Convergencia absoluta y series alternadas

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1 Tema 11 Covergecia absoluta y series alteradas Ua vez que dispoemos de diversos criterios de covergecia para series de térmios o egativos, abordamos el estudio de la covergecia de series de úmeros reales cualesquiera. Itroducimos para ello la oció de covergecia absoluta y, usado el teorema de complitud de R, probamos que toda serie absolutamete covergete es covergete. El recíproco o es cierto y para probarlo estudiamos las series alteradas, así llamadas porque el sigo de sus térmios va alterado. Presetamos u criterio de covergecia muy útil para el estudio de este tipo de series, el criterio de Leibiz, que permite mostrar abudates ejemplos de series covergetes que o so absolutamete covergetes. Fialmete abordamos la preguta de si la covergecia de ua serie se coserva al permutar sus térmios, lo que os lleva a la oció de covergecia icodicioal, que resulta ser equivalete a la covergecia absoluta Covergecia absoluta Nos plateamos ya el problema geeral de estudiar la covergecia de cualquier serie x de úmeros reales. Si el cojuto { N : x < 0} es fiito, cosiderado la serie x m para coveiete m N, podemos aplicar los criterios de covergecia para series de térmios o egativos que ya coocemos. Por otra parte, si es fiito el cojuto { N : x > 0}, la observació aterior se aplica a la serie ( x ) cuya covergecia equivale como sabemos a la de x. Por tato, os iteresa ahora el caso e que ambos cojutos mecioados so ifiitos, dicho de maera ituitiva, queremos estudiar las series co ifiitos térmios positivos e ifiitos térmios egativos. La estrategia iicial será cosiderar la serie de valores absolutos x, que es siempre ua serie de térmios o egativos. Se dice que ua serie se úmeros reales x es absolutamete covergete cuado la serie x es covergete. 86

2 11. Covergecia absoluta y series alteradas 87 Por ejemplo, puesto que para x R se tiee x = x, la serie geométrica de razó x 0 0 coverge absolutamete si, y sólo si, x < 1. Así pues, para las series geométricas, covergecia y covergecia absoluta so ocioes equivaletes. E geeral, como la omeclatura sugiere, la covergecia absoluta de ua serie implica su covergecia. Este hecho es ua cosecuecia directa del teorema de complitud de R: Teorema. Toda serie absolutamete covergete es covergete. Más cocretamete, dada ua sucesió {x } de úmeros reales, si la serie x es covergete, etoces x tambié es covergete y se verifica que x x (1) Demostració. Cosideremos las sumas parciales de ambas series: S = x k y σ = x k N Sea p,q N y supogamos de mometo que q < p. Teemos claramete p p S p S q = x k x k = σ p σ q = σ p σ q k=q+1 k=q+1 La desigualdad así obteida es obvia cuado p = q y o se altera al itercambiar p y q, luego es válida para cualesquiera p, q N. Por hipótesis, {σ } es covergete, luego es ua sucesió de Cauchy: para cada ε > 0, existe m N tal que, para p,q m se tiee σ p σ q < ε. La desigualdad recié probada os dice que para p,q m tedremos S p S q < ε, luego {S } tambié es ua sucesió de Cauchy. El teorema de complitud de R os asegura que {S } es covergete, como queríamos. Para obteer la desigualdad (1), pogamos S = { S } S, pero es claro que S σ para todo N, luego x = S = lím S lím σ = x = lím S. Sabemos etoces que x Obsérvese que, ua vez más, la suma de ua serie se comporta como si se tratase de ua suma fiita. Segú (1), el valor absoluto de la suma de ua serie absolutamete covergete es meor o igual que la suma de la serie de los valores absolutos de sus térmios. El recíproco del teorema aterior o es cierto, eseguida veremos abudates ejemplos de series covergetes que o coverge absolutamete.

