5. CINÉTICA DEL CUERPO RÍGIDO

Transcripción

1 Trlción pur 5. CINÉTIC DEL CUERP RÍID 1. El utomóvil repreentdo en l fiur vij hci l izquierd 7 km/h cundo comienz frenr, uniformemente, ht detenere por completo en un lonitud de 40 m. Sbiendo que l m del utomóvil e de 900 k, determine l mnitud de l componente normle de l rección del pvimento obre cd un de l llnt del utomóvil. v v Reolución Invetimo, pr comenzr, l celerción del centro de m del utomóvil, que e iul l de culquier prtícul u. dv v d Como fren uniformemente, l celerción e contnte. d vdv v C Eliiendo como orien l poición en que comienz frenr. Si 0, v 7 km 0 m h 0 0 C ; C 00

2 150 Cinétic del cuerpo ríido r r N N v v v 400 Pr 40 v ; 5 m (40) El ino netivo indic que u entido e hci l derech. hor pmo l prte cinétic del problem. Dibujmo un dirm de cuerpo libre que repreente culquier intnte del movimiento en etudio eleimo un item de referenci. L normle on N N pueto que trá de l llnt dibujd h otr do que no e ven. No uilimo de un dirm que repreente l item reultnte de l fuerz que ctún obre el utomóvil. Eleimo como centro de momento: M md El primer miembro correponde l dirm de cuerpo libre; el eundo, l dirm uilir. N (1.8) 900(0.8) N N m N 89 k 0 (89) 900 N N N k

3 Cinétic del cuerpo ríido 151. Sobre el crro-pltform de un tren, e trnport un ropero de l dimenione indicd en l fiur. Se dee invetir cuál e el tiempo mínimo que requiere el tren pr lcnzr un rpidez de 60 mi/h, prtiendo del repoo, in que el ropero e delice ni e vuelque. Lo coeficiente de fricción etátic cinétic entre el ropero el crro on , repectivmente. Reolución Pr determinr el tiempo mínimo, obtendremo l máim celerción que puede oportr el ropero. Supondremo, en primer lur, que dicho ropero etá punto de delizre. El dirm de cuerpo libre e muetr en l fiur; l fuerz de fricción e l etátic máim. bjo e preent un dirm uilir que muetr l fuerz reultnte. 0 N P 0 N P m 0.6N 0.6P P 0.6 P 0.6(3.) 19.3 hor upondremo que el ropero etá punto de volcre. El dirm de cuerpo libre el uilir e muetrn l ldo. L componente norml de l rección del crro e encuentr en el etremo izquierdo de l be de utentción. L fricción etátic no lcnz necerimente u vlor máimo. Eleimo el punto de interección de l norml l fricción, que on deconocid, como centro de momento.

4 15 Cinétic del cuerpo ríido M md P P (4) (3.3) 4 Pueto que con un celerción uperior 16.1 ft el ropero e volcrí, e ét l máim dmiible. El tiempo mínimo erá por tnto: 16.1 v 16.1t Pr lcnzr t 60 mi 88 h ft t 5.47

5 Cinétic del cuerpo ríido L brr CD tienen 0.4 m de lro. L brr CD etá conectd en D con un motor que l mueve con un velocidd nulr contnte de 300 rpm en entido ntihorrio. L brr homoéne C tiene 50 k de m. Determine cuál e, en el intnte motrdo en l fiur, l fuerz tipo de efuerzo que etá ujet l brr, biendo que u m e deprecible. Reolución C L brr C e mueve con trlción pur curvilíne. L celerción de culquier de u prtícul ólo tiene componente norml. n r l velocidd nulr, en rd /, e t n t n Un vez dibujdo el dirm de cuerpo libre un uilir que muetre el item reultnte, eleimo un item de referenci intríneco. Suponmo que e tenión. Eleiremo C, punto de concurrenci de do incónit, como centro de momento. b b m C M C md 3 b 50b (9.81) b N tenión Se trt de un tenión pue, l tener ino poitivo, tifce l hipótei.

