4.5 Ley de Biot-Savart.

Transcripción

1 4.5 Ley de Biot-Savat. Oto expeimento que puede ealizase paa conoce más sobe el oigen y compotamiento de las fuezas de oigen magnético es el mostado en la siguiente figua. Consiste de un tubo de ayos catódicos, cuyo haz es colocado paalelamente a un conducto po el que cicula coiente eléctica. Nótese que el haz, aun al desviase, se encuenta siempe fomando un plano con el conducto

2 Ley de Biot-Savat. Tubo de ayos catódicos.

3 Ley de Biot-Savat. La coiente convencional en el conducto, poduce una epulsión en los electones de acuedo con la egla de la mano izquieda povocando que estos desciban una tayectoia cuva como se muesta en la figua.

4 Ley de Biot-Savat. Las obsevaciones expeimentales ealizadas demuestan que la fueza que actúa sobe la caga q1 depende de: La magnitud de la caga 1 y su velocidad La velocidad de la caga y el campo eléctico que esta poduce sobe la caga 1. F q v v E ( )

5 Ley de Biot-Savat. Intoduciendo la velocidad de la luz como la constante de popocionalidad que satisface los equeimientos expeimentales, se tiene: 1 F q v v E C 1 ( )

6 Ley de Biot-Savat. Compaando la ecuación anteio con: F m q v B

7 Se tiene: Ley de Biot-Savat. 1 B C v Se puede da una definición fomal de Se puede da una definición fomal de campo magnético: Como al desplazase una caga q también se desplaza el campo eléctico que esta caga poduce, es válido afima que un campo eléctico que se desplaza (o que vaía con el tiempo) poduce un campo magnético. E

8 Ley de Biot-Savat. LEY DE BIOT-SAVART. Difeenciando la expesión que define el campo magnético, se tiene: 1 db C v de La velocidad puede se expesada v d l dt

9 Ley de Biot-Savat. Y ecodando que el campo eléctico es: d E 1 dq d 4π ε ˆ Sustituyendo las últimas expesiones en la pimea d 1 dl 1 dq B ˆ c dt 4π ε

10 Ley de Biot-Savat. Agupando db 4 π ε 1 dq dl c dt ˆ Definiendo µ ε π 1 7 c Wb A m

11 Ley de Biot-Savat. y dado que el cociente caga ente tiempo es la coiente eléctica, se tiene: db µ l I d ˆ 4π Expesión conocida como la ley de Biot-Savat, que pemite cuantifica campos magnéticos poducidos po coientes elécticas que fluyen po conductoes con difeentes disposiciones geométicas.

12 Segmento de conducto ecto. Conoce el campo magnético en un punto P, poducido po un segmento de conducto ecto po el cual fluye una coiente eléctica I.

13 Segmento de conducto ecto. Si dividimos la longitud del conducto l en pequeños segmentos coincidentes con el sentido de la coiente, obsevamos que cada uno de estos segmentos multiplicados po la coiente I poduce un campo magnético en el punto P, cuya diección puede se deducida al aplica la egla de los poductos vectoial indicado en la ley de Biot Savat.

14 Segmento de conducto ecto. También se puede aplica la egla de la mano deecha en el punto de inteés. En este caso especifico se tiene una diección de ( kˆ )

15 Segmento de conducto ecto. De la ley de Biot Savat, se obseva que paa conoce el campo total en el punto P se equiee de intega desde donde inicia el conducto hasta donde temina (desde X1 hasta X o desde alfa1 hasta alfa ). B db B ( kˆ ) db ( ) kˆ B µ 4π I dl sen α

16 Segmento de conducto ecto. De la última integal se obseva que µ y 4π son constantes y las magnitudes estantes son vaiables po lo que es necesaio expesa dos de ellas en función de la tecea. dl x a a dx cot csc ( π α) cot α a cot ( π α) cscα a cscα x α

17 Segmento de conducto ecto. Difeenciando x. dx ( ) csc α dα a csc α α a d Sustituyendo B µ µ I 4π α α 1 a csc a α senα dα csc B senα dα α1 4π I 4π α α α µ I cosα α 1

18 Finalmente Segmento de conducto ecto. µ I (cosα cosα 1 4π a B Si la distancia a es mucho meno que la longitud del segmento de conducto y que el punto se encuenta ceca de la mediatiz (en el tecio cental), es deci, que se cumple que l >1 a, entonces: cosα 1 cosα ) µ B π I a µ 4 π I a [T]

19 Simulado

20 Ejemplo En la figua se muesta un conducto ecto lago coincidente con el eje x po el cual fluye una coiente de [A] como se indica en la figua. Detemine el vecto campo magnético, en [µt], en el punto A (,,5) [cm].

