INTERVALOS DE CONFIANZA Y TAMAÑO MUESTRAL. 1. Una muestra aleatoria de 9 tarrinas de helado proporciona los siguientes pesos en gramos

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1 1 INTERVALOS DE CONFIANZA Y TAMAÑO MUESTRAL La mayoría de estos problemas ha sido propuestos e exámees de selectividad de los distitos distritos uiversitarios españoles. 1. Ua muestra aleatoria de 9 tarrias de helado proporcioa los siguietes pesos e gramos Halla u itervalo de cofiaza al 95 % para la media de la població, sabiedo que el peso de las tarrias tiee ua distribució ormal co ua desviació típica de 1,8 gramos. Solució: El itervalo de cofiaza para la població es x Z, x Z, siedo x la media muestral, la desviació típica, el tamaño muestral y Z el valor correspodiete e la tabla ormal para ua cofiaza La media muestral es x 89 9 Por tato, como = 1,8, = 9 y Z = 1,96, el itervalo de cofiaza será: 1,8 1,8 89 1,96, 89 1,96 = (87,824, 90,176) La duració de la batería de cierto modelo de teléfoo móvil se puede aproximar por ua distribució ormal co ua desviació típica de 5 meses. Se toma ua muestra aleatoria simple de 10 baterías y se obtiee las siguietes duracioes (e mese): 33, 34, 26, 37, 30, 39, 26, 31, 36, 19 Halla u itervalo de cofiaza al 95 % para la duració media de ese modelo de batería. Solució: El itervalo de cofiaza de la media poblacioal, para las muestras de tamaño muestral de media x y desviació típica es: x Z, x Z siedo Z el valor correspodiete e la tabla ormal para ua cofiaza de E este caso: x 31, 1; = 5; el tamaño 10 muestral es = 10; y Z = 1,96. Por tato, el itervalo de cofiaza para la media es ,1 1,96, 31,11,96 = (31,1 3,1, 31,1 + 3,1) = (28, 34,2) José María Martíez Mediao

2 2 3. E ua ecuesta se preguta a persoas cuátos libros lee al año, obteiédose ua media de 5 libros. Se sabe que la població tiee ua distribució ormal co desviació típica 2. a) Halla u itervalo de cofiaza al 80 % para la media poblacioal.. b) Para garatizar u error de estimació de la media poblacioal o superior a 0,25 co u ivel de cofiaza del 95 %, a cuátas persoas como míimo sería ecesario etrevistar? Solució: a) El itervalo de cofiaza de la media poblacioal, para las muestras de tamaño muestral de media x y desviació típica es: x Z, x Z siedo Z el valor correspodiete e la tabla ormal para ua cofiaza de 1. Para x = 5, = 2, = y, para el 80 % de cofiaza, Z = 1, ,28, 5 1,28 = (5 0,0256, 5 + 0,0256) = (4,9744, 5,0256) b) El error admitido, E, viee dado por E Z. Para ua cofiaza del 95%, Z = 1,96, y E < 0,25 se tedrá: 2 1,96 0,25 15, 68 15,68 2 = 245,8 El tamaño muestral míimo debe ser de 246 persoas. José María Martíez Mediao

3 3 4. Se supoe que la recaudació diaria de los comercios de u barrio determiado es ua variable aleatoria que se puede aproximar por ua distribució ormal de desviació típica 328 euros. Se ha extraído ua muestra de 100 comercios de dicho barrio, obteiédose que la recaudació diaria media asciede a 1248 euros. Calcula: a) El itervalo de cofiaza para la recaudació media co u ivel de cofiaza del 99 %. b) El tamaño muestral míimo ecesario para coseguir, co u ivel de cofiaza del 95 %, u error e la estimació de la recaudació diaria media meor de 127 euros. Solució: a) El itervalo de cofiaza de la media poblacioal, para las muestras de tamaño muestral de media x y desviació típica es: x Z, x Z siedo Z el valor correspodiete e la tabla ormal para ua cofiaza de 1. E este caso x = 1248, = 328, = 100; y Z = 2,575. Por tato, el itervalo de cofiaza para la media es ,575, ,575 = = ( ,46, ,46) = (1163,54, 1332,46) b) El error admitido, E, viee dado por E Z. E este caso, para ua cofiaza del 95 %, Z = 1,96, = 328 y E < 127, se tedrá: 328 1, , , 06 > 25,6 127 El tamaño muestral debe ser 26 o más comercios. José María Martíez Mediao

