UNIDAD III UNIDAD IV

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1 UNIDAD III TEORIA DE PEQUEÑAS MUESTRAS Ditribución t de tudent. Intervalo de confianza para una media con varianza deconocida. Prueba de hipótei obre la media de una ditribución normal, varianza deconocida. Error tipo II. Ditribución Ji-cuadrada. Etimación de la varianza. Enayo de hipótei para la varianza de una ditribución normal. Error tipo II. Ditribución Fiher. Intervalo de confianza para el cociente de varianza de do ditribucione normale. Enayo de hipótei. Error tipo II. Intervalo de confianza para la diferencia de media de do ditribucione normale varianza deconocida. Intervalo de confianza para la diferencia de media de do ditribucione normale varianza deconocida pero iguale. Prueba obre do media, poblacione normale, varianza deconocida pero iguale. Intervalo de confianza para la diferencia de media de do ditribucione normale varianza deconocida diferente. Prueba obre do media, poblacione normale varianza deconocida diferente. Muetra pequeña dependiente o prueba pareada. Ejercicio propueto. UNIDAD IV PRUEBA CHI-CUADRADA Y ESTADISTICA NO PARAMETRICA Enayo de hipótei. Prueba chi-cuadrada para la bondad de ajute. Tabla de contingencia. Tabla de contingencia para probar homogeneidad. Etadítica no paramétrica. Prueba del igno. Prueba del igno para muetra pareada. Prueba del rango con igna de Wilcoxon. Do muetra con obervacione pareada. Aproximación normal para muetra grande. Ejercicio propueto.

2 Unidad III TEORIA DE PEQUEÑAS MUESTRAS O TEORIA EXACTA DEL MUESTREO En la unidade anteriore e manejó el uo de la ditribución z, la cual e podía utilizar iempre y cuando lo tamaño de la muetra fueran mayore o iguale a 30 ó en muetra má pequeña i la ditribución o la ditribucione de donde proviene la muetra o la muetra on normale. En eta unidad e podrán utilizar muetra pequeña iempre y cuando la ditribución de donde proviene la muetra tenga un comportamiento normal. Eta e una condición para utilizar la tre ditribucione que e manejarán en eta unidad; t de tudent, X ji-cuadrada y Fiher. A la teoría de pequeña muetra también e le llama teoría exacta del muetreo, ya que también la podemo utilizar con muetra aleatoria de tamaño grande. En eta unidad e verá un nuevo concepto neceario para poder utilizar a la tre ditribucione mencionada. Ete concepto e grado de libertad. Para definir grado de libertad e hará referencia a la varianza muetral: n ( x x) i n Eta fórmula etá baada en n- grado de libertad (degree of freedom). Eta terminología reulta del hecho de que i bien etá baada en n cantidade x x, x x,..., x n x, éta uman cero, aí que epecificar lo valore de cualquier n- de la cantidade determina el valor retante. Por ejemplo, i n4 y x x 8; x x 6 y x 4 x 4, entonce automáticamente tenemo x 3 x, aí que ólo tre de lo cuatro valore de x i x etán libremente determinamo 3 grado de libertad. Entonce, en eta unidad la fórmula de grado de libertad erá n- y u imbología ν nu. DISTRIBUCION t DE STUDENT Supóngae que e toma una muetra de una población normal con media µ y varianza σ. Si x e el promedio de la n obervacione que contiene la muetra x µ aleatoria, entonce la ditribución z e una ditribución normal etándar. σ n Supóngae que la varianza de la población σ e deconocida. Qué ucede con la ditribución de eta etadítica i e reemplaza σ por? La ditribución t proporciona la repueta a eta pregunta. i