3 11. Covergecia absoluta y series alteradas Series alteradas Volviedo e cierto modo a los cometarios hechos al pricipio, si queremos que ua serie x coverja si hacerlo absolutamete, los cojutos { N : x < 0} y { N : x > 0} habrá de ser ifiitos, pues e otro caso, o bie existe m N tal que x = x para m, o bie existe m N tal que x = x para m. E ambos casos, la covergecia de la serie x equivale a la de x. Es lógico, por tato, pesar e series cuyos térmios e lugares pares sea positivos y los de lugar impar egativos, o viceversa. Ua serie alterada es ua serie de la forma a, o bie de la forma +1 a, dode a 0 para todo N. Por ejemplo, la serie +1 recibe el ombre de serie armóica alterada y está claro que esta serie o coverge absolutamete. Si embargo, es covergete, como se deduce claramete del siguiete criterio de covergecia para series alteradas. Criterio de Leibiz. Si {a } es ua sucesió decreciete y {a } 0, etoces la serie a es covergete. Demostració. Debemos comprobar que la sucesió {S } = { k } a k es covergete. Usado que {a } es decreciete y que a 0 para todo N, coseguimos la siguiete cadea de desigualdades, válidas para todo N: S 2 1 S a 2 a 2+1 = S 2+1 S a 2+2 = S 2+2 = S 2 a a 2+2 S 2 Destacado lo que os iteresa, hemos visto que S 2 1 S 2+1 S 2+2 S 2 N Por tato, la sucesió {S 2 1 } es creciete y {S 2 } es decreciete. Pero, como cosecuecia tambié teemos S 1 S 2 1 S 2 S 2 N de modo que las sucesioes {S 2 1 } y {S 2 } está acotadas y, por tato, ambas coverge. Puesto que {S 2 } = {S a 2 } y {a 2 } 0, deducimos que lím{s 2 } = lím{s 2 1 }, luego {S } es covergete, como se quería. Así pues, la serie armóica alterada es covergete, pero o absolutamete covergete. Igual le ocurre, por ejemplo a la serie q, para cualquier q N.

4 11. Covergecia absoluta y series alteradas Covergecia icodicioal Completamos este tema discutiedo ua preguta que teemos plateada desde el pricipio del estudio de las series: es prudete dejaros llevar por la ituició e iterpretar la suma de ua serie covergete como la suma de todos los térmios de ua sucesió? Hemos visto e algú caso que la suma de ua serie tiee propiedades aálogas a las de ua suma fiita. Por ejemplo, hemos visto ciertas formas de distributividad y de asociatividad. Vamos a pregutaros ahora por la posible comutatividad, e u setido muy geeral, de la suma de ua serie. Si tal propiedad fuese cierta, al permutar de cualquier forma los sumados, la covergecia de la serie debería mateerse y la suma de la serie debería seguir siedo la misma. Vamos a cometar alguos resultados acerca de esta cuestió, auque si icluir todas las demostracioes. Empezamos plateado el problema co precisió. E geeral ua permutació de los elemetos de u cojuto es ua aplicació biyectiva del cojuto e sí mismo. Así pues, ua permutació de los úmeros aturales será ua aplicació biyectiva π : N N. Dada ua sucesió de úmeros reales {x }, usado ua permutació π de los úmeros aturales, podemos formar la sucesió {x π() } que ituitivamete se obtiee permutado los térmios de la sucesió {x }. Pues bie, si la serie x es covergete y la suma de series tuviese la comutatividad que pretedemos discutir, la serie reordeada debería ser covergete y teer la x π() misma suma que la serie de partida. E pricipio esto o está ada claro, ya que la relació etre las sumas parciales de ambas series o es secilla. Se dice que ua serie de úmeros reales x es icodicioalmete covergete cuado, para cualquier permutació π de los úmeros aturales, la serie x π() es covergete. Para resaltar la relació co la comutatividad de la suma, se dice alguas veces que estas series so comutativamete covergetes. Segú la motivació aterior, deberíamos tambié exigir que la serie reordeada tega la misma suma que la de partida, pero acabaremos viedo que esto ocurre automáticamete: cuado ua serie coverge icodicioalmete, la suma de la serie o depede de la reordeació que podamos cosiderar. Es claro que toda serie icodicioalmete covergete es covergete, pues basta tomar π() = para todo N. Para series de térmios o egativos, vamos a ver que el recíproco tambié es cierto, obteiedo abudates ejemplos de series icodicioalmete covergetes. Toda serie covergete de térmios o egativos es icodicioalmete covergete. De forma más cocreta, si a 0 para todo N y la serie es covergete, para cualquier permutació π de los úmeros aturales, se tiee que la serie covergete, verificádose además que a π() = a. a a π() es

