ciertos sistemas físicos. 2 OBJETIVOS TERMINALES: Al finalizar el curso el estudiante estará en capacidad de: 2.1 Construir y solucionar modelos matemáticos que involucren cierto tipo de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs). 2.2 Identificar soluciones de ecuaciones diferenciales. 2.3 Resolver EDOs Lineales de primer orden y de orden superior. 2.4 Hacer un análisis cualitativo sobre una EDO sin tener que resolverla. 2.5 Utilizar las series infinitas para resolver EDO lineales que involucran coeficientes variables. 2.6 Utilizar adecuadamente las propiedades operacionales de la Transformada de Laplace para resolver problemas de valores iniciales lineales. 3 OBJETIVOS ESPECÍFICOS DE FORMACIÓN ACADÉMICA. 3.1 UNIDAD 1: Introducción. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden Clasificar una ecuación diferencial ordinaria dada por su orden, tipo y linealidad Verificar si una función dada, con su dominio, es solución de una ecuación diferencial dada Resolver ecuaciones diferenciales separables de primer orden Identificar y resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer orden con la técnica del factor integrante Utilizar sustituciones y factores integrantes adecuados para resolver ecuaciones de primer orden: exactas, homogéneas, de Bernoulli, de Riccati, otras (reducibles a variables separables o a lineales.) Identificar las condiciones bajo las cuales un problema de valor inicial tiene solución única. 3.2 UNIDAD 2: Modelos Lineales con Ecuaciones de Primer Orden Identificar los modelos lineales que describen fenómenos como: enfriamiento o calentamiento, crecimiento o decaimiento y saturación de mezclas Utilizar el modelo adecuado en la solución de problemas físicos relacionados con los fenómenos mencionados en el ítem anterior. 3.3 UNIDAD 3: Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior Encontrar una base para el espacio solución de una ecuación lineal homogénea de orden superior con coeficientes constantes o del tipo Cauchy Euler.

2 3.3.2 Utilizar los métodos del anulador o de variación de parámetros, para encontrar una solución particular de una ecuación lineal no homogénea de orden superior con coeficientes constantes o del tipo Cauchy Euler Construir la solución general de una ecuación lineal de orden superior a partir de la solución general del problema homogéneo asociado y de una solución particular del problema no homogéneo. 3.4 UNIDAD 4: Modelos Lineales con Ecuaciones de Orden Superior Identificar los modelos lineales que describen el comportamiento de los sistemas masa resorte, en movimientos libres y movimientos amortiguados Utilizar el modelo adecuado en la solución de problemas físicos relacionados con los sistemas masa-resorte. 3.5 UNIDAD 5: La Transformada de Laplace Reconocer y escribir correctamente la fórmula integral que define la Transformada de Laplace de una función dada en la variable t, como una función en la variable s Identificar el tipo de funciones para las cuales existe la Transformada de Laplace Identificar la función Gamma y utilizarla en el cálculo de algunas Transformadas Calcular Transformadas de funciones continuas o continuas a trozos, Transformadas inversas, Transformadas de Derivadas, Transformadas de funciones periódicas Aprender a utilizar adecuadamente algunas de las propiedades de la Transformada de Laplace para calcular Transformadas, Transformadas inversas y Transformadas de integrales Resolver problemas de valores iniciales lineales, de Ecuaciones Integrales y Ecuaciones Integro diferenciales usando la Transformada de Laplace. 3.6 UNIDAD 6: Soluciones con Series de Ecuaciones Lineales Identificar los puntos ordinarios y singulares de una ecuación diferencial lineal Hallar soluciones con series de una EDO lineal. 4 CONTENIDO: El contenido total del curso se detalla por temas en la parcelación que se adjunta a este programa. 5 METODOLOGIA 5.1 El enfoque: En concordancia con los propósitos de la universidad, en el desarrollo de este curso se considera que el aprendizaje es el resultado de un proceso de construcción del conocimiento, que tiene como centro al estudiante y como guía al profesor. Este enfoque se concretará en la práctica con el aprovechamiento de los resultados del estudio previo hecho por los estudiantes, como elemento generador de preguntas, discusiones y conclusiones. 5.2 La discusión en clase: La discusión, orientada por el profesor es el elemento central en la metodología del curso. Se fundamenta en el estudio preliminar de las secciones asignadas, en las preguntas de los estudiantes y en sus respuestas a sus preguntas y a las del profesor, que alimenten el proceso de aprendizaje activo. El profesor interviene esencialmente como guía y moderador de las discusiones, y se encarga de hacer la síntesis final para socializar el conocimiento consolidado en clase y de indicar al estudiante la labor que debe realizar como preparación para la clase siguiente y los objetivos que debe alcanzar como parte de tal preparación. 5.3 Las actividades del estudiante: Para el logro de los objetivos de aprendizaje el estudiante debe desarrollar con total responsabilidad un conjunto de actividades antes, durante y después de la clase, así: Antes de la clase Realizar todas las actividades indicadas por el profesor para la preparación del tema de clase, hacer explícitas las dudas e inquietudes que le surjan como resultado de este proceso y preparar las preguntas que formulará durante la clase de presentación del tema, con el fin de resolver las dudas e inquietudes. Durante la clase: Participar activamente en las discusiones que se generen a partir de las preguntas formuladas por los estudiantes y por el profesor, y de las respuestas a las mismas. Igualmente, presentar las dudas e inquietudes que le surgieron al prepararse para esta clase, y discutir alternativas propias de solución de problemas, cuando las tenga.

