Geometría Básica 49 UNIVERSIDAD DE LOS ANDES - TÁCHIRA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS CARRERA EDUCACIÓN BÁSICA INTEGRAL

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1 Geometría Básica 49 UNIVERSIDAD DE LOS ANDES - TÁCHIRA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS CARRERA EDUCACIÓN BÁSICA INTEGRAL GEOMETRÍA 10 Prof. Alfonso Sánchez ENCUENTRO 6 TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS A los filósofos griegos clásicos (600 a 300 A. C) se les debe el uso de la abstracción y demostración deductiva en la matemática, apoyándose para ello en la geometría. Trataron problemas relacionados con rectas y curvas (triángulo, secciones cónicas, círculos, parábola, elipse e hipérbola), así como superficies (cubo, esfera, paraboloide, elipsoide, hiperboloide). Estos problemas consistían en determinar cuándo dos figuras son congruentes, semejantes o equivalentes. Es importante resaltar que los objetos geométricos son producto de las interacciones y observaciones hechas por el ser humano sobre los objetos reales y sus experiencias cotidianas, convirtiéndose posteriormente en una construcción de la mente humana. Un problema didáctico a considerar es la representación de los objetos geométricos como entidades abstractas los cuales no se pueden dibujar. Lo que se dibuja es un objeto perceptible el cual evoca o simboliza el objeto abstracto correspondiente. Así por ejemplo la recta (entidad abstracta), es ilimitada y carece de espesor, pero los dibujos hechos de ella no. Lo mismo sucede con un triángulo o cualquiera otra figura geométrica. En este encuentro vamos a estudiar lo relativo a los triángulos y cuadriláteros, sus principales propiedades y sus elementos notables. TRIÁNGULOS Un triángulo es la unión de tres segmentos determinados por tres puntos no colineales. También se puede decir que un triángulo es un polígono de tres (3) lados. Figura 1.

2 50 Alfonso Sánchez ELEMENTOS DE UN TRIÁNGULO 1. A, B y C son vértices, y los segmentos AB, BC y AC son lados del triángulo ABC el cual se escribe así. 2. Todo triángulo ABC determina tres ángulos: ABC, BAC y ACB llamados los ángulos del ABC. Para dibujar los ángulos del triángulo se debe prolongar los lados respectivos y utilizar flechas las cuales indiquen que son semirrectas. 3. En todo triángulo se forman dos tipos de ángulos. Ángulo interior el cual está formado por dos lados, y el ángulo exterior formado por un lado y la prolongación de otro. 4. Un punto está en el interior de un triángulo si está en el interior de cada uno de los ángulos del triángulo. (Ver figura 2). 5. Un punto está en el exterior de un triángulo si está en el plano del triángulo pero no está en el triángulo o en su interior. (Ver figura 2). 6. Un punto F está en el interior del ángulo BAC si cumple las dos condiciones siguientes: a) F y C están del mismo lado de la recta AC y b) F y G están del mismo lado de la recta AC. (Ver figura 2). 7. El exterior del BAC: es el conjunto de todos los puntos del plano que no están en el ángulo ni en su interior. (Ver figura 2). Figura Se llama perímetro (P ) de un triángulo a la suma de sus tres lados. P = AB + BC + AC (Ver figura 1). Los lados AB y AC son adyacentes al A; así mismo BA y BC son lados adyacentes al B, y finalmente CB y CA son adyacentes al C. CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS Los triángulos se clasifican atendiendo a sus lados y a sus ángulos. Atendiendo a sus lados Equiláteros: Son los que tienen sus tres lados iguales.

3 Geometría Básica 51 Isósceles: Son los que tienen dos lados iguales. Escalenos: Son los que tienen sus tres lados desiguales. Atendiendo a sus Ángulos Rectángulos: Son los que tienen un ángulo recto (90 ). El lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa, y los otros dos lados son los catetos.

