Funciones. Rectas y parábolas

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1 0 Funciones. Rectas y parábolas. Funciones Dado el rectángulo de la figura, calcula: el perímetro. el área. P I E N S A C A L C U L A Perímetro = ( + ) = 6 Área = = Indica cuál de las siguientes gráficas es función: y = y = + + Logarítmica. c) Irracional. d) Trigonométrica. e) Racional. f) Eponencial. A P L I C A L A T E O R Í A Sí es función. No es función. Hay valores de para los que eisten dos valores de y. Por ejemplo, para =, y =,y = Dada la siguiente gráfica, analiza todas sus características, es decir, completa el formulario de los 0 apartados. y = Clasifica las siguientes funciones: y = + y = log ( + ) c) y = + d) y = cos e) y = f) y = + Polinómica.Tipo de función: polinómica.. Dominio: Dom(f) = = ( Continuidad: es continua.. Periodicidad: no es periódica.. Simetrías: no es simétrica respecto del eje ni respecto del origen O(0, 0) 0 SOLUCIONARIO

2 6. Asíntotas: Verticales: no tiene. Horizontales: no tiene. 7. Corte con los ejes: Eje : O(0, 0),A(, 0) Eje : O(0, 0). Máimos y mínimos relativos: Máimo relativo: no tiene. Mínimo relativo: B(, ) Monotonía: Creciente ( ): (, Decreciente ( ): Puntos de infleión: no tiene. Curvatura: Convea (á): = ( Cóncava (Ü): Ö 0. Recorrido o imagen: Im(f) = [, Dada la siguiente gráfica, analiza todas sus características, es decir, completa el formulario de los 0 apartados. y = +. Tipo de función: polinómica.. Dominio: Dom(f) = = ( Continuidad: es continua.. Periodicidad: no es periódica.. Simetrías: no es simétrica respecto del eje ni respecto del origen O(0, 0) 6. Asíntotas: Verticales: no tiene. Horizontales: no tiene. 7. Corte con los ejes: Eje : A(, 0), B(, 0) Eje : C(0, ). Máimos y mínimos relativos: Máimo relativo: D(, ) Mínimo relativo: no tiene. Monotonía: Creciente ( ): ) Decreciente ( ): (, Puntos de infleión: no tiene. Curvatura: Convea (á): Ö Cóncava (Ü): = ( 0. Recorrido o imagen: Im(f) = Función lineal y función afín Dada la función f() =, indica si es lineal o afín y calcula la pendiente. Función lineal. Pendiente: m = P I E N S A C A L C U L A TEMA 0. FUNCIONES. RECTAS PARÁBOLAS 0

3 A P L I C A L A T E O R Í A Dadas las funciones lineales siguientes, halla su pendiente e indica si son crecientes o decrecientes. Represéntalas: y = y = c) y = / m = ò y = m = ò Creciente. P(, ) m = ò y = m = ò Decreciente. 7 Dadas las funciones afines siguientes, halla su pendiente y la ordenada en el origen, e indica si son crecientes o decrecientes. Represéntalas: y = / y = / + m = / ò Creciente. b = c) m = / ò Creciente. 6 Halla las ecuaciones de las siguientes rectas: m = / ò Decreciente. b = P(, ) Halla las ecuaciones de las siguientes rectas: 0 SOLUCIONARIO

4 A(0, ) B(, ) A(0, ) B(, ) m = = 0 b = y = + ( ) m = = 0 b = y =. Función cuadrática Dada la función f() =, representada en el margen, indica: la ecuación del eje de simetría. las coordenadas del vértice, y si P I E N S A C A L C U L A = 0 V(0, ) es un mínimo. Halla el eje de simetría y las coordenadas del vértice, e indica si éste es un máimo o un mínimo en las siguientes funciones cuadráticas: y = 6 y = + c) y = d) y = + Eje de simetría: = V(, ) es un mínimo. Eje de simetría: = V(, ) es un máimo. c) Eje de simetría: = 0 V(0, ) es un mínimo. d) Eje de simetría: = V(, ) es un mínimo. 0 Representa las siguientes parábolas: y = y = A P L I C A L A T E O R Í A TEMA 0. FUNCIONES. RECTAS PARÁBOLAS

