Sistemas termodinámicos. Temperatura

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1 Sistemas termodinámicos. Temperatura 1. Se desea construir una escala termométrica que opere en grados Celsius, mediante una varilla que presenta una longitud de 5.00 cm a la temperatura de fusión del hielo, y 5.01 cm a la temperatura de ebullición del agua. Qué relación define esta escala?. Qué longitud presenta esta varilla cuando la temperatura es de 20 C? 2. Demostrar que para un mismo termómetro la temperatura medida en la escala dada por la relación f(t) = at + b y la dada por la relación f(t') = a't' + b' guardan una relación lineal. Teniendo esto en cuenta hallar las fórmulas que permiten pasar de grados Celsius a Fahrenheit, y de grados Celsius a Rankine. 3. Un termopar de le Chatelier (Platino y aleación de Platino-Rodio) entre 400 y 1400 C, obedece a la relación empírica (en mv) : ε = x10-3 t x10-6 t 2 Si medimos con el mismo la temperatura de un horno observando que la fem es de 6.5 mv, hallar a qué temperatura se encuentra este horno. 4. A qué temperatura son iguales las lecturas en un termómetro Fahrenheit y en un termómetro Celsius? 5. Un reloj de péndulo cuya marcha es correcta a 10 C se halla a 20 C. Calcular cuánto atrasa en un día sabiendo que su varilla es de acero. El coeficiente de dilatación térmica lineal del acero vale 10-6 C Hallar la tensión que es capaz de desarrollar una barra de hierro de 1 cm 2 de sección recta, cuando su temperatura desciende 100 C. El módulo de Young del hierro y su coeficiente de dilatación térmica lineal son 2x10 5 N/mm 2, 12x10-6 C -1, respectivamente. 7. Un matraz de vidrio graduado para medir volúmenes opera correctamente a 30 C, a esta temperatura contiene g de mercurio. Hallar qué volumen de mercurio señalará a 0 C, sabiendo que el coeficiente de dilatación del vidrio y del mercurio son 8x10-6 C - 1, 18x10-5 C -1 y que la densidad del mercurio a 30 C es 13.6 g/cm Se tienen 5 g de hidrógeno a la presión atmosférica normal. Si se aumenta la temperatura en 10 K, cuál será el aumento de volumen que experimenta este gas para que permanezca constante su presión? 9. Dado un termómetro de gas a volumen constante, se mide la presión P f de este gas a la temperatura de fusión del hielo, y la presión P e a la temperatura de ebullición del agua. Demostrar que la relación que define la escala de este termómetro es: t( C) = P-P f 100 Pe -Pf

2 10. Utilizando el termómetro de gas a volumen constante del problema anterior, determinar la temperatura que hay en una habitación en la que se mide una presión de 655 mmhg, sabiendo que la presión P f es 600 mmhg y que la presión P e es 820 mmhg. 11. Un pistón comprime el gas de un cilindro desde un volumen de 15x10-3 m 3 hasta un volumen de 12x10-3 m 3. Este gas puede considerarse como ideal, estando inicialmente a una presión de 200 kpa y una temperatura de 300 ºK. En su estado final la presión es de 350 kpa, hállese en este estado la temperatura correspondiente. 12. Un gas se calienta a volumen constante de 30 cm 3, desde una temperatura de 27 ºC hasta una temperatura de 200 ºC. Si la presión inicial de este gas (supuesto ideal) era de 101 kpa, hállese cuál será su presión final.