4 4 5. Se quiere coocer la permaecia media de los pacietes de u hospital, co el fi de estudiar ua posible ampliació del mismo. Se tiee datos referidos a la estacias, expresada e días, de 800 pacietes, obteiédose los siguietes resultados: x = 8,1 días; s = 9 días. Se pide obteer u itervalo de cofiaza del 95 % para la estacia media. Solució: El itervalo de cofiaza de la media poblacioal, para las muestras de tamaño muestral de s s media x y desviació típica s es x Z, x Z, siedo Z el valor correspodiete e la tabla ormal para ua cofiaza de 1. Para x = 8,1, s = 9, = 800 y, para el 95 % de cofiaza, Z = 1,96, se tiee: ,58, 100 2,58 = (8,1 0,6, 8,1 + 0,6) = ( 7,5, 8,7) La estacia media está etre 7,5 y 8,7 días. 6. Ua muestra aleatoria simple de 25 estudiates respode a u test de iteligecia, obteiedo ua media de 100 putos. Se sabe por experiecia que la variable iteligecia de todos los estudiates es ormal co ua desviació típica igual a 10, pero se descooce la media. Etre qué límites se hallará la verdadera iteligecia media de todos los estudiates, co u ivel de cofiaza de 0,99? Solució: El itervalo de cofiaza de la media poblacioal es: s x Z, x Z s Para x = 100, s = 10, = 25 y, para el 99 % de cofiaza, Z = 2,58, se tiee: ,58, 100 2,58 = (100 5,16, ,16) = ( 94,84, 105,16) La iteligecia media estará etre 94,84 y 105,16 putos. José María Martíez Mediao

5 5 7. Ua muestra aleatoria de tamaño 100, extraída de ua població ormal de variaza 81, preseta ua media muestral igual a 150. i) Calcular u itervalo de cofiaza del 90 % para la media poblacioal. ii) Calcular u itervalo de cofiaza del 95 % para la media poblacioal y compararlo co el aterior. iii) Si se quiere teer ua cofiaza del 95 % de que su estimació se ecuetra a ua distacia máxima de 1,2 de la verdadera media poblacioal, cuátas observacioes adicioales debe tomarse? Solució: El itervalo de cofiaza de la media poblacioal, para las muestras de tamaño muestral de media x y desviació típica es: x Z, x Z siedo Z el valor correspodiete e la tabla ormal para ua cofiaza de 1. i) Para x = 150, 2 = 81 = 9, = 100 y, para el 90 % de cofiaza, Z = 1,645, se tedrá: ,645, 150 1,645 = (148,52, 151,48) ii) Para ua cofiaza del 95 %, Z = 1,96, luego, el itervalo de cofiaza será: ,96, 150 1,96 = (148,24, 151,76) El itervalo se hace más amplio, pues si se desea más cofiaza (más seguridad de acierto si variar el tamaño muestral), debe precisarse meos. iii) La distacia máxima, el error máximo admitido, viee dado por E Z. Para ua cofiaza del 95%, Z = 1,96; si desea que la distacia máxima sea meor que 1,2, E < 1,2, se tedrá: 9 1,96 1,2 14, 7 > 216 El valor míimo de debe ser de 217; por tato, debe tomarse 117 elemetos más. José María Martíez Mediao

