TRAZADO DE DIAGRAMA POLAR Y APLICACIÓN DE CRITERIO DE NYQUIST

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1 TRAZADO DE DIAGRAMA POLAR Y APLICACIÓN DE CRIRIO DE NYQUIST. TRAZADO DE DIAGRAMA POLAR. La función de transferencia P, tendrá el formato dado or la siguiente exresión generalizada: P ± m m P A P + A P + A 2 P TOTAL n n n 2 B P + B P + B P 2 m B m A m Es decir que la función de transferencia estará formada or una constante TOTAL, multilicada or ceros o olos al origen de grado múltile, multilicados or un olinomio decreciente de grado "m" y divididos or un olinomio decreciente de grado "n". Es decir: P * CEROS POLOS ORIGEN ORIGEN POLINOMIO DECRECIEN GRADO " m" POLINOMIO DECRECIEN GRADO " n" Recordar que ara que P sea una función realizable, el olinomio del numerador debe ser de igual o menor grado que el olinomio del denominador. PASO : Determinar el unto de inicio de la curva que reresenta el diagrama olar. Para ello evaluamos P ara P que tiende a cero. Se ueden resentar tres casos de acuerdo a las características de la función de transferencia P : A La función de transferencia P no tiene ni ceros ni olos en el origen. B La función de transferencia P tiene ceros o olos en el origen y las constantes A m y B n de los olinomios del numerador y denominador resectivamente, son ambas ositivas o ambas negativas. C La función de transferencia P tiene ceros o olos en el origen y las constantes A m y B n de los olinomios del numerador y denominador resectivamente, son una ositiva y la otra negativa o viceversa. CASO A: Si la función de transferencia P no tiene ni ceros ni olos en el origen, al hacer tender la variable P a cero tendremos : Constante Para la función generalizada: A m P TOTAL B n Número Página de 4

2 En este caso la gráfica de P comenzará sobre el eje real, del lano de la función en un valor determinado or la constante obtenida. Si se realiza el análisis mediante la frecuencia comleja ω, hacemos el cambio de or jω y obtendremos: Im Plano P P jω jω ω Constante ω + Re Constante Con lo que observamos el mismo resultado, la curva comienza sobre el eje real. CASO B-: La función de transferencia P tiene uno o más ceros en el origen y las constantes A m y B n de los olinomios del numerador y denominador resectivamente, son ambas ositivas o ambas negativas. En este caso P P Para conocer la fase, veamos el gráfico del lano de la variable P, en donde imaginamos que se hace un "zoom" del origen, tal como muestra la igura 2. jω Plano P jω ω σ ξ θ 9 σ IGURA 2. Zoom del origen, del lano de la variable "". Reresentando el o los ceros al origen en forma olar tendremos: jθ jθ P \ ξ e e 9 Página 2 de 4

3 Es decir que ara P si existen ceros en el origen, el módulo valdrá siemre cero y la fase será de 9 multilicados or la cantidad de ceros existentes. La igura 3 da una idea de cómo será el inicio de la curva en el lano, de acuerdo a la cantidad de ceros en el origen de la función de transferencia. Im Cero al origen +9 Plano P Re 2 Ceros al origen +8 4 Ceros al origen Ceros al origen +27 IGURA 3. Comienzo de la curva de acuerdo a la cantidad de ceros en el origen de P. CASO B-2: La función de transferencia P tiene uno o más olos en el origen y las constantes A m y B n de los olinomios del numerador y denominador resectivamente, son ambas ositivas o ambas negativas. En este caso P P P P Para conocer la fase, veamos el gráfico del lano de la variable P, en donde imaginamos que se hace un "zoom" del origen, tal como muestra la igura 4. jω Plano P jω ω σ ρ θ 9 σ IGURA 4. Zoom del origen, del lano de la variable "P". Página 3 de 4

4 Teniendo en cuenta la igura 4, odemos reresentar el o los olos al origen, en forma olar del siguiente modo: ρ j e e 9 jθ P θ Es decir que ara P si existen olos en el origen, el módulo valdrá siemre infinito y la fase será de -9 multilicados or la cantidad de olos existentes. La igura 5 da una idea de cómo será el inicio de la curva en el lano, de acuerdo a la cantidad de olos en el origen de la función de transferencia. Im 3 Polos al origen P P -27 Plano P RADIO Re 2 Polos al origen P P -8 4 Polos al origen P P -36 Polo al origen P P -9 IGURA 5. Comienzo de la curva de acuerdo a la cantidad de olos en el origen de P. CASO C: Si La función de transferencia P tiene ceros o olos en el origen y las constantes A m y B n de los olinomios del numerador y denominador resectivamente, son una ositiva y la otra negativa o viceversa, ara la variable P que tiende a cero, tendremos uno de los dos casos siguientes: jθ jθ P \ ξ e e 9 9 ρ e e jθ P jθ Página 4 de 4

