TALLER DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN GEOMETRÍA

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL DE RÍO CUARTO FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS, FÍSICO-QUÍMICAS Y NATURALES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA TALLER DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN GEOMETRÍA Actividades de Ingreso Año 2009 Profesorado y Licenciatura en Matemática Material elaborado por: Silvia Colombo Mabel Licera 1

2 Problema 1: En el siguiente dibujo, los ángulo ABK y ACK miden 39 y 30 respectivamente. Además se sabe que BK es la bisectriz del ángulo ABC y que la recta m es perpendicular al lado BC. Cuánto mide el ángulo BAC? Problema 2: En el interior del cuadrado ABCD se ha dibujado un punto O tal que ABO es equilátero. De cuáles de los ángulos determinados en la figura es posible calcular su medida? Problema 3: A partir de la medida del ángulo indicado en el dibujo, calcular las medidas de los ángulos interiores del triángulo POQ. 2

3 Problema 4: a) Sobre la circunferencia de centro O y radio OA, se marcan los puntos P, Q y R en uno de los arcos determinados por el diámetro AB. Determinar las medidas de los ángulos APB, AQB y ARB. b) A partir de lo realizado, enunciar una conjetura que involucre el punto un punto S cualquiera sobre el mismo arco determinado por el diámetro AB que contiene a los puntos P, Q y R. Intentar generalizar dicha conjetura. Qué tienen en común estos cuatro problemas? Qué estrategias usaron para llegar a las respuestas? Habrá otras posibles? Si las hay, Resultan equivalentes? 3

4 Problema 5: En cada circunferencia, de radio 1, calcular el perímetro y área de la región sombreada. Hay diferencias en los procedimientos utilizados en cada caso planteado? Podrían usarse otros procedimientos? Cuáles son los conocimientos mínimos necesarios para dar respuesta a cada situación? 4

5 Problema 6: a) Calcular, cuando sea posible, el área de las regiones sombreadas: 7 45º 38º 7 b) En caso de no ser posible, Se podría agregar o quitar información para que el cálculo sea posible? Analizar distintas posibilidades. Qué reflexión podemos hacer respecto a la posibilidad o no de realizar el cálculo solicitado? 5

6 Problema 7: a) Construir un rectángulo ABCD con AB=10 cm y BC=6 cm. - Sobre la diagonal AC marcar un punto P a 9 cm de A. - Trazar una paralela al lado AD que pase por P, cortará a AB en M y a CD en J. - Trazar por P una paralela al lado AB que cortará a AD en K y a BC en L. Cuál de los dos rectángulos MBPL o KPDJ tiene área mayor? b) Sea ABCD un rectángulo y P un punto sobre la diagonal AC. Se traza por P FE paralelo al lado AD y GH paralelo al lado DC. Se podrá ubicar el punto P tal que el área de DGPF sea mayor que el área de PEBH? El medir permite dar respuesta al problema (aunque sea en forma aproximada)? Por qué en esta situación se debe trascender necesariamente el recurso de medir? Cómo se valida la respuesta a las preguntas planteadas? Qué recursos nos permiten establecer nuevas propiedades de las figuras geométricas? 6

7 Problema 8: En cada caso comparar el área del rectángulo ABCD y el área de la región sombreada: E es un punto de la mediatriz del segmento AB. F es un punto de la mediatriz del segmento BC. 7

8 Problema 9: a) Dibujar tres rectángulos diferentes que compartan un lado con ABC y tengan el doble de su área: b) Dibujar tres rectángulos diferentes que compartan un lado con ABC y cuya área sea el doble del área del triángulo ABC: c) Para cualquier triángulo ABC existen tres rectángulos distintos tal que cada uno de ellos comparta un lado con ABC y tenga el doble de su área? Existen triángulos para los que los tres rectángulos resulten iguales? Existen triángulos para los que dos de los rectángulos resulten iguales y el otro diferente? 8

9 Problema 10: En el siguiente dibujo, ABC es un triángulo obtusángulo y el segmento AM es una mediana. Qué relación hay entre las áreas de los triángulos ABM y AMC? Problema 11: Sabiendo que AB // CD, comparar las áreas de los triángulos: a) ABC y ACD. b) AOD y BOC. Problema 12: En la siguiente figura, ABCD es un paralelogramo y ABEF es un rectángulo. Los puntos D, C E y F están alineados. G es la intersección de BC con AF. GH es paralela a AB. Demostrar que el área del triángulo AGD es igual al área del trapecio GBHF. 9