3 La media y la varianza de la ditribución t on µ 0 y υ ( υ ) σ para ν>, repectivamente. La iguiente figura preenta la gráfica de varia ditribucione t. La apariencia general de la ditribución t e imilar a la de la ditribución normal etándar: amba on imétrica y unimodale, y el valor máximo de la ordenada e alcanza en la media µ 0. Sin embargo, la ditribución t tiene cola má amplia que la normal; eto e, la probabilidad de la cola e mayor que en la ditribución normal. A medida que el número de grado de libertad tiende a infinito, la forma límite de la ditribución t e la ditribución normal etándar. n Curva z n 0 n Propiedade de la ditribucione t. Cada curva t tiene forma de campana con centro en 0.. Cada curva t, etá má dipera que la curva normal etándar z. 3. A medida que ν aumenta, la diperión de la curva t correpondiente diminuye. 4. A medida que ν, la ecuencia de curva t e aproxima a la curva normal etándar, por lo que la curva z recibe a vece el nombre de curva t con gl La ditribución de la variable aleatoria t etá dada por: [( ν + ) / ] ( ν / ) πυ ( ν + ) Γ t h( t) +, < t <. Γ ν Eta e conoce como la ditribución t con ν grado de libertad. Sean X, X,..., X n variable aleatoria independiente que on toda normale x µ con media µ y deviación etándar σ. Entonce la variable aleatoria t n tiene una ditribución t con ν n- grado de libertad. 0 /

4 La ditribución de probabilidad de t e publicó por primera vez en 908 en un artículo de W. S. Goet. En ea época, Goet era empleado de una cervecería irlandea que deaprobaba la publicación de invetigacione de u empleado. Para evadir eta prohibición, publicó u trabajo en ecreto bajo el nombre de Student. En conecuencia, la ditribución t normalmente e llama ditribución t de Student, o implemente ditribución t. Para derivar la ecuación de eta ditribución, Goet upone que la muetra e eleccionan de una población normal. Aunque eto parecería una upoición muy retrictiva, e puede motrar que la poblacione no normale que poeen ditribucione en forma cai de campana aún proporcionan valore de t que e aproximan muy de cerca a la ditribución t. La ditribución t difiere de la de Z en que la varianza de t depende del tamaño de la muetra y iempre e mayor a uno. Unicamente cuando el tamaño de la muetra tiende a infinito la do ditribucione erán la mima. Se acotumbra repreentar con t α el valor t por arriba del cual e encuentra un área igual a α. Como la ditribución t e imétrica alrededor de una media de cero, tenemo t -α -t α ; e decir, el valor t que deja un área de -α a la derecha y por tanto un área de α a la izquierda, e igual al valor t negativo que deja un área de α en la cola derecha de la ditribución. Eto e, t t 0.05, t t 0.0, etc. Para encontrar lo valore de t e utilizará la tabla de valore crítico de la ditribución t del libro Probabilidad y Etadítica para Ingeniero de lo autore Walpole, Myer y Myer. Ejemplo: El valor t con ν 4 grado de libertad que deja un área de 0.05 a la izquierda, y por tanto un área de a la derecha, e t t α 0.05 t t Si e oberva la tabla, el área ombreada de la curva e de la cola derecha, e por eto que e tiene que hacer la reta de -α. La manera de encontrar el valor de t e bucar el valor de α en el primer renglón de la tabla y luego bucar lo grado de libertad en la primer columna y donde e intercepten α y ν e obtendrá el valor de t.

5 Ejemplo: Encuentre la probabilidad de t 0.05 < t < t α 0.05 α 0.05 Como t 0.05 deja un área de 0.05 a la derecha, y t 0.05 deja un área de 0.05 a la izquierda, encontramo un área total de P( t 0.05 < t < t 0.05 ) 0.95 Ejemplo: Encuentre k tal que P(k < t < -.76) 0.045, para una muetra aleatoria de tamaño 5 que e elecciona de una ditribución normal k t -.76 t Si e buca en la tabla el valor de t.76 con 4 grado de libertad no damo cuenta que a ete valor le correponde un área de 0.05 a la izquierda, por er negativo el valor. Entonce i e reta 0.05 y e tiene un valor de 0.005, que equivale a α. Luego e buca el valor de en el primer renglón con 4 grado de libertad y e obtiene un valor de t.977, pero como el valor de α etá en el extremo izquierdo de la curva entonce la repueta e t por lo tanto: P(-.977 < t < -.76) Ejemplo: Un ingeniero químico afirma que el rendimiento medio de la población de cierto proceo en lote e 500 gramo por milímetro de materia prima. Para verificar eta afirmación toma una muetra de 5 lote cada me. Si el valor de t calculado cae entre t 0.05 y t 0.05, queda atifecho con u afirmación. Qué concluión extraería de una muetra que tiene una media de 58 gramo por milímetro y una deviación etándar de 40 gramo? Suponga que la ditribución de rendimiento e aproximadamente normal.