6 6 8. U agricultor quiere estimar el peso medio de las arajas que produce, co u error meor de 10 g, empleado ua muestra de 81 arajas. Sabiedo que la desviació típica poblacioal es de 36 g, cuál será el máximo ivel de cofiaza co que realizará la estimació? Solució: El error admitido viee dado por E Z, siedo la desviació típica poblacioal, el tamaño muestral y Z el valor e la tabla ormal para ua cofiaza de 1. E uestro caso, E < 10, = 81 y = 36, siedo descoocida. Se tiee: Z 10 Z 2, Para Z < 2,5, se tiee que 1 /2 < 0,9938 < 0, < 0,9876. Por tato, la cofiaza máxima es del 98,76 %. 9. E ua població ua variable aleatoria sigue ua ley Normal de media descoocida y desviació típica 2. a) Observada ua muestra de tamaño 400, tomada al azar, se ha obteido ua media muestral igual a 50. Calcule u itervalo, co u 97 % de cofiaza, para la media d la població. b) Co el mismo ivel de cofiaza, qué tamaño míimo debe teer la muestra para que la amplitud del itervalo que se obtega sea, como máximo, 1. Solució: a) Itervalo de cofiaza: x Z, x Z E este caso: x = 50, = 2, Z = 2,17 y = 400. El itervalo será: ,17, 50 2,17 = (49,783, 50,217) b) La amplitud del itervalo es 2 Z 2 2, /. Si se quiere que sea meor que 1: 2 4 2,17 8, 68 > 75,34. El tamaño míimo de la muestra debe ser 76. José María Martíez Mediao

7 7 10. Se ha obteido que el itervalo de cofiaza correspodiete al 95 % de ua variable es (6,66, 8,34). Calcula la media y el tamaño de la muestra que se ha estudiado para obteer el itervalo sabiedo que la desviació típica es igual a 3. Explica cada uo de los pasos realizados. Solució: El itervalo de cofiaza de la media poblacioal, para las muestras de tamaño muestral de media x y desviació típica es: x Z, x Z siedo Z el valor correspodiete e la tabla ormal para ua cofiaza de 1. E este caso se sabe que = 3 y Z = 1,96 (95 % de cofiaza: 1 = 0,95). Por tato: 3 3 x 1,96, x 1,96 = (6,66, 8,34) Luego 3 x 1,96 6, ,66 1,96 8,34 1,96 1,96 0, 84 3 x 1,96 8,34 1, = 49 0,84 3 Si = 49, como x 1,96 6, 66 x 7, 5 49 NOTA: La media se podría haber calculado si coocer, pues al ser el itervalo de cofiaza simétrico respecto de la media, esta es la media aritmética de los extremos de ese 6,66 8,34 itervalo: x 7, 5. 2 José María Martíez Mediao

8 8 11. Se quiere estimar el sueldo medio de u trabajador de trasporte público. Se toma para ello ua muestra de 625 de estos trabajadores y se obtiee u sueldo medio muestral de 1480 euros. Si la desviació típica es igual a 250 euros: a) Co u ivel de cofiaza del 90 %, determia el itervalo de cofiaza para el sueldo medio de u trabajador del trasporte público. b) Si se quiere que el error máximo de la estimació sea de 10 euros, hallar el tamaño de la muestra que se debe tomar cosiderado u ivel de cofiaza del 99 %. Solució: a) El itervalo de cofiaza es: x Z, x Z Para x = 1480, = 250, = 625 y, para el 90 % de cofiaza, Z = 1,645, este itervalo es: ,17, 56 2,17 = = ( ,45, ,45) = (1463,55, 1496,45) b) El error viee dado por E = Z. Si se desea que sea meor que 10, para el 99 % ( Z = 2,575) y = 250, se tedrá: 250 2, (2,575 25) , 14 El tamaño míimo de = José María Martíez Mediao

9 9 12. Para hacer u estudio sobre el precio/día de ua habitació doble e hoteles de cuatro estrellas e Caarias, se elige ua muestra de 64 de estos hoteles y se obtiee u precio/día medio de 56 co ua desviació típica de 6. Se pide: a) Determia el itervalo de cofiaza para el precio/día medio de ua habitació doble e u hotel de cuatro estrellas e Caarias co u ivel de cofiaza del 97 %. b) Halla el tamaño de la muestra que se debe tomar para que el error máximo sea de 2, co u ivel de sigificació del 1 %. Solució: a) El itervalo de cofiaza es: x Z, x Z Para x = 56, = 6, = 64 y, para el 97 % de cofiaza, Z = 2, ,17, 56 2,17 = (54,3725, 57,6275) b) El error admitido E, viee dado por E Z. E este caso, para ua sigificació del 1 % (cofiaza del 99 %), Z = 2,575, = 6 y E < 2, se tedrá: 6 2, , 725 > 59,7 El tamaño muestral debe ser superior a 59; esto es = 60 o más. José María Martíez Mediao