5 PASO 2: Determinar el unto de final de la curva que reresenta el diagrama olar. Para ello evaluamos P ara P que tiende a infinito. Se ueden resentar dos casos, si la función de transferencia P tiene igual grado en su numerador y denominador, es decir que m n, en la función de transferencia generalizada, el resultado es una constante : A P + A P + + A A P A m m m m n n P n P B P + B P + + B n B P B Si la función de transferencia P tiene menor grado en su numerador, que en su denominador, es decir que m < n, en la función de transferencia generalizada, el resultado estará dado or: P n m Para conocer la fase, veamos el gráfico del lano de la variable P en la igura 6. j jω Plano P ρ θ 9 σ IGURA 6. Plano P, evaluación de un olo ara P o ω. Reresentando el o los olos al origen en forma olar tendremos: ρ e n m jθ ρ e jθ n m 9 n m La igura 7 muestra la reresentación del final de la curva en el lano P, de acuerdo a la diferencia de grado n-m entre denominador y numerador de la función de transferencia dada. Página 5 de 4

6 Im Plano P n-m 3 3 olos ara P P -27 n-m olos ara P P P Re n-m 3 2 olos ara P P P -8 n-m 4 4 olos ara P P P -36 n-m olo ara P P -9 IGURA 7. Reresentación del final de la curva en el lano P, de acuerdo a la diferencia de grado entre denominador y numerador n-m de la función de transferencia. Si el análisis se realiza cambiando la variable "P" or "jω", tendremos: jω j n ω jω ω n m n m m ω ω n m n m j n m 2 n m 3 + j n m Lo cuál es idéntico al resultado mostrado en la igura 7. PASO 3: Realizar el cambio de P or jω en la función de transferencia: P jω P jω PASO 4: Oerar la función de transferencia jω de forma tal de searar en arte real y arte imaginaria: jω Re ω + j Im ω Página 6 de 4

7 PASO 5: Igualar la arte real a cero. Re ω Mediante esta oeración se identifica el o los valores de la frecuencia ω que hacen cero la arte real. En este análisis se ueden dar uno o más de los siguientes casos: A Re ω ω B Re ω ω C Re ω ω Numero Positivo ± Numero D Re ω ω Numero Negativo ± j Numero PASO 6: Reemlazar el o los valores ositivos de la frecuencia ω obtenida en el aso anterior, en la arte imaginaria de la función de transferencia, y obtener el o los valores de cortes sobre el eje imaginario. Im ω Re Número NOTA: Los valores de ω dados or A y B en el aso anterior no es necesario evaluarlos ues esta información, se obtiene al realizar los PASOS y 2, ya que allí se evalúa la función de transferencia ara P o ω que tienden a cero y a infinito. El valor dado or D no es alicable ues la frecuencia ω es un numero real real, no uede ser un número imaginario. Por último del ar o ares de valores dados or C, solo evaluamos los ositivos, que son los que nos roorcionarán los untos de corte al eje imaginario ara las frecuencias ositivas ω +, los cortes que realizan sobre el eje imaginario las frecuencia negativas ω -, se obtendrán al realizar el trazado del esejo de la curva, en el PASO 9. PASO 7: Igualar la arte imaginaria a cero. Im ω Mediante esta oeración se identifica el o los valores de la frecuencia ω que hacen cero la arte Imaginaria. En este análisis en forma similar a lo visto en el PASO 5 se ueden dar uno o más de los siguientes casos, : A Im ω ω B Im ω ω Página 7 de 4