21 En el punto A (,,5) [cm] 7 ( ) 6 µ OIC 4π AC ( ĵ) ( ĵ) πa π(.5).1 B 1 ( ĵ) 8ĵ [ µt] En el punto B (,,-5) [cm] 6 µ OIC 4π BBC ĵ ĵ ĵ πa π.1 7 ( ) (.5) 8ĵ [ µt]

22 Campo mágnético physics_11/pta/media/magnetism/131ma gfieldwie/main.html

23 Campo magnético de un conducto. Campo magnético en difeentes planos. m/vecto3dm/

24 Espia cuadada. En la figua se muesta una espia cuadada en el plano XZ. El campo magnético en el punto es coincidente con el eje y en diección. La magnitud se detemina utilizando los esultados paa el segmento de conducto ecto.

25 Espia cuadada. Cada lado de la espia se puede considea como un segmento de conducto ecto que poduce una componente de campo magnético en el punto de inteés, aplicando el pincipio de supeposición la suma de dichos componentes nos daá el campo magnético buscado.

26 Espia cuadada. B µ I cos 4πaπ 1 ( cosα α ) Se puede demosta que ( cos ) cos α α 1

27 Espia cuadada. Sustituyendo µ I B 4πa Sustituyendo a(l/) µ I 4 πl B

28 El campo total es: Espia cuadada. µ I B πl Donde: l es la distancia del lado de la espia I es la coiente que fluye po la espia.

29 Espia cuadada. Vectoialmente el campo magnético en el punto, de acuedo con el sistema de efeencia utilizado, es: B µ πl i b ĵ[ T]

30 Campo magnético de una espia cuadada

31 Campo magnético poducido po la coiente que fluye po una espia cuadada. En la figua se muesta una espia cuadada de lado L4[cm], ubicada en el plano xy, centada en el punto A(4, 4,) [cm]. Detemine: El vecto campo magnético, en [µt], en el cento de la bobina, punto A, cuando la coiente en la bobina es I B 6 [A].

32 Campo magnético poducido po la coiente que fluye po una espia cuadada. Vecto campo magnético en el punto A, cento de la espia cuadada. B µ πl I [ ] ( 7 4π 1 )( 6) T π(.4) B A kˆ kˆ kˆ kˆ [ µt]

33 Espia en foma de cicunfeencia.

34 En la figua se muesta una espia en foma de cicunfeencia en el plano XZ. El campo sobe el eje de la espia se detemina po: Espia en foma de cicunfeencia.

35 Espia en foma de cicunfeencia. Como se ve en la figua el campo magnético geneado po un elemento dl en paticula yace en el plano yz, además: a db b + µ 4π dl ( ) b + o

36 Espia en foma de cicunfeencia. La situación pesenta simetía de otación en tono al eje y de tal manea que solo hay componentes sobe este eje, dado po: db y dbcosθ db y µ I 4π (b dl + o ) (b + o ) 1/

37 Espia en foma de cicunfeencia. B y µ I dl 4π (b + ) 3/ o µ I dl 4π (b + ) 3/ By o

38 Espia en foma de cicunfeencia. La integal dl es simplemente la cicunfeencia del ciculo dl π µ I B 3 / ( + b ) ĵ [ T ]

39 Espia en foma de cicunfeencia. Si el campo se desea detemina en el cento De la espia, se tendá µ I Donde: B es el adio de la espia. ĵ [ T]

40 Espia en foma de cicunfeencia. a) Detemina el campo magnético poducido po una coiente de 1 [A], al cicula po una espia de adio de 5 [cm] coincidente con el plano xz, en el punto P(,,) [cm] situado sobe el eje de la espia. b) Cuál es campo en el oigen poducido po la espia anteio? a) 1.793x1-6 j [T] y b) 1.57x1-4 j [T]

41 Campo magnético de una espia en foma de cicunfeencia.

42 Bobina. La bobina es un dispositivo de alto inteés páctico, ya que aa vez se utiliza una sola espia paa poduci el campo magnético. Una bobina es un conjunto de espias fomadas po un conducto, necesaiamente con un aislamiento en su supeficie cuyo espeso es mucho meno que su adio medio.

43 Bobina. El campo magnético, vectoialmente, en el oigen del sistema de efeencia es:

44 Donde: Bobina. µ I m N B 3 / ( ) + b m m m es el adio medio de la bobina. bm es el valo medio del espeso. N es el númeo de vueltas ĵ [ T]

45 Campo magnético poducido po una bobina.

46 Solenoide. El solenoide es un elemento constituido po un enollamiento de alambe esmaltado en foma helicoidal sobe un núcleo, donde se cumple que el espeso o lago del solenoide es mucho mayo que el adio de las espias. A medida que las espias se encuenten más cecanas el campo magnético seá más intenso en el cento de la espia y en el cento de la longitud del solenoide.