10 U fabricate de bombillas garatiza que el tiempo de duració de las bombillas sigue ua ormal co media igual a 500 horas y co desviació típica igual a 40 horas. a) Calcular la probabilidad de que ua bombilla elegida al azar dure más de 450 horas. b) Para verificar la garatía del fabricate, se hizo ua prueba co 49 bombillas obteiédose ua media muestral de 492 horas. Podemos aceptar que la media de duració es de 500 horas, co u ivel de cofiaza del 90%? Solució: La distribució es N(500, 40) a) P(X > 450) = P Z = P(Z > 1,25) = P(Z < 1,25) = 0, b) Se aceptará que la media es de 500 horas si este valor perteece al itervalo x Z, x Z siedo x la media de la muestra, el tamaño muestral, la desviació típica poblacioal y Z el valor correspodiete e la tabla ormal para ua cofiaza de 1. Como x = 492, = 40, = 49 y, para el 90 % de cofiaza, Z = 1,645, se tedrá: ,645, 492 1,645 = (492 9,4, ,4) = (482,6, 501,4) Por tato, se acepta que la media de duració es 500 horas. 14. Se ha aplicado ua prueba, para medir el coeficiete itelectual, a ua muestra de 100 uiversitarios españoles elegida de forma aleatoria. Calculada la media de esta muestra se ha obteido 98 putos. Sabiedo que las putuacioes de la prueba sigue ua distribució ormal de desviació típica de 15. 1) Calcula, co ua probabilidad del 98 %, etre qué valores se ecotrará la media de la població uiversitaria española. 2) Iterpreta el sigificado del itervalo obteido. Solució: 1) Se trata de calcular el itervalo de cofiaza de la media poblacioal. Este itervalo es: x Z, x Z Para x = 98, = 15, = 100 y, para el 98 % de cofiaza, Z = 2,33, se tiee: ,33, 98 2,33 = (98 3,495, ,495) = = (94,505, 101,495) (94,5, 101,5) 2) Esto sigifica que el cociete itelectual de los uiversitarios españoles está etre 94,5 y 101,5, co ua probabilidad del 0,98, o del 98 % si quiere decirse así. José María Martíez Mediao

11 El tiempo de coexió a Iteret de los alumos de cierta uiversidad, sigue ua distribució ormal co desviació típica 15 miutos. Para estimar la media del tiempo de coexió, se quiere calcular u itervalo de cofiaza que tega ua amplitud meor o igual que 6 miutos, co u ivel de cofiaza del 95 %. Determia cuál es el tamaño míimo de la muestra que es ecesario observar. Solució: El error admitido, E, viee dado por E Z, siedo la desviació típica poblacioal. E este caso, para ua cofiaza del 95%, Z = 1,96, = 5 y E < 3, pues la amplitud del itervalo 2 Z. (Recuérdese que el itervalo de cofiaza es x Z, x Z ) Co esto: 0,05 2,575 0,01 12, 875 > 96,04 El tamaño muestral míimo debe ser Se estima que el tiempo de reacció de u coductor ate u obstáculo imprevisto tiee ua distribució ormal co desviació típica 0,05 segudos. Si se quiere coseguir que el error de estimació de la media o supere los 0,01 segudos co u ivel de cofiaza del 99 %, qué tamaño míimo ha de teer la muestra de tiempos de reacció? Solució: El error admitido: E Z. E este caso, para ua cofiaza del 99%, Z = 2,575, = 0,05 y E < 0,01, se tedrá: 0,05 2,575 0,01 12, 875 > 165,77 El tamaño muestral míimo debe ser 166. José María Martíez Mediao