4 52 Alfonso Sánchez Acutángulos: Son los que tienen sus tres ángulos agudos. Obtusángulos: Son los que tienen un ángulo obtuso. Importante...! No todas las medidas de lados y ángulos permiten construir triángulos. Existen condiciones que necesariamente deben cumplirse para lograr tales construcciones. 1. En todo triángulo se cumple:

5 Geometría Básica En cualquier triángulo acutángulo se cumple: 3. En todo triángulo rectángulo se cumple: 4. En todo triángulo obtusángulo se cumple: 5. En cualquier triángulo es cierto que: 6. Los tres lados de un triángulo son iguales si y sólo si los tres ángulos son iguales.

6 54 Alfonso Sánchez RECTAS Y PUNTOS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO En todo triángulo se pueden trazar algunas líneas que tienen características especiales. Ellas son: Bisectriz: Es la recta que divide a un ángulo interior de un triángulo en dos ángulos congruentes, Las tres bisectrices de un triángulo concurren en un punto llamado incentro, el cual es el centro de la circunferencia inscrita y equidista de los tres lados del triángulo. Figura 9.

7 Geometría Básica 55 Altura: Es la recta perpendicular trazada desde un vértice del triángulo hasta su lado opuesto o a su prolongación. Las tres alturas de un triángulo tienen un punto de concurrencia que puede ser interno o externo al triángulo, llamado ortocentro. Figura 10. Comentario: La altura debe considerarse como rectas ya que la concurrencia sólo se da entre rectas y no entre segmentos. Este comentario es válido para la mediana, bisectriz y mediatriz de un triángulo. Mediana: Es la recta trazada desde un vértice del triángulo hasta el punto medio del lado opuesto. El punto de intersección de las tres medianas de un triángulo se llama baricentro o centroide del triángulo. Este punto es el centro de gravedad del triángulo y está en cada mediana a dos tercios del camino del vértice. Figura 11. Mediatriz: Es la recta perpendicular trazada desde el punto medio de cualquier lado del triángulo. Las tres mediatrices de un triángulo concurren en un punto llamado circuncentro. El circuncentro equidista de los vértices del triángulo. Figura 12.

8 56 Alfonso Sánchez PROPIEDADES DE LOS TRIÁNGULOS 1. Dos ángulos de cualquier triángulo no son congruentes cuando sus lados opuestos no son congruentes. 2. En todo triángulo, a mayor ángulo se opone mayor lado, y viceversa.. 3. La suma de las longitudes de dos lados cualesquiera de un triángulo es mayor que la longitud del tercer lado. 4. En todo triángulo, la suma de todos sus ángulos interiores es La medida de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de sus dos ángulos interiores no contiguos (no adyacentes). 6. En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos. (Teorema de Pitágoras). 7. Todo ángulo exterior de un triángulo, es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes. 8. La suma de los ángulos exteriores de un triángulo es 360 o. 9. En todo triángulo isósceles, a lados iguales se oponen ángulos iguales, y viceversa. 10. En todo triángulo, un lado es menor que la suma de los otros dos lados pero, mayor que su diferencia. 11. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos ángulos rectos. 12. En un triángulo no puede haber más de un ángulo recto u obtuso. TRIÁNGULOS CONGRUENTES La palabra congruente se deriva de la palabra latina con, que significa con y gruere, que significa concordar, convenir. Las figuras congruentes pueden hacerse coincidir, parte por parte, las partes coincidentes se llaman correspondientes. El símbolo para denotar congruencia es =. Este es la combinación de dos símbolos: =, que significa tener el mismo tamaño, y, que significa tener la misma forma. En términos generales se dice que dos figuras geométricas son congruentes cuando tienen exactamente el mismo tamaño y la misma forma. En particular dos triángulos son congruentes si existe una correspondencia entre sus vértices tal que cada par de ángulos y lados correspondientes también sean congruentes. Si los triángulos son ABC y DEF la correspondencia fuera ABC DEF, entonces se puede afirmar que ABC = DEF (con los vértices en el mismo orden en el cual aparecen en la correspondencia). (Ver figura 13). Figura 13.

