Muestra: es un subconjunto, extraído de la población, cuyo estudio sirve para inferir características de toda la población

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1 ESTADÍSTICA U poco de hstora El orge de la estadístca se ecuetra e el térmo Estado, pues uero los goberates los que prmero se preocuparo de elaborar y clascar las termables lstas de los recursos humaos y materales que costtuía el patrmoo estatal. La ormacó más atgua sobre la elaboracó de ua estadístca la proporcoa el hstorador grego Herodoto (484-40a.C.), al relatar que e el año 3050 a.c. el araó de Egpto ordeó u recueto de los bees que poseía el país para llevar a cabo ua gra obra: la costruccó de las prámdes. Desde hace tempo las estadístcas o so patrmoo exclusvo del Estado. També las elabora compañías de seguros, bacos, vestgadores...o smplemete persoas teresadas e obteer y orgazar determada ormacó para aalzarla e terpretarla Cocepto de Estadístca La Estadístca es la parte de las Matemátcas que estuda métodos para terpretar datos obtedos de vestgacoes o expermetos aleatoros (aquellos e los que o se puede predecr el resultado auque se realce sempre e las msmas codcoes), co el de extraer de ellos uas coclusoes. La Estadístca puede ser: a) Descrptva.-Trata de obteer uas coclusoes a partr de certos datos medate el empleo de grácos o la obtecó de uos certos valores que los represete a todos. b) Ierecal.-Trata de determar los valores que adoptará ua sere de datos muy umerosos, que orma ua poblacó medate el estudo de uos cuatos de ellos extraídos de la poblacó de ua maera sgcatva y que orma ua muestra. Estadístca descrptva Es ua parte de las matemátcas que os eseña a: Recoger datos de maera ordeada Represetar datos medate grácas o tablas compresbles Calcular valores umércos represetatvos, que permta stetzar, aalzar y comparar deretes coleccoes de datos E este curso solo os dedcaremos a la descrptva (e ºcurso veremos la erecal). Coceptos geerales Poblacó: es el cojuto de todos los elemetos objeto de uestro estudo Muestra: es u subcojuto, extraído de la poblacó, cuyo estudo srve para err característcas de toda la poblacó Idvduo: es cada uo de los elemetos de la poblacó o de la muestra. El tamaño de la poblacó o de la muestra es el úmero de elemetos que compoe ua u otra, y se suele desgar co Se llama varable estadístca a cada uo de los caracteres que se desea observar e los dvduos de ua poblacó. Las varables estadístcas puede ser: cuattatvas: s sus valores so úmeros cualtatvas: s sus valores o so úmeros

2 Se deoma recorrdo o rago de ua varable cuattatva a la dereca etre el mayor y el meor de sus valores posbles. Para las varables cualtatvas o se dee el recorrdo Las varables estadístcas cuattatvas puede ser dscretas o cotuas cotua Varable cuattatva Varable estadístca dscreta Varable cualtatva Varables dscretas so las que toma valores que se puede eumerar, ácles de precsar porque está separados, es decr, las que solo puede tomar valores aslados. Varables cotuas so las que puede tomar todos los valores de u tervalo Los valores de la varable estadístca se represeta por x, x, x 3,...,x Se llama dstrbucó estadístca al cojuto de datos estadístcos. Ejemplo Ua proesora de educacó ísca, rellea las chas de sus alumos y alumas de 3º de E.S.O. Y pde, etre otros datos, la edad, la talla y los deportes avortos de cada uo Poblacó: los alumos-as de 3º de E.S.O. Varables estadístcas: la edad, la talla, los deportes avortos La varable deporte avorto es cualtatva Las varables edad y talla so cuattatvas La edad sería ua varable cuattatva dscreta La talla sería ua varable cuattatva cotua. Ejemplo E el departameto de cotrol de caldad de ua ábrca de bombllas, se desea hacer u estudo sobre el úmero de horas de duracó; sería mposble hacer el estudo sobre todas las bombllas abrcadas, de ahí la ecesdad de tomar ua muestra. Cuato mayor sea la muestra, más represetatva es de la poblacó. Frecuecas Frecueca absoluta de cada valor, es el º de veces que éste se repte, y se represeta por ( es la recueca absoluta del prmer valor, es la recueca absoluta del segudo valor, y así sucesvamete). La suma de las recuecas absolutas debe cocdr co el tamaño de la poblacó o, e su caso, de la muestra Frecueca absoluta acumulada es la suma de la recueca absoluta de u valor co las de los que le precede. Frecueca relatva, F, es el cocete etre la recueca absoluta y el º total de dvduos que compoe la poblacó o la muestra observada. Frecueca relatva acumulada, es la suma de la recueca relatva de u valor co las de los que le precede. Frecueca porcetual, %, es el tato por ceto co el que aparece cada valor de la varable respecto del tamaño de la muestra. Se obtee multplcado por 00 cada recueca relatva Proceso segudo e Estadístca