6 De la tabla encontramo que t 0.05 para 4 grado de libertad e de.7. Por tanto, el fabricante queda atifecho con eta afirmación i una muetra de 5 lote rinde un valor t entre.7 y.7. Se procede a calcular el valor de t: x µ t.5 40 n 5 Ete e un valor muy por arriba de.7. Si e deea obtener la probabilidad de obtener un valor de t con 4 grado de libertad igual o mayor a.5 e buca en la tabla y e aproximadamente de 0.0. De aquí que e probable que el fabricante concluya que el proceo produce un mejor producto del que piena. INTERVALO DE CONFIANZA PARA m; CON DESCONOCIDA Si x y on la media y la deviación etándar de una muetra aleatoria de una población normal con varianza σ, deconocida, un intervalo de confianza de (-α)00% para µ e: x tα / < µ < x + tα / n n donde t α/ e el valor t con ν n- grado de libertad, que deja un área de α/ a la derecha. Se hace una ditinción entre lo cao de σ conocida y σ deconocida al calcular la etimacione del intervalo de confianza. Se debe enfatizar que para el primer cao e utiliza el teorema del límite central, mientra que para σ deconocida e hace uo de la ditribución muetral de la variable aleatoria t. Sin embargo, el uo de la ditribución t e baa en la premia de que el muetreo e realiza de una ditribución normal. En tanto que la ditribución tenga forma aproximada de campana, lo intervalo de confianza e pueden calcular cuando la varianza e deconoce mediante el uo de la ditribución t y e puede eperar bueno reultado. Con mucha frecuencia lo etadítico recomiendan que aun cuando la normalidad no e pueda uponer, con σ deconocida y n 30, puede reemplazar a σ y e puede utilizar el intervalo de confianza: ± z x ε / n Por lo general éte e denomina como un intervalo de confianza de muetra grande. La jutificación yace ólo en la preunción de que con una muetra grande como 30, etará muy cerca de la σ real y de eta manera el teorema del límite central igue valiendo. Se debe hacer énfai en que eto e olo una aproximación y que la calidad de ete enfoque mejora a medida que el tamaño de la muetra crece má.

7 Ejemplo:. El contenido de iete contenedore imilare de ácido ulfúrico on 9.8, 0., 0.4, 9.8, 0.0, 0., y 9.6 litro. Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la media de todo lo contenedore i e upone una ditribución aproximadamente normal. La media muetral y la deviación etándar para lo dato dado on: x 0 y 0.83 En la tabla e encuentra que t con 6 grado de libertad, de aquí, el intervalo de confianza de 95% para µ e: (.477) < µ < (.477) µ min 9.47 µ max 0.6 Con un nivel de confianza del 95% e abe que el promedio del contenido de lo contenedore etá entre 9.47 y 0.6 litro.. Un artículo publicado en el Journal of Teting and Evaluation preenta la iguiente 0 medicione del tiempo de combutión reidual en egundo de epecímene tratado de ropa de dormir para niño: Se deea encontrar un nivel de confianza del 95% para el tiempo de combutión reidual promedio. Supóngae que el tiempo de combutión reidual igue una ditribución normal. La media muetral y la deviación etándar para lo dato dado on: x y En la tabla e encuentra que t con 9 grado de libertad, de aquí, el intervalo de confianza de 95% para µ e: (.093) < µ < (.093) 0 0