12 Se sabe que la estatura de los idividuos de ua població es ua variable aleatoria que sigue ua distribució ormal co desviació típica 6 cm. Se toma ua muestra aleatoria de 225 idividuos y da ua media de 176 cm. a) Obteer u itervalo de cofiaza, co u 99% de cofiaza, para la media de la estatura de la població. b) Calcular el míimo tamaño de muestra que se ha de tomar para estimar la estatura media de los idividuos de la població co u error iferior a 1 cm y u ivel de cofiaza del 95%. Solució: a) El itervalo de cofiaza: x Z, x Z Para x = 176, = 6, =225 y, para el 99% de cofiaza, Z = 2,575, se tiee ,575, 176 2,575 = (176 1,03, ,03) = (174,97, 177, 03) b) El error admitido, E, viee dado por E Z. E este caso, si E < 1 y Z = 1,96 (cofiaza 95%), se tiee: 6 1, , 76 > 138,3 El míimo tamaño de muestra debe ser = U laboratorio farmacéutico afirma que el úmero de horas que u medicameto de fabricació propia tarda e curar ua determiada efermedad sigue ua variable ormal co desviació típica igual a 8. Se toma ua muestra de 100 efermos a los que se les admiistra el medicameto y se observa que la media de horas que tarda e curarse es igual a 32. a) Ecotrar u itervalo de cofiaza, co u ivel de cofiaza del 99 %, para la media del úmero de horas que tarda e curar el medicameto. b) Si el ivel de sigificació es igual a 0,05, cuál es el tamaño de la muestra que habría que cosiderar para estimar el valor de la media co u error meor de 3 horas? Solució: a) El itervalo de cofiaza es: x Z, x Z Para x = 32, = 8, = 100 y, para el 99 % de cofiaza, Z = 2, ,575, 32 2,575 = (29,94, 34,06) b) El error admitido E, viee dado por E Z. E este caso, para ua cofiaza del 95%, Z = 1,96, = 8 y E < 3, se tedrá: 8 1,96 3 5, 2266 > 27,31 El tamaño muestral debe ser superior a 27. José María Martíez Mediao

13 Las especificacioes de u fabricate de botes de pitura dice que el peso de los botes sigue ua distribució ormal de media 1 kg de pitura y ua desviació estádar de 0,1 kg. a) Cuál es la media y la desviació estádar de la media muestral de los pesos de ua muestra aleatoria simple de 20 botes? b) Se ha comprado u lote del que se ha tomado ua muestra de 20 botes y e el que la media de los pesos obteidos es de 0,98 kg, Costruye u itervalo de cofiaza del 95% para la media. Solució: a) La distribució de la media muestral de tamaño obteidas e ua població de media y desviació típica, N(, ), se distribuye segú ua ormal N,. E este caso: 0,1 Població: N(1, 0,1). Media muestral: N1, N(1, 0,022) 20 b) El itervalo de cofiaza de la media poblacioal, para las muestras de tamaño muestral de media x, es: x Z, x Z siedo la desviació típica poblacioal y Z el valor correspodiete e la tabla ormal para ua cofiaza de 1. E este caso: x = 0,98, = 0,1, =20 y, para el 95% de cofiaza, Z =1,96. El itervalo pedido es: 0,1 0,1 0,98 1,96, 0,98 1,96 (0,937, 1,023) José María Martíez Mediao

14 14 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA PROPORCIÓN DE LA MUESTRA 20. De ua muestra aleatoria de 2100 persoas de ua població hay 630 que lee u determiado diario. Calcular el itervalo de cofiaza para la proporció poblacioal para u ivel de cofiaza del 99 % Solució: La proporció de la muestra es 630 p ˆ = 0, El itervalo de cofiaza para la proporció de la població es: pq pq p Z, p Z siedo pˆ la proporció de la muestra, q 1 p ;, el tamaño muestral y Z el valor correspodiete e la tabla ormal para ua cofiaza de 1. E uestro caso, para el 99 % de cofiaza (sigificació 0,01), Z = 2,575; pˆ = 0,30, q = 0,70, y = Luego, el itervalo de cofiaza será: 0,30 0,70 0,30 0,70 0,30 2,575, 0,30 2,575 = = (0,30 0,02575, 0,30 + 0,02575) (0,274, 0,326) NOTA: Si se desea ser más exigete, los parámetros p y q podría supoerse iguales, p = q = 0,50. Así se obtedría: 0,50 0,50 0,50 0,50 0,30 2,575, 0,30 2,575 (0,272, 0,328) José María Martíez Mediao