3 La ormacó estadístca os llega medate grácas o tablas muy be costrudas, co las que resulta muy secllo eteder la ormacó que se os da. S embargo, esas tablas y grácas so el resultado de u largo proceso. Veamos sus prcpales pasos: ) Elegr ua muestra represetatva de la poblacó (s es que la poblacó es muy grade), de maera que los resultados que obtegamos para la muestra los podremos supoer váldos para la poblacó ) Seleccoar las varables que se va a aalzar. Debe quedar muy claro cuál es la varable y cuáles sus posbles valores. 3) Recoleccó de datos 4) Orgazacó de datos 5) Elaboracó de tablas 6) Elaboracó de grácas 7) Cálculo de parámetros A estos tres últmos pasos es a lo que a cotuacó os vamos a dedcar. La orgazacó de los datos Ua vez obtedos los datos, es coveete ordearlos segú algú crtero co la aldad de obteer el máxmo posble de ormacó de los datos. E la Estadístca descrptva trataremos de observar sstemátcamete los datos para lo cual es coveete ordearlos e ua tabla y resumrlos e u gráco que aclte su terpretacó. E eecto, supogamos el expermeto aleatoro cosstete e aotar las calcacoes de matemátcas de u colectvo de 50 alumos. Los resultados ha sdo: Realzamos u recueto de los resultados obtedos marcado ua raya vertcal por cada uo de ellos y agrupádolos e grupos de 5 para acltar el coteo: II III 3 3 III 3 4 IIIII IIII 9 5 IIIII IIIII II 6 IIIII IIII 9 7 IIIII I 6 8 III 3 9 I 0 II COFECCIÓ DE UA TABLA DE FRECUECIAS Ua vez recogdos los datos, hay que tabularlos; es decr, hay que coeccoar ua tabla e la que aparezca be orgazados los valores de la varable que se está estudado y el úmero de dvduos que toma cada valor o cada tervalo de valores. Es lo que se llama ua tabla de recuecas. E estas tablas debe aparecer los valores de la varable. S se ecuetra agrupadas e clases, debe aparecer los extremos superor e eror, así como la marca de clase (que so los putos medos de cada clase). Es acosejable escoger los extremos eror y superor 3

4 de cada tervalo de modo que se stúe e úmeros redodos ; por ejemplo, múltplos de 5, de 0, etc. Las clases debe teer la msma ampltud. El º de clases que debemos ormar es de lbre eleccó, pero exste u crtero muy geeral e el que se acoseja ormar, aproxmadamete, tatas clases como la raíz cuadrada del úmero total de datos. las recuecas absolutas las recuecas relatvas y a veces es coveete clur las recuecas absolutas y relatvas acumuladas, y las porcetuales Ejemplo de coeccó de ua tabla co datos aslados: Co las decoes dadas aterormete, podemos orgazar los datos de uestro expermeto e ua tabla de recuecas de la sguete maera. x F % 0,04 0, ,06 5 0, ,06 8 0, ,8 7 0, ,4 9 0, ,8 38 0, , 44 0, , , ,0 48 0,96 0 0, Totales Tabla co datos agrupados Ejemplo: Teemos u grupo de 0 dvduos adultos mayores de 8 años y meores de 75, y queremos dstrburlos segú su edad. Dstrbucó de recuecas: 4