3 Calor y trabajo. Primer principio de la Termodinámica 1. A temperaturas muy bajas, la capacidad calorífica molar de la sal gema varía con la temperatura de acuerdo con la ley de Debye, cuya expresión es: C = KT 3 n 3 θ donde K=1940 J/(mol K), θ = 281 K. Teniendo esto en cuenta calcular: a) Cuánto calor es necesario para elevar desde 10 K hasta 50 K la temperatura de 2 moles de sal gema. b) Cuál es la capacidad calorífica molar media en este intervalo de temperaturas. c) Cuál será la capacidad calorífica molar verdadera a 50 K. 2. Un calorímetro de cobre cuya masa es 300 g contiene 500 g de agua a la temperatura de 15 C. Se deja caer un bloque de cobre de 560 g a la temperatura de 100 C, observándose que la temperatura del agua sube hasta 22.5 C. Despreciando las pérdidas de calor calcular el calor específico del cobre. 3. Un cilindro con paredes térmicamente aislantes tiene situado en su interior una pared móvil y rígida, también de material aislante, que puede desplazarse sin rozamiento, a cada lado de esta pared móvil existe inicialmente un volumen de 54 l de un gas perfecto, cuyo calor específico a presión constante es 4 cal/(mol K), a una presión de 1 atm y a 0 C de temperatura. Si suministramos calor al reservorio de la izquierda mediante una resistencia eléctrica, el gas de este recinto se expande comprimiendo al que se halla en el recinto contiguo, hasta que se alcanza una presión en todo el cilindro de 7.29 atm. Calcular: a) Temperatura final del gas encerrado en el recinto de la derecha. b) Trabajo realizado sobre el gas de la derecha. c) Calor suministrado al gas de la izquierda. 4. Cuando un sistema pasa del estado (a) al estado (b) a lo largo de la trayectoria acb, tal como se indica en la figura 1(a), recibe 80 J de calor y realiza 30 J de trabajo. Hallar : a) Cuánto calor recibe el sistema a lo largo de la trayectoria adb, sabiendo que el trabajo intercambiado por éste es 10 J. b) Cuánto calor intercambia el sistema cuando realiza el proceso ba siguiendo la trayectoria curvilínea, sabiendo que el trabajo intercambiado es 20 J. c) Cuál es el calor intercambiado por el sistema en los procesos ad y db, si la energía interna en los estados (a) y (d) es 0 y 40 J, respectivamente. 5. Calcúlese el trabajo realizado cuando un gas se dilata desde el volumen V 1 hasta el volumen V 2, si la relación que existe entre presión y volumen es la siguiente : donde a, b y K son constantes. (P + a/ V 2 )(V - b)=k

4 Fig. 1. Problemas números 4 y Un gas perfecto experimenta una expansión adiabática durante la cual su temperatura desciende de T 1 a T 2. Demostrar que el trabajo realizado por este gas viene dado por: W = nc v (T 1 -T 2 ) donde n es el número de moles y C v es la capacidad calorífica molar a volumen constante. 7. La figura 1(b) muestra en un diagrama de Clapeyron el ciclo termodinámico que experimenta un sistema en un motor térmico. Si este sistema está constituido por 0.1 mol de gas ideal, siendo el valor del índice de adiabaticidad de este gas 5/3. Hallar: a) La presión y el volumen en los estados 1,2 y 3, sabiendo que P 1 =1 atm. b) El trabajo que realiza el sistema durante este ciclo. Fig. 2. Problemas números 8, 9 y 10.

5 8. Un mol de gas diatómico para el cual C v = 5R/2, puede evolucionar del estado A al estado B siguiendo las trayectorias ACB y ADB, tal como se indica en la figura 2(a), donde P 2 = 2P 1 y V 2 = 2V 1. Hallar el calor suministrado al gas en cada uno de los trayectos antes mencionados, expresando el resultado en función de R y T Calcular el trabajo realizado en cada uno de los procesos indicados en la figura 2(b), sabiendo que el sistema activo es un gas perfecto. Hallar también la energía interna en los estados A, B y C en función de la energía interna en el estado D, y de los valores de las variables P y V en estos estados. 10. Sabiendo que el índice de adiabaticidad de cierto gas es 5/3, calcular el trabajo y el calor intercambiado por este sistema, cuando el mismo es asiento de los procesos representados en la figura 2(c). 11. La temperatura de un lingote de metal de 0.05 kg se eleva hasta 200 ºC. El lingote se introduce en un recipiente aislado y de masa despreciable que contiene 0.4 kg de agua, que inicialmente está a 20 ºC. Sabiendo que la temperatura final del sistema es 22.4 ºC. Calcúlese el calor específico del metal. 12. Un sistema cerrado sufre un proceso politrópico cuasiestático que le lleva del estado 1 al estado 2. El sistema es un gas que puede considerarse ideal y se halla inicialmente a 100 kpa y 300º K. El volumen de este sistema se reduce de 2 a 1 m 3, siendo el índice politrópico para este proceso igual 1.3. Se supone que el valor de c V es constante para este gas, siendo este valor kj/(kgºk)(r = kj/(kgºk)). En esta situación hállese: (a) La presión y la temperatura en el estado 2. (b) El trabajo realizado por el sistema. (c) El calor agregado al sistema. 13. Un pistón comprime el gas en un cilindro durante un proceso cuasiestático, en el que la presión varía de acuerdo con la relación pv 1.4 = constante. La presión inicial en el cilindro es de N/m 2 y el volumen inicial del cilindro es de 0.01 m 3. Calcule el trabajo realizado al comprimir el gas a un volumen final de m Un gas supuesto ideal se somete a dos procesos en los que P f = 10 5 Pa, V f = 2 m 3, P i = 0.2 x 10 5 Pa y V i = 10 m 3 ; son las presiones y volúmenes de los estados inicial y final. El primer proceso es a temperatura constante y el segundo esta formado por dos procesos uno a presión constante y otro a volumen constante, tal como se ilustra en la figura 3. Hállese cuál es la relación entre los trabajos realizados en estos dos procesos, que nos llevan del mismo estado inicial al mismo estado final, ambos mostrados en la figura 3. P f T = constante i Fig. 3. Problema número 14. V