5 Representa la parábola y = ; a partir de ella, representa la parábola y =. Halla el eje de simetría y las coordenadas del vértice, e indica si Eje de simetría: = V(, 0) es un máimo. Representa la parábola y = ; a partir de ella, representa la parábola y = ( ). Halla el eje de simetría y las coordenadas del vértice, e indica si Eje de simetría: = 0 V(0, ) es un mínimo. Representa la parábola y = ; a partir de ella, representa la parábola y = ( + ). Halla el eje de simetría y las coordenadas del vértice, e indica si Eje de simetría: = V(, ) es un mínimo. =. La parábola Dada la función f() =, representada en el margen, indica: la ecuación del eje de simetría. las coordenadas del vértice y si éste es máimo o mínimo. Eje de simetría: = V(, ) es un mínimo. P I E N S A C A L C U L A SOLUCIONARIO

6 Halla el eje de simetría y las coordenadas del vértice, indicando si éste es un máimo o un mínimo, de las siguientes funciones cuadráticas, y represéntalas: y = y = 6 + c) y = + + d) y = + A P L I C A L A T E O R Í A Halla la ecuación de la siguiente parábola: Eje de simetría: = V(, ) es un mínimo. = = (0, ) Eje de simetría: = V(, ) es un máimo. V(, ) V(, ) a = Eje de simetría: b = ò b = a ò b = a c = y = + = c) Eje de simetría: = V(, ) es un mínimo. 6 Halla la ecuación de la siguiente parábola: d) Eje de simetría: = V(, ) Es un máimo. = V(, ) (0, ) = V(, ) = a = Eje de simetría: b = ò b = a ò b = 6 a TEMA 0. FUNCIONES. RECTAS PARÁBOLAS

7 c = y = = (0, ) 7 Halla la ecuación de la siguiente parábola: a = Eje de simetría: b = ò b = a ò b = a c = y = + + SOLUCIONARIO

8 Ejercicios y problemas. Funciones Indica cuál de las siguientes gráficas es función: Sí es función. No es función. Hay valores de para los que eisten dos valores de y. Por ejemplo, para = 0, y =, y = Clasifica las siguientes funciones: y = + y = log ( ) c) y = d) y = sen ( + π) e) y = f) y = Polinómica. Logarítmica. c) Irracional. d) Trigonométrica. e) Racional. f) Eponencial. y = + 6 y + =. Tipo de función: polinómica.. Dominio: Dom(f) = = ( Continuidad: es continua.. Periodicidad: no es periódica.. Simetrías: es simétrica respecto del eje 6. Asíntotas: Verticales: no tiene. Horizontales: no tiene. 7. Corte con los ejes: Eje : A(, 0), B(, 0) Eje : C(0, ). Máimos y mínimos relativos: Máimo relativo: no tiene. Mínimo relativo: C(0, ) Monotonía: Creciente ( ): (0, Decreciente ( ): Puntos de infleión: no tiene. Curvatura: Convea (á): = ( Cóncava (Ü): Ö 0. Recorrido o imagen: Im(f) = [, Dada la siguiente gráfica, analiza todas sus características, es decir, completa el formulario de los diez apartados. y = + 0 Dada la siguiente gráfica, analiza todas sus características, es decir, completa el formulario de los diez apartados. y =. Tipo de función: polinómica.. Dominio: Dom(f) = = ( Continuidad: es continua.. Periodicidad: no es periódica.. Simetrías: no es simétrica respecto del eje ni respecto del origen O(0, 0) TEMA 0. FUNCIONES. RECTAS PARÁBOLAS

9 Ejercicios y problemas 6. Asíntotas: Verticales: no tiene. Horizontales: no tiene. 7. Corte con los ejes: Eje : O(0, 0),A(, 0) Eje : O(0, 0). Máimos y mínimos relativos: Máimo relativo: B(, ) Mínimo relativo: no tiene. Monotonía: Creciente ( ): Decreciente ( ): (, Puntos de infleión: no tiene. Curvatura: Convea (á): Ö Cóncava (Ü): = ( 0. Recorrido o imagen: Im(f) = Función lineal y función afín Halla mentalmente la pendiente de las siguientes funciones lineales o de proporcionalidad directa, di si son crecientes o decrecientes y represéntalas: y = y = c) y = d) y = c) m = / ò Creciente. d) m = / ò Decreciente. Halla las ecuaciones de las siguientes rectas: m = ò Creciente. m = / ò Decreciente. m = ò y = P(, ) 6 SOLUCIONARIO