5 EDAD (e años) (8, 0]...0 (0, 5]...4 (5, 35]...3 (35, 45]...0 (45, 60]...9 (60, 75]...4 Los datos, tal como ha sdo ordeados y resumdos, se suele deomar datos agrupados. Auque co el proceso de agrupameto se perde algo de ormacó que cotee los datos orgales (por ej. e la categoría de 8 a 0 años o sabemos cuatos dvduos de 8 y de 9 hay, s embargo orece la vetaja de presetar todos los datos de ua orma seclla e u pequeño cuadro, lo que aclta su estudo. E este ejemplo observamos que la ampltud de cada clase es varable. El mayor coveete que preseta este tpo de dstrbucó es el llamado error de agrupameto. Dstrbucó Porcetual o de recuecas relatvas EDAD (e años) % (8, 0] , ,33 (0, 5] ,66...,66 (5, 35] ,96...9,6 (35, 45] , ,66 (45, 60] ,46...4,6 (60, 75] ,0...0,00 Observemos que la suma de los porcetajes o es exactamete 00 debdo a los decmales. Se suele tomar u úco decmal redodeádolo. Dstrbucó Acumulada EDAD (e años) % rec acumulada Porc. acumulado (8, 0] , ,3 (0, 5] , ,0 (5, 35] , , (35, 45] , (45, 60] , , (60, 75] , , 5

6 ELABORACIÓ DE GRÁFICOS ESTADÍSTICOS Los resultados de cualquer expermeto, se podría ver co mucha mayor clardad s los datos tabulados (de ua tabla), estuvese represetados grácamete. Los prcpales tpos de represetacoes grácas que co ellos podemos hacer so (vamos a represetar úcamete las recuecas absolutas, pero podríamos hacerlo també co cualesquera otro tpo de las recuecas dedas): a) Dagramas de barras.- Colocamos e el eje de abscsas los valores de la varable x y e el eje de ordeadas los valores de las recuecas y dbujamos barras de gual achura cuya altura sea exactamete la recueca. Por ejemplo: Carreras que pesa hacer los alumos de u Cetro de Eseñaza Se usa el dagrama de barras para varables cualtatvas (como e este ejemplo) o cuattatvas dscretas. b) Hstogramas Se usa los hstogramas para las varables cuattatvas cotuas. El eje vertcal suele represetar la recueca. S embargo, cuado el acho de las barras o es el msmo, lo que marca la recueca o es la altura de cada barra, so el área de la msma. 6

7 c) Polígoos de recuecas.- Se obtee s umos los putos medos de las bases superores de las barras e el dagrama ateror: d) Dagramas de sectores.- Se obtee dvdedo la crcuereca e tatas partes como valores tega la varable de maera que el área de cada sector obtedo sea proporcoal a la respectva recueca d) Pctogramas.- Es como el dagrama de barras dode se susttuye las msmas por u dbujo de altura proporcoal a las recuecas y que hace más tutva la terpretacó de los resultados 7

8 e) Prámdes de poblacó.- Se utlza este procedmeto para comparar las característcas más relevates de la poblacó de u Estado, provca,..., y sus varacoes e u determado perodo de tempo. ) Cartogramas.- So represetacoes grácas de udades geográcas, derecadas por colores, rayas o putos: g) Seres croológcas o dagramas leales.- Se usa para mostrar las varacoes de uo o varos caracteres estadístcos co el paso del tempo: 8