8 0.95 µ min µ max Por lo tanto, e tiene una confianza del 95% de que el tiempo de combutión reidual promedio e encuentra entre y egundo. PRUEBA DE HIPOTESIS SOBRE LA MEDIA DE UNA DISTRIBUCION NORMAL, VARIANZA DESCONOCIDA Ciertamente opechamo que la prueba obre una media poblacional µ con σ deconocida, debe incluir el uo de la ditribución t de Student. La etructura de la prueba e idéntica a la del cao de σ conocida, con la excepción de que el valor σ en la etadítica de prueba e reemplaza por la etimación de calculada y la ditribución normal etándar e reemplaza con una ditribución t. Ejemplo:. El Intituto Eléctrico Edion publica cifra del número anual de Kilowatt-hora que gatan vario aparato eléctrodomético. Se afirma que una apiradora gata un promedio de 46 kilowatt-hora al año. Si una muetra aleatoria de hogare que e incluye en un etudio planeado indica que la apiradora gatan un promedio de 4 kilowatt-hora al año con una deviación etándar de.9 kilowatt-hora, eto ugiere con un nivel de ignificancia de 0.05 que la apiradora gatan, en promedio, meno de 46 kilowatt-hora anualmente? Suponga que la población de kilowatt-hora e normal.. Dato: µ 46 kilowatt-hora.9 kilowatt-hora x 4 kilowatt-hora n α Enayo de hipótei H o ; µ 46 kilowatt-hora H ; µ < 46 kilowatt-hora H rechazo α 0.05 H o 4. Regla de deciión: Si t R No e rechaza H o Si t R < Se rechaza H o aceptación t L µ Cálculo:

9 xr µ 4 46 t R.6.9 n 6. Jutificación y deciión: Como.6 > -.796, por lo tanto no e rechaza H o y e concluye con un nivel de ignificancia del 0.05 que el número promedio de kilowwatt-hora que gatan al año la apiradora no e ignificativamente menor que 46. Solución por el otro método: xl µ t l n (.796)(.9) H rechazo H o α 0.05 Regla de deciión: Si xr No e Rechaza H o Si x R < Se rechaza H o x µ 46 L aceptación Como la x R 4 y ete valor no e menor que por lo tanto no e rechaza H o. Se puede aprovechar ete ejemplo para calcular el valor de P, como el valor de t calculada e de.6, e buca en la tabla y e ve que el area a la izquierda de ete valor e de 0.35 con grado de libertad, por lo tanto no e rechaza H o., ya que ería un valor alto para un nivel de ignificancia. Valor P 0.35 t R -.6 t 0. Un artículo publicado en la revita Material Engineering decribe lo reultado de prueba de reitencia a la adheión de epecímene de aleación U-700. La carga para la que cada epecímen falla e la iguiente en MPa:

10 Sugieren lo dato que la carga promedio de falla e mayor que 0Mpa? Supóngae que la carga donde e preenta la falla tiene una ditribución normal, y utilicee α Calcule el valor de P.. Dato: µ x 3.7 n α Enayo de hipótei H o ; µ 0 H ; µ > 0 H H o rechazo α Regla de deciión: Si t R.7 no e rechaza H o. Si t R >.7 e rechaza H o. aceptación µ 0 t L.7 5. Cálculo: xr µ t R n 6. Jutificación y deciión. Como 4.90 >.7 e rechaza H o y e concluye con un nivel de ignificancia del 0.05 que la carga de falla promedio e mayor que 0Mpa. Exite otra manera de reolver ete ejercicio, tomando la deciión en bae al etadítico real, en ete cao la media de la muetra. De la fórmula de la ditribución muetral de media e depeja la media de la muetra:

11 t L xl µ tl (.7)(3.55) xl µ n n H H o rechazo α 0.05 aceptación µ 0 Regla de deciión: Si xr.30 No e rechaza H o Si x R >.30 Se rechaza H o x L.30 Como la media de la muetral e de 3.7 MPa y e mayor al valor de la media muetral límite de.30 por lo tanto e rechaza H o y e llega a la mima concluión. Para calcular el valor de P e va a la tabla y e buca en grado de libertad el valor de t Se obeva que el valor mayor de t que e encuentra en la tabla con grado de libertad e de 3.89 el cual le correponde un área a la derecha de , por lo que para el valor de 4.90 el valor de P e practicamente cero, y eto apoya la deciión de rechazar H o. 3. Lo peo en libra de una muetra aleatoria de bebé de ei mee on: 4.6,.5, 5.3, 6., 4.4,.9, 3.7 y 4.9. Haga una prueba con nivel de 5% de ignificancia para determinar i el peo promedio de todo lo bebé de ei mee e ditinto a 4 libra, uponga que u peo e ditribuyen normalmente y calcule el valor de P.. Dato: µ 4 libra. libra x 4.3 libra n 8 α 0.05 H H o H. Enayo de hipótei H o ; µ 4 libra H ; µ 4 libra rechazo α/ 0.05 Rechazo α/ Regla de Deciión: Si.365 t R.365 No e rechaza H o t L aceptación µ 4 t L.365