6 154 Cinétic del cuerpo ríido 4. L brr de l fiur e homoéne pe 3. lb. Clcule l tenión que oportrá cd un de l cuerd inclind 45º, en el intnte en que e corte l cuerd horizontl. Clcule tmbién l celerción linel de culquier prtícul de l brr en ee mimo intnte. Reolución T T L brr e moverá con trlción pur curvilíne. Dibujmo el dirm de cuerpo libre en el intnte en que empiez el movimiento. Tmbién un dibujo uilir que muetre l fuerz reultnte. Eleimo un item de referenci intríneco. M 0 T 0 b T b T (1) T n m n b b 45 m n t Como l velocidd e nul, 0 T T T T T T lb n t m t en donde t ft 45

7 Cinétic del cuerpo ríido Rotción pur bricéntric 5. Un tmbor de 40 lb de peo ft de rdio etá colocdo obre do plno lio inclindo 45º, como e muetr en l fiur. Por medio de un cuerd idel enrolld en él, e le plic un fuerz contnte de 0 lb. El tmbor tiene un rdio de iro centroidl de 1.5 ft. Clcule l celerción nulr del tmbor l reccione de lo plno obre él. Reolución 0 40 Como el tmbor ir lrededor de un eje que p por u centro de m, el item reultnte de l fuerz que ctún obre él e un pr. Dibujmo el dirm de cuerpo libre del tmbor otro uilir que muetre el pr reultnte Eleimo un item de referenci cuo eje tienen l direccione de l reccione. R αi R R R R 4.4 lb 45 R R

8 156 Cinétic del cuerpo ríido R lb 45 M () k I m rd

9 Cinétic del cuerpo ríido El volnte de l fiur pe 00 k. El conjunto ir por l cción del cuerpo de 10 k que deciende verticlmente. Determine l ten-ión de l cuerd, l celerción linel del cuerpo l celerción nulr del volnte. Reolución T Como e trt de un problem de cuerpo conectdo, comenzremo etbleciendo l relción cinemátic entre l celerción linel de l nulr del volnte. r En ete co, r e el rdio de l pole 0. (1) Dibujmo el dirm de cuerpo libre de eleimo un eje de referenci en dirección de l celerción del cuerpo. m T 10 T 10 () T R hor continumo con el dirm de cuerpo libre del volnte. L rección R del poo tiene que er verticl, pue obre el volnte no ctú ninun fuerz horizontl. Dibujmo tmbién un dirm que muetre el item reultnte. Como l m del volnte etá concentrd 0.8 m del eje de rotción, u momento de inerci e clcul multiplicndo el cudrdo de e ditnci por l m.

10 158 Cinétic del cuerpo ríido αi I M I 18 0.T 640 T (3) Iulmo () (3), utituendo (1) en () (10) rd En (3) T 9.97 k en () m

11 Cinétic del cuerpo ríido L do pole de l fiur etán ríidmente unid, formndo un cuerpo de 64.4 lb de peo. El rdio de iro de u m e de 0.8 ft, repecto l eje de rotción. Lo cuerpo pen 16.1 lb cd uno etán unido l pole medinte cuerd de peo deprecible. Clcule l celerción nulr de l pole doble l tenión en cd un de l cuerd. Reolución Cuerpo T 16.1 Comenzremo etbleciendo l relcione cinemátic entre lo movimiento de lo tre cuerpo. Pr un punto culquier de l pole. t r por tnto 1. (1) 0.5 () Cuerpo T Como el cuerpo deciende, eleimo un item de referenci diriido hci bjo: m T 3. T (3) Del cuerpo m 16.1 T T (4) L pole doble ir con rotción pur bricéntric, por tnto, el item reultnte de l fuerz que ctún obre ell e un pr. T R T

12 160 Cinétic del cuerpo ríido αi M I T 0.5T T 0.5T 1.8 (5) Sutituendo (3) (4) en (5) Sutituendo (1) () en et ecución (0.5 ) rd En (1) () En (3) (4) T T lb lb

13 Cinétic del cuerpo ríido Lo cuerpo de l fiur etán inicilmente en repoo. Tnto como C pen 0 k. L pole e un cilindro mcizo de 0.15 m de rdio que pe 40 k. Determine l tenión en cd uno de lo trmo de l cuerd el tiempo que e requiere pr que C lcncen un rpidez de 5 m/. L uperficie horizontl e li. Reolución T 1 Cuerpo N Cuerpo L relcione cinemátic entre lo cuerpo on: C r en donde e l celerción nulr de l pole r u rdio. e C 0.15 Como e mueve hci l izquierd, eleimo un eje de referenci en e dirección T 1 m 0 (1) 9.81 Del cuerpo T 0 m 0 T T () 9.81 L pole ir con rotción pur lrededor de u centro de m. Tiene un momento de inerci de 1 I mr 1 40 I k. m 9.81