6 15. Un sistema cerrado sufre un proceso cuasiestático a temperatura constante, que lo lleva del estado 1 al 2. El sistema es un gas ideal que se halla inicialmente a 200 kpa y 300 ºK. El volumen del sistema se duplica pasando de 2 m 3 a 4 m 3, durante este proceso. Con estos datos calcúlese el trabajo realizado y el calor agregado durante dicho proceso. 16. Un mol de gas ideal que se encuentra inicialmente a una presión de 5 atm y una temperatura de 373 K, es sometido al ciclo de procesos indicado en la figura 4 (el proceso 31 es adiabático). Sabiendo que el índice de adiabaticidad γ es 1.4 y que el volumen V 2 = 2V 1, hallar: a) Presión y temperatura en el estado 3. b) Trabajo realizado en cada proceso del ciclo. Fig. 4. Problema número Un gas supuesto ideal es comprimido dentro de un cilindro mediante una masa situada en una pared móvil, que puede desplazarse sin rozamiento. La masa es de 8 kg y el cilindro encierra 0.2 moles de gas. El área de la pared móvil es de 5 cm 2. Si el proceso se realiza a presión constante, elevándose la temperatura desde 20 ºC hasta 300 ºC, hállese el trabajo realizado en este proceso. 18. Un cilindro de un motor diesel realiza la compresión de un gas supuesto ideal, en un proceso adiabático mediante el cual dicho gas pasa de un volumen inicial de 800 cm 3 a un volumen final de 60 cm 3. Si la temperatura inicial del gas es de 20 ºC y su presión es de 1 atm, hállese la temperatura y presión finales. Considérese el valor 1.4 como el índice de adiabaticidad. 19. Un gas supuesto ideal se expande desde el volumen inicial de 1 m 3 al volumen final de 2 m 3. Si el proceso se realiza a presión constante, hállese la variación de la energía interna, sabiendo que la presión inicial era de kpa y el calor intercambiado 200 kj. 20. Un gas supuesto ideal se calienta dentro de un cilindro desde la temperatura inicial de 300 ºK, hasta la temperatura final de 500 ºK. Si el proceso se realiza a volumen constante, hállese la variación de la energía interna y el calor intercambiado, sabiendo que el cilindro contiene 3 moles de gas. Es conocido para este gas que c V = 3R/2, siendo R = 8.31 J/kgºK.

7 Segundo principio de la Termodinámica. Entropía 1. La figura 1(a) muestra un diagrama P-V simplificado del ciclo Joule para un gas perfecto. Todos los procesos son cuasiestáticos y Cp es constante. Demostrar que el rendimiento térmico de un motor que lleve a cabo este ciclo es : η =1 - (P 1 /P 2 ) (γ-1)/γ 2. La figura 1(b) representa un diagrama P-V simplificado del ciclo de Sargent para un gas perfecto. Demostrar que el rendimiento de la máquina térmica que realiza este ciclo es : (T -T ) η=1-γ 4 1 (T3 -T 2) 3. La figura 1(c) muestra un ciclo imaginario que utiliza un gas perfecto como sistema activo. Supuestas constantes las capacidades caloríficas a presión constante y volumen constante, demostrar que el rendimiento de la máquina térmica que opera siguiendo este ciclo es : (V 1/ V 2)-1 η=1-γ (P / P )-1 4. Cuál es el medio más eficaz para incrementar el rendimiento de una máquina térmica de Carnot, aumentar T 1 (temperatura del foco caliente) manteniendo constante T 2 (temperatura del foco frío) o disminuir T 2 manteniendo constante T 1? 3 2 Fig. 1. Problemas números 1, 2, 3 y 6.