9 Geometría Básica 57 Obsérvese que ABC = DEF, nos dice que: 1. ABC DEF es la correspondencia que garantiza la congruencia, 2. A = D, B = E y C = F, y 3. AB = DE, AC = DF, BC = EF, Por tanto, partes correspondientes de triángulos congruentes son congruentes. Una manera de explicar lo antes indicado, es decir que cualquiera de los dos triángulos puede colocarse uno sobre el otro, de tal manera que coincidan entre sí exactamente. Recuerda que dos ángulos son congruentes si tienen la misma medida. Dos segmentos son congruentes si tienen la misma longitud. POSTULADOS DE CONGRUENCIAS PARA TRIÁNGULOS Vamos a partir de que todo triángulo tiene tres vértices y tres ángulos. Si los tres pares de lados y los tres pares de ángulos de un triángulo son congruentes, respectivamente con otro triángulo, entonces, ambos triángulos son congruentes. También se puede probar que dos triángulos son congruentes si se sabe que son congruentes unas cuantos pares de partes correspondientes. Generalmente, se utilizan pequeños guiones semejantes para seleccionar y asociar las parejas congruentes de lados y ángulos congruentes. Congruencia (L A L): Lado- Ángulo- Lado Si dos lados y el ángulo comprendido de un triángulo son respectivamente congruentes con dos lados y el ángulo comprendido de otro triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes. (Toda correspondencia LAL es una congruencia). Por ejemplo, en la figura 14, los dos triángulos son congruentes porque los lados ab, BC y su ángulo comprendido B son congruentes con los lados correspondientes DE, EF y su ángulo comprendido E, respectivamente. Figura 14. Congruencia (A L A): Ángulo- Lado - Ángulo Si dos ángulos y el lado comprendido de un triángulo son respectivamente congruentes con dos ángulos y el lado comprendido de otro triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes. (Toda

10 58 Alfonso Sánchez correspondencia ALA es una congruencia). Por ejemplo, en la figura 15, ambos triángulos son congruentes. Por qué? Congruencia (L L L): Lado - Lado - Lado Figura 15. Si los tres lados de un triángulo son respectivamente congruentes con los tres lados del otro triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes. (Toda correspondencia LLL es una congruencia). Por ejemplo, en la figura 16, ambos triángulos son congruentes. Por qué? Figura 16. PROPORCIONALIDAD TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA PROPORCIONALIDAD La proporción se define como una igualdad entre dos razones, es decir las razones: a b y c d, se dicen que son proporcionales si: a/b = c/d Por ejemplo, tomemos las figuras siguientes. Sus lados AB, BC AC, DE, EF y DF, son proporcionales porque: AB = AC DE EF Figura 17. Comencemos con algunos triángulos y sus respectivas medidas. En cada triángulo se trazó un segmento paralelo a un lado del triángulo (Ver figura 18). Utiliza la regla, toma las medidas de los segmentos originados por la recta paralela y verifica qué sucede. Puedes establecer alguna relación entre los segmentos originados por la recta paralela a uno de los lados del triángulo?

