ÁLGEBRA MATRICIAL. INVERSA DE UNA MATRIZ

Transcripción

1 Cpíulo Álgebr mricil vers de u mriz Cpíulo ÁLEBRA MARCAL NVERSA DE UNA MARZ Mrices E el cpíulo erior se irodujo el cocepo de mriz, defiiédose u mriz A de mño m x co elemeos e u cuerpo (geerlmee cosiderremos =c ij h R o C) como u colecció de m x esclres ij, orgizdos e m fils y colums, de l form: m m m mx dode el elemeo ij ( i m, j ) deo quel elemeo de l mriz que se siú e l iersecció de l fil i-ésim y l colum j-ésim de A Se suele hblr de mrices recgulres o cudrds, segú se m o m =, respecivmee E geerl, se dice que A es u mriz de orde m x E lo que respec l iguldd de mrices, se dirá que dos mrices B =cb ij h so igules si y sólo si: = b ; i m, j Disios ipos de mrices ij ij A =c ij h Como se mecioó eriormee, se dice que u mriz A es mriz cudrd o de orde si m = : x Los elemeos,,, de u mriz cudrd A form lo que se deomi l digol pricipl de A, miers que los elemeos, ( ), 3( ),, form su digol secudri U mriz cudrd e l que los elemeos siudos por ecim (por debjo) de l digol pricipl so odos ulos se deomi mriz rigulr iferior (respecivmee, mriz rigulr superior): y u Roch Mrí y ishi Sdrgi

2 Álgebr Liel Curso 005/ x x U mriz digol es u cso priculr de mriz rigulr, e l que odos los elemeos por ecim y por debjo de l digol pricipl so ulos: Si A es u mriz digol y = = = = (dode es u esclr culquier), eoces se dice que A es u mriz esclr: x E priculr, si = se dice que es l mriz ideidd, y se deo por: = y si = 0, se dice que es l mriz ul, y se deo por 0: 0 = Mriz Siméric: Si u mriz cudrd A es l que odos los elemeos siudos siméricmee respeco de su digol pricipl so igules, es decir ij = ji, se dice que A es u mriz siméric: x x x x u Roch Mrí y ishi Sdrgi

3 Cpíulo Álgebr mricil vers de u mriz Mriz fil y mriz colum: Cosideremos quells mrices recgulres que sólo iee u fil o u colum; ells recibe el ombre de mriz fil y mriz colum, respecivmee: = x b b = b b b g x Hbiulmee uilizmos mrices fil y mrices colum pr represer vecores E geerl, siempre que se re mrices, los vecores suele represerse como mrices colum, de hí que se uilice l oció b pr represer u mriz fil (oció que quedrá jusificd más dele cudo se iroduzc l oció de mriz rspues) 3 Opercioes co mrices Ddo que, e priculr, ls mrices fil y mrices colum se uiliz pr represer vecores, ls disis opercioes que se defi ere mrices debe ser compibles co ls opercioes que coocemos pr vecores =c ij h b ij =c h Sum: Si A y B so dos mrices de orde m x, se defie l sum y difereci ere ells como sigue: C = A + B = ( ij + bij ) = ( cij ) D= A B = ( ij bij ) = ( dij ) eiédose como propieddes de ess opercioes ls siguiees: - (A+B)+C = A+(B+C) (P sociiv) - A+0 = 0+ A (L mriz ul es el elemeo euro) - A+(-A) = (-A)+A=0 (Elemeo opueso) - A+B = B+A (P comuiv) dode A, B y C so mrices de igul mño =c h α R o C, se defie el produco Produco por u esclr: Si A ij es u mriz y de α por A como sigue: B = α A= ( α ij ) = ( b ij ) es decir, pr muliplicr u esclr por u mriz se muliplic odos los elemeos de l mriz por dicho esclr Ls priciples propieddes de es operció so ls siguiees: - α( β A) = ( αβ) A (Asociividd mix) - α ( A + C) = ( α A) + ( α C ) (P disribuiv) - ( α + β) ( α A) + ( β A ) (P disribuiv) - A u Roch Mrí y ishi Sdrgi