14 16 Cinétic del cuerpo ríido Dibujremo un dirm de cuerpo libre un dirm uilir en que prezc el item reultnte de l fuerz, que e un pr T 1 R 0.15 M I 0.15T 0.15T T T T1 1 1 T (3) T R Sutituimo (1) () en (3) αi De l relcione cinemátic rd De donde 3. 7 T k que e l tenión en el trmo de cuerd que une con l pole. En el otro trmo l tenión e (de (3)) T T k

15 Cinétic del cuerpo ríido Rotción pur no bricéntric 9. El dico homoéneo de 0.4 m de rdio ir lrededor de un eje horizontl, perpendiculr l plno que lo contiene, que p por. En el intnte motrdo en l fiur, u velocidd nulr e de rd/, en entido ntihorrio. Sbiendo que el dico tiene un m de 50 k, di cuál e u celerción nulr, í como l mnitud dirección de l rección de l rticulción. Reolución t n Dibujremo el dirm de cuerpo libre del dico un dirm uilir que muetre el item equivlente de l fuerz. Eleimo un item de referenci intríneco, en relción M I 50en 30º 0.4 I o Por el teorem de lo eje prlelo Rot Ron I I I mr 1 mr mr 3 mr m( ) n αi 0 Entonce: m( ) t rd

16 164 Cinétic del cuerpo ríido n m r Ron 50 Ron 50 t m r Rot (8.18)(0.4) 1 Rot Como lo ino indicn que u entido on contrrio l de lo eje, l componente de Ro on: Ro tn ; Ro 36.1 k 73. 3

17 Cinétic del cuerpo ríido L brr homoéne etá rticuld en oportd por un cuerd en. Tiene un m m un lonitud l. Determine tnto l celerción nulr de l brr como l mnitud dirección de l rección de l rticulción en el intnte que e corte l cuerd. Reolución m L brr e moverá con rotción pur lrededor de un eje que p por. Su dirm de cuerpo libre e muetr en l fiur. En el otro dirm e muetr el item de fuerz equivlente de l fuerz que ctún obre l brr en el intnte en que e cort l cuerd. 1 / R o n Empleremo un item de referenci intríneco pr el centro de m, cu celerción norml e nul, que no tiene velocidd linel. M I l 1 m ml 3 l 3 αi 0 t t 3 l m r 3 m Ro m l Ro m 3 4 l m t 1 Ro 4 m

18 166 Cinétic del cuerpo ríido 11. El rillo de l fiur tiene un rdio r e encuentr en repoo en l poición motrd. Di cuál erá l rpidez nulr máim que lcnzrá, i e uelt dede dich poición. Reolución θ m Ron Dibujremo un dirm de cuerpo libre que repreente un intnte culquier de l rotción del rillo. Tmbién un dirm que muetre un item equivlente de l fuerz. Eleimo un item de referenci intríneco. m Rot Clculmo el momento de inerci de l m repecto l eje de rotción, medinte el teorem de lo eje prlelo. n I I I I mr mr mr mr α I t mω r mαr L ecución que emplemo e M I mr co mr co r d Como d d co d r

19 Cinétic del cuerpo ríido 167 Seprndo vrible d co d r Interndo d r r co d en C L condicione inicile on 0 0 ; por tnto, l contnte de interción e nul. en r Como l velocidd nulr máim ocurre cundo 90 en 1 má r

20 168 Cinétic del cuerpo ríido 5.4 Movimiento plno enerl 1. Un efer homoéne de 80 k de m 0.4 m de rdio, e uelt del repoo obre un plno inclindo 15º. L efer deciende rodndo in delizre obre el plno. Clcule, pr culquier intnte del movimiento, l celerción nulr de l efer; l celerción linel de u centro de m; l fuerz de fricción que el plno ejerce obre ell, l mnitud de l componente norml de l rección del plno. Reolución Dibujremo el dirm de cuerpo libre de l efer, repreentndo culquier intnte de u movimiento. Suponemo rbitrrimente el entido de l fuerz de fricción. Eleimo un item de referenci cuo eje equi tiene l dirección de l celerción del centro de m. r N En un dirm uilir dibujremo un fuerz plicd en un pr de mnitud I que formn un item equivlente l que ctú obre l efer. M I 0.4r mr 5 0.4r (80)(0.4) (1) r αi 03 m r 80(9.81)en15 80 r 80 m Del vlor obtenido en (1) Como l efer rued in delizr:

21 Cinétic del cuerpo ríido 169 r Por tnto (0.4 ) rd r N m 15 r 58 N 15 αi El entido verddero de l fuerz de fricción e el que e upuo. 0 N 80(9.81) co15 0 N 758 N 75 m tro método Sbiendo que el punto de contcto de l efer con el plno inclindo e el centro intntáneo de rotción: M CIR I CIR El momento de inerci de l m de l efer repecto ee punto e: I CIR I mr (teorem de lo eje prlelo) I I CIR CIR mr 5 7 mr 5 mr

22 170 Cinétic del cuerpo ríido Por tnto 7 80(9.81)0.4en en en rd r 4.53(0.4) m 15 m 80(9.81)en15 r 80(1.814) en r r 58 N 75 0 N 80(9.81) co15 0 N

23 Cinétic del cuerpo ríido L brr deld de l fiur e homoéne, pe 16.1 lb mide 3 ft de lro. Pende del punto C por medio de do cuerd td u etremo, como e muetr. En el intnte en que e corte l cuerd C, cuál erá l tenión en l cuerd C? Cuál, l celerción nulr de l brr? Qué mnitud dirección tendrá l celerción linel de u centro de m? Reolución 1.5 Etblecemo l relción entre l celerción nulr de l brr l celerción inicil de u centro de m, tomndo como punto be biendo que tod l velocidde on nul. α 30 r 1.5j 0.5 i k ( 1.5i) 0.5 i j j Eclrmente: (1) () De (1) En ().5 (3) 3 1 Dibujmo el dirm de cuerpo libre de l brr u dirm uilir que muetre un item de fuerz equivlente conforme l item crteino que eleimo.

24 17 Cinétic del cuerpo ríido T 1.5 M I 1 en T T 0.5 (4) 16.1 T m co (5) m( ) m T en T αi m( ) De (4) (6) Sutituendo (5) (6) en (3) rd De (4) T 4.6 lb

25 Cinétic del cuerpo ríido Lo tre cuerpo de l fiur etán conectdo medinte un cuerd fleible, inetenible de peo deprecible. pe 0 k. L pole e un cilindro mcizo de 0. m de rdio que pe 30 k. Y C e un crrete de 50 k cuo rdio eterior e de 0.4 m cuo núcleo e de 0.1 m. Sbiendo que el crrete rued in delizr que el rdio de iro de u m repecto l eje de fiur e de 0.5 m, determine l tenión en cd uno de lo trmo de l cuerd (1 ) l celerción nulr del crrete. Reolución α α 0. Comenzremo etbleciendo l relcione cinemáen cuent que e mueve con trlción pur;, con rotción pur bricéntric, C con movimiento plno enerl. L celerción de l cuerd e iul l de. r 0. r 0. 3 (1) C C CIR Cuerpo T 1 Por tnto C 1. 5 () C Dibujmo lo dirm de cuerpo libre de cd cuerpo un dirm uilir que muetre el item reultnte. 0 m Cuerpo 0 T m T1 0 De (1) 0 T C

26 174 Cinétic del cuerpo ríido 6 T1 0 C (3) T R Pole 30 α 0. Pole M I T1 0.T 0. 3 T1 T R T 1 De () T T C (4) α I Crrete C Como el punto de contcto entre el crrete l uperficie e el centro intntáneo de rotción Cuerpo C 50 T M 0.3T CIR I C CIR ( I mr ) T C T C T C (5) N α I C m

27 Cinétic del cuerpo ríido 175 Sutituendo (3) (5) en (4) C C C C C 0 0(9.81) C 4.14 En (3) (5) T T rd k k

28 176 Cinétic del cuerpo ríido 15. Un rued de ft de rdio 3. lb de peo, cuo m tiene un rdio de iro centroidl de 1.5 ft, e uelt obre un plno inclindo con un ánulo de 30º con l horizontl, como e muetr en l fiur. Lo coeficiente de fricción etátic cinétic entre l rued el plno on , repectivmente. Di i l rued e deliz o no obre el plno clcule l fuerz de fricción que éte ejerce obre ell, l celerción nulr de l rued l celerción linel de u centro de m. Reolución Supondremo, primero, que l rued no e deliz obre el plno. En ete co, el punto de contcto entre ello e el centro intntáneo de rotción. r CIR N M CIR I 3. I mr CIR αi Por tnto r m m 1 3. r r 0 N 3. N L fuerz de fricción etátic máim e:

29 Cinétic del cuerpo ríido 177 ' M k N Como lb e menor que 5. 80lb, l rued e deliz obre el plno. Pueto que l rued deliz, l fricción e cinétic k M N k CIR k 3.35 lb αi 7.9 El dirm de cuerpo libre e el que e muetr: 3.35 M I rd 1 m m ft 30

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