Aplicaciones de las integrales m ultiples a la Mec anica.

Transcripción

1 Cap ³tulo 3 Aplicaciones de las integrales m ultiples a la Mec anica. Introducci on. Los conceptos de integral doble y triple se aplican al estudio de propiedades f ³sicas de fuerzas distribuidas sobre super cies planas y sobre vol umenes, llamadas fuerzas m asicas, cuyo valor viene dado en cada punto por su intensidad (que se mide en unidades de fuerza por unidad de super cie o fuerza por unidad de volumen). Cuando la fuerza m asica se debe a la atracci on de la gravedad, la intensidad se escribe como ½g, donde ½ representa el peso espec ³ co del cuerpo y g la aceleraci on de la gravedad. En los problemas a que nos referimos, la intensidad de la fuerza var ³a siempre de forma continua en la regi on que se considera y por tanto, es posible aplicar, para su resoluci on, los conceptos estudiados en los dos temas anteriores. En particular, vamos a proporcionar f ormulas para el c alculo de masas, centros de masa y momentos de inercia de l aminas y s olidos, que se deducen de las correspondientes a sistemas de part ³culas, cuando se considera el cuerpo subdividido en elementos in nitesimales en los que la intensidad puede ser aproximada por una constante. Los conceptos f ³sicos que aparecen en este tema se suponen conocidos por el alumno y pueden encontrarse en cualquier libro elemental de mec anica est atica. esde un punto de vista matem atico, una referencia v alida es el libro de Taylor- Wade, C alculo diferencial e integral, Ed. Limusa. 40

2 3.1 Masa y centro de masa de un cuerpo. Masa de un cuerpo ² Sea un cuerpo tridimensional acotado ( es decir, un cuerpo continuo) de volumen nito. Sea ½(x; y; z) la densidad en cada punto de. La masa total del s olido viene dada por: ZZZ M = ½(x; y; z)dxdydz ² Si es un s olido cuyas secciones por planos paralelos a uno dado son id enticas ( en cuyo caso se denomina l amina) y la densidad es constante a lo largo de cualquier l ³nea perpendicular a las caras planas de la l amina, en ese caso se puede representar la densidad en cada punto como una funci on de dos variables y el c alculo de la masa total ser a el espesor de la l amina multiplicado por la \masa super cial"delamisma: Si una de las caras planas de la l amina es una regi onenelplanoxy,hesel espesor de la l amina y ½(x; y) esladensidadencadapuntodeestaregi on, ZZ M = h ½(x; y)dx dy Las dos f ormulas anteriores se obtienen considerando inclu ³do en un paralelep ³pedo I y subdividiendo este por medio de una partici on P de I,de forma que cada subparalelep ³pedodelapartici on se puede considerar un elemento de masa, cuya masa viene dada por la densidad en un punto del subparalelep ³pedo I ijk, multiplicada por el volumen de dicho paralelep ³pedo: ½(x i ;y j ;z k )¹(I ijk ). Los puntos (x i ;y j ;z k ) constituyen una elecci on en I respecto de P, y X ½(x i ;y j ;z k )¹(I ijk ) ijk es una aproximaci onalamasadels olido, por una parte, y por otra, es una suma deriemannparalafunci on ½. Cuando el tama~no de la partici on tienda a cero, la proposici on del tema 2 a rma que las sumas tienden a la integral triple y, por otra parte, estas sumas tienden a la masa de. Centro de masa. Siguiendo con la notaci on del apartado anterior, las coordenadas (x G ;y G ;z G )del centro de masa de un s olido vienen dadas por las ecuaciones: ² x G = x½(x;y;z)dx dy dz M 41

3 y½(x;y;z)dx dy dz y G = M z½(x;y;z)dx dy dz z G = M ² Si es una l amina: 8 >< >: x G = y G = x½(x;y)dx dy ½(x;y)dx dy y½(x;y)dx dy ½(x;y)dx dy Centro geom etrico de la gura. Las coordenadas (¹x; ¹y; ¹z) del centro geom etrico de un s olido se obtienen a partir del centro de masas, al considerar que la densidad es constante en cada punto. En ese caso,lamasaesladensidadmultiplicadapor el volumen del cuerpo y simpli cando se obtiene: xdx dy dz ydx dy dz zdx dy dz ² ¹x = ¹y = ¹z = ¹( ) ¹( ) ¹( ) xdx dy ydx dy ² Si es una l amina: ¹x = ¹y = ¹() ¹() Propiedades de los centros de masa y geom etricos. 1. El centro de masas y el centro geom etrico s olo dependen del cuerpo y no del sistema de referencia considerado. 2. Si el cuerpo posee un eje de simetr ³a, el centro geom etrico se encontrar a en el y si tiene dos ejes de simetr ³a, se encontrar a en la intersecci on de ambos. 3.2 Momentos de inercia e nici on.- El momento de inercia de una gura respecto de un punto un plano o un eje se de ne como la integral correspondiente ( triple o doble ) de la densidad en cada punto de la gura multiplicada por el cuadrado de la distancia de dicho punto al punto, plano o eje. Momento de inercia respecto de los planos coordenados. ² I yz = x2 ½(x; y; z)dx dy dz I zx = y2 ½(x; y; z)dx dy dz I xy = z2 ½(x; y; z)dx dy dz 42