4 Álgebr Liel Curso 005/06 dode A y C so dos mrices culesquier (mbs de igul mño), α y β esclres reles o complejos y l uidd rel Produco de mrices: Al igul que ls opercioes eriores, el produco de mrices puede ser moivdo ediedo cocepos de álgebr vecoril E cocreo, ediedo l produco esclr de vecores se iee que si ( ) y b ( b b b so dos vecores de R, eoces: b = b cos( θ ) 3 3) dode θ es el águlo que form mbos vecores Además, es bie coocido que el produco esclr usul e R 3 se obiee como sigue: y que se geerliz R como: b = b + b + b 3 3 b= b+ b + + b cudo ( ) y b ( b b b ) Así, podrí escribirse el produco de u mriz fil por u mriz colum e R como: b b= b b b ( ) = b H siedo és l bse que puede uilizrse pr geerlizr dicho produco hs obeer el produco de mrices culesquier E ese seido si A es u mriz de orde m x l, co m fils i ( i m) de mño l, y B es u mriz de orde l x, co colums de logiud l, eoces se defie el produco de A por B como: es decir: A B= C = ( c ) co c = b ( i m; j ) A B= ij ij i bb b = m b g j b b b b b b b b b m m m Además, como b = b i l j ik kj k= se iee que: l A B = ikbkj m, k= i, j= u Roch Mrí y ishi Sdrgi

5 Cpíulo Álgebr mricil vers de u mriz Suele decirse que se muliplic fils de A por colums de B, siedo evidee que el úmero de fils de B debe coicidir co el úmero de colums de A, pues de lo corrio l muliplicció o serí posible: Amxl Blx = Cmx E geerl, A B B A ú e el cso e que se pued hcer B A Ls priciples propieddes del produco de mrices so ls siguiees: - ( C B) C ( B A) (P sociiv) - C ( A + B) = C A + C B (P disribuiv por l izquierd) - ( B + C) B A + C A (P disribuiv por l derech) - Si A es de orde m x A = m A= A - α ( A B) = A ( α B) = ( α A) B dode A, B y C so mrices que, e cd cso, hce compibles ls opercioes e ls que ierviee y dode α es u esclr rel o complejo Observcioes k L poeci k-ésim de u mriz cudrd A se represe como A A A, coviiédose que A 0 = Cudo esudimos l represeció mricil de u sisem de ecucioes, expresmos el sisem de form simbólic como: A X = B eiedo e cue hor como se h defiido el produco de mrices qued olmee jusificd es form de expresr u sisem de ecucioes, pues: x + x + + x = b x b x + x + + x = b x b mx+ mx+ + mx = b = m x b H H m m m m H k Ejercicio Comprobr que: 0 3 = Mriz rspues =c ij h A Dd u mriz A se defie l mriz rspues de A, que se represe por, como quell mriz que iee como elemeo e l posició (i, j) l elemeo de A E ors plbrs, A es u mriz que iee por fils ls colums de A, o lo que es lo mismo, por colums ls fils de A ji u Roch Mrí y ishi Sdrgi

6 Álgebr Liel Curso 005/06 Algus de ls propieddes de l rsposició de mrices so ls siguiees: - Si A es u mriz de orde m x A es u mriz de orde x m - Si A es u mriz colum A es u mriz fil - Si A es u mriz fil A es u mriz colum - A es u mriz siméric A= A - ( A+ B) = A + B - ( α A) = α A - ( A B) = B A - ( A ) = A dode A y B so mrices que, e cd cso, hce compibles ls opercioes e ls que ierviee y dode α es u esclr rel o complejo Oro cocepo relciodo co l rsposició de mrices es el de mriz isiméric Se dice que u mriz A es isiméric si A= A Ejercicio Comprobr que l siguiee mriz es isiméric: L ivers de u mriz Si A =c ij h H es u mriz cudrd de orde, se dice que A es iverible o o sigulr si exise u mriz B l que: A B= B A= Si exise l mriz B se dice que es mriz ivers de A E cso de que o exis mriz ivers de A se dice que l mriz A es sigulr o o iverible eorem Si u mriz A iee ivers, és es úic Demosrció Supogmos que A dmie mriz ivers y que o B como C so iverss de A, siedo B C E l cso se edrí que: Por o: B A= A C = B= B = B ( A C) = ( B A) C = C = C B= C lo cul sigific que hemos obeido u resuldo bsurdo (pues cordice l hipóesis de prid), debiédose cocluir que sólo puede exisir u úic mriz ivers de A u Roch Mrí y ishi Sdrgi