8 5. Una termobomba que opera siguiendo un ciclo de Carnot, funciona reversiblemente entre dos focos a temperaturas de 5 C y 25 C, siendo el trabajo aportado al ciclo de 1 kwh. Determinar : a) Eficiencia de esta termobomba. b) Calor comunicado al foco caliente. c) Eficiencia de esta termobomba cuando opera como máquina frigorífica. 6. Un mol de un gas perfecto recorre primero el ciclo ABCD y después el ciclo ABC'D, representados ambos en la figura 1(d). Si sabemos que las transformaciones BC y BC' son la primera isoterma y la segunda adiabática, determinar el rendimiento de ambos ciclos. Cp = 5 cal/( K.mol) 7. Calcular la variación de la entropía que tiene lugar en el universo, cuando un ladrillo de 1 kg cae al suelo desde una altura de 5 m, siendo 27 C la temperatura ambiente. 8. Un gas perfecto pasa a través de una válvula desde un cilindro aislado térmicamente a un segundo cilindro vacío inicialmente que también está térmicamente aislado. Haciendo uso de un argumento lógico demostrar que este proceso es irreversible. Calcular la variación de entropía que tiene lugar en el proceso descrito si el gas perfecto está constituido por una masa de dos moles y sus volúmenes inicial y final son respectivamente 5 y 20 litros. 9. Una pieza de acero caliente se enfría introduciéndola en un baño aislado de aceite. Por medio de un argumento lógico demostrar que el proceso es irreversible, incluso si el rozamiento es despreciable. Si las capacidades caloríficas a presión constante del acero y del baño son 60 y 2000 cal/ C y las temperaturas iniciales 500 y 20 C, respectivamente, calcular la variación de entropía del universo. (Recuérdese que el baño está aislado). 10. Dos gases diferentes supuestos perfectos ocupan recipientes distintos, estando ambos a la misma presión y temperatura. Calcular la variación de la entropía cuando ambos recipientes se ponen en comunicación, suponiendo que se mantiene constante la temperatura y que ambos recipientes están aislados. Datos : n 1 = 1 mol, n 2 = 3 mol. P C D P A A-B: Temperatura constante T 1 B-C: Proceso adiabático C-D: Temperatura constante T 2 D-A: Proceso adiabático B A D B V 2 V 1 V C (a) Fig. 2. Problemas números 11 y 12. (b) V

9 11. Demuéstrese que la eficiencia de la máquina térmica que opera según el ciclo de la figura 2(a) puede escribirse en función de los volúmenes V 1 y V 2. Considérese la sustancia de trabajo como gas ideal, siendo γ el índice de adiabaticidad (dato del problema). Los procesos AB y CD son procesos adiabáticos. 12. Hállese el rendimiento de una máquina térmica cuyo sistema activo describe el ciclo ilustrado en la figura 2(b). Considere que el sistema activo es un gas ideal. 13. Calcúlese la variación de la entropía del sistema en los casos siguientes: a) Expansión libre de 2 moles de gas ideal al triple de su volumen inicial. b) Mezcla de 1 kg de agua a 0 ºC con una cantidad igual de agua 100 ºC. Después de que se alcanza el equilibrio, la mezcla tiene una temperatura de 50 ºC. 14. Hállese el rendimiento de una máquina térmica que opera siguiendo el ciclo de Carnot, cuando la temperatura del foco caliente es 550 ºC y la del foco frío 25 ºC. Hállese el trabajo obtenido por esta máquina cuando se le suministra un calor de 550 kj. Indíquese qué produce mejor rendimiento de esta máquina, elevar la temperatura del foco caliente en 50 ºC o disminuir la temperatura del foco frío en los mismos grados. 15. Hállese cuál es la dirección permitida en la que debe fluir el calor entre dos sistemas, que se hallan juntos encerrados en un recipiente que les mantiene aislados del exterior. Uno de ellos tiene una temperatura de 273 ºK y el otro una temperatura de 373 ºK, intercambiándose un cantidad de calor de 8 J. 16. Una máquina térmica tiene un rendimiento del 25% y suministra una potencia de 30 kw. Hállese el flujo de combustible que consume si éste produce un calor de 45x10 6 J/kg. 17. Una estación generadora de electricidad utiliza una máquina térmica que opera entre las temperaturas de y 86 ºC siguiendo el ciclo de Carnot. Si dicha planta eléctrica tiene una potencia de salida de 1 MW, hállese cuánto calor es disipado en el foco frío de la máquina térmica y cuánta energía consume.