9 PARÁMETROS ESTADÍSTICOS Puesto que las represetacoes grácas o sempre cosgue orecer ua ormacó completa de ua sere de datos, es ecesaro aalzar procedmetos umércos que permta resumr toda la ormacó del eómeo e estudo e uos úmeros llamados parámetros estadístcos. Los parámetros estadístcos se puede clascar e: a) Meddas de cetralzacó.- Que represeta a toda la dstrbucó. Busca característcas del cetro de la dstrbucó. Los más mportates so la meda artmétca, la medaa y la moda. b) Meddas de poscó.- Idca, ua vez ordeados los datos, cuatos elemetos queda a la zquerda o derecha de uo dado: cuartles, decles, cetles o percetles. c) Meddas de dspersó.- Que dca s los valores está agrupados o dspersos. Los más mportates so rago o recorrdo, desvacó meda, la varaza y la desvacó típca. MEDIDAS DE CETRALIZACIÓ MEDIA: x x + x + x x x Cuado los datos vee dados por ua tabla de recuecas: x x + x + x x x Cuado los datos está agrupados e tervalos, el valor cetral de cada tervalo (marca de clase), es el que se asga a todos los dvduos que está e dcho tervalo. Ejemplo :Se ha pregutado a u grupo de 70 alumos sobre el úmero de zapatos que calza, obteedo los resultados de la sguete tabla: 9

10 . de calzado. de alumos E este caso, la meda artmétca sería: x Ejemplo El cosumo de carburates, e ltros, de ua lota de camoes a lo largo de u día está tabulado e la sguete tabla de recuecas: Cosumo Camoes (0,0] 8 (0,0] (0,30] 0 (30,40] 4 (40,50] (50,60] 6 (60,70] 9 Como la varable está agrupada e tervalos, tomamos la marca de clase. La meda sería: x MODA Es el valor de la dstrbucó que se repte co mayor recueca. Puede o exstr o puede o ser úca. Las dstrbucoes que cotee ua sola moda se llama umodales y las que cotee dos, bmodales. E geeral, cuado cotee varas modas se deoma multmodal. E ua represetacó gráca, la moda será el rectágulo más alto, e el caso del hstograma, y el pco más alto, e el caso del polígoo. Ejemplo: E la dstrbucó de cras:, 3, 3, 3, 5, 5...la moda es 3 E la dstrbucó de cras:,, 4, 5, 5, 6... las modas so y 5. E el caso de los datos agrupados e tervalos, la moda es aproxmadamete el puto medo de la clase que cotee la mayor recueca de casos (a la que se le llamaría clase modal) Ejemplo: De a De 4 a De 7 a De 9 a...6 0

11 E este ejemplo, la clase modal es 4-6 y la moda valdrá 5. Pero s queremos calcular más exactamete la moda (y o de orma aproxmada),se busca el tervalo de mayor recueca (tervalo o clase modal) y se aplca la órmula: Dode: MoL - +C. ( L - es el límte eror del tervalo modal C es la ampltud del tervalo es la recueca del tervalo modal - es la recueca del tervalo ateror al modal + es la recueca del tervalo posteror al modal E el ejemplo puesto, sería el tervalo (4,6], y aplcado la órmula: 5 6 Mo (5 6) + (5 0) Otro ejemplo: El cosumo de carburates, e ltros, de ua lota de camoes a lo largo de u día está tabulado e la sguete tabla de recuecas: Cosumo Camoes (0,0] 8 (0,0] (0,30] 0 (30,40] 4 (40,50] (50,60] 6 (60,70] 9 Solucó: El tervalo modal sería el (40,50] 4 Mo ( 4) + ( 6) - ) + - ( + ) MEDIAA S los dvduos de ua poblacó está colocados e orde crecete segú la varable que estudamos, el que ocupa el valor cetral se llama dvduo medao, y su valor la medaa. La medaa Me, está stuada de modo que ates de ella está el 50% de la poblacó y, detrás, el otro 50%. Por ejemplo, e la dstrbucó: 6,7,7,7,8,9,0,,5 M e 8 S el úmero de dvduos uera par, la medaa sería el valor medo de los dos cetrales. Por ejemplo, e la dstrbucó:

12 6,7,7,7,8,9,0,,5,6 M e 8.5 S los datos está agrupados e tervalos, supoemos que los datos de cada tervalo se reparte uormemete e él, hemos de buscar el tervalo cetral (e el que se ecuetre el o los valores cetrales) y aplcar la órmula: Me L - + C. F Dode L - es el límte eror del tervalo es el úmero total de casos o datos F - es la recueca acumulada del tervalo ateror es la recueca absoluta del tervalo C es la ampltud del tervalo Ejemplo: El cosumo de carburates, e ltros, de ua lota de camoes a lo largo de u día está tabulado e la sguete tabla de recuecas: Cosumo Camoes (0,0] 8 (0,0] (0,30] 0 (30,40] 4 (40,50] (50,60] 6 (60,70] 9 Calcular la medaa. Solucó: Hemos de buscar el tervalo e el que esté los elemetos cetrales. Como hay 90 elemetos, el tervalo es (40,50]. Aplcamos la órmula: Me MEDIDAS DE POSICIÓ CETILES O PERCETILES Medaa: S los dvduos de ua poblacó está colocados e orde crecete segú la varable que estudamos, el que ocupa e valor cetral se llama dvduo medao, y su valor la medaa. La medaa, M e, está stuada de modo que ates de ella está el 50% de la poblacó y, detrás, el otro 50%. Por ejemplo, e la dstrbucó: 6,7,7,7,8,9,0,,5 M e 8 S el úmero de dvduos uera par, la medaa sería el valor medo de los dos cetrales. Por ejemplo, e la dstrbucó:

13 6,7,7,7,8,9,0,,5,6 M e 8.5 Cuartles: S e vez de partr la totaldad de los dvduos e dos mtades, lo hacemos e cuatro partes guales (todas ellas co el msmo úmero de dvduos), los dos uevos putos de separacó se llama cuartles. Cuartl eror Q es u valor de la varable que deja por debajo de él al 5% de la poblacó, y por ecma la 75%. Cuartl superor Q 3 es u valor de la varable que deja por debajo de él al 75% de la poblacó, y por ecma la 5%. Q sería la medaa. Por ejemplo, e la dstrbucó:,,, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 8, 9, 0 5% 5% 5% 5% Q M e Q 3 Q.5; M e 5; Q 3 7 Cetles o Percetles: S partmos la poblacó e 00 partes y señalamos el lugar que deja debajo k de ellas, el valor de la varable correspodete a ese lugar se desga por p k y se deoma cetl k o percetl k. La medaa es M e p 50 A la medaa, cuartles y cetles, se les llama meddas de poscó. Veamos uos ejemplos de estas meddas de poscó Ejemplo : Calcular M e, Q, Q 3, P 0 y P 80 e la dstrbucó:,,, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9, 0 Solucó: Hay 7 dvduos; 7/ la medaa es el valor del dvduo 9º...M e 5 7/ º lugar...q / º lugar...q 3 7 7/ º lugar...p 0 7/ º lugar...p 80 7 Ejemplo : E la sguete dstrbucó de úmero de hjos de 0 parejas, halla M e, Q, Q 3, P 0 y P 99 º hjos (x ) Para calcular la medaa, cuartles y Percetles e dstrbucoes dadas por tablas de recuecas, ecestamos las recuecas acumuladas y los % x F E %

14 M e P 50 porque para x la F supera el 50% Q P 5 porque para x la F supera el 5% Q 3 P 75 3 porque para x 3 la F supera el 75% P 99 5 porque para x 5 la F supera el 99% P 0.5 porque para x la F guala el 0%. Por tato el valor.5 es superor al 0% de la poblacó, e eror al 80% restate. Ejemplo 3: E la abrcacó de certo tpo de bombllas, se ha detectado alguas deectuosas. Se ha estudado 00 cajas de 00 bombllas cada ua, obteédose la sguete tabla: Deectuosas º de cajas Calcula la medaa, el cuartl superor y el percetl 0. Solucó: Formemos la tabla de recuecas acumuladas: X F % Medaa: Se ha ordeado las cajas segú el º de bombllas deectuosas, de meor a mayor. La medaa será la caja que ocupe el lugar cetral. Como el º de cajas es par (00), la medaa es el valor medo etre los dos cetrales. La caja º 00 tee 4 bombllas deectuosas y la º 0 tee 5 bombllas deectuosas. Por tato, M e (4+5)/ 4.5 El cuartl superor: correspode al 75% del total : La caja que ocupa el lugar º 50 tee 6 bombllas deectuosas. Por tato, Q 3 6. El 5% de las cajas tee 6 o más bombllas deectuosas. El percetl 0: correspode al 0% del total: La caja que ocupa el lugar 40 tee 3 bombllas deectuosas. Por tato, P 0 3. El 0% de las cajas tee 3 o meos bombllas deectuosas. 4