15 E ua ciudad reside 1250 familias. Se seleccioó ua muestra aleatoria de u 20 % de ellas y se les pregutó si dispoía de gas ciudad e su vivieda. Sabiedo que todas las familias seleccioadas respodiero y que se obtuvo u total de 75 respuestas afirmativas, se pide: a) Qué estimació putual podríamos dar para el porcetaje de familias de esa ciudad que dispoe de gas ciudad e su vivieda?. b) Qué error máximo cometeríamos co dicha estimació putual co u ivel de cofiaza del 95 %? Justificar las respuestas. Solució: El tamaño muestral fue de ,20 = 250 familias. La proporció de familias co gas atural e la muestra es 75 0, 30, el 30 %. 250 a) Puede afirmarse que el porcetaje de familias co gas atural es del 30 %. pq b) El error admitido E, viee dado por E Z, siedo: p la proporció de familias co gas atural y q = 1 p p = 0,30, q = 0,70 el tamaño muestral = 250 Z el valor de la variable ormal correspodiete a ua cofiaza 1 Z = 1,96 0,30 0,70 Por tato, E 1,96 1,96 0,029 0, Se puede cometer u error máximo del 5,7 %. Esto es, el porcetaje de familias co gas atural perteece al itervalo (30 5,7, ,7): estará etre el 24,3 % y el 35,7 % Si somos más exigetes y supoemos que al descoocer la proporció de la població hay que tomar p = q = 0,5, el error que se asume es, 0,50 0,50 E 1,96 1,96 0,0316 0, Cometeríamos u error máximo del 6,2 %. José María Martíez Mediao

16 E cierta cadea de cetros comerciales trabaja 150 persoas e el departameto de persoal, 450 e el departameto de vetas, 200 e el departameto de cotabilidad y 100 e el departameto de ateció al cliete. Co objeto de realizar ua ecuesta laboral, se quiere seleccioar ua muestra de 180 trabajadores. a) Qué tipo de muestreo deberíamos utilizar para la selecció de la muestra si queremos que icluya a trabajadores de los cuatro departametos mecioados? b) Qué úmero de trabajadores tedríamos que seleccioar e cada departameto atediedo a u criterio de proporcioalidad? Justificar las respuestas Solució: a) Podría hacerse u muestreo aleatorio estratificado, eligiedo de cada grupo de trabajadores u úmero proporcioal a su tamaño. b) Hay que repartir proporcioalmete 180 etre 150, 450, 200 y 100, que so el úmero de trabajadores de los departametos de persoal, vetas, cotabilidad y ateció al cliete, respectivamete. El total, el úmero de trabajadores de la empresa es 900; como el tamaño muestral es 180 habrá que elegir 1 trabajador de cada 5. Por tato, se elegirá: 30 del departameto de persoal 90 del departameto de vetas 40 del departameto de cotabilidad y 20 del departameto de ateció al cliete. José María Martíez Mediao