10 Propiedades de las sustancias puras 1. En el interior de un calorímetro que contiene 1 kg de agua a 20 C, se introducen 0.5 kg de hielo a -16 C. El vaso calorimétrico es de cobre y tiene una masa de 278 g. Calcular la temperatura final del sistema, suponiendo que no hay pérdidas de calor. Son datos c hielo = 0.55 cal/(g. C), c cobre = cal/(g. C), L(calor latente de fusión)= 80 cal/g. 2. Un recipiente cuyas paredes están aisladas térmicamente, contiene 2.1 kg de agua y 200 g de hielo, todo ello a la temperatura de 0 C. Se introduce en el agua el extremo de un tubo que procede de una caldera, en la cual hierve el agua a la presión atmosférica. Cuántos gramos de vapor de agua han de condensarse para elevar la temperatura del sistema hasta 20 C?. Despreciar la capacidad calorífica del recipiente que contiene el sistema, y la del tubo que se introduce en el mismo. 3. Un trozo de 100 g de hielo a 0 C de temperatura se coloca en un recipiente aislado, junto con 100 g de agua a una temperatura de 100 C. a) Cuando se ha llegado al equilibrio, cu l es la temperatura final del agua? b) Calcular la variación de la entropía del Universo debida a este proceso. No tener en cuenta la capacidad calorífica del recipiente y considerar el calor latente de fusión 80 cal/g. 4. Cuando hierve el agua a la presión de 2 atm el calor latente de vaporización es 2200 kj/kg y el punto de ebullición es de 120 C. A esta presión 1 kg de vapor ocupa un volumen de metros cúbicos. Hallar: a) El trabajo realizado cuando se forma 1 kg de vapor a la temperatura de 120 C. b) El aumento de la energía interna del sistema. 5. Cuando una masa 1 kg de vapor de agua a 100 C se convierte en agua a la misma temperatura, rodeándola de un cuerpo refrigerante a una temperatura constante de 5 C, debe extraerse calor del vapor de agua y por lo tanto su entropía debe disminuir. Deja de cumplirse en este caso el principio de aumento de la entropía? Justificar la respuesta y obtener la variación de la entropía en este proceso. Calor latente 2200 kj/kg. 6. Hallar el cambio de la energía interna de 1 centímetro cúbico de agua, el cual hallándose a presión atmosférica se convierte por ebullición en 1671 centímetros cúbicos de vapor. Calor latente 2260 kj/kg. 7. Si la presión parcial del vapor de agua en la atmósfera es 0.012x10 5 Pa hallar la humedad relativa a una temperatura de 20 C. 8. Cuál es la humedad relativa un día en que la temperatura es 20 C y el punto de rocío es de 5 C? Cuál es la presión parcial del vapor de agua en la atmósfera?

11 9. Un recipiente de agua está situado en una habitación cerrada de 60 metros cúbicos de volumen, a 27 C de temperatura y con una humedad relativa inicial del 60%. a) Cuántos gramos de agua se evaporarán? b) Cuál es la humedad absoluta después de haberse alcanzado el equilibrio? c) Si se aumenta en 1 C la temperatura de la habitación, cuántos gramos de agua se evaporarán? 10. En un sistema de aire acondicionado se precisa aumentar la humedad relativa, de 0.5 metros cúbicos de aire que circulan por segundo, desde 30% hasta 65%, siendo la temperatura del aire 20 C. Cuántos kg de agua por hora se necesitan para ello? Tabla 1. Propiedades termodinámicas del vapor de agua saturado a diversas temperaturas. t( C) P(kPa) ρ(kg/m 3 )

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