15 E caso de ua varable agrupada, las órmulas para hallar cetles, decles y cuartles so: h. C h L c dode cada elemeto tee el msmo sgcado que e el cálculo de la medaa. Para hallar los cuarteles e este caso, ada más que hay que teer e cueta que: Q C 5 Q C 50 M e Q 3 C 75 Para hallar los decles, tedremos e cueta que: D C 0 D C 0 D 3 C 30. D 9 C 90 Veamos alguos ejemplos: Ejemplo: El cosumo de carburates, e ltros, de ua lota de camoes a lo largo de u día está tabulado e la sguete tabla de recuecas: Cosumo Camoes (0,0] 8 (0,0] (0,30] 0 (30,40] 4 (40,50] (50,60] 6 (60,70] 9 Calcular el cuartl superor Q 3, el cetl 45, C 45 y el decl tercero, D 3 Busquemos el tervalo dode se ecuetra el Q 3, que será e el que se ecuetre el elemeto que deja a su zquerda u 75% de la poblacó (el 75% de 90 es 67,5). Hacedo la tabla de las recuecas absolutas acumuladas: Cosumo Frec. Abs. F. Ab. acum (0,0] 8 8 (0,0] 0 (0,30] 0 30 (30,40] 4 44 (40,50] 65 (50,60] 6 8 (60,70] 9 90 Observamos que el tervalo que buscamos es el (50,60]. Aplcado la órmula: 3.90 Q ,565 5,565 Busquemos ahora el tervalo dode queda el elemeto que deja a su zquerda al 45% de la poblacó: (45% de 90 es 40,5). Observado la columa de las recuecas absolutas acumuladas, el tervalo (30,40] cotee el C 45. Aplcado la órmula: 5

16 C ,5 37,5 4 Calculemos el D 3 P 30 Busquemos el tervalo dode se ecuetra el elemeto que deja a su zquerda el 30% de la poblacó (30% de 90 es 7). Observado la tabla de recuecas, el tervalo (0,30] cotee al dvduo que ocupa el lugar 7, y aplcado la órmula de los percetles: D 3 P MEDIDAS DE DISPERSIÓ RAGO O RECORRIDO Es la dereca etre el valor mayor y el meor s la varable es o agrupada. S la varable es agrupada, se calcula la dereca etre el límte superor del últmo tervalo y el límte eror del prmer tervalo. El valor del recorrdo sólo tee e cueta los valores extremos; e su valor o luye los demás elemetos de la dstrbucó. Cuato meor es el rago o recorrdo de ua dstrbucó, mayor es el grado de represetatvdad de los valores cetrales Ejemplo: Mercedes y Paco mde 69 y 7 respectvamete. Aa y Luís es otra pareja que mde 45 y 95 respectvamete. Ambas dstrbucoes tee la msma meda: 70, pero evdetemete ade los coudría por la calle. El rago de la pareja Mercedes y Paco: 7-69 El rago de la pareja Aa y Luís: Dremos por tato que la ª pareja está más dspersa que la ª Ejemplo : Se ha pregutado a u grupo de 70 alumos sobre el úmero de zapatos que calza, obteedo los resultados de la sguete tabla:. de calzado. de alumos El rago o recorrdo será Ejemplo : El cosumo de carburates, e ltros, de ua lota de camoes a lo largo de u día está tabulado e la sguete tabla de recuecas: 6