10 Problema 13: Dibujar un triángulo ABC isósceles con AB=BC. Marcar un punto P sobre el lado CA y trazar las rectas perpendiculares por P a los lados AB y BC. Llamar H y J a los puntos de corte sobre los lados respectivamente. a) Comparar las amplitudes de los ángulos HPA y JPC. b) Se obtendría el mismo resultado si se hubiera elegido otro punto P sobre CA? c) Comparar los triángulos HPA y JPC. Y si P es el punto medio de CA? Analizar similitudes y diferencias en los problemas 7 hasta 13 considerando: - Tareas que se proponen. - Conocimientos que se ponen en juego. - Formas alternativas de abordaje de cada una. Problema 14: Qué entendemos por paralelogramo? Proponer diferentes formas de definir esta figura y analizarlas a fin de demostrar equivalencias entre ellas. Qué conocimientos geométricos están a la base de la demostración de las equivalencias planteadas? Problema 15: Dado el triángulo ABC y M, punto medio del lado BC, ubicar el punto D, tal que M sea punto medio de AD. a) Si ABC es un triángulo cualquiera, qué tipo de cuadrilátero es ABDC? b) Si ABC es rectángulo en A, qué tipo de cuadrilátero es ABDC? c) Si ABC es isósceles (AB = AC), qué tipo de cuadrilátero es ABDC? d) Si ABC cumple simultáneamente las condiciones dadas en b) y c) qué tipo de cuadrilátero es ABDC? e) Proponer una clasificación de los paralelogramos a partir de lo trabajado. Qué conocimientos geométricos se establecen a partir de esta tarea? 10

11 Problema 16: Dado el triángulo ABC y M, punto medio del lado BC, si se ubica el punto D, tal que M sea punto medio de AD, el cuadrilátero ABDC resulta un paralelogramo en el que las diagonales se cortan en su punto medio. Esta propiedad la tiene cualquier paralelogramo? Qué aporta la cuestión planteada al estudio de los paralelogramos? Problema 17: Dado un triángulo ABC, trazar por cada vértice la recta paralela al lado opuesto. Demostrar que A, B y C son los puntos medios del triángulo determinado por las intersecciones de las rectas trazadas. Problema 18: Los puntos A, B y C son los puntos medios de los lados de cualquier triángulo MNQ. Qué tipo de cuadrilátero es ABCM? Problema 19: Dado un paralelogramo ABCD donde E y F son los puntos medios de los lado BC y AD, respectivamente. a) Hay segmentos congruentes a MN? Cuál o cuáles? b) Es cierto que la medida del segmento FN es la mitad de la medida de NC? c) Quedan determinados en el dibujo paralelogramos diferentes del ABCD? Cuál o cuáles? 11

12 Problema 20: El siguiente dibujo representa un paralelogramo ABCD: Si I es el punto medio de AD, J es el punto medio de DC y P es el punto donde se cortan IJ y DB. Será cierto que P es punto medio de IJ? A partir del trabajo realizado en la resolución de los problemas 17 a 20, reflexionar sobre la utilidad de establecer equivalencias entre distintas definiciones de paralelogramo. Problema 21: Sea ABCD un cuadrilátero convexo. Sean E, F, G y H los puntos medios de sus lados. a) Si ABCD es un cuadrado. Qué tipo de cuadrilátero es EFGH? b) Si ABCD es un rectángulo. Qué tipo de cuadrilátero es EFGH? c) Si ABCD es un rombo. Qué tipo de cuadrilátero es EFGH? d) Si ABCD es un paralelogramo. Qué tipo de cuadrilátero es EFGH? e) Si ABCD es un cuadrilátero cualquiera. Qué tipo de cuadrilátero es EFGH? Problema 22: Sea ABCD un cuadrilátero convexo. Sean E, F, G y H los puntos medios de sus lados. Cómo deberá ser el cuadrilátero ABCD para que el cuadrilátero EFGH sea un rombo? Y un rectángulo? Y un cuadrado? Qué nuevos conocimientos han surgido a partir de lo trabajado en este problema? Qué estatus matemático tienen estos conocimientos? 12

13 Problema 23: Sea ABCD un cuadrado. Sean los puntos E, F, G y H puntos de sus lados. Donde deberán estar ubicados estos puntos para que el cuadrilátero EFGH sea un cuadrado? Qué diferencia hay entre el tipo de cuestiones planteadas en los problemas 21, 22 y 23? Problema 24: Si en un triángulo rectángulo uno de los ángulos agudos mide 30º, Será cierto que el cateto opuesto a dicho ángulo mide la mitad de la hipotenusa? Resolverlo, por lo menos, de dos maneras diferentes. Analizar similitudes y diferencias entre las resoluciones. 13