17 E ua piscifactoría, se iició u cultivo co 90 ejemplares, de los cuales 64 llegaro a la edad adulta. De los que llegaro a la edad adulta, el peso medio fue de 3,1 kilos co ua desviació típica de medio kilo. a) Obteer u itervalo de cofiaza para la proporció de ejemplares que llega a la edad adulta, co u ivel de cofiaza del 90%. b) Obteer u itervalo de cofiaza para el peso medio que alcaza los ejemplares que llega a la edad adulta, co u ivel de cofiaza del 95%. Solució: a) El itervalo de cofiaza es: pq pq p Z, p Z 120 E este caso, para el 90 % de cofiaza, Z = 1,645, p ˆ = 0,7111, y = 90. Luego, 325 q el itervalo de cofiaza será: 0,37 0,63 0,37 0,63 0,37 2,17, 0,37 2,17 = = (0,7111 0,0786, 0, ,0786) = (0,6325, 0,7897) b) El itervalo de cofiaza de la media poblacioal es: x Z, x Z Para x = 3,1, = 0,5, = 64 y, para el 95 % de cofiaza, Z = 1,96, se tedrá: 0,5 0,5 3,1 1,96, 3,11,96 = (2,9775, 3,2225) El Miisterio de Educació y Cultura desea coocer el iterés de los padres por la itroducció de la primera Legua Extrajera e el Primer Curso de Primaria. Ecuestados 1024 padres elegidos al azar, el 80% está favor. Cuál es el itervalo de cofiaza para el porcetaje de los padres que está a favor de esta medida, co u ivel de cofiaza del 0,99? Solució: El itervalo de cofiaza para la proporció es: pq p Z, p Z pq E este caso: para el 99% de cofiaza, Z = 2,575; p = 0,8; q = 0,20; y = Luego, el itervalo de cofiaza será: 0,15 0,85 0,15 0,85 0,15 1,96, 0,15 1,96 = = (0,80 0,032, 0,80 + 0,032) = (0,768, 0,832) NOTA: Si se desea más seguridad, puede supoerse que la proporció de la població es p = 0,5. Así se obtiee el itervalo (0,76, 0,84) José María Martíez Mediao

18 Se hizo ua ecuesta a 325 persoas mayores de 16 años y se ecotró que 120 iba al teatro regularmete: a) Halla, co u ivel de cofiaza del 94 %, u itervalo para estudiar la proporció de los ciudadaos que va al teatro regularmete. b) E las mismas codicioes del apartado aterior, se realiza la experiecia para coseguir ua cota de error del 0,01. Cuál sería el tamaño de la muestra? Solució: a) El itervalo de cofiaza para la proporció de la població es: pq pq p Z, p Z siedo pˆ la proporció de la muestra, q 1 p ;, el tamaño muestral y Z el valor correspodiete e la tabla ormal para ua cofiaza de E este caso, para el 94 % de cofiaza, Z = 2,17, p ˆ = 0,37, q = 0,63, y = Luego, el itervalo de cofiaza será: 0,37 0,63 0,37 0,63 0,37 2,17, 0,37 2,17 = (0,312, 0,428) pq 2 pq b) El error admitido E, viee dado por E Z ( Z ) 2 E 2 0,37 0,63 Luego: 2,17 = 10976,4 2 0,01 El tamaño muestral debe ser de > Pregutadas 100 persoas de cierta ciudad, elegidas al azar, si lee el periódico al meos ua vez a la semaa, sólo 40 ha cotestado que sí. Ecuetre u itervalo de cofiaza, co u ivel de cofiaza del 99 %, para la proporció de persoas de esa ciudad que lee el periódico al meos ua vez a la semaa. Solució: pq pq Itervalo de cofiaza: p Z, p Z E este caso: para el 99% de cofiaza, Z = 2,575; p = 40/100 = 0,4; q = 0,60; y = 100. Luego, el itervalo de cofiaza será: 0,15 0,85 0,15 0,85 0,15 1,96, 0,15 1,96 = = (0,40 0,126, 0,40 + 0,126) = (0,274, 0,526) José María Martíez Mediao

19 De ua muestra de 400 jóvees españoles de 25 años, elegidos al azar, sólo 60 o vivía co sus padres. Determie u itervalo de cofiaza, co u ivel de cofiaza del 95 %, para el porcetaje de los jóvees españoles que o vive co sus padres a los 25 años. Solució: La proporció muestral de jóvees que o vivía co sus padres era de 60/400 = 0,15 El itervalo de cofiaza para la proporció de la població es: pq pq p Z, p Z siedo p la proporció de la muestra, q = 1 p;, el tamaño muestral y Z el valor correspodiete e la tabla ormal para ua cofiaza de 1. E este caso: p = 0,15; q = 0,85; = 400; Z = 1,96 Luego, el itervalo de cofiaza será: 0,15 0,85 0,15 0,85 0,15 1,96, 0,15 1,96 = = (0,15 0,035, 0,15 + 0,035) = (0,115, 0,185) EL porcetaje de la població de jóvees de 25 años que o vive co sus padres, está etre el 11,5 % y el 18,5 %. José María Martíez Mediao

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