Tema 5. Dinámica de la rotación

Transcripción

1 Física I. Curso 2010/11 Departamento de Física Aplicada. ETSII de Béjar. Universidad de Salamanca Profs. Alejandro Medina Domíngue y Jesús Ovejero Sánche Tema 5. Dinámica de la rotación Índice 1. Cuerpo rígido, traslación y rotación 3 2. Energía cinética rotacional. Momento de inercia 3 3. Cálculo de momentos de inercia Sistemas discretos Sistemas continuos Teorema de los ejes paralelos (Steiner) Momento angular 9 5. Segunda ley de Newton para la rotación Partícula única Sistemas de partículas Conservación del momento angular y sus aplicaciones Analogías entre las ecuaciones de la traslación y la rotación Problemas 18

2 Tema 5. Dinámica de la rotación 2

3 Tema 5. Dinámica de la rotación 3 1. Cuerpo rígido, traslación y rotación En los temas anteriores hemos estudiado únicamente movimientos de traslación para partículas y sistemas de partículas. Hemos definido el centro de masas como aquel punto que se comporta como si todas las fueras que actúan sobre el sistema se concentraran en él. El movimiento de un cuerpo extenso se puede describir en términos del movimiento traslacional de su centro de masas y del movimiento de los puntos del sistema respecto al centro de masas (por ejemplo, respecto a un eje que pasa por él). Para completar, por lo tanto, el estudio del movimiento de un cuerpo extenso nos falta estudiar esta última parte. Veremos que el estudio de este tipo de movimiento rotacional es análogo al traslacional, pero introduciendo nuevas magnitudes físicas que siempre tienen su equivalente lineal. Por ejemplo, si la ecuación de movimiento del centro de masas de un cuerpo relaciona aceleración con fueras externas, la de la rotación, como veremos, relaciona otro tipo de aceleración (angular) con el momento de las fueras aplicadas. La principal hipótesis simplificadora en el estudio de movimientos rotacionales suele ser la consideración del objeto a estudiar como un cuerpo rígido. Éste es aquel sistema en que la distancia entre dos puntos cualquiera no varía con el tiempo. Es un sistema que no se deforma. Consideraremos que un cuerpo rígido describe un movimiento de rotación cuando cada una de sus partículas (salvo las que están sobre el eje) realia un movimiento circular. El movimiento más general de un cuerpo rígido tiene lugar cuando el eje de rotación cambia de dirección al mismo tiempo que se traslada. Esto sucede, por ejemplo, en un pase de fútbol con efecto: el eje no sólo cambia de posición en el tiempo, sino que también varía su orientación. En este tema restringiremos nuestra discusión a la rotación de un cuerpo rígido respecto a un eje que no cambia de orientación. 2. Energía cinética rotacional. Momento de inercia Consideremos un sólido rígido rotando con velocidad angular ω, tal y como muestra la figura.

4 Tema 5. Dinámica de la rotación 4 ω v i r i i O x y Su energía cinética se puede expresar como la suma de las energías cinéticas de todos los puntos que lo componen: E c = n i 1 2 m iv 2 i = 1 2 n m i ri 2 ω 2. Como ω es igual para todos los puntos: ( ) E c = 1 m i ri 2 ω 2. 2 i i Si denominamos I a la magnitud i m i r 2 i, obtenemos una ecuación para la energía cinética de la rotación similar a la de la traslación: E c = 1 2 Iω2. La magnitud I se denomina momento de inercia del sistema y como iremos comprobando en este tema constituye de algún modo, la magnitud equivalente en dinámica de la rotación a la masa en dinámica de la traslación. Sus dimensiones y sus unidades en el Sistema Internacional son respectivamente: [I] = ML 2 y kg.m 2. Conviene resaltar que en esta definición, las distancias que aparecen son las distancias de cada masa del sistema al eje de giro ( no al origen de coordenadas!), luego el momento de inercia depende del eje de giro elegido. No es una propiedad inherente al sistema, sino que también depende de cuál es el eje de giro.