8 C Im ω ω Numero Positivo ± Numero D Im ω ω Numero Negativo ± j Numero PASO 8: Reemlazar el o los valores ositivos de la frecuencia ω obtenida en el aso anterior, en la arte Real de la función de transferencia, y obtener el o los valores de cortes sobre el eje Real. Re ω Im Número NOTA: Los valores de ω dados or A y B en el aso anterior no es necesario evaluarlos ues esta información, se obtiene al realizar los asos y 2, ya que alli se evalúa la función de transferencia ara P o ω que tienden a cero y a infinito. El valor dado or D no es alicable ues la frecuencia ω es real, no uede ser un número imaginario. Por último del ar o ares de valores dados or C, solo evaluamos los ositivos, que son los que nos roorcionarán los untos de corte al eje imaginario ara las frecuencias ositivas ω +, los cortes que realizan sobre el eje imaginario las frecuencia negativas ω --, se obtendrán al realizar el trazado del esejo de la curva, en el aso 9. PASO 9: Con los datos obtenidos en los asos Inicio del diagrama, 2 inal del diagrama, 6 corte al eje Imaginario y 8 corte al eje Real, trazar la curva que reresenta la función de transferencia ara las variaciones de las frecuencias ositivas ω +, ara ello comenzamos trazando desde ω hasta llegar a ω. Ver ejemlo generalizado de la igura 8-a y 8-b. IGURA 8-a. Diagrama de función de transferencia sin ceros ni olos en el origen. Página 8 de 4

9 IGURA 8-b. Diagrama de función de transferencia con un olo en el origen. Trazamos a continuación, el diagrama corresondiente a las frecuencias negativas, recordando que el trazado del mismo, es esejo sobre el eje real del que corresonde a las frecuencias ositivas hacemos el trazado del diagrama comleto. Recordar lo visto cuando se realizó el estudio del trazado de diagramas olares mediante el Método Gráfico IGURA 9-a. Trazado comleto del diagrama olar ara la función de la igura 8-a. Página 9 de 4

10 IGURA 9-b. Trazado comleto del diagrama olar ara la función de la igura 8-b. PASO : Cerrar la curva ara P o ω. Este aso se alicará cuando la función de transferencia tenga uno o más olos en el origen. Debido a que la función de transferencia G P.H P. tiene olos en el origen, el diagrama olar nos queda abierto entre ω + y ω -, tal como uede verse en la igura 9-b. Para realizar el estudio de cierre del diagrama ara P o ω que tienden a cero, reetimos arte del análisis realizado en el PASO. G H P ρ e j θ ρ e j θ θ Analizamos a continuación el lano P ara observar lo que sucede cuando se estudia un vector que corresonde a un olo en el origen y se desea hacer la rotación del mismo desde ω + a ω -. Para mejorar la observación hacemos un zoom del origen. En la figura vemos que el vector ρ al asar desde ω + a ω - en el lano P, describe una trayectoria cuyo ángulo es θ 8. El ángulo ϕ que describe el vector corresondiente en el lano G P.H P or transformación conforme, estará dado or la siguiente exresión: Página de 4

11 ϕ - Número de Polos x θ - Número de Polos x 8 ara nuestro caso: ϕ - θ - 8 ϕ - 8 El signo - aarece orque estamos analizando olos, y como los mismos están en el denominador, al calcular la fase aarece el signo negativo. Por otra arte el signo -, nos indica que si en el lano P el vector ρ describió una trayectoria que corta los ejes en un sentido, En este caso articular sentido horario, el vector que describe el ángulo ϕ en el lano G P.H P o G jω.h jω, debe hacerlo cortando los ejes en el sentido ouesto Antihorario. En la igura se muestra el cierre del diagrama ara P. IGURA 2. Cierre del diagrama ara P Las letras A,B,C,D y E encerradas en círculos nos muestran distintas osiciones al hacer girar el vector en el lano P y su correlación con el movimiento del vector corresondiente, en el lano G P.H P. PASO : Cerrar la curva ara P o ω. Recordar que debemos analizar si el diagrama encierra o no al origen de los ejes del lano P en el caso de una función de transferencia comleta; este aso no se alica si estamos analizando una función de lazo abierto del tio G P.H P ues los rodeos, se observan en + j. La igura 3 muestra una esecie de "ZOOM" del origen del diagrama en el lano P. ω + ω - Página de 4