12 Si t R < ó i t R >.365 Se rechaza H o 4. Cálculo: t R xr µ n Jutificación y deciión: Como por lo tanto, no e rechaza H o y e concluye con un nivel de ignificancia del 0.05 que el peo promedio de todo lo bebé de ei mee e de 4 libra. Solución por el otro método: tl (.365)(.) xl µ ± 4 ±.98 y 5.0 n 8 H H o H rechazo α/ 0.05 Rechazo α/ 0.05 L.98 Regla de deciión: Si.98 xr 5.0 No e rechaza H o Si x R <.98 ó x R > 5.0 e rechaza H o aceptación x µ 4 x L 5.0 Como la x R 4.3 libra, entonce no e rechaza H o. Para calcular el valor de P e buca en la tabla el valor de 0.70 con 7 grado de libertad. Se obeva que ete valor no e encuentra pero e puede interpolar entre lo valore de y con área de 0.30 y 0.0 repectivamente. Interpolando linealmente e obtiene el valor de Valo r P t R t R 0.70 Error tipo II ó b

13 El error tipo II e calcula de la mima forma en la que e calculó con la ditribución z. Se realizarán alguno ejercicio en lo cuale e determinará la probabilidad de cometer el error tipo II, utilizando la tabla de la ditribución. Exiten curva caracterítica de operación en lo libro con diferente grado de libertad para determinar lo tamaño de muetra correpondiente egún el grado de error que e quiera, recordando que entre mayor ea el tamaño de muetra menor erá el error.. Se abe que lo voltaje de una marca de pila tamaño C e ditribuyen normalmente, e probó una muetra aleatoria de 5 y e encontró que la media e de.4 volt con una deviación etándar de 0. volt. En el nivel de ignificancia de 0.0: a) Indica eto que la media de lo voltaje e menor que.5 volt? b) Calcular la probabilidad de cometer el error tipo II i el voltaje promedio real de la pila e de.3 volt. 3. Dato: µ.5 volt. 0. volt x.4 volt. n 5 α Enayo de hipótei H o ; µ.5 volt H ; µ <.5 volt H rechazo α 0.0 H o 6. Regla de deciión: Si t R -.64 No e rechaza H o Si t R < -.64 Se rechaza H o aceptación t L -.64 µ.5 7. Cálculo: xr µ.4.5 t R n 5 8. Jutificación y deciión: Como.84 > -.64, por lo tanto no e rechaza H o y e concluye con un nivel de ignificancia del 0.0 que lo voltaje de la pila tamaño C no on menore a.5. Para calcular el error tipo II e tiene que obtener el valor de x l de la iguiente forma: tl (.64)(0.) xl µ n 5

14 H rechazo H o α 0.0 aceptación t x l.357 µ.5 b0.565 µ.3 Para encontrar el valor de β e buca en la tabla de la ditribución t el valor de.05 con 4 grado de libertad. Como ete valor no e encuentra en la tabla e interpola entre y.076 con un área de 0.0 y 0.5 repectivamente. Al interpolar e obtiene un área de 0.56 y eta e la probabilidad de cometer el error tipoii cuando la media verdadera e de.3 volt y un tamaño de muetra de 5.. Para el ejercicio del peo de lo bebé de 6 mee, calcular el error tipo II, i lo peo verdadero hubieran ido de y 4.5 libra. Primero e calculan lo valore de x l: tl (.365)(.) xl µ ± 4 ±.98 y 5.0 n 8 H o H H rechazo α/ 0.05 Rechazo α/ 0.05 aceptación µ 4 x L 5.0

15 x L.98 b t µ b µ t t En ete último cálculo para β e tendrá que analizar la área de lo do extremo, pue eta no etán dentro de la región de aceptación, por lo tanto no e deben de tomar en cuenta para el error tipo II. Se buca en la tabla el valor de 3.55 con 7 grado de libertad, y al interpolar no da un área de El área correpondiente a.9 con 7 grado de libertad e de Por lo que β-( ) Para el ejercicio en donde e dan lo reultado de prueba de reitencia a la adheión de epecímene de aleación U-700., encontrar la probabilidad de cometer el error tipo II i la carga promedio de falla e igual a. Primero e obtendrá el valor del etadítico límite: xl µ + t l n (.7)(3.55) H H o rechazo α 0.05 aceptación µ 0 x L.30