11 Geometría Básica 59 De lo anterior se desprende el siguiente teorema: Figura 18. Si una recta paralela a un lado de un triángulo interseca a los otros dos lados, entonces divide a éstos proporcionalmente. Tomando el primer triángulo como referente, podemos también enunciarlo así: En el triángulo ABC, sean M y N puntos de los lados AB y AC tales que MN y BC son rectas paralelos. Entonces, AB AM = AC AN Muéstrese con un ejemplo que el recíproco del teorema anterior también se cumple. Es decir: Si una recta interseca a dos lados de un triángulo y los divide proporcionalmente, entonces la recta es paralela al tercer lado. TEOREMA DE THALES Thales de Mileto (600 a. C.), de origen griego, es considerado uno de los siete sabios y el padre de las matemáticas griegas pues se le atribuye las primeras demostraciones de teoremas geométricos utilizando el razonamiento lógico. Enunció y demostró el siguiente teorema: Los segmentos trazados por rectas paralelas en dos rectas secantes, son proporcionales. Figura 19. Como L y M son rectas secantes y N, O, P y Q son rectas paralelas, se cumple que: AC / BD = CE/DF = EG/F H y así los segmentos:ac, CE, ED y BD, BF, F H son proporcionales, respectivamente.. En geometría, la semejanza de figuras tiene que ver con aquellas que tienen exactamente la misma forma y no necesariamente el mismo tamaño, en particular la semejanza entre dos triángulos debe cumplir que: tanto los lados correspondientes sean proporcionales como los ángulos correspondientes sean congruentes. Dos circunferencias cualesquiera son semejantes, dos segmentos cualesquiera son semejantes, dos triángulos equiláteros cualesquiera son semejantes. Otra manera de expresar la semejanza, es poder

12 60 Alfonso Sánchez afirmar que dos figuras son semejantes, sí una de ellas es un modelo a escala de la otra. La definición de semejanza exige el cumplimiento de dos condiciones: a) los ángulos correspondientes deben ser congruentes, y b) los lados correspondientes deben ser proporcionales. Para el caso de los triángulos, si se cumple una de las dos condiciones, también se cumple la otra. Es decir, si los ángulos correspondientes son congruentes, entonces los lados correspondientes son proporcionales, y recíprocamente. TEOREMAS FUNDAMENTALES DE LA SEMEJANZA Estos teoremas hacen referencia a como se prueba que dos triángulos son semejantes. No vamos a demostrar tales teoremas sino se van a considerar como propiedades entre triángulos. Teorema de la semejanza: Ángulo- Ángulo- Ángulo (AAA). Dada una correspondencia entre dos triángulos. Sí los ángulos correspondientes son congruentes, entonces la correspondencia es una semejanza. Otro modo de expresar dicha semejanza: Dada una correspondencia ABC DEF entre dos triángulos. Sí A = D, B = E, C = F, entonces ABC DEF. Teorema de la semejanza: Lado- Ángulo- Lado (L A L) Dada una correspondencia entre dos triángulos. Sí dos pares de lados correspondientes son proporcionales y los ángulos correspondientes son congruentes, entonces la correspondencia es una semejanza. Otra manera: Dados los triángulos ABC y DEF, y la correspondencia ABC DEF. Sí AB = AC DE DF = BC, entonces ABC DEF. EF ACTIVIDAD ESPECIAL (justifique su respuesta) 1. Dibuja un triángulo rectángulo cualquiera. Trázale la altura correspondiente a la hipotenusa. Son los tres triángulos dibujados semejantes?, Por qué?. 2. Entre las medianas, mediatrices, bisectrices y lados de un triángulo, cuáles no pueden ser segmentos? 3. Es suficiente que exista congruencia sólo en dos ángulos correspondientes de dos triángulos dados? 4. Dibuja un triángulo cualquiera y traza una paralela a uno de sus lados Determina esta paralela un triángulo semejante al triángulo dibujado? 5. Dibuja un triángulo rectángulo - isósceles (isorectángulo). Busca cuál es la relación entre la hipotenusa y un cateto. 6. Si al dibujar un triángulo que tiene medidas de ángulos 30 o - 60 o - 90 o, Qué relación se establece entre el lado más largo y la hipotenusa? 7. Si dos triángulos son congruentes pueden ser semejantes. Por qué?. 8. Si dos triángulos son iguales pueden ser congruentes. Por qué?.

