TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA
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- Jaime Plaza Cabrera
- hace 7 años
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1 TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA....4 Los alumnos comenzaron a estudiar funciones trigonométricas en el Capítulo 7, cuando aprendieron sobre radianes la transformación de funciones trigonométricas. Aquí aprenderán a resolver ecuaciones con funciones trigonométricas operando sobre la variable. Este trabajo incluirá la revisión de las funciones trigonométricas inversas e introducirá las funciones trigonométricas reciprocas. Para más información, consulta el recuadro de Apuntes de matemática de la Lección..4. Ejemplo Para qué valores son verdaderas las siguientes ecuaciones a. cos θ 3 b. sen θ c. cos θ 5 Si bien el primer impulso al resolver la ecuación del punto (a) puede ser usar la función inversa, eso no responderá completamente la pregunta. cosθ 3 ( ) cos ( cosθ ) cos 3 θ π 6 radianes Tal vez recuerdes que el gráfico de f () cos es una 3 función periódica, el gráfico de es una recta horizontal. Al graficar ambas ecuaciones en el mismo grupo de ejes, observamos que se intersecan una cantidad infinita de veces. Resolver usando la función trigonométrica inversa nos da una solución. Cómo hallamos todas las soluciones π π 3π Recuerda el círculo de unidad. Para qué valores de θ es 3 cos θ Ha dos puntos fáciles de hallar: π 6 π 6. Cómo hallamos el resto En el círculo de unidad, podemos ver π 6 π 6 en cada rotación de π. Por lo tanto, no solo π hace verdadera 6 la ecuación, también lo hacen 6 π ± π, 6 π ± 4π, 6 π ± 6π, etc. De igual forma, 6 π ± π, 6 π ± 4π, 6 π ± 6π, también harán verdadera la ecuación. Podemos sintetizar esta información como θ ± 6 π ± πn, para todos los enteros n. Nota: eisten otras formas de escribir la solución equivalente a esta epresión. 05 CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Álgebra
2 Capítulo Si usamos el mismo método en el punto (b), obtenemos: En un círculo de unidad, el seno siempre es positivo en el segundo cuadrante, así que la otra solución es θ 3π 4 ± πn. Algunos alumnos pueden ver rápidamente la solución al punto (c). Ya que el rango de f () cos es, esta ecuación no tiene solución. senθ senθ θ sen θ π 4 ± πn Ejemplo Grafica f () cos g() tan en distintos ejes. Cómo puedes restringir el dominio para que los gráficos sean funciones Ya que los gráficos de cos e tan son periódicos, si usamos nuestro método de papel de calcar para graficar las inversas, estas también serán periódicas. El problema es que no serán funciones, porque no pasarán la prueba de la recta vertical. cos tan cos tan Al restringir el dominio de la función original, creamos una inversa que también tiene un domino restringido por lo tanto es también una función. Ha una cantidad infinita de restricciones posibles; sin embargo, la convención es restringir el dominio de cos a 0 π, el dominio de tan a π < < π. Estos ajustes producen las restricciones necesarias en las inversas para que también sean funciones. cos Gráfico de cos con el dominio restringido a. tan Gráfico de tan con el dominio restringido a < <. Guía para padres con práctica adicional 05 CPM Educational Program. All rights reserved.
3 Ejemplo 3 Si f () sen, g() cos, h() tan, grafica las siguientes ecuaciones en distintos ejes: f () g() h() Compara tus gráficos con los de las siguientes ecuaciones: sen cos tan Las tres primeras funciones son las funciones recíprocas del seno, el coseno la tangente. Sin embargo, en lugar de ser escritas como recíprocas f () sen cosecante cos secante tan cotangente, reciben nuevos nombres: La abreviación de la cosecante es csc, la de la secante es sec, la de la cotangente es cot. Sus gráficos son: csc cot sec Ya que estas son funciones recíprocas, en todos los puntos en los que la primera función es igual a cero, la función recíproca correspondiente será indefinida. Verifica que esto sea cierto. Al comparar estas funciones con las funciones trigonométricas inversas, es importante observar que sen sen ( lo mismo sucede con las demás funciones correspondientes). Esto se ve mu claramente al eaminar los gráficos. La presencia del eponente nos dice que la función es la inversa, no la recíproca. 05 CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Álgebra
4 Capítulo Problemas Halla todas las soluciones a los problemas dados a continuación. Puedes usar tu calculadora, pero recuerda que solo te dará una respuesta.. cos. 5 tan cos sen 3 5. sen + 3 sen 6. tan + tan 0 Grafica las ecuaciones a continuación en ejes separados. Etiqueta todos los puntos importantes csc sec 9. cot( π) Respuestas. ± 4 π ± πn para todos los enteros n. 4 π ± πn para todos los enteros n 3. ± 3 π n para todos los enteros n 4. π 3 ± πn o π 3 ± πn para todos los enteros n 5. π ± πn para todos los enteros n 6. ±πn para todos los enteros n, 3π ± πn para todos los enteros n 9. Guía para padres con práctica adicional 05 CPM Educational Program. All rights reserved.