16 .30 t

17 DISTRIBUCION JI-CUADRADA (X ) En realidad la ditribución ji-cuadrada e la ditribución muetral de. O ea que i e extraen toda la muetra poible de una población normal y a cada muetra e le calcula u varianza, e obtendrá la ditribución muetral de varianza. Para etimar la varianza poblacional o la deviación etándar, e neceita conocer el etadítico X. Si e elige una muetra de tamaño n de una población normal con varianza σ, el etadítico: ( n ) σ tiene una ditribución muetral que e una ditribución ji-cuadrada con gln- grado de libertad y e denota X (X e la minúcula de la letra griega ji). El etadítico ji-cuadrada eta dado por: ( n ) X σ donde n e el tamaño de la muetra, la varianza muetral y σ la varianza de la población de donde e extrajo la muetra. El etadítico ji-cuadrada también e puede dar con la iguiente expreión: ( x x) X σ Propiedade de la ditribucione ji-cuadrada. Lo valore de X on mayore o iguale que 0.. La forma de una ditribución X depende del gln-. En conecuencia, hay un número infinito de ditribucione X. 3. El área bajo una curva ji-cuadrada y obre el eje horizontal e. 4. La ditribucione X no on imétrica. Tienen cola etrecha que e extienden a la derecha; eto e, etán egada a la derecha. 5. Cuando n>, la media de una ditribución X e n- y la varianza e (n-). 6. El valor modal de una ditribución X e da en el valor (n-3). La iguiente figura ilutra tre ditribucione X. Note que el valor modal aparece en el valor (n-3) (gl-). gl3 gl5 gl

18 La función de denidad de la ditribución X eta dada por: ν x f ( x) x e para x>0 ν Γ( ν ) La tabla que e utilizará para eto apunte e la del libro de probabilidad y etadítica de Walpole, la cual da valore crítico X α (gl) para veinte valore epeciale de α. Para denotar el valor crítico de una ditribución X con gl grado de libertad e ua el ímbolo X α (gl); ete valor crítico determina a u derecha un área de α bajo la curva X y obre el eje horizontal. Por ejemplo para encontrar X 0.05(6) en la tabla e localiza 6 gl en el lado izquierdo y α0.05 a o largo del lado uperior de la mima tabla. α 0.05 gl 6.59 α X Cálculo de Probabilidad El cálculo de probabilidad en una ditribución muetral de varianza no irve para aber como e va a comportar la varianza o deviación etándar en una muetra que proviene de una ditribución normal. Ejemplo: b) Suponga que lo tiempo requerido por un cierto autobú para alcanzar un de u detino en una ciudad grande forman una ditribución normal con una deviación etándar σ minuto. Si e elige al azar una muetra de 7 tiempo, encuentre la probabilidad de que la varianza muetral ea mayor que. Primero e encontrará el valor de ji-cuadrada correpondiente a como igue: ( n ) (7 )() X 3 σ ()

19 El valor de 3 e buca adentro de la tabla en el renglón de 6 grado de libertad y e encuentra que a ete valor le correponde un área a la derecha de 0.0. En conecuencia, el valor de la probabilidad e P( >) α0.0 0 X 3 b) Encuentre la probabilidad de que una muetra aleatoria de 5 obervacione, de una población normal con varianza σ 6, tenga una varianza muetral: a) Mayor que 9. b) Entre 3.46 y Solución. a) Primero e procederá a calcular el valor de la ji-cuadrada: ( n ) (5 )(9.) X 36.4 σ 6 Al bucar ete número en el renglón de 4 grado de libertad no da un área a la derecha de Por lo que la P( >9.) 0.05 b) Se calcularán do valore de ji-cuadrada: ( n ) (5 )(3.46) (5 )(0.745) X y X σ 6 6 Aquí e tienen que bucar lo do valore en el renglón de 4 grado de libertad. Al bucar el valor de e encuentra un área a la derecha de El valor de 4.98 da un área a la derecha de 0.0. Como e etá pidiendo la probabilidad entre do valore e reta el área de 0.95 meno 0.0 quedando Por lo tanto la P( ) 0.94 α0.95 α0.0 0 X X X 3.84 X 3

