Ejemplo. Consideremos el sistema de retraso unitario dado por

Transcripción

1 Tema 2: Descripción de Sisemas - Pare I - Virginia Mazzone Inroducción Los sisemas que esudiaremos, ienen alguna enrada y alguna salida, 1. Suponemos que si aplicamos una enrada obenemos una salida única. u) y) Conenidos Inroducción Sisemas Lineales Conclusiones u) u[k] u[k] k Caja negra y) y[k] Figura: Sisema y[k] k Un sisema con una enrada y una salida se llama SISO. Un sisema con dos o más enradas y dos o más salidas se llama sisema mulivariable MIMO). Un sisema se dice a iempo coninuo si acepa señales coninuas en la enrada y genera señales coninua en la salida. Denoaremos u) para una enrada o u)para múliples enradas. Si enemos p enradas, u) es p 1, u) = [u 1 u 2 u p ] T Un sisema se dice a iempo discreo si acepa señades discreas en la enrada y genera señales discreas a la salida. Todas las señales discreas en un sisema se suponen con el mismo período de muesreo T. La enrada o salida serán denoados como u[k] := ukt ) e y[k] := ykt ). Los sisemas esáicos suelen llamarse ambién sin memoria. Un sisema es causal o no anicipaivo si la salida en un insane dado depende de los valores presenes y pasados de la enrada, y no de valores fuuros. La salida acual de un sisema causal depende del pasado de la enrada. Pero cuáno iempo arás ienen efeco valores pasados de la enrada? Esricamene, habría que volver arás en el iempo hasa 1, lo que no es muy prácico. El concepo de esado salva ese problema. Definición El esado x ) de un sisema en el insane es la información en que juno con la enrada u) para deermina unívocamene la salida y) para odo.

2 El esado x ) resume oda la hisoria del sisema desde 1 hasa : conociendo el valor del esado en, podemos conocer y) luego de conociendo la enrada u) aplicada anes de. Podemos pensar que la enrada para y las condiciones iniciales x ) deerminan la evolución del sisema para x); x ) u); Un sisema se dice que es finio-dimensional si el número de variables de esado es finia o su esado es un vecor de dimensión finia. Un sisema se dice que es infinio-dimensional si su esado iene infinias variables de esado. Ejemplo Consideremos el sisema de reraso uniario dado por y) = u 1): La salida es simplemene la enrada rerasada un segundo. Para deerminar la salida desde el conocimieno de la enrada, necesiamos la información fu); < g. Así el reardo uniario es un sisema infinio-dimensional Consideremos el problema de regulación de la emperaura del aula por medio de acondicionadores de aire. La emperaura aparece como una disribución en odo el volumen del aula, y su caracerización complea requiere un número infinio de daos la emperaura en odos los punos del aula). Sisemas Lineales Un sisema se llama lineal si cumple con el principio de superposición, es decir, dados dos pares de condiciones iniciales y enradas, enemos que x i ); xi ) u i ); para i = 1;2 x1 ) + x 2 ) x 1 ) + x 2 ); adiividad u 1 ) + u 2 ); x i ) x i ); 2 R homogeneidad u i ); La combinación de ambas es la propiedad de superposición La propiedad de adiividad permie considerar la respuesa del sisema como la superposición de la respuesa a condiciones iniciales y exciación aplicadas por separado. x) = x l )+x f ); 8 >< >: x l ); x f ); x ) u) = ; x ) = u); Repuesa = respuesa libre + respuesa forzada Los sisemas no lineales, no cumplen con el principio de superposición.

3 Sisema lineales invarianes en el iempo Un sisema es esacionario si para cada par condiciones iniciales y enrada x); y cada T 2 R, enemos que x T ); + T x ) u); 1) x + T ) u T ) + u 2 ); + T : Es decir, el sisema responde da la misma respuesa, corrida en iempo, si se le aplica la misma enrada corrida con iguales condiciones iniciales. 2) Un sisema que no cumple esa propiedad se dice inesacionario. Represenación enrada-salida: Por superposición se deduce la represenación de sisemas lineales mediane la inegral de convolución y) = Z 1 g; )u)d ; 3) 1 donde g; ) es respuesa al impulso: la salida del sisema a un impulso uniario ) en el insane. La causalidad implica que causalidad, g; ) = para <, y como las condiciones iniciales se asumen nulas, 3) se reduce a Z y) = g; )u)d : Si el sisema iene p enradas y q salidas, enonces hablamos de la mariz de respuesa al impulso G; ) 2 R q p. Si el sisema es esacionario enonces para cualquier T se cumple g; ) = g + T ; + T ) = g ;) : Así podemos redefinir g ; ) simplemene como g ). La represenación enrada-salida del sisema se reduce a Z Z y) = g )u)d = g)u )d : La condición de causalidad para un sisema lineal esacionario se reduce a g) = para <. Mariz Función de Transferencia La ransformada de Laplace es una herramiena imporane para esudiar sisemas LTI. Sea ŷs) = Lfy)g = Z 1 y)e s d = ĝs)ûs) donde ĝs) es la función ransferencia del sisema y es la ransformada de Laplace de la respuesa al impulso.