13 Geometría Básica Si dos triángulos son iguales pueden ser semejantes. Por qué?. Reciproco?. 10. Se puede afirmar que dos triángulos son iguales si y sólo si sus vértices coinciden. 11. Probar que la suma de las medidas de los seis ángulos exteriores de todo triángulo es 720 o. 12. Las medida de los lados de un triángulo ABC son: a, b y c. Determinar tales medidas sabiendo que el perímetro es 24 y c = 2a 14 y b = c Comprobar que dos triángulos pueden tener sus ángulos respectivamente congruentes y no ser congruentes. 14. Construir un triángulo dada las medidas de los tres lados CUADRILÁTEROS Un cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro lados. Veamos algunos de ellos: Figura 20. Es la unión de cuatro segmentos determinados por cuatro puntos, entre los cuales no hay tres que sean colineales. Estos segmentos se intersecan sólo en sus extremos. Los cuatro segmentos se llaman lados y los puntos vértices. Tiene cuatro ángulos. (Ver figura 20). La suma de los cuatro (4) ángulos interiores de un cuadrilátero vale 360 o. Desde un vértice de un cuadrilátero se puede trazar una diagonal. El número máximo de diagonales que se puede trazar en un cuadrilátero son dos (2). Cuadrilátero convexo: si dos cualesquiera de sus vértices no están en lados opuestos de una recta que contiene a un lado del mismo cuadrilátero. En un cuadrilátero se observan los siguientes: (Ver figura 21) 1. Dos lados son opuestos si no se intersecan o no tienen un vértice en común, segmentos AB y CD. 2. Dos ángulos son opuestos si no tienen en común un lado: A y C. 3. Lados consecutivos o adyacentes son aquellos que tienen un vértice común: AB y BC. 4. Ángulos consecutivos o adyacentes tienen un lado en común: A y B. 5. Los cuadriláteros tienen cuatro vértices y dos diagonales. Estas últimas son segmentos determinados por dos vértices no consecutivos AC y BD. Figura 21.

14 62 Alfonso Sánchez CLASIFICACIÓN DE LOS CUADRILÁTEROS Paralelogramo: Cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos. Propiedades de los Cuadriláteros 1. Los lados opuestos y los ángulos opuestos de un paralelogramo son congruentes. 2. Cada diagonal descompone a un paralelogramo en dos triángulos congruentes. 3. En un paralelogramo, dos ángulos consecutivos cualesquiera son suplementarios. 4. Las diagonales de un paralelogramo se bisecan. 5. Si las diagonales de un cuadrilátero se bisecan, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo. Trapecio: Cuadrilátero de dos lados paralelos. Estos dos lados se llaman bases del trapecio y el lado de mayor longitud se llama base mayor y el otro base menor. Si ambos pares de lados opuestos son paralelos, entonces es un paralelogramo. Clasificación de los trapecios Figura Trapecio isósceles o simétrico: El trapecio tiene los lados no paralelos congruentes. Figura 23. Propiedad: los ángulos de la base y las diagonales son congruentes. 2. Trapecio escaleno: No son congruentes los lados no paralelos. Figura 24.

15 Geometría Básica Trapecio rectángulo: Es el que tiene dos ángulos rectos. Propiedad de los trapecios Figura 25. La recta que une los puntos medios de los lados no paralelos de un trapecio es paralela a las bases e igual a la semisuma de las mismas. Trapezoide: Es aquel cuadrilátero que no tiene ningún par de lados paralelos. Figura 26. Cometa: Se llama así al trapezoide que tiene dos lados consecutivos congruentes y los otros dos lados distintos de los anteriores, pero también congruentes entre sí. El cuadrilátero ABCD de la figura 27 es una cometa, por no tener lados paralelos y ser:ab = BC y AD = CD. La diagonal de la cometa que une los vértices a que concurren los pares de lados congruentes se llama diagonal principal. En la cometa considerada, BD es la diagonal principal. Propiedad de la Cometa Figura 27. La diagonal principal de la cometa es bisectriz de los ángulos cuyos vértices une, y corta perpendicularmente a la otra diagonal en el punto medio.