12 Reetimos arte del análisis realizado en el PASO 2. Suonemos como ejemlo, que existen 3 olos más que ceros ara en la función de transferencia analizada. 3 P ρ 3 e j 3 θ ρ e j 3 θ 3 θ Analizamos a continuación el lano P ara observar lo que sucede cuando se estudia un vector que corresonde a un olo y se desea hacer la rotación del mismo desde ω + a ω -. IGURA 4. Rotación de vector desde ω + a ω -. En la figura anterior vemos que el vector ρ al asar desde ω + a ω - en el lano P, describe una trayectoria cuyo ángulo es θ 8. El ángulo ϕ que describe el vector corresondiente en el lano P or transformación conforme, estará dado or la exresión: ϕ - Número de Polos x θ - Número de Polos x 8 ara nuestro caso: ϕ - 3 x θ - 3 x 8 ϕ - 54 Página 2 de 4

13 El signo - aarece orque estamos analizando olos, y como los mismos están en el denominador, al calcular la fase aarece el signo negativo. Por otra arte el signo -, nos indica que si en el lano P el vector ρ describió una trayectoria que corta los ejes en un sentido, En este caso articular sentido horario, el vector que describe el ángulo ϕ en el lano P o jω, debe hacerlo cortando los ejes en el sentido ouesto Antihorario. En la igura 8 se muestra en forma aumentada el cierre del diagrama ara P. ω + ZOOM DEL ORIGEN ω - IGURA 5. Cierre del diagrama ara P. PASO 2: Alicar el criterio de Nyquist al diagrama obtenido. Aquí se resentan dos ociones de acuerdo al tio de función de transferencia bajo estudio, si estamos analizando una función de transferencia total reresentada or P, nos fijaremos si el diagrama encierra el origen y de hacerlo nos fijaremos el sentido, en cambio si estamos estudiando un sistema de lazo cerrado reresentado or la función G P.H P, nos fijaremos en la cantidad y sentido de los rodeos al unto del lano indicado or + j. Para la alicación del criterio de Nyquist, en cualquiera de ambos casos, en rimer lugar recorremos en un sentido determinado, el llamado recinto de Nyquist en el lano P. Ver igura 6. RECORRIDO: IGURA 6. Recinto de Nyquist y sentido de recorrido del mismo. Página 3 de 4

14 A continuación trazamos el Recorrido mediante flechas en el diagrama del lano P o G P.H P, de acuerdo al tio de sistema bajo estudio. Luego, observamos la cantidad y sentido de los rodeos al origen o al unto + j, de acuerdo al caso. El número de rodeos al origen o al unto + j, de acuerdo al tio de función, nos dará el valor de N. El sentido de los rodeos, determinará el signo de N, corresondiendo signo ositivo si el sentido de giro del diagrama olar en el lano de la función, es idéntico al trazado en el recinto del lano P ver figura 6, y or otro lado, N será de signo negativo si el sentido de corte a los ejes del lano de la función es contrario al del lano de la variable. inalmente en corresondencia con la cantidad y sentido de los rodeos obtenidos, indicamos el resultado del criterio de Nyquist el cual está exresado or : En donde : N Z P N Número de rodeos al origen del lano de la función, si la misma, es del tio total P, o número de rodeos del unto + j del lano de la función, si la misma corresonde a a una de lazo cerrado, reresentada or G P.H P. Z Ceros de la función de transferencia Total o lazo cerrado. P Polos de la función de transferencia Total o lazo cerrado. inalmente el la Tabla, se indican ara los dos tios de función de transferencia, los osibles resultados que ueden obtenerse alicando el criterio de Nyquist. TIPO DE UNCIÓN UNCIÓN DE TRANSERENCIA TOTAL UNCIÓN DE TRANSERENCIA DE LAZO ABIERTO UNCIÓN DE TRANSERENCIA P G P. H P DIAGRAMA EN BLOQUES DEL SISMA E IN P E OUT E IN G P E OUT H P PLANO P PLANO G P. H P LUGAR DE OBSERVACIÓN DE LOS RODEOS ORIGEN - + j CONCLUSIONES SI N CONCLUSIONES SI N Numero ositivo CONCLUSIONES SI N Numero negativo NO SE SABE POR CRIRIO DE NYQUIST. APLICAR OTRO MÉTODO NO SE SABE POR CRIRIO DE NYQUIST. APLICAR OTRO MÉTODO INESTABLE NO SE SABE POR CRIRIO DE NYQUIST. APLICAR OTRO MÉTODO INESTABLE NO SE SABE POR CRIRIO DE NYQUIST. APLICAR OTRO MÉTODO TABLA. Conclusiones alicando criterio de Nyquist Página 4 de 4