10 d) m = / ò Decreciente. b = P(, ) m = ò y = Halla mentalmente la pendiente y la ordenada en el origen de las siguientes funciones afines, di si son crecientes o decrecientes y represéntalas: y = + y = + Halla las ecuaciones de las siguientes rectas: c) y = d) y = + m = ò Creciente. b = A(0, ) B(, ) m = / ò Decreciente. b = ( ) m = = 0 b = y = c) m = / ò Creciente. b = A(0, ) B(, ) m = = 0 b = y = + TEMA 0. FUNCIONES. RECTAS PARÁBOLAS 7

11 Ejercicios y problemas. Función cuadrática 6 Halla el eje de simetría y las coordenadas del vértice, e indica si éste es un máimo o un mínimo en las siguientes funciones cuadráticas: y = 6 + y = + c) y = + d) y = + Halla el eje de simetría. Halla las coordenadas del vértice, e indica si c) Dónde es creciente y dónde decreciente? d) Es convea (á) o cóncava (Ü)? Eje de simetría: = V(, ) es un mínimo. Eje de simetría: = V(, ) es un máimo. c) Eje de simetría: = 0 V(0, ) es un mínimo. d) Eje de simetría: = V(, ) es un mínimo. = 0 V(0, 0) es un máimo. c) Creciente ( ): Decreciente ( ): (0, d) Es cóncava (Ü) 7 Representa la siguiente parábola: y = Halla el eje de simetría. Halla las coordenadas del vértice, e indica si c) Dónde es creciente y dónde decreciente? d) Es convea (á) o cóncava (Ü)? Representa la parábola y = A partir de ella, representa la siguiente parábola: y = + Halla el eje de simetría. Halla las coordenadas del vértice, e indica si c) Dónde es creciente y dónde decreciente? d) Es convea (á) o cóncava (Ü)? = 0 V(0, 0) es un mínimo. c) Creciente ( ): (0, Decreciente ( ): d) Es convea (á) Representa la siguiente parábola: y = = 0 V(0, ) es un máimo. c) Creciente ( ): Decreciente ( ): (0, d) Es cóncava (Ü) 0 Representa la función y = A partir de ella, representa la siguiente parábola: SOLUCIONARIO

12 y = ( ) Halla el eje de simetría. Halla las coordenadas del vértice, e indica si c) Dónde es creciente y dónde decreciente? d) Es convea (á) o cóncava (Ü)?. La parábola Representa la siguiente parábola: y = + Halla el eje de simetría. Halla las coordenadas del vértice, e indica si V(, 0) V(, ) = V(, 0) es un mínimo. c) Creciente ( ): (, Decreciente ( ): d) Es convea (á) = = V(, ) es un mínimo. = Representa la función y = A partir de ella, representa la siguiente parábola: y = ( + ) Halla el eje de simetría. Halla las coordenadas del vértice, e indica si c) Dónde es creciente y dónde decreciente? d) Es convea (á) o cóncava (Ü)? Representa la siguiente parábola: y = 6 Halla el eje de simetría. Halla las coordenadas del vértice, e indica si V(, ) = = V(, ) es un máimo. = = V(, ) es un mínimo. c) Creciente ( ): (, Decreciente ( ) d) Es convea (á) Representa la siguiente parábola: y = + Halla el eje de simetría. Halla las coordenadas del vértice, e indica si TEMA 0. FUNCIONES. RECTAS PARÁBOLAS

13 Ejercicios y problemas V(, ) = V(, ) es un mínimo. = = Representa la siguiente parábola: y = + 6 Halla el eje de simetría. Halla las coordenadas del vértice, e indica si = V(, ) es un máimo. 6 Halla la ecuación de las siguientes parábolas: a = Eje de simetría: b = ò b = a ò b = a c = y = + (0, 6) a = Eje de simetría: b = ò b = a ò b = a c = 6 y = (0, ) = = 0 SOLUCIONARIO