20 Etimación de la Varianza Para poder etimar la varianza de una población normal e utilizará la ditribución ji-cuadrada. ( n ) X σ Al depejar eta fórmula la varianza poblacional no queda: ( n ) σ X Lo valore de X dependerán de nivel de confianza que e quiera al cual le llamamo -α. Si no ubicamo en la gráfica e tiene: α/ -α α/ X -α/ X α/ Ejemplo:. Lo iguiente on lo peo, en decagramo, de 0 paquete de emilla de pato ditribuida por cierta compañía: 46.4, 46., 45.8, 47.0, 46., 45.9, 45.8, 46.9, 45. y 46. Encuentre un intervalo de confianza de 95% para la varianza de todo lo paquete de emilla de pato que ditribuye eta compañía, uponga una población normal. Primero e calcula la deviación etándar de la muetra: ( xi x) ( ) + ( ) (46 46.) n 0 al elevar ete reultado al cuadrado e obtiene la varianza de la muetra Para obtener un intervalo de confianza de 95% e elige un α Depue con el uo de la tabla con 9 grado de libertad e obtienen lo valore de X. α/ α α/0.05 X (0.975,9).7 X (0.05,9) 9.03

21 Se puede obervar en la gráfica anterior que el valor de X corre en forma normal, eto e de izquierda a derecha. Por lo tanto, el intervalo de confianza de 95% para la varianza e: (0 )(0.86) σ max (0 )(0.86) σ min Graficamente: α/ α α/0.05 X (0.975,9).7 X (0.05,9) 9.03 σ max σ min 0.35 Se oberva que la varianza corre en entido contrario, pero eto e ólo en la gráfica. La interpretación quedaría imilar a nuetro tema anteriore referente a etimación. Con un nivel de confianza del 95% e abe que la varianza de la población de lo peo de lo paquete de emilla de pato eta entre 0.35 y decagramo al cuadrado.. En trabajo de laboratorio e deea llevar a cabo comprobacione cuidadoa de la variabilidad de lo reultado que producen muetra etándar. En un etudio de la cantidad de calcio en el agua potable, el cual e efectúa como parte del control de calidad, e analizó ei vece la mima muetra en el laboratorio en intervalo aleatorio. Lo ei reultado en parte por millón fueron 9.54, 9.6, 9.3, 9.48, 9.70 y 9.6. Etimar la varianza de lo reultado de la población para ete etándar, uando un nivel de confianza del 90%. Al calcular la varianza de la muetra e obtiene un valor de Se buca en la tabla lo valore correpondiente con 5 grado de libertad, obteniéndoe do reultado. Para X (0.95,5).45 y para X (0.0,5).07. Entonce el intervalo de confianza eta dado por:

22 (6 )(0.085) (6 )(0.085) σ max 0.46 y σ min α/ α α/0.05 X (0.95,6).45 X (0.05,6).07 σ max 0.46 σ min Enayo de Hipótei para la Varianza de una Población Normal En la mayoría de lo cao e tiene el problema de deconocer la varianza o deviación etándar de la población, en donde la ditribucione on normale. Si e deea probar una hipótei acerca de la varianza e puede hacer utilizando la medida etadítica con la que e contruyó el intervalo de confianza σ, eto e con la ditribución Ji- cuadrada. Ejemplo:. Una compañía que produce una parte maquinada para un motor, afirma que tiene una varianza de diámetro no mayor a pulgada. Una muetra aleatoria de 0 de dicha parte dio una varianza de muetra Si e upone que la medida del diámetro e ditribuyen en forma normal, hay evidencia para refutar lo que afirma el proveedor? Ue α Como en todo lo enayo de hipótei que e han realizado anteriormente el procedimiento e el mimo. Depué de que e identifican lo dato, e plantea la hipótei para determinar el tipo de enayo. Dato: σ n α 0.05 Enayo de hipótei: H o ; σ H ; σ > H o rechazo H aceptación α0.05 X (0.05,9) 6.99