17 Cosumo Camoes (0,0] 8 (0,0] (0,30] 0 (30,40] 4 (40,50] (50,60] 6 (60,70] 9 Al ser agrupada, el rago o recorrdo es DESVIACIÓ MEDIA Es la meda de las desvacoes de los valores de la varable respecto a la meda de la dstrbucó (sedo la desvacó respecto de la meda: x - x ): x x. DM x x. + x x x k x. k Es ua medda muy poco utlzada por la complcacó de su cálculo. S la DM es muy pequeña, dca que hay ua gra cocetracó de valores e toro a la meda. S la varable está agrupada e tervalos, tomamos x la marca de la clase. VARIAZA Es la meda artmétca de los cuadrados de las desvacoes respecto de la meda. Se represeta por σ, y vee dada por la expresó: σ (x x). + (x + x) (x x) (vamos a obteer ua seguda expresó para σ que vamos a utlzar co recueca) ( x x) + ( x x) ( x x) x. + x x. x + x x x x + x x x... + x x. + x. x (x x x) k. x. + (x x x) x. x. x 7

18 DESVIACIÓ TÍPICA Es la raíz cuadrada de la varaza. Se represeta por S S (x x). + (x + x). + + (x Es la udad de dspersó más usada. Es sempre postva. Se calcula drectamete e las calculadoras cetícas. Ejemplo : Se ha pregutado a u grupo de 70 alumos sobre el úmero de zapatos que calza, obteedo los resultados de la sguete tabla:. de calzado. de alumos Haced u cuadro dode aparezca la desvacó meda, la desvacó típca y la varaza. x). (x x). (x x). x x - x x - x. (x - x ) (x - x ) Por tato: La desvacó meda DM 94.34/

19 La varaza S /70.99 La desvacó típca S.7973 Ejemplo : El cosumo de carburates, e ltros, de ua lota de camoes a lo largo de u día está tabulado e la sguete tabla de recuecas: Cosumo Camoes (0,0] 8 (0,0] (0,30] 0 (30,40] 4 (40,50] (50,60] 6 (60,70] 9 Haced u cuadro dode aparezca la desvacó meda, la desvacó típca y la varaza. Calculamos x Cosumo x Camoes x - x x - x. (x - x ) (x - x ). (0,0] (0,0] (0,30] (30,40] (40,50] (50,60] (60,70] DM 375. / S / S Ejemplo 3: Se ha aotado el peso de 88 persoas, obteédose los sguetes resultados: Peso (Kg) [38,44) [44,50) [50,56) [56,6) [6,68) [68,74) [74,80) º persoas Calcula el rago, la desvacó meda, la varaza y la desvacó típca. Calculemos prmeramete la meda artmétca: 504/88 59,4 9

20 Rago: rago Kg Desvacó meda: D 639,08/88 7,6 Kg Varaza: s 7846,3/88 89,6 Kg Desvacó típca: s 9,44 Kg 0

21 EJERCICIOS RESUELTOS ) U spector de autobuses toma ota de los mutos de retraso co que llega los autobuses a ua parada. Su trabajo queda relejado e el sguete dagrama de barras: Halla la varaza y el rago. Resolucó: Formemos la sguete tabla: Meda, x 445/4 0.6 mutos Rago mutos S 90. / m ) Elaborad ua tabla de recuecas co las estaturas de 40 adolescetes: Resolucó: El º de valores dsttos que hay es grade (mayor que 0), por eso lo adecuado es clascarlos e tervalos. Para ello procedemos así: - localzamos los valores extremos: el meor 49 y el mayor 78. Hallamos su dereca: (este es el valor del recorrdo). - Puesto que el º de datos es pequeño (solo 40), decdmos que el º de tevalos sea pequeño (por ej, 6). Buscamos u º mayor que el recorrdo y que sea múltplo de 6, por ej. 30 (el recorrdo era 9). De este modo, cada uo de los ses tevalos tedrá ua logtud gual a 5

