Det(A)=a 11 a 22 a 33 + a 21 a 32 a 13 + a 31 a 12 a 23 (a 13 a 22 a 31 + a 23 a 32 a 11 + a 33 a 12 a 21 )

Transcripción

1 lgebra universitaria UNIDD III. MTRIES Y DETERMINNTES 4.6. Definición de determinante de una matriz y sus propiedades Determinante. cada matriz cuadrada se le asocia un número denominado determinante, el cual tiene información sobre la matriz misma que es usada en muchas ramas de matemáticas y de las ciencias. álculo de determinantes. El determinante de una matriz cuadrada de 2x2 se denota y esta dado por la siguiente ecuación: a a Det a11a 22 a21a12 a21 a 22 Observe que el determinante en una matriz de 2x2 esta dado por la diferencia de la multiplicación de sus diagonales. Ejemplo: Encuentre el determinante de: Det()(2)(1)- (-)(4) Regla de Sarrus Para matrices de x se ocupa un método corto denominado regla de Sarrus, la cual consiste en lo siguiente. Para una matriz de x: a11 a12 a1 a21 a22 a 2 a1 a2 a Para determinar el cofactor de dicha matriz se coloca nuevamente la matriz debajo de la siguiente manera: continuación se trazan unas líneas diagonales de guía para el proceso de multiplicación de los elementos, de la siguiente manera: Los tres elementos que son tocados por cada flecha se multiplican, los mismos que se suman al resto. Los elementos que son tocados por las flechas de izquierda a derecha se suman y los que están tocados por las flechas de derecha a izquierda se restan de la siguiente manera: Det()a 11 a 22 a + a 21 a 2 a 1 + a 1 a 12 a 2 (a 1 a 22 a 1 + a 2 a 2 a 11 + a a 12 a 21 ) Ejemplo: Encuentre el determinante de: Elaboró: M. Marcel Ruiz Martínez 1

2 lgebra universitaria Desarrollo por cofactores. cada elemento a de la matriz puede asignársele un cofactor, definido como: ( 1) i+ j M Donde M es el determinante que queda después de borrar el renglón i y la columna j de la matriz. M se le denomina menor de i j Por ejemplo, para la matriz: El determinante para el elemento a 11 el elemento menor M 11 y el cofactor del mismo. Menor de a 11 : M ( 1x1) ( 2x2) El cofactor de a 11 : ( ) M ( ) 1 1 El determinante de cualquier matriz cuadrada es la suma de los productos de sus elementos de cualquier renglón o columna por sus cofactores: Expansión a lo largo del renglón i a + a + a + + a i1 i1 i2 i2 i i... in in Expansión a lo largo de la columna j a + a + a + + a 1 j 1 j 2 j 2 j j j... nj nj alcular el determinante de la matriz indicada usando cofactores: Recordemos que los elementos de la matriz pueden expresarse como: a11 a12 a1 a21 a22 a 2 a1 a2 a Vamos a calcularlo usando el primer renglón, la ecuación original desarrollando un renglón i es: a + a + a + + a i1 i1 i2 i2 i i... in in Para el renglón 1, el valor de i 1, por lo tanto la ecuación general para el renglón 1 queda: a + a a a1 n1n omo solo es una matriz de x cada renglón tiene tres elementos, por lo tanto la ecuación queda: a + a + a hora como ya tenemos los elementos a de la matriz, solo nos hace falta cada cofactor, de los cuales la ecuación es: ( 1) i