16 64 Alfonso Sánchez Rectángulo: Cuadrilátero que tiene los cuatro ángulos rectos. Se puede decir que los paralelogramos contienen a los rectángulos. Figura 28. Propiedad del Rectángulo Un paralelogramo es un rectángulo si, y sólo si, sus diagonales son congruentes. Rombo: Paralelogramo con cuatro lados congruentes. Propiedades del Rombo Figura Un paralelogramo es un rombo si, y sólo si, sus diagonales son perpendiculares entre sí. 2. Un paralelogramo es un rombo si, y sólo si, cada diagonal biseca a un par de ángulos opuestos. Cuadrado: Es un rectángulo con cuatro lados congruentes. Es decir paralelogramo que tiene sus cuatros ángulos y sus cuatro lados congruentes. Se puede afirmar que el cuadrado es rectángulo y rombo a la vez. (Por qué)?. Propiedades del Cuadrado Figura Como es un paralelogramo, cumple con las propiedades de los paralelogramos en general: sus diagonales se cortan en partes congruentes. 2. Por ser el cuadrado un caso particular del rectángulo, tiene las propiedades especiales de este último, sus diagonales son congruentes.

17 Geometría Básica Por ser el cuadrado un caso particular del rombo tiene sus propiedades especiales: sus diagonales son perpendiculares y bisectrices de los ángulos cuyos vértices unen. ACTIVIDAD ESPECIAL (Justifique su respuesta) 1. Cuántos triángulos hay en la siguiente figura? (Usa una notación adecuada). 2. Un triángulo es un conjunto convexo?, Por qué? 3. El interior de un triángulo es un conjunto convexo?, Por qué? 4. Dado el ABC, son AC y AB los lados del A? 5. Traza y recorta dos triángulos como DEF. Colócalos juntos para formar tantos cuadriláteros como sea posible. 6. Podrá un punto estar en el exterior de un triángulo y también en el interior de un ángulo? 7. Marca tres puntos A, B, C y con ellos traza los ángulos BAC, ABC y ACB. Responde lo siguiente: Es la figura resultante tres rectas o tres segmentos? Es un triángulo?, Por qué? 8. Cómo podrían unirse seis palillos de manera que se formen cuatro triángulos? 9. Todo triángulo obtusángulo es rectángulo? Puede un triángulo rectángulo ser isósceles? Por qué? 10. Se podrá construir un triángulo que sea simultáneamente equilátero y rectángulo?, Por qué? 11. Cuántas alturas tiene un triángulo? 12. Son concurrentes las tres alturas de un triángulo? 13. Demuestra que el perímetro de un triángulo es mayor que la suma de las tres alturas.

18 66 Alfonso Sánchez 14. Traza un triángulo cualquiera. Construye las tres medianas del triángulo anterior. Mide la distancia desde el punto de concurrencia a cada vértice. Qué concluyes?. Qué relación puedes establecer? Se cumplirá para este triángulo solamente o para cualquier triángulo? Prueba con otros triángulos y trata de conseguir una demostración para todo triángulo. 15. Si tienes tres puntos cualesquiera del plano, Cómo se puede construir una circunferencia que pase por estos tres puntos dados? Justifica tú respuesta. 16. Traza un triángulo cualquiera. Construye las tres bisectrices del triángulo anterior. Mide la distancia desde el punto de concurrencia a cada vértice. Qué concluyes? Qué relación puedes establecer? Se cumplirá para este triángulo solamente o para cualquier triángulo? Prueba con otros triángulos y trata de conseguir una demostración para todo triángulo.espuesta. 17. Calcular el perímetro de un cuadrado sabiendo que su diagonal mide un metro. 18. Probar que en todo paralelogramo los ángulos opuestos son congruentes. 19. Sea M el punto medio del lado AB de un cuadrado ABCD. Probar que MCD es un isósceles. 20. Probar que si un cuadrilátero tiene sus lados opuestos congruentes, es un paralelogramo.