22 - Formamos los tervalos comezado por u º algo meor que el 49 y de modo que los ses tervalos abarque a la totaldad de los datos. - Repartmos los cuareta datos e los ses tervalos. (Es coveete tomar los tervalos co extremos o eteros para que o haya duda de s u valor perteece a u tervalo o al sguete. Itervalos recuecas (48.5, 53.5] (53.5, 58.5] 4 (58.5, 63.5] (63.5, 68.5] 4 (68.5, 73.5] 5 (73.5, 78.5] 4 3) Calcula la meda y la desvacó típca del ejercco ateror. Resolucó: costruyamos la sguete tabla Itervalos x x x (48.5, 53.5] (53.5, 58.5] (58.5, 63.5] (63.5, 68.5] (68.5, 73.5] (73.5, 78.5] Meda: x.x cm.x Varaza: σ x Desvacó Típca: σ cm Vemos e este ejemplo la vetaja de la seguda expresó de σ para hallar su valor umérco a partr de ua tabla de recuecas. 4). Costrur la tabla estadístca de las edades de las persoas que acude a u logopeda a lo largo de u mes, sabedo que so: 3,,, 3, 4, 3,, 4, 5, 6, 7, 3, 4, 5, 3,, 5, 6, 7, 5, 4,,, 4, 3, 6, 9, 3, 6, 7, 6, 3, 6, 5,, 6 Como hay 36 datos, el úmero de clases que debemos ormar puede ser aproxmadamete la raíz cuadrada de 36, es decr 6 clases. S el tervalo los extedemos de 0 hasta 30, al dvdr por 6 se tee que la ampltud de cada clase debe ser 5. Este sería u ejemplo de tabla estadístca para ua varable estadístca cotua (la edad de ua persoa o tee por qué ser u úmero etero).

23 Clases Marcas h F H de clase [ 0, 5) [ 5, 0) [ 0, 5) [ 5, 0) [ 0, 5) [ 5, 30) Las calcacoes e la asgatura de hstora de los/as 40 alumos/as de ua clase vee dada por la sguete tabla: Calcula la medaa. Calcacoes º de alumos/as x F < > La medaa es M e 5, dado que es el prmer valor de la varable cuya recueca absoluta acumulada,, excede la mtad del úmero de datos, Cosderemos la sguete tabla de recuecas: Calcula la medaa. x x F 3

24 > Como 50 cocde co la recueca acumulada del valor 7, la medaa vedrá dada por la semsuma de 7 y el valor sguete, 8. Por tato M e 7' Se ha aplcado u test sobre satsaccó e el trabajo a 88 empleados/as de ua ábrca, obteédose los sguetes resultados: Calcula la medaa. º de trabajadores/as Putuacoes [ 38, 44) 7 [ 44, 50) 8 [ 50, 56) 5 [ 56, 6) 5 [ 6, 68) 8 [ 68, 74) 9 74, 80 6 [ ) x F [ 38, 44) 7 7 [ 44 50) [ 50 56) [ 56 6) [ 6 68) [ 68 74) [ 74 80), 8 5, 5 30 < 44, 5 55 > 44, 8 73, 9 8, La clase medaa es el tervalo [ 56, 6). 88 M e 5 59' 36 Observacoes. La medaa es partcularmete útl e los sguetes casos: 4

25 a) Cuado etre los datos exste alguo muy extremo que aecta a la meda. b) Cuado los datos está agrupados e clases y algua de ellas es aberta.. Como cosecueca de decó de medaa, se tee que el 50% de los datos so meores o guales que ella y el 50% restate so mayores o guales. 3. La medaa depede del orde de los datos y o de su valor. 8- Las calcacoes e la asgatura de hstora del arte de los 40 alumos/as de ua clase vee dada por la sguete tabla: Calcacoes º de alumos/as Rago: 9-8 Varaza y desvacó típca: x x x Meda: x 53 ' 96 Varaza: s ( 53 ' ) 4' 3 40 Desvacó típca: s 4' 3 ' 08 5

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