14 Para ampliar 7 Clasifica las siguientes funciones en lineales o afines. Halla mentalmente la pendiente, di si son crecientes o decrecientes y represéntalas: y = y = c) y = d) y = Halla las ecuaciones de las siguientes rectas: Función lineal. m = / ò Decreciente. c) d) Función afín. m = ò Decreciente. y = y = + c) y = + 6 d) y = c) Función afín. m = / ò Creciente. Representa la siguiente parábola: y = A partir de ella, representa la parábola: y = ( ) Halla el eje de simetría. Halla las coordenadas del vértice, e indica si c) Dónde es creciente y dónde decreciente? d) Es convea (á) o cóncava (Ü)? d) Función lineal. m = / ò Creciente. = V(, 0) es un mínimo. = V(, 0) TEMA 0. FUNCIONES. RECTAS PARÁBOLAS

15 Ejercicios y problemas Representa la siguiente parábola: y = 0 A partir de ella representa la parábola: y = ( ) + Halla el eje de simetría. Halla las coordenadas del vértice, e indica si c) Dónde es creciente y dónde decreciente? d) Es convea (á) o cóncava (Ü)? c) Creciente ( ): (, Decreciente ( ): d) Es convea (á) = V(, ) = V(, ) es un mínimo. c) Creciente ( ): (, Decreciente ( ): ) d) Es convea (á) Halla la ecuación de las siguientes parábolas: = V(, ) es un máimo. c) Creciente ( ): Decreciente ( ): (, d) Es cóncava (Ü) Representa la siguiente parábola: y = Halla el eje de simetría. Halla las coordenadas del vértice, e indica si c) Dónde es creciente y dónde decreciente? d) Es convea (á) o cóncava (Ü)? (0, ) a = Eje de simetría: b = ò b = a ò b = a c = y = + = V(, ) = a = = (0, 0) SOLUCIONARIO

16 Eje de simetría: b = ò b = a ò b = 6 a c = 0 y = + 6 Halla algebraicamente los puntos de corte de las siguientes parábolas con los ejes de coordenadas, representa las parábolas y comprueba el resultado. y = + + y = c) y = + + d) y = + Eje : + + = 0 ò =, = A(, 0), B(, 0) Eje : C(0, ) Eje : = 0 ò = 0, = O(0, 0), B(, 0) Eje : O(0, 0) d) Eje : + = 0 ò No tiene solución. Eje :A(0, ) Halla algebraicamente los puntos de corte de la recta y la parábola siguientes, representa las gráficas y comprueba el resultado: y = y = Se resuelve el sistema formado por la ecuación de la recta y de la parábola: =, y = ò A(, ) =, y = ò B(, ) B(, ) A(, ) c) Eje : + + = 0 ò = A(, 0) Eje : B(0, ) Halla algebraicamente los puntos de corte de las siguientes parábolas, representa las parábolas y comprueba el resultado: y = y = + TEMA 0. FUNCIONES. RECTAS PARÁBOLAS

17 Ejercicios y problemas Se resuelve el sistema formado por las ecuaciones de las dos parábolas: =,y = ò A(, ) =, y = ò B(, ) A(, ) B(, ) Problemas 6 La parábola y = a + b + c pasa por el origen de coordenadas. Cuánto vale c? Si la parábola pasa además por los puntos A(, ) y B(, ), calcula el valor de los coeficientes a y b c) Escribe la ecuación de la parábola. d) Represéntala gráficamente. c = 0 Se resuelve el sistema: a b = a + b = } a =, b = c) y = + d) B(, ) Se resuelve el sistema: 6 + b + c = + b + c = } b =,c = y = + c) B(, ) A(, ) La distancia de seguridad que deben guardar los coches entre sí, en circulación, se recoge en la tabla siguiente: 7 A(, ) Sea la parábola y = + b + c Calcula los valores de b y c sabiendo que pasa por los puntos A(, ) y B(, ) Escribe la ecuación de la parábola. c) Represéntala gráficamente. Velocidad (km/h) Distancia de seguridad (m) Epresa la distancia de seguridad en función de la velocidad, y representa la gráfica. SOLUCIONARIO