4 Para un sisema con p enradas y q salidas, ŷs) = Ĝs)ŷs) puede exenderse ŷ 1 s) ŷ 2 s). ŷ q s) = ĝ 11 s) ĝ 12 s) ĝ 1p s) ĝ 21 s) ĝ 22 s) ĝ 2p s) ĝ q1 s) ĝ q2 s) ĝ qp s) û 1 s) û 2 s). û p s) donde ĝ ij s) es la función ransferencia desde la j-ésima enrada a la i-ésima salida. La mariz q p, Ĝs) se llama mariz función de ransferencia o simplemene mariz de ransferencia. Ĝs) se dice que es propia, si cada elemeno es propio, o si Ĝ1) es la mariz nula. Llamamos un polo de Ĝs) si es polo de alguno de los elemenos de Ĝs). Exisen varias formas de definir los ceros de Ĝs) Represenación en Espacio de Esados: Todo sisema lineal finio-dimensional puede describirse mediane ecuaciones de esado EE) ẋ) = A)x) + B)u) y) = C)x) + D)u) : Para un sisema de orden n, el vecor de esados es un vecor n 1, es decir que iene n variables de esado, x) 2 R n para cada. Si el sisema iene p enradas y q salidas, enonces u) 2 R p e y) 2 R q. Las marices A;B;C;D se suelen llamar A 2 R n n : de evolución B 2 R n p : de enrada C 2 R q n : de salida D 2 R q p : de ganancia direca Cuando el sisema es además invariane en el iempo, enonces la represenación en EE se reduce a ẋ) = Ax) + Bu) y) = Cx) + Du) : Aplicando la ransformada de Laplace a 4) obenemos de donde siguen sˆxs) x) = Aˆxs) + Bûs) ŷs) = Cˆxs) + Dûs) ; ˆxs) = si A) 1 x) + si A) 1 Bûs) ŷs) = si A) 1 x) + [CsI A) 1 B + D]ûs) : 4) 5) Las ecuaciones algebraicas 5) permien compuar ˆxs) y ŷs) de x) y ûs). Las ransformadas inversas dan x) e y). Asignando x) = vemos que la mariz ransferencia del sisema es Ĝs) = CsI A) 1 B + D Para esudiar sisemas varianes en el iempo no se uiliza la ransformada de Laplace. La ransformada de g; ) es una función de dos variables y L[A)x)] 6= L[A)]L[x)]; así la ransformada de Laplace no ofrece ninguna venaja para esudiar sisemas varianes en el iempo.

5 Ejemplo Consideremos un cohee a reacción que asciende en forma verical de la superficie de la ierra. La fuerza de propulsión es el produco v e u, donde v e < es la velocidad relaiva de escape de gases, y u < la velocidad de variación de masa ṁ), supuesas consanes. m v Figura: Cohee h Asumiendo la aceleración de la gravedad g consane, m)ḧ) = m)g + v eu : Como ṁ) = u, enonces m) = m + u. Definiendo x 1 ) := h) y x 2 ) := ḣ) y omando como salida la alura, llegamos a la represenación en EE "ẋ1 ) = ẋ 2 ) " 1 " x1 ) x 2 ) h i " x y) = 1 1 ) x 2 ) + " g + veu ; x) = m +u El sisema es lineal, de dimensión 2, e inesacionario. Conclusiones Tipo de sisema Rep. inerna Rep. exerna dim. infinia lineal y) = R 1 G ; )u)d dim. finia, lineal ẋ = A)x + B)u y) = R G ; )u)d y = C)x + D)u dim. inf., lineal, es. y) = R 1 G ; )u)d ŷs) = Ĝs)ûs) dim. fin., lineal, es. ẋ = Ax + Bu y) = R 1 G ; )u)d y = Cx + Du ŷs) = Ĝs)ûs) La mariz ransferencia es racional sii el sisema es lineal, esacionario y de dimensión finia. Las represenaciones exernas asumen condiciones iniciales nulas. Los sisemas de dimensión infinia no pueden describirse en EE.