23 Regla de deciión: Si X R 6.99 no e rechaza H o. Si X R>6.99 e rechaza H o. Cálculo: ( n ) (0 )(0.0003) X R 3.5 σ Jutificación y deciión: Como 3.5 no e mayor que 6.99 por lo tanto no e rechaza H o y e concluye con un nivel de ignificancia de 0.05 que no e puede refutar la afirmación del proveedor. Ete ejercicio e puede aprovechar para calcular el valor de P. En la tabla e buca el valor de 3.5 en el renglón de 9 grado de libertad. Interpolando entre 0.0 y 0.0 e obtiene un valor de P de P α0.05 X R 3.5 X (0.05,9) El contenido de azúcar del almíbar de lo durazno enlatado tiene una ditribución normal, donde e cree que la varianza e σ 8 mg. Se toma una muetra de 0 lata dieron una deviación etándar de 4.8 mg. Muetran eto dato uficiente evidencia para decir que la varianza ha cambiado?. Ue un α 0.05 y calcule el valor de P. Dato: σ 8 n α 0.05 Enayo de hipótei: H o ; σ 8 H ; σ 8 H rechazo α/0.05 X (0.975,9).7 H o aceptación rechazo α/0.05 X (0.05,9) 9.03 H

24 Regla de deciión: Si.7 X R 9.03 no e rechaza H o. Si X R<.7 ó i X R>9.03 e rechaza H o. Cálculo: ( n ) (0 )(4.8) X R.5 σ 8 Jutificación y deciión: Como.5 etá entre.7 y 9.03, no e rechaza H o, y e concluye con un nivel de ignificancia de 0.05 que la varianza del contenido de azúcar del almíbar no ha cambiado, eto e e de 8 mg. Si recordamo al principio de ete tema e dijo que la media de la ditribución jicuadrada e (n-), por lo tanto la media de ete ejercicio e de 9. Como el valor real de X R.5 ete número e encuentra a la derecha de la media, lo cual quiere decir que el valor de P/ erá el área a la derecha del valor de X R. Al bucar el valor de.5 en la tabla e obtiene un área de 0.43, por lo tanto P/ 0.43 y P ()(0.43) P/ 0.43 α/0.05 α/0.05 X (0.975,9).7 X R.5 X (0.05,9) Experiencia anterior indica que el tiempo que e requiere para que lo etudiante de último año de preparatoria completen una prueba etandarizada e una variable aletoria normal con una deviación etándar de ei minuto. Se toma una muetra aleatoria de 0 etudiante de último año de preparatoria y e obtiene una deviación etándar de 4.5. Muetran eto dato uficiente evidencia para decir que la deviación etándar diminuyó?. Utilice el valor de P para u deciión. Dato: σ 6 n Enayo de hipótei:

25 H o ; σ 6 H ; σ < 6 Cálculo: ( n ) (0 )(4.5) X R σ ( 6) Para obtener el valor de P, e buca en la tabla el con 9 grado de libertad, y el área que e encuentra e la que etá a la derecha de ete valor. Como la media de eta ditribución ji-cuadrada e de 9, por lo tanto el valor de queda a la izquierda de la media. El valor de P e de 0.07, y con eto e puede concluir que i hubiéramo utilizado un nivel de ignificancia de 0.0, e rechaza H o y e concluye que la deviación etándar diminuyo, pero i e utiliza un valor de α 0.05, entonce no e rechaza H o y e concluiría que la deviación etándar no diminuyó. La deciión depende del error tipo I que eté dipueto a tolerar el invetigador. P0.07 Area que da la tabla X R Error tipo II ó b El error tipo II e calcula de la mima forma en la que e calculó con la ditribución z. Se realizarán alguno ejercicio en lo cuale e determinará la probabilidad de cometer el error tipo II, utilizando la tabla de la ditribución Jicuadrada.. Se tiene un enayo de hipótei unilateral derecho, con n0 y α 0.05 H o ; σ 0.0 H ; σ > 0.0 Se quiere calcular el error tipo II ó β i la deviacione etándar verdadera fueran de 0. y 0.4. Para poder calcular el error tipo II, primero e debe encontrar el valor de la varianza muetral límite, eto e L, para poder calcular lo valore de X y poteriormente calcular el área. Al bucar en la tabla X (0.05,9)30.44, ete valor e utituirá en la formula. Al depejar de la fórmula original de X e obtiene: L n X L σ ( ) ( 30.44)( 0.0) ( 0 ) 0.058

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