4 ² Si es una l amina: 8 I yz = x2 ½(x; y)dx dy >< I zx = y2 ½(x; y)dx dy >: I xy =0 Momento de inercia respecto de los ejes coordenados. ² I x = (y2 + z 2 )½(x; y; z)dx dy dz I y = (x2 + z 2 )½(x; y; z)dx dy dz I z = (x2 + y 2 )½(x; y; z)dx dy dz ² Si es una l amina: 8 I x = y2 ½(x; y)dx dy >< I y = x2 ½(x; y)dx dy >: I z = (x2 + y 2 )½(x; y)dx dy Momento de inercia respecto del origen. ² I 0 = (x2 + y 2 + z 2 )½(x; y; z)dx dy dz ² Si es una l amina: I 0 = (x2 + y 2 )½(x; y)dx dy Propiedades de los momentos de inercia. 1. El momento de inercia respecto de un eje es la suma de los momentos de inercia respecto a dos planos perpendiculares entre s ³, que lo contienen. En particular, el momento de inercia respecto de un eje coordenadoeslasumadelosmomentos de inercia respecto a los planos coordenados que pasan por el. 2. El momento de inercia respecto de un punto es la suma de los momentos de inercia respecto de tres planos perpendiculares que lo contienen. 33 Observaci on: Todas las propiedades del tema se obtienen de forma directa a partir de la de nici on. 43

5 3.3 Ejercicios 1. Calcular, en forma breve, ZZZ (x + y) dx dy dz extendida al interior de la esfera (x a) 2 +(y a) 2 +(z a) 2 = a 2 (Sol:8¼a 4 =3) 2. Calcular la masa de un s olido limitado por dos semiesferas conc entricas de radios r y R (0 <r<r), si la densidad en cada punto es el cuadrado de la distancia del punto al centro. 3. CalcularelmomentodeinerciadeunaesferamacizaderadioRrespectoauno de sus di ametros si la densidad es constante. (Sol:8¼k R5 ) emostrar que el momento de inercia de un tri angulo de base a, respecto de esa base, depende s olo de la altura del mismo. (Supondremos la densidad constante). 5. emostrar que si Q es una regi on plana situada entre las gr a cas de dos funciones continuas f y g en el intervalo [a; b], siendo 0 g f, y si consideramos el s olido de revoluci on S, engendrado al girar Q alrededor del eje OX, entonceselvolumen de S esigualal area de Q multiplicada por la longitud de la circunferencia que describe el centro geom etrico de la regi on Q. ( icho resultado es conocido como Teorema de Pappus ) 6. (Teorema de los ejes paralelos de Steiner) emostrar que el momento de inercia deuna guraplanarespectoaunejeesigualamd 2 +I C, donde M es la masa, d es la distancia entre el eje y el centro de gravedad de la gura, e I C es el momento de inercia de un eje paralelo al eje dado y que pasa por el centro de gravedad de la gura. 7. Si es la regi on del primer octante limitada por las gr a cas de calcular: y = x ; y = x 2; y =1; y =3; z =0; z =5; zdxdydz (Sol:50) 8. Calcular: Z 4 Z Z 1 1 (x + y + z) dx dy dz (Sol:48) 9. Calcula el centro de masa del s olido limitado por las gr a cas de x 2 + z 2 =4; y =0;y=3; si la densidad en un punto P es directamente proporcional a la distancia al plano OXZ. ( Sol:(0,2,0) ) 44

6 10. Calcula el momento de inercia del s olido del primer octante limitado por los planos coordenados y por x + y + z = 1, respecto del eje OZ, si la densidad es constante. 11. Considera el s olido determinado al girar en torno al eje OX la super cie limitada por y = x 2 ; y =2. Calculasuvolumen. 12. Calcula el volumen del toro, es decir, de la super cie obtenida al girar una circunferencia (x a) 2 + y 2 = b 2 ;con0<b<a,entornoalejeoy. (Sol:2¼ 2 ab 2 ) 45