5 11. Covergecia absoluta y series alteradas 90 Cosiderado las sumas parciales de ambas series, S = a k y T = a π(k) N aprovecharemos, como siempre que trabajamos co series de térmios o egativos, que las sucesioes {S } y {T } so crecietes. Por hipótesis {S } es covergete, sea S = probar que {T } tambié está mayorada y que S = sup{t : N}. a = lím S = sup{s : N}. Bastará Ahora bie, fijado N, el cojuto {π(k) : k } es fiito, luego tedrá máximo, sea p = máx{π(k) : k }. Usado que a k 0 para todo k N, teemos claramete T = p a π(k) a k = S p S La desigualdad así obteida es válida para todo N y demuestra ya que la sucesió {T } está mayorada, luego la serie a π() es covergete. Pero la misma desigualdad tambié os permite cocluir que sup{t : N} S, es decir, a π() a Para obteer la otra desigualdad basta observar la simetría de la situació: la serie de partida a tambié se obtiee reordeado la serie a π(). Más cocretamete, como sabemos ya que la serie de térmios o egativos lo demostrado para aturales, y obteemos b = a π() es covergete, podemos aplicarle a, pero usado π 1, que tambié es ua permutació de los úmeros a π() = b π b 1 () = π(π a 1 ()) = a Así pues, las cosas ha empezado bastate bie, las series covergetes de térmios o egativos verifica el tipo de comutatividad que estamos estudiado, de forma completamete satisfactoria. Pero podemos ahora obteer fácilmete u resultado aú mejor: Toda serie absolutamete covergete es icodicioalmete covergete. Para probarlo, sea {x } ua sucesió de úmeros reales tal que la serie x es covergete y sea π cualquier permutació de los úmeros aturales. El resultado aterior os dice que la serie x π() es covergete, es decir, la serie x π() es absolutamete covergete, luego covergete.

6 11. Covergecia absoluta y series alteradas 91 Comparado los dos resultados ateriores, vemos que el primero afirma algo que o aparece e el segudo: la suma de la serie o depede de la reordeació que cosideremos. Para teer la misma iformació e el segudo caso (más geeral) aprovechamos u secillo artificio que será útil e otros cotextos y que pasamos a explicar. A cada úmero real x asociamos dos úmeros o egativos, x + y x, como sigue: { x + = x + x x si x 0 = máx{x,0} = 2 0 si x < 0 { x = x x 0 si x 0 = mí{x,0} = 2 x si x < 0 Es evidete que, para todo x R, se tiee: x + 0; x 0; x + x = x; x + + x = x ; x + x = 0 Pasamos ya a obteer el resultado que habíamos previsto: Si la serie x es absolutamete covergete, para toda permutació π de los úmeros aturales, se tiee que x π() = Para probarlo, cosideremos las series x. x + y x. Como 0 x + x y 0 x x para todo N, el criterio de comparació os dice que ambas series de térmios o egativos so covergetes, luego so icodicioalmete covergetes y su suma o se altera al permutar sus térmios. Cocluimos etoces que x = = como queríamos demostrar. (x + x ) = x + x x + π() x π() = (x + π() x π() ) = x π() Para completar uestra discusió acerca de la posible comutatividad de las sumas de series, veremos que, recíprocamete a lo que ya sabemos, la covergecia icodicioal de ua serie implica su covergecia absoluta, co lo que ambos tipos de covergecia so equivaletes. Así pues, cuado ua serie coverge, pero o lo hace absolutamete, como le ocurría por ejemplo a la serie armóica alterada, su covergecia o es icodicioal, podemos reordearla para obteer ua serie que o coverge. Lo que es aú peor, icluso para las reordeacioes que de lugar a series covergetes, la suma de la serie puede variar, depediedo de la permutació de los úmeros aturales que usemos. Este resultado, que o vamos a demostrar, se debe al matemático alemá Berhard Riema ( ) y puede euciarse como sigue.

7 11. Covergecia absoluta y series alteradas 92 Teorema de Riema. Toda serie de úmeros reales icodicioalmete covergete es absolutamete covergete. Además, si ua serie x coverge pero o lo hace absolutamete, para cada x R se puede ecotrar ua permutació π de los úmeros aturales tal que x π() = x. Podría hacerse u estudio de la asociatividad para la suma de ua serie covergete, aálogo al que hemos hecho para la comutatividad, llegado a ua coclusió similar: cuado ua serie coverge absolutamete, se puede decir que la suma de la serie verifica tal asociatividad e u setido muy geeral, pero cuado la covergecia o es absoluta las cosas se complica. Como coclusió geérica, podemos decir que si la serie de térmio geeral {x } coverge absolutamete, está justificado pesar que la suma de la serie respode a la idea ituitiva de sumar todos los térmios de la sucesió {x }, de hecho se dice e este caso que la sucesió {x } es sumable. Ello se aplica e particular a las series covergetes de térmios o egativos. Si embargo, cuado la serie de térmio geeral {x } es covergete, pero o absolutamete covergete, esa idea ituitiva, auque siga siedo útil, debe maejarse co precaució Ejercicios de revisió 1. Sea x ua serie absolutamete covergete y {x σ() } ua sucesió parcial de {x }. Probar que la serie se puede asegurar que x σ() es covergete. Supoiedo sólo que x es covergete, x σ() tambié coverge? x 2. Dado x R, estudiar la covergecia de la serie x Estudiar la covergecia y la covergecia absoluta de las siguietes series: (a) (b) +1 ( ) 4. Supogamos que ua serie x coverge pero o lo hace absolutamete. Qué se puede afirmar sobre las series x + y x?