La Integral Definida-Usando la técnica de Integración por Partes.- b u dv

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1 a Dtrminar la intgral dfinida f ( ). g ( ) d, bosqjar l ára rprsntada por b la crva y las rctas a y b, con rspcto l j, aplicando l método d intgración por parts d cada no d los sigints problmas: Ejmplo ( ) ln d Usmos la técnica d sstitción o cambio d variabls Por sstitición t () ln ( ) d t t () dt dt d d Como hicimos na sstitción, también cambiamos los límits d intgración Nos qda : ln ( ) d ln t dt smos ahora la técnica d intgración por parts ln ( ) t dt v vd () dt ln t d t dt dt v t Sstitimos n, simplificamos y lgo valamos: ln.ln t dt t t t dt t ( ) ( t.ln t t) (.ln ) (.ln ) ln ln + ln ln. 785 Lcdo. Elizr Montoya

2 El ára d la prsión bscada vin dada por la gráfica sigint: Ejmplo : d Usmos la técnica d intgración por parts -Rcordmos q para slccionar Qién s? - samos la rgla nmotécnica I.L.A.T.E. (sgún l ordn las fncions: Invrsas trigonomtricas, Logarítmicas, Algbraicas o Polinomials, Trigonométricas, Eponncials) ya q tnmos n prodcto d dos fncions n nstro jmplo tnmos l prodcto d na polinomial o algbraica por otra fnción ponncial ( ): d. v vd ( ) d. d d v ( ) d d d (A) Sstitimos n, nos qda: Nvamnt aplicamos intgración por parts n (A): Lcdo. Elizr Montoya

3 d v vd ( ) d d d v ( ) Sstitimos n d d + (B) Sstitimos (B) n (A): d d d ( ) nidads d ára.78 La gráfica d la fnción hcha n l softwar matmático fncions para Windows d Jordi Lagars Rost, nos mstra l ára bscada por las rctas y Ejmplo 3. sin d Ataqmos la intgral mda, sta vz no cambiarmos los limits d intgración, apoyados d la técnica d sstitción o cambio d variabls obsrvamos q l Lcdo. Elizr Montoya 3

4 difrncial no s igal q l bscado, por tanto, mltiplicamos y dividimos por Solción: Elizr Montoya Por sstitción sin d t sin d t.sin t dt d d dt dt La intgral q nos qda ahora la rsolvmos a través d la técnica intgración por parts (Rcordmos ILATE-para slcionar ): t.sin t dt. v v. d () t d dt () sin tdt v sin tdt cost Sstiyyndo () n (): t.sin t dt tcos t ( cos t) dt tcos t + cos tdt t cos t + sin t + C t sin t dt sin t t cost + C ( ) D volvmos la sstitción o l cambio d variabl aplicado : sin d sin + cos + C. La intgral dfinida vin a sr: sin d sin cos ( ) ( ) sin cos, 89, 8, 3a Lcdo. Elizr Montoya 4

5 Ejmplo 4. sin 3 d Rsolvamos l intgrando d la variabl mda a través d la técnica d intgración por parts, sgún ILATE, sin 3 (la fnción trigonométrica) Lcdo. Elizr Montoya 5

6 sin 3 d. v vd () sin 3 d cos 3 (3 ) d d 3cos 3 d t t d d v dt + c + c sin 3 3 sin 3 d cos3 ( ) d A Volvmos a aplicar la técnica d intgración por parts, n l sgndo término 3 3 cos3 d (. v vd)( ) cos 3 d sin 3 (3 ) d d 3sin 3d t t d d v dt + c + c Sstityndo () n (): 3 3 cos cos 3 9 cos3 d + sin 3d sin 3 d 4 4 Sstityo B n A : ( ) ( ) sin 3 3 sin 3 3 cos 3 9 sin 3 d cos3 sin 3 d d 4 4 Transponindo o pasando al primr minbro: 9 sin 3 3 cos3 sin 3 d + sin 3d 4 + C 4 3 sin 3 3 cos3 sin 3 Dspjando 4 d + C 4 4 sin 3 3 cos3 sin 3 d + C 3 4 ( ) () ( ) [ sin 3 3cos3] + C 3 Aplicando l sgndo Torma fndamntal dl cálclo, tnmos q: ( B) Lcdo. Elizr Montoya

7 [ ] sin 3 d sin 3 3cos3 3 sin 3 3 cos3 3 nidads d ára F() F() [ sin 3 3cos 3] [ sin 3cos ] a El ára dtrminada por la intgral dfinida la obsrvamos n la grafica sigint: Ejmplo 5. / sin 5d - Esta intgral sta formada por l prodcto d na fnción ponncial y otra trigonométrica, smos la técnica d intgración por parts: Lcdo. Elizr Montoya 7

8 sin 5 d. v vd sin(5 ) d 5cos(5 ) d () Intgrando por parts d d dt v sstitimos n () t 5 sin 5d sin(5 ) cos(5 ). () d nvamnt intgrando l sgndo trmino por parts 5 5 cos(5 ) d 5sin(5 ) ( ) cos(5 ) d. v vd d d dt v cos(5 ) cos(5 ) t d + sin(5) d cos5 sin(5 ) d (3) Sstitimos (3) n () y pasando al primr mimbro tnmos: 5 5 sin5d sin(5 ) cos5 sin(5 ). 3 3 d 5 5 sin5d + sin( 5 ) d sin(5 ) cos5 3 + C 3 5 sin5d sin(5 3 ) cos(5 ) + C sin5d sin(5 ) cos(5 ) C sin(5 ) cos(5 ) C [ ] + sin5d sin(5 ) 5cos(5 ) C Usando la información antrior podmos dtrminar ahora: / / sin5d [ sin(5 ) 5cos(5 ) ] sin 5cos [ sin() 5cos() ] sin 5cos a + + Lcdo. Elizr Montoya 8

9 El ára formada por / sin 5d vin dada por la grafica sigint: Ejmplo : ( + ) 3.cos d La rgión dl ára bscada sta dada por la sigint gráfica: Lcdo. Elizr Montoya 9

10 Intgrando la variabl mda sgún ILATE s l polinomio y no la fnción trigonométrica -cosno d, Intgrando por parts ( 3 + ).cos d. v vd ( ) 3 + d ( ) d y cos d cos d v sin Sstityndo n () ( + ) ( + ) ( ) 3.cos d 3 sin sin d ( ) ( 3 ) + sin sin d v vd d d sin d sin d v cos ( ) sin ( )( ) ( ) ( ) sin d Intgramos por parts nvamnt d cos cos d Ssttiyo (3) n () ( ) cos + cos d cos sin + C (3) ( ) ( ) ( ) ( 3 ) sin ( ) 3 +.cos d 3 + sin + cos sin + C () 5 + cos + C Evalamos ahora, aplicando l sgndo torma fndamntal dl cálclo ( ) ( ) ( ) 3 +.cos d 3 5 sin + cos ( 3 5) sin ( ) cos ( 5) sin ( ) ( ) ( ) + + cos 4sin + 4 cos Vrsión -Edita n agosto - Lcdo. Elizr Montoya

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