5 Tema 5. Dinámica de la rotación 5 3. Cálculo de momentos de inercia 3.1. Sistemas discretos 3.1 Ejemplo Calcúlese el momento de inercia de la siguiente distribución de 8 masas idénticas respecto a los dos ejes que se muestran en la figura: m a r a a a) Un eje que pasa por el centro de masas de la distribución. b) Un eje que pasa por dos masas en el mismo lado. a) En este caso la distancia de todas las masas al eje es a 2/2. I = ( ) m i ri 2 = 8m a = 4ma 2. 2 i=1

6 Tema 5. Dinámica de la rotación 6 b) En este caso hay varios tipos de distancias al eje. I = 8 m i ri 2 = ma 2 + 2m( 2a) 2 = 4ma 2 + 4ma 2 = 8ma 2. i=1 Luego I depende del eje considerado Sistemas continuos En el caso de sistemas continuos el momento de inercia se define del siguiente modo: I = lím r 2 dm = r 2 dm. m 0 Utiliando la definición de densidad de masa se pueden presentar tres situaciones: a) Sistemas tridimensionales (esferas, cilindros, conos, etc.): ρ = dm I = ρ(r)r 2 dv. dv b) Sistemas bidimensionales (discos y superficies planas): σ = dm I = σ(r)r 2 ds. ds c) Sistemas unidimensionales (varillas e hilos rectilíneos): λ = dm I = λ(r)r 2 dx. dx En el caso de sistemas homogéneos, las densidades son constantes y salen fuera de la integral correspondiente. V S l R dm x

7 Tema 5. Dinámica de la rotación Ejemplo Calcúlese el momento de inercia de un anillo de masa M y radio R respecto a un eje perpendicular al plano que lo contiene y que pasa por su centro. I = r 2 dm = R 2 dm = MR 2. En este caso, el momento de inercia es independiente de que el anillo sea homogéneo o no (cosa que no ocurre, por ejemplo, cuando se calcula su centro de masas). 3.3 Ejemplo Momento de inercia de un disco uniforme de masa M y radio R respecto a un eje perpendicular al plano que lo contiene y pasa por su centro. y r R x dm 2πrdr. Tomamos como elemento de masa dm un anillo situado entre r y r + dr. Su área será ds = I = dm = σds = M πr 2 2 πrdr r 2 dm = 2 M R 2 R 0 r 3 dr = 2 MR4 4R 2 = 1 2 MR2. Este momento de inercia se puede aplicar a calcular el de un cilindro uniforme respecto a su eje de simetría, sin más que considerarlo como una superposición de discos de radios idénticos 1 I = di = 2 R2 dm = 1 2 MR2.

8 Tema 5. Dinámica de la rotación 8 di dm R No lo demostraremos aquí, pero se puede utiliar el momento de inercia de un cilindro para calcular el de una esfera uniforme, que resulta ser: I = 2 5 MR2. La figura adjunta resume algunos otros momentos de inercia habituales (para objetos rígidos y uniformes). Aro cilíndrico Cilindro hueco Cascarón esférico R 1 R R 2 R I=MR 2 I= _1 2 2 M (R +R ) I= 2_ MR Placa rectangular Varilla L L b a I= _1 2 2 M (a +b ) 12 I= _ 1 ML 2 12 I= _ 1 ML 2 3

9 Tema 5. Dinámica de la rotación Teorema de los ejes paralelos (Steiner) Como hemos visto, el momento de inercia de un cuerpo no es único, sino que depende del eje respecto al que se calcula. Esto hace muchas veces su cálculo complicado. Se ha de recurrir entonces a expresiones generales que relacionen el momento de inercia respecto a dos ejes diferentes. Uno de los teoremas al respecto más prácticos es el denominado de Steiner o de los ejes paralelos. Relaciona el momento de inercia respecto a un eje que pasa por el centro de masas, I cm con el relativo a un eje paralelo, I: I = I cm + d 2 M. donde d es la distancia entre los ejes. 3.4 Ejemplo Como ejercicio es fácil obtener la relación entre el momento de inercia de una varilla respecto a un eje perpendicular que pasa por su centro de masas, I cm = (1/12)ML 2, y a un eje perpendicular que pasar por uno de sus extremos, I cm = (1/3)ML Momento angular El análogo rotacional del momento lineal o cantidad de movimiento de una partícula es una nueva magnitud física denominada momento angular. Se define el momento angular de una partícula en un instante determinado y respecto a un cierto origen de coordenadas O como: l = r p, donde r es el vector de posición de la partícula respecto a ese origen y p es su momento lineal en ese instante. Con esta definición vemos que l es una magnitud vectorial, perpendicular tanto a r como a p. Dimensiones: [l] = LMLT 1 = ML 2 T 1 ; Unidades S.I.: kg.m 2 /s. Conviene recalcar que la definición de esta nueva magnitud depende del origen de coordenadas elegido, por lo que siempre que se hable de momento angular debe quedar claro a que sistema de coordenadas nos referimos. 4.1 Ejemplo Partícula describiendo una circunferencia.