3 Después de la clase: Asegurarse de consolidar el nuevo conocimiento resolviendo ejercicios y problemas que en la fase de preparación no haya podido resolver, o que revisten mayor complejidad, y relacionándolo con conocimientos previamente adquiridos. 6 EVALUACIÓN Ítems Promedio individual Dos parciales (20% cada uno) 40% Examen Final (Todo el contenido 25% del curso) Por lo menos tres pruebas 20% cortas (se elimina la de menor calificación porque no tienen supletorios) Preparación para la clase 15% Si el promedio individual es estrictamente menor a 3.0 (tres cero), ese promedio será la nota definitiva. Si el promedio individual es mayor o igual a 3.0 (tres cero), ese promedio será el 90% de la nota definitiva y el otro 10% lo aportará la calificación de la exposición final (trabajo en grupo). EXAMEN FINAL: Noviembre 30 de 2016, 9:30 a 12:00 EXÁMENES SUPLETORIOS: Octubre 29 de 2016, 9:30 a 12:00, (exámenes parciales) Diciembre 05 de 2016, 9:30 a 12:00, (examen final) OBSERVACIÓN IMPORTANTE: 7 BIBLIOGRAFIA De conformidad con lo establecido en el Dpto. de Matemáticas y Estadística para los cursos que tienen examen final acumulativo, si un estudiante obtiene una nota mayor o igual a 3.3 en el examen final y la nota así acumulada está entre 2.8 y 3.0, la nota final del curso será de 3.0. Texto Guía: EDWARDS C. HENRY, PENNEY DAVID E. Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera. PEARSON Prentice Hall, 4a. Edición, ZILL DENIS G. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. CENCAGE Learning, 9a. Edición, Simons G.F. Ecuaciones Diferenciales. Mc Graw Hill.