7 Cpíulo Álgebr mricil vers de u mriz El resuldo esblecido e el eorem erior permie que podmos hblr de l ivers de u mriz, pueso que es úic mbié cbe mecior que l ivers de u mriz A suele deoársele por A Ejemplos Dds ls mrices: A= B H 3 = ; 3 comprobr que A es iverible y que B es su ivers Solució: Pr resolver ese problem bs comprobr que A B= B A= E primer lugr: A B = H = H = y álogmee ocurre cudo hcemos B A Por o deberá cocluirse que A es iverible y que B es su ivers Ecorr l mriz ivers de: H 3 4 Solució: Pr resolver ese problem cosiderremos l mriz ivers como u mriz icógi: x y A = H x y l que exigiremos que verifique: A ecucioes: x + x = y 3x + 4x = 0 Así se obiee dos sisems de + y = 0 3y + 4y = cuys solucioes so precismee los elemeos de l mriz ivers A A l hor de uilizr el méodo de elimició de uss-ord pr resolver los sisems eriores, se observ que mbos compre l mism mriz de los coeficiees, miers que l mriz mplid de los mismos vrí solmee e l colum correspodiee los érmios idepediees Por o, podemos cosiderr que los psos seguir e el proceso de elimició e mbos sisems so los mismos, surgiedo diferecis úicmee e l colum correspodiee los érmios idepediees Moivdos por ese hecho podemos coveir que l resolució de los dos sisems se relice de form simuláe Pr ello cosruimos u mriz formd por l mriz de los coeficiees (comú mbos) seguid de dos colums: l primer de ells l mriz colum de los érmios idepediees del primer sisem y l segud l de los érmios idepediees del segudo sisem: u Roch Mrí y ishi Sdrgi

8 Álgebr Liel Curso 005/ Aplicdo el méodo de elimició de uss-ord es mriz se obiee l mriz: l cul proporcio direcmee l solució de mbos sisems: l del primero e l primer colum de érmios idepediees y l del segudo e l segud colum E ors plbrs, y ddo que les solucioes so los elemeos de l mriz ivers de A, se h obeido A : A = 3 Algorimo de uss-ord pr el cálculo de l mriz ivers El procedimieo seguido e el ejemplo erior puede geerlizrse pr deermir l mriz ivers de culquier mriz cudrd o sigulr A Pr ello, si A es u mriz de orde, bs cosiderr l mrizc A h y plicr l mism el méodo de elimició de uss-ord hs coverir A e u mriz esclod reducid por fils E cocreo, el objeivo es coveir A e l mriz ideidd Siempre que eso se posible se iee que l mriz de l derech es l mriz ivers de A, es decir hbremos coverido c A h e c A h E relidd, lo que cosigue ese lgorimo es resolver simuláemee sisems de ecucioes lieles que compre l mism mriz de los coeficiees (A), eiedo cd uo de ellos como érmios idepediees u de ls colums de l mriz ideidd No: l y como se idicb co erioridd l mriz ivers de u mriz A o siempre exise, por lo que o es de exrñr que e muchos csos l plicr el lgorimo de uss-ord o se posible coverir A e l mriz ideidd de orde Ese hecho sigificrí que A o es u mriz iverible Ejercicio: Deermir, si es posible, l mriz ivers de H 4 u Roch Mrí y ishi Sdrgi

9 Cpíulo Álgebr mricil vers de u mriz Propieddes de l ivers de u mriz - ( A B) = B A - ( A ) = ( A ) - ( A ) = A u Roch Mrí y ishi Sdrgi