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1 Herramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas, Grupo de Innovación Didáctica Departamento de Matemáticas Universidad de Extremadura

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3 Índice

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5 Dada una función f : D R R y un intervalo I D f es creciente en I si para todo x, y I si x < y = f(x) f(y) f es decreciente en I si para todo x, y I si x < y = f(x) f(y)

6 Si f : D R R es derivable en I D Condición necesaria y suficiente para que f sea creciente en I f (x) 0 para todo x, y I f es creciente en I Condición necesaria y suficiente para que f sea decreciente en I f (x) 0 para todo x, y I f es decreciente en I

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8 relativos Dada una función f : D R R f alcanza un máximo relativo en a D si δ > 0 tal que si x (a δ, a + δ) D entonces f(x) f(a) f alcanza un mínimo relativo en a D si δ > 0 tal que si x (a δ, a + δ) D entonces f(x) f(a)

9 absolutos Dada una función f : D R R f alcanza un máximo absoluto en a D si f(x) f(a) para todo x D f alcanza un mínimo absoluto en a D si f(x) f(a) para todo x D

10 Condición necesaria y suficiente para extremo relativo Si f(x) : D R R es derivable en D, f(x) alcanza un máximo relativo en a D si es creciente a la izquierda de a es decir, x < a = f (x) 0 y es decreciente a la derecha de a es decir, x > a = f (x) 0 f(x) alcanza un mínimo relativo en a D si es decreciente a la izquierda de a es decir, x < a = f (x) 0 y es creciente a la derecha de a es decir, x > a = f (x) 0

11 Condición necesaria de extremo relativo Extremos relativos y derivada Si f(x) es derivable en a y alcanza en a un máximo o mínimo relativo entonces f (a) = 0

12 Ejemplo Sea h(x) = 1 + x 2 + x 3 + x 4. Los posibles extremos relativos de h(x) serán los valores de x que anulen la derivada: h (x) = 2x + 3x 2 + 4x 3 = x(2 + 3x + 4x 2 ) En x = 0 se anula la derivada y será un posible máximo o mínimo. Y no tendrá más posibles máximos o, porque 2 + 3x + 4x 2 solo tiene raíces complejas, y al ser una función continua, sus valores serán siempre positivos o siempre negativos. En este caso, sustituyendo por cualquier valor de x, comprobamos que son siempre positivos. Consecuencia de lo anterior es que el signo h (x) es el siguiente: h (x) < 0 si x (, 0) ( h(x) decrece si x (, 0)) h (x) > 0 si x (0, ) ( h(x) crece si x (0, )) En consecuencia, en x = 0 hay un mínimo relativo para la función h(x). Además, visto el crecimiento y de la función, el mínimo es un mínimo absoluto.

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14 Concavidad Dada una función f : D R R, diremos que f es cóncava en a D si existe un entorno de a en el que la gráfica de la función queda por encima de la recta tangente en a Función cóncava creciente Función cóncava decreciente

15 Convexidad Dada una función f : D R R, se dice que f es convexa en a D si existe un entorno de a en el que la gráfica de la función queda por debajo de la recta tangente en a Función convexa creciente Función convexa decreciente Los conceptos de y concavidad pueden encontrarse definidos de forma diferente en algunos textos, de forma que lo que aquí se entiende por concavidad, alĺı sería y viceversa.

16 Si f : D R R tiene derivada segunda en I D, entonces Condición necesaria y suficiente para que f sea cóncava en I f (x) 0 x, y I f es cóncava en I Condición necesaria y suficiente para que f sea convexa en I f (x) 0 x, y I f es convexa en I

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18 Dada una función f : D R R, se dice que tiene un punto de en a D si es cóncava a la izquierda de a y convexa a la derecha o viceversa. La condición necesaria para que f tenga punto de en a D es que f (a) = 0

19 y máximos y Condiciones suficientes para puntos de, concavidad y : Sea f(x) una función derivable varias veces. Si la primera derivada en a de orden mayor que 1 que no se anula es de orden 1 par y positiva, entonces a es un punto de concavidad para f(x); 2 par y negativa, entonces a es un punto de para f(x); 3 impar, entonces a es un punto de para f(x). Condiciones suficientes de puntos de, máximo o mínimo relativo: Sea f(x) una función derivable varias veces. Si la primera derivada en a se anula y la de orden mayor que 1 que no se anula es 1 de orden par y positiva, entonces a es un mínimo relativo para f(x); 2 de orden par y negativa, entonces a es un máximo relativo para f(x); 3 de orden impar, entonces a es un punto de para f(x).

20 Ejemplo Sea f(x) = Ln(1 + x 2 ). Para estudiar la y concavidad de f(x) calculamos su derivada segunda: f (x) = 2x f (x) = 2(1 + x2 ) 4x 2 = 2 2x2 1 + x 2 (1 + x 2 ) 2 (1 + x 2 ) 2 Por lo tanto, la derivada segunda f (x) se anula en x = ±1, y su signo es el siguiente: Es decir f (x) < 0 si x (, 1) x (1, ) f (x) > 0 si x ( 1, 1) f(x) es convexa si x (, 1) (1, ) f(x) es cóncava si x ( 1, 1). En x = ±1 hay sendos puntos de por pasar de cóncava a convexa o viceversa. Además se puede comprobar que f (x) 0 en x = ±1.

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22 El objetivo es encontrar los valores que hacen que una función alcance su valor máximo o mínimo. Pasos a seguir en la resolución del problema: Identificar la función que se trata de maximizar o minimizar Establecer las relaciones entre las variables que hacen que se cumplan todas las condiciones del problema (ligaduras) Para que alcance un máximo o mínimo, la condición necesaria es que la derivada primera de la función debe ser cero Además se deben verificar las condiciones suficientes de máximo o mínimo ( Ver condiciones suficientes de máximo y mínimo )

23 Ejemplo Una ventana tiene forma rectangular con un semicírculo en su parte superior. Sabiendo que el perímetro es 4 metros, hallar las dimensiones para que sea máxima la cantidad de luz que la traviesa.

24 Ejemplo (resolución) Para un máximo de luz ha de ser máxima la superficie con cristal. Sean R, B y h las dimensiones de la ventana tal y como se señalan en el dibujo. Evidentemente B = 2 R. En este caso la función a maximizar es la superficie S: S = B h π R2 = B h + π ( ) 2 B 2 2 Puesto que el perímetro es 4 metros, ha de ser B + 2 h + πr = 4, por tanto, h = 4 B(1 + π/2) 2 La función a maximizar se puede escribir entonces en función de una sola variable 4 B(1 + π/2) S = B + π ( ) 2 B Derivando e igualando a cero se obtiene que ha de ser B = π

25 Ejemplo (resolución) B = 8 es un posible máximo o mínimo de la función superficie. 4+π La derivada segunda de la función superficie S es la siguiente S (B) = π 4 1 que es evidentemente negativa para el valor B = 8. 4+π Por tanto, el valor B = 8 es un máximo de la función superficie. 4+π Para este valor de B, el valor de h es h = 4 π + 4.

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