4 ECUACIONES DIFERENCIALES. PERÍODO ACADÉMICO S#: Sesión número. SAE: Sección del texto guía asignada al estudiante para la clase siguiente S# TEMA 1 PRESENTACION DEL PROGRAMA. Ejercicios recomendados para programar la discusión en clase (*1) Ejercicios recomendados SAE para que el estudiante confronte su manejo previo de los temas. ES OBLIGATORIO EL ESTUDIO DE LOS EJEMPLOS DE CADA SECCIÓN DEL TEXTO 1.1 Impares 1 al 31 Pruebas cortas Presentación preliminar de la sección Ecuaciones diferenciales y modelos matemáticos 1.1:Pares 1 a 31,32 a a 42, 43 a 48 3 Integrales como soluciones generales y particulares. 1.2:Pares 1 al 18, 25,29, 35, 40, 43,44 4 Isoclinas y curvas solución. 1.3:Pares 1 al 20,27 a Impares 1 al Impares 1 al 20 5 Isoclinas y curvas solución (continuación) 1.3 : 1.4 Impares 1 al 28 6 Ecuaciones separables y aplicaciones. 1.4:Pares 1 a 28,30,34,35 1.4,49,50,64,65,68 7 Ecuaciones separables y aplicaciones 1.4 : 1.5 Impares 1 al Ecuaciones lineales de primer orden. 1.5:Pares 1 al 25,26 a Impares 1 al 30 31,37 a 40, 45,46 9 Método de sustitución y Ecuaciones exactas. 1.6:Pares 1 a 30,31 a a 54,56,58,60,63 a Método de sustitución y Ecuaciones exactas 1.6 : 11 PRIMER PARCIAL: hasta la sesión Impares 1 al Introducción. Ecuaciones lineales de segundo orden. 3.1:Pares 1 a 16,17 a 26 27,29,30,31,32,33 a 42,48 50,51,54 13 Ecuaciones lineales de segundo orden Soluciones generales de ecuaciones lineales. 3.1: 3.2: pares 1 al 20,23,24, 29,31,36,37,41 a Impares 1 al : 3.3 Impares 1 al Soluciones generales de ecuaciones lineales 15 Ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes. 3.3:Pares 1 a 20,25,32,36 40,41,47,51 a Vibraciones mecánicas. 3.4:5,8,9,12,13,21,24 a al 4 17 Vibraciones mecánicas 3.4: 3.5 Impares 1 al Ecuaciones no homogéneas y coeficientes indeterminados. 19 Ecuaciones no homogéneas y coeficientes indeterminados (continuación. Analizar el caso de resonancia). 3.5:Pares 1 al 20, 21 a 30 35,40,42,43,53,56,57,62, : 20 SEGUNDO PARCIAL: Sesiones 10 a Impares 1 al Transformada de Laplace y Transformadas inversas. 7.1:Pares 1 a 22,23 a 32 37,40, Impares 1 al 16

5 22 Transformadas de problemas con valores iniciales. 7.2:Pares 1 a 16,17 a 24 27,31,33 a Traslación y fracciones parciales. 7.3:Pares 1 a10,15,20,24, 27,33,38,39, Impares 1 al Impares 1 al Derivadas, integrales y productos de transformadas. 7.4:Pares 1 a14,15,22, Impares 1 al 10 28,29,34,35,38,40 25 Funciones de entrada periódicas y continuas por tramos. 7.5:Pares 1 a 10,13,20, ,29,34,37,42 26 Funciones de entrada periódicas y continuas por tramos 7.5: impares 1 al Impares 1 al Introducción y repaso de series de potencias. 8.1: Pares 1 a10,13,18, Soluciones en series cerca de puntos ordinarios : Pares 1 a15,17,21, Soluciones en series cerca de puntos ordinarios 8.2: 29 TEMAS DE EXPOSICIÓN: TEMA 1. Sección 3.7 (Circuitos eléctricos). a TEMA 2. Secciones 2.4, 2.5 y 2.6 (Aproximación numérica) 32 TEMA 3. Secciones 4.1 y 4.2 (Sistemas de primero orden y aplicaciones). TEMA 4. Secciones 5.1 y 5.2 (Matrices y sistemas lineales: caso homogéneo). TEMA 5. TEMA 6. TEMA 7. TEMA 8. TEMA 9. TEMA 10. Secció 5.4 (Eigen valores múltiples). Secciones 5.5 y 5.6 (Matriz exponencial, sistemas no homogéneos). Sección 7.6 (Impulsos y función delta). Secciones 8.3 y 8.4 (Soluciones en torno a puntos singulares). Secciones 8.5 y 8.6 (Ecuación y funciones de Bessel). Libre (previo acuerdo con el profesor). (*1) En el desarrollo de la clase el profesor puede proponer ejercicios y ejemplos adicionales para apoyar y complementar el trabajo con el texto guía. El estudiante debe responder en cada clase, como mínimo, por haber estudiado los ejemplos de las secciones asignadas previamente.

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