18 y = ( ) 0 Longitud (m) Velocidad (km/h) El perímetro de un rectángulo mide m. Epresa el área del rectángulo, en función del lado de la base. Representa la función e indica el valor del lado de la base para el que el área se hace máima. Dinero ( ) 0, 0, 0, 0, 0, Tiempo (min) El beneficio, en miles de euros, que se obtiene al vender a una unidad de un determinado producto viene dado por la fórmula B() = + 0 Representa la función B() Determina el precio al que hay que vender el producto para obtener el máimo beneficio. Si el perímetro mide m, la base más la altura mide m Dinero ( 000) 7 6 = V(, ) 67 Dinero ( ) y = ( ) y = El máimo se obtiene para =, que forma un cuadrado de área m 0 Un servicio de telefonía cobra 0, por el uso del servicio y 0,06 por cada minuto. Escribe la fórmula de la función que epresa el dinero que se paga en función del tiempo y representa su gráfica. y = 0, + 0,06 y = = V(, ) A la unidad, se obtiene el máimo beneficio, que es de 000 Se depositan 000 a un % de interés simple anual. Epresa el interés en función del tiempo y representa la gráfica. y = 000 0,0 y = 0 Dinero ( ) Tiempo (años) La energía cinética de un móvil de masa m viene dada por la siguiente fórmula: TEMA 0. FUNCIONES. RECTAS PARÁBOLAS

19 Ejercicios y problemas E(v) = mv donde v es la velocidad del móvil en m/s; m, la masa en kilos, y E, la energía en julios. Dibuja la gráfica que epresa la energía cinética en función de la velocidad de un cuerpo de kg de masa. Qué tipo de gráfica es? E = mv Si m = kg E = v Velocidad (m/h) Energía (julios) Es una parábola. Energía (julios) / 67 Velocidad (m/s) Halla el área de un cuadrado en función del lado. Represéntala gráficamente. / Para profundizar 6 Escribe la ecuación de la parábola que tiene el vértice en V(, ) y pasa por P(, ) Si el vértice es V(, ) y pasa por P(, ) ò a = Se resuelve el sistema: + b + c = + b + c = } b =, c = 6 y = + 6 Escribe la función que da el volumen de un cilindro de 0 cm de altura en función del radio de la base. Represéntala. y = 0π Volumen (cm ) cm Longitud (cm) y = Área (m ) 7 67 Longitud (m) 7 La demanda y la oferta de un determinado producto en función del precio son: Oferta: y = Demanda: y = + donde se epresa en euros, e y es la cantidad ofertada o demandada. Halla el punto de equilibrio algebraicamente. Representa las funciones y comprueba el resultado. 6 SOLUCIONARIO

20 Se resuelve el sistema de las dos ecuaciones: =, y = Dos móviles inician su movimiento desde un punto O. El primero se desplaza según la fórmula e = t, y el segundo móvil, según e = t; donde t se mide en segundos, y e, en metros. Representa las gráficas de sus movimientos e interpreta el resultado. Dinero ( ) Oferta Demanda 670 Dinero ( ) Al principio, el móvil recorre un mayor espacio en el mismo tiempo; éste se iguala a los s, y a partir de los s, el er móvil recorre un espacio mayor. Dos móviles inician su movimiento desde un punto O. El primero se desplaza según la fórmula e = t, y el segundo móvil, según e = t; donde t se mide en segundos, y e, en metros. Representa las gráficas de sus movimientos e interpreta el resultado sabiendo que el segundo móvil parte s más tarde que el primero. El móvil alcanza al primero a los s y está por delante hasta los 6 s, cuando se vuelven a encontrar a los m del recorrido.a partir de ese instante, el er móvil va por delante del. Longitud (m) E 0 e = t 7 6 e = t T 670 Tiempo (s) Longitud (m) E 0 e = t 7 6 e = t T 670 Tiempo (s) TEMA 0. FUNCIONES. RECTAS PARÁBOLAS 7

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