47 Solenoide. Solenoide del laboatoio.

48 Solenoide. El campo magnético en el oigen del sistema de efeencia, que se encuenta en la pate media del solenoide es, de foma vectoial: µ B I N ĵ [ T] Donde: L es el lago del solenoide. N es el númeo de vueltas. L

49 Solenoide. Expeimentalmente se ha deteminado que el campo magnético en los extemos del solenoide es la mitad del campo en el cento del mismo. Po lo tanto: µ B I N L ĵ [ T] gnetico/cmagnetico.html

50 Solenoide.

51 Campo magnético de un solenoide.

52 Ley de Ampee. La ley de Ampee, implica la descipción básica de la elación existente ente la electicidad y el magnetismo, desaollada a tavés de afimaciones cuantitativas sobe la elación de un campo magnético con la coiente eléctica o las vaiaciones de los campos elécticos.

53 Andé-Maie Ley de Ampee. Ampèe (Poleymieux-au-Mont-d'O, de eneo de Masella, 1 de junio de 1836), fue un matemático y físico fancés, consideado como uno de los descubidoes del electomagnetismo.

54 Ley de Ampee. Se tata de una ley que geneal: la ciculación del campo magnético a lo lago de una tayectoia, esulta igual a mu ceo veces la coiente que cuza el áea limitada po la tayectoia de inteés. l B dl µ I N

55 Ley de Ampee. La ley de Ampee pemite detemina los campos magnéticos poducidos po coientes elécticas que fluyen po conductoes. Aunque es una ley de validez geneal, paa campos magnéticos estáticos, su aplicación a casos pácticos se estinge a los que po sus caacteísticas de simetía pemiten elegi una tayectoia de integación po medio de la cual se evalúa con facilidad la integal coespondiente.

56 Ley de Ampee. Al utiliza la ley de Ampee, po ejemplo, paa detemina el campo magnético poducido po un conducto ecto se llega al mismo esultado obtenido po medio de la ley de Biot-Savat.

57 Ley de Ampee. En la figua se muesta un conducto ecto y lago po el cual cicula una coiente que enta al plano de la hoja. El campo magnético en el punto P es: l B B B B dl l dl ( π ) µ I µ I π l B µ I [ T ] cosα dl µ I

58 Tooide Un tooide se puede foma si se unen caa a caa los extemos de un solenoide, como se muesta en la figua:

59 Tooide En las fuentes conmutadas que usan las computadoas se incluyen tooides:

60 Tooide se sección tansvesal cuadada Existen tooides de sección tansvesal cuadada

61 Tooide se sección tansvesal cuadada Aplicando la ley de Ampee debido a la simetía de esta foma de enollamiento, se tiene: l d Bdlcosα B dl B( π) µ 1 B Como la coiente concatenada po la tayectoia de integación es igual a N veces I µ NI B < < π ; i e I

62 Flujo de la inducción magnética. En divesos poblemas se equiee evalua el flujo de la inducción magnética a tavés de un áea deteminada. φ b B s da

63 Flujo debido a un conducto ecto y lago. Consideemos la siguiente figua, donde un conducto coincidente con el eje de las x s poduce un campo magnético debido a la coiente que fluye po él.

64 Flujo debido a un conducto ecto y lago. El flujo magnético es: φ b s BdA cos α µ IL cd π d φ b µ IL π ln d + d c [ Wb]

65 Flujo en una sección de un solenoide lago. En la figua se muesta una sección tansvesal localizada en la zona cental de un solenoide, al evalua el flujo tendemos: φ b B da BdA cosθ s s s BdA

66 Flujo en una sección de un solenoide lago. Como el campo magnético no vaia ni en magnitud ni en sentido φ B da b s BA [ Wb]

67 Flujo a tavés de la sección tansvesal de un tooide. El flujo a tavés de la sección tansvesal de un tooide es: e µ NI φ B da BdA ( e) d b s s i π φ b µ NIe π φ b i e d µ NIe e ln π µ NIe π i [ Wb] ln e i

68 Ley de Gauss paa el magnetismo. Cuando se evalúa el flujo sobe una supeficie ceada se obtiene el siguiente esultado: B da s Lo cual nos indica que el flujo neto a tavés de una supeficie ceada (gaussiana), colocada en un campo magnético es ceo. Expesión completamente geneal.

69 Bibliogafía. Gabiel A. Jaamillo Moales, Alfonso A. Alvaado Castellanos. Electicidad y magnetismo. Ed. Tillas. México 3 Seas, Zemansky, Young, Feedman Física Univesitaia Ed. PEARSON. México 5