5 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS....3 Al graficar distintas epresiones trigonométricas, los alumnos descubren que algunas epresiones son equivalentes a otras. Estas epresiones equivalentes son conocidas como identidades trigonométricas. Estas identidades permiten a los alumnos reescribir resolver muchas más ecuaciones trigonométricas. Para más información, consulta el recuadro de Apuntes de matemática de la Lección..3. Ejemplo Grafica la función f () cos tan. Qué conclusiones puedes etraer sobre esta epresión en función del gráfico (Es decir, qué identidad trigonométrica puedes escribir) Qué substitución puedes realizar en la identidad para eliminar la fracción Antes de que todo el mundo tuviera una calculadora, los alumnos usaban tablas para buscar los valores trigonométricos de varias medidas de ángulos. Ya que las tablas eran difíciles de usar, los alumnos memorizaban cientos de identidades trigonométricas para poder reescribir rápidamente sus epresiones trigonométricas. Si un alumno sabía que sen θ sen θ cos θ, por ejemplo, la tabla de valores trigonométricos no tenía que etenderse hasta ángulos de 0. Un alumno podía reescribir sen 0º como sen 60º cos 60º, usar los valores para 60. Esto también permitía a los alumnos reescribir epresiones trigonométricas en ecuaciones, haciendo que las ecuaciones fueran más simples fáciles de resolver. Al graficar la función dada arriba, podemos ver fácilmente que la función es una constante, es decir, una recta horizontal. Este gráfico es equivalente al gráfico de. Ya que sus gráficos son equivalentes para todos los valores de, las epresiones también son equivalentes. Por lo tanto, podemos escribir: cos tan Esta es ahora una identidad trigonométrica. Cómo podemos reescribir esto para que no inclua una fracción Ya que cos sec, podemos escribir: sec tan. Esta identidad trigonométrica es escrita más comúnmente como: + tan sec. 05 CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Álgebra
6 Capítulo Ejemplo Demuestra la siguiente identidad trigonométrica: sen cos + cos sen csc Otra práctica común antes de la invención de las calculadoras era la demostración de identidades trigonométricas. Estas demostraciones suelen usar pasos algebraicos e identidades demostradas previamente para probar que un lado de la ecuación es igual al otro. Para la identidad de arriba, comenzaremos con el lado izquierdo de la ecuación, obteniendo denominadores comunes para poder sumar la fracción ver a dónde nos lleva. Frecuentemente, en estas demostraciones, debes probar varias cosas para ver a dónde te llevan. También es importante tener en cuenta el lado derecho de la ecuación, que es nuestro objetivo. Recuerda que csc sen. sen cos + cos sen sen sen cos + cos sen csc sen + cos sen cos cos cos sen ( cos ) (sen )( cos ) + (sen )( cos ) sen +( cos ) (sen )( cos ) sen + cos +cos (sen )( cos ) sen +cos + cos (sen )( cos ) + cos (sen )( cos ) cos (sen )( cos ) ( cos ) (sen ) ( cos ) sen csc sen Esto demuestra que la identidad es verdadera. Guía para padres con práctica adicional 05 CPM Educational Program. All rights reserved.
7 Problemas. Demuestra gráficamente que sen( + ) no es igual a sen + sen.. Determina gráficamente a qué es igual cos( + 90º). 3. Determina gráficamente a qué es igual sen(80º ). Demuestra las siguientes identidades: 4. sen sen cot 5. sen cos tan cot tan +cot 6. sen +cos sec 7. cos 4 sen 4 cos 8. sen + +sen sec Respuestas. Los gráficos no son iguales.. cos( + 90º) sen 3. sen(80º ) sen 4. sen sen cot sen sen sen cos sen sen sen cos sen sen cos sen cot 05 CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Álgebra
8 Capítulo 5. sen cos 6. sen +cos sec tan cot tan +cot sen cos sen cos sen cos + sen cos sen cos sen cos sen +cos sen cos sen cos sen +cos sen cos ( cos +cos ) ( cos )(+cos ) +cos cos +cos sen +cos +cos 7. cos 4 sen 4 cos cos 4 sen 4 ( cos + sen ) cos sen cos sen cos ( cos ) cos + cos cos 8. sen + +sen sec + ( sen ) +sen +sen sen sen +sen +sen + sen (+sen )( sen ) sen cos sec Guía para padres con práctica adicional 05 CPM Educational Program. All rights reserved.
9 PRÁCTICA PARA LOS EXÁMENES SAT. Si 7 < < 9z, cuál de los siguientes enunciados es verdadero a. 7 < 9z b. 9z < 7 c. z < d. 7 9z e z. Si f (t) 5t 5, en qué valor de t cruza el gráfico de f (t) el eje a. 5 b. 5 c. 0 d. e Si p p 5 + w, entonces w 5 5 a. 3 b. 3 c. 3 d. 3 e Para todos los números positivos j k, j k está definida como j+4k j 4k. Cuál es el valor de, a..036 b c d. 036 e Si un número es redondeado a 6.7, cuál de los siguientes valores podría haber sido el número original a. 6 b c d e En un plano de coordenadas, el centro de un círculo se encuentra en (9, ). Si el círculo toca el eje en un solo punto, cuál es el radio del círculo 7. La figura de la derecha muestra tres cuadrados con lados de longitud 6, 8, k, respectivamente. Si los puntos A, B, C se encuentran sobre la recta l, cuál es el valor de k A l C B 6 8 k de cada 7000 alumnos universitarios de último año se especializan en matemáticas. Qué porcentaje de alumnos de último año NO se especializan en matemáticas 9. Cinco barras de caramelo cuestan lo mismo que paletas. Si el costo de una paleta una barra de caramelo es $.75, cuál es el costo, en dólares, de una paleta 0. La calificación más alta posible en el eamen del profesor Snape es 00 la más baja es 0. El promedio de las calificaciones de Harr, Ron, Hermione, Neville es 86. Si Neville tiene la calificación más baja, cuál es la calificación más baja que puede tener Respuestas. A. E 3. D 4. A 5. C % 9. $ CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Álgebra
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