10 Tema 5. Dinámica de la rotación 10 ω l O r p ( l = l π ) k l = rmv sen = rmv = r 2 mω. 2 Si ω es constante, l también lo es. 4.2 Ejemplo Partícula moviéndose en línea recta. l p r r y O θ x l = l j l = rmv sen θ = mvr. Únicamente si el origen está en la trayectoria de la partícula, l valdrá cero. Si la velocidad es constante, l será constante, pero si la partícula está acelerada, l varía en el tiempo. 5. Segunda ley de Newton para la rotación 5.1. Partícula única En el caso del movimiento de traslación, comprobamos cómo la derivada temporal del momento lineal está relacionada con las fueras exteriores que actúan sobre cierta partícula. De

11 Tema 5. Dinámica de la rotación 11 hecho, esta es una expresión alternativa de la ecuación newtoniana del movimiento de la partícula. Veremos a continuación qué información está contenida en la derivada del momento angular. Consideremos una única partícula: d l dt = d( r p) dt d r = 0 d p p + r dt dt = r d p dt d p dt = f = d l dt = r f = τ. Esta última ecuación constituye la segunda ley de Newton para la rotación. La variación del momento angular con el tiempo es el momento neto de las fueras que actúan sobre la partícula. Veamos intuitivamente qué significa esto con un ejemplo. 5.1 Ejemplo Consideremos una puerta vista desde arriba y que pretendemos abrirla ejerciendo una fuera sobre ella. La experiencia nos dice que la aceleración con que conseguimos abrirla no sólo depende de la magnitud de la fuera aplicada, sino también de su dirección y punto de aplicación. La fuera f 3 no consigue abrirla, la f 2 sí, pero despacio. Y la f 1 consigue abrirla con más facilidad. Repitiendo la experiencia sistemáticamente se comprueba que la aceleración angular con que se abre la puerta es proporcional, no sólo a la magnitud de la fuera aplicada, sino también a la distancia de la línea de acción de la fuera al eje de giro. Esta distancia se denomina brao de palanca. Entonces α fr = fr sen θ. f 3 f 2 f 1 r θ f r f

12 Tema 5. Dinámica de la rotación 12 Se define el módulo del momento asociado a la fuera f como: τ = fr sen θ. Y, por lo tanto, experimentalmente se comprueba que, α τ segunda ley de Newton para la rotación La relación matemática rigurosa entre ambas magnitudes la obtenemos a partir del concepto de momento angular. Como en la obtención de esta segunda ley para la rotación, hemos aplicado la correspondiente a la traslación, que sólo es válida en sistemas de referencia inerciales, el resultado obtenido es también únicamente válido en estos sistemas de referencia. Esta ley constituye la analogía rotacional de la segunda ley de Newton que ya conocíamos para la traslación Sistemas de partículas Se define el momento angular total de un sistema de partículas como la suma de los momentos individuales de cada una: d L dt = n i=1 L = d l i dt = n i=1 li n r i f i = τ t, donde τ t representa el momento de fueras total sobre el sistema, que se puede descomponer en un momento asociado a fueras internas al sistema y otro a externas. i=1 τ t = τ int + τ ext. Es fácil darse cuenta de que τ int = 0. Por ejemplo, para un sistema de dos partículas: i f ji r i θ i r f ij θ j j O r j

13 Tema 5. Dinámica de la rotación 13 Si el eje perpendicular al papel es el : f ij = f ji f ij = f ji τ int = r i f ij sen θ i k rj f ij sen θ j k = fij (r i sen θ i r j sen θ j ) k = f ij (r r ) k = 0 La demostración para un número arbitrario de partículas será análoga. Por lo tanto, queda demostrado que: d L dt = τ ext Esta es la expresión de la segunda ley de Newton para la rotación aplicada a un sistema de partículas. No lo demostraremos aquí, pero esta ecuación no sólo es válida en cualquier sistema de referencia inercial, sino que también lo es siempre respecto al sistema de referencia de centro de masas del sistema, aunque esté acelerado. Es por esto que siempre se puede descomponer el movimiento de un cuerpo extenso en traslación del centro de masas y rotación respecto a él. En el primer caso se elige un sistema de referencia inercial y se aplica la segunda ley de Newton respecto a él. Para la rotación se considera como sistema de referencia el centro de masas y se aplica la segunda ley de Newton para la rotación respecto a él. Trataremos ahora de expresar la segunda ley de Newton para la rotación de modo análogo a la ecuación, f = m a. Consideremos un sólido rígido rotando alrededor del eje y tomemos como origen un punto cualquiera del eje. ω p i i R i l i θ i l i i R i r i O x r i θ i y plano xy

14 Tema 5. Dinámica de la rotación 14 Componente de l i : ( π ) l i = r i p i sen = r i m i v i = r i R i m i ω 2 l i = r i R i m i ω sen θ i y como: r i sen θ i = R i = l i = R 2 i m i ω. Sumando para todas las partículas que forman el objeto: ( n n ) L = l i = m i Ri 2 ω = Iω. i=1 i=1 Luego para todo sólido rígido, la componente sobre el eje de rotación del momento angular verifica una ecuación similar a p = mv. Aunque no lo demostraremos, se puede comprobar que para cualquier sólido rígido con simetría axial: L = I ω, es decir, que L está dirigido en la dirección de ω. Pero esto no es cierto para cualquier sólido rígido. En resumen, Para un sólido rígido (I = cte.) cualquiera: dl dt = I dω dt = Iα τ = Iα donde τ es la componente de τ ext. Si además de ser rígido tiene simetría de revolución: d L dt = I d ω dt = I α τ ext = I α Estas expresiones constituyen la analogía rotacional de d p dt en movimientos lineales. De otro modo: d L dt = τ ext = I α. = m a para la segunda ley de Newton 6. Conservación del momento angular y sus aplicaciones Hasta aquí hemos introducido dos principios de conservación básicos en Mecánica Clásica, el de conservación de la energía y el de conservación del momento lineal de un sistema. Además

15 Tema 5. Dinámica de la rotación 15 de su gran importancia teórica, ambos permiten resolver gran cantidad de problemas prácticos. Presentaremos ahora otro principio de conservación de gran trascendencia y lo aplicaremos a la resolución de ciertos problemas interesantes. que: Cuando el momento de la fueras externas que actúan sobre un sistema se anula, se verifica τ ext = 0 = L = cte. = L i = L f. Esto quiere decir que para un sistema en el que τ ext = 0, el momento angular total es constante. Esto no significa que el momento angular de cada una de las partículas que forman el sistema permaneca constante, sino solamente que la suma de todos ellos sí que lo es. Además, este principio de conservación sólo es cierto punto a punto. Únicamente si τ ext respecto a un cierto punto es nulo, entonces el momento angular total, L, respecto a ese punto es invariante. Respecto a otro punto cualquiera esto no tiene porqué verificarse. i) Regresemos a la ecuación L = Iω, válida para sistemas de geometría arbitraria. Si el sistema es un sólido rígido, I = cte., pero existen ciertos problemas donde el momento de inercia del sistema varía. En este caso di 0 y para conservarse el momento angular (si dt no existen momentos externos) debe cumplirse: L i = L f = I i ω i = I f ω f Esto implica una variación de la velocidad angular del sistema. En resumen, la conservación del momento angular da lugar a una variación de la velocidad angular del sistema si el momento de inercia cambia. 6.1 Ejemplo Una persona está sentada sobre un taburete y gira respecto a un eje vertical con una velocidad angular ω i mientras sostiene dos pesas con sus braos extendidos. Repentinamente encoge sus braos de modo que I f = I i /3. Calcúlese la velocidad angular una ve encogidos los braos. Qué relación hay entre la energía cinética de rotación inicial y final? I i ω i = I f ω f = I i 3 ω f ω f = 3ω i K f = 1 2 I fωf 2 = 1 ( ) ( ) Ii (3ω i ) 2 Ii = ω2 i = 3K i.

16 Tema 5. Dinámica de la rotación 16 ii) Fueras centrales y conservación del momento angular La conservación del momento angular es básica en el estudio de movimientos planetarios y otro tipo de problemas gravitatorios. La fuera gravitatoria es un ejemplo típico de fuera central, es decir, es una fuera que sólo depende de la distancia de los objetos que interaccionan. 6.2 Ejemplo Supongamos, por ejemplo, un planeta en órbita elíptica alrededor del sol. v θ f r Planeta v A P v P Sol A El momento de la fuera gravitatoria que actúa sobre el planeta es cero respecto al Sol, porque r y f son colineales. Por lo tanto, si despreciamos otras fueras, el momento angular del planeta respecto al Sol permanece constante. L = r p = cte. mvr sen θ = cte. Todas las magnitudes que aparecen en esa ecuación varían durante el movimiento orbital, pero su producto permanece constante. Así por ejemplo, veremos qué pasa en la posición más próxima al Sol ( perihelio) y en la más alejada ( afelio). En estas posiciones, θ = π/2 sen θ = 1 = v A r A = v P r P Como r A > r P, entonces v A < v P. Es decir, que la velocidad del planeta en su órbita va cambiando con el tiempo, aumentando en el camino A P, y disminuyendo en el inverso. En general, para cualquier fuera central, el momento angular se mantiene constante respecto al centro de fueras.

17 Tema 5. Dinámica de la rotación Analogías entre las ecuaciones de la traslación y la rotación A modo de apéndice, resumimos en la siguiente tabla el paralelismo entre las ecuaciones que hemos obtenido en los casos traslacional y rotacional. Traslación m p = m v f f = d p dt = m a E c = 1 2 m v2 Rotación I L = Iω (simetría axial L = I ω) τ τ = dl = Iα dt (simetría axial τ = d L dt = I α) E c = 1 2 I ω2

18 Tema 5. Dinámica de la rotación Problemas 1. Se sujeta un cuerpo de masa m a una cuerda enrollada alrededor de una rueda de momento de inercia I y radio R. La rueda puede girar sin roamiento y la cuerda no se deslia en su borde. Halla la tensión de la cuerda y la aceleración del cuerpo. (Respuestas: T = mgi mr 2 + I ; a = g mr 2 mr 2 + I ) 2. Un muchacho de masa, m, se acerca corriendo con una velocidad, v, a un tiovivo de feria, que está inicialmente parado, y se sube de un salto a su borde. Qué velocidad angular adquiere el tiovivo cuando el muchacho ha subido y se encuentra en reposo relativo respecto a él? (Respuestas: ω = mvr I + mr 2 ) 3. Dos masas, m 1 y m 2, están conectadas a través de una cuerda que pasa por dos poleas idénticas de momento de inercia, I. Encuéntrese la aceleración de cada masa y las tensiones en la cuerda. (Respuestas: a = (m 2 m 1 )g 2I R 2 + m 1 + m 2 ; T 1 = m 1 (a + g); T 2 = ai R 2 + T 1; T 3 = m 2 (g a)) 4. Dos objetos (A y B) están conectados a través de dos poleas (C y D) de radios: R C = 8 cm y R D = 15 cm. Las masas de los objetos son m A = 27 kg y m B = 16 kg. Si la masa de la polea C es m C = 8 kg, calcular: a) la masa m D para que la pesa B se mueva con una aceleración de 2 m/s 2 hacia arriba. b) las tensiones en el cable. (Respuestas: a) m D = 13,8 kg; b) T 1 = 210,6 N; T 2 = 202,6 N; T 3 = 188,8 N) 5. Una esfera, un cilindro y un aro, todos del mismo radio, ruedan hacia abajo sobre un plano inclinado partiendo de una altura y 0. Encuéntrese en cada caso la velocidad con la que llegan a la base del plano. (Respuestas: ve 2 = 10 7 g(y 0 y); vd 2 = 4 3 g(y 0 y); va 2 = g(y 0 y)) 6. Calcúlese el valor de la masa del cuerpo A de la figura para que el cuerpo C suba por el plano una distancia de 3 m en 2, 74 s, partiendo del reposo. Si m B = 10 kg, m C = 5 kg,

19 Tema 5. Dinámica de la rotación 19 R 1 = 0, 3 m, R 2 = 0, 2 m y el radio de giro 0, 1 m. Calcúlense en ese instante la velocidad de cada cuerpo, el espacio recorrido por el cuerpo A y la energía cinética del cuerpo B. (Respuestas: m A = 2,36 kg; y A = 4,5 m; v A = 3,29 m/s; v C = 2,19 m/s; E c,b = 6,01 J) 7. Una fuera constante T de 15 N se aplica a una cuerda enrollada alrededor de una rueda de masa 4 kg, radio 33 cm y radio de giro 30 cm. Si hay un momento debido al roamiento igual a 1, 1 N.m en el centro, calcúlense: a) La aceleración angular de la rueda. b) Suponiendo ahora que en lugar de la fuera constante se cuelga un bloque de peso 15 N. Cuál es la aceleración angular de la rueda?, cuál es la aceleración del bloque? y cuál es la velocidad del bloque a los 8 s, si la rueda parte del reposo? c) Supóngase que la fuera T en la cuerda, está dada por la relación T = 3t 0, 2t 2 (N) donde t está en segundos. Cuál es la velocidad lineal de un punto de la periferia después de 8 s, si la rueda parte del reposo? (Respuestas: a) α = 10,69 rad/s 2 ; b) α 1 = 7,31 rad/s 2 ; a = 2,41 m/s 2 ; v(t = 8 s) = 19,3 m/s; c) v(t = 8 s) = 10,65 m/s )

20 Tema 5. Dinámica de la rotación Un hombre de 100 kg de masa está situado en el borde de una plataforma giratoria de 2 m de radio y momento de inercia 4000 kgm 2, montada sobre un eje vertical sin roamiento que pasa por su centro. Todo el sistema se encuentra inicialmente en reposo. El hombre comiena a caminar por el borde de la plataforma con una velocidad de 1 m/s respecto de la Tierra. Calcular: a) La velocidad angular y la dirección en la que girará la plataforma. b) El ángulo que habrá girado cuando el hombre alcance su posición inicial sobre la plataforma. c) El ángulo que habrá girado cuando el hombre alcance su posición inicial respecto de la Tierra. (Respuestas: a) ω 2 = 0,05 rad/s, en sentido opuesto al movimiento del hombre; b) ϕ 2 = 32,73 o ; c) ϕ 2 = 36,0 o ) 9. Un cilindro de radio 10 cm y masa M, lleva en su periferia un saliente de masa despreciable. Una bala de masa m, impacta en el saliente, con velocidad de 6 m/s. Después del choque ambos cuerpos giran juntos. Sabiendo que M = 4 m. Determinar: a) La velocidad de rotación. b) El porcentaje de energía cinética perdido en el choque. (Respuestas: a) ω = 20 rad/s; b) E( %) = 66,67 %)

21 Tema 5. Dinámica de la rotación Una bola de 2 kg de masa que se mueve con una velocidad inicial de 5 m/s choca con el extremo inferior de una barra de 8 kg y 1, 2 m de longitud, articulada en el punto A como muestra la figura. Si el coeficiente de restitución es 0, 8, calcular la velocidad de la bola después del choque. (I A = 1 3 Ml2 ). (Respuestas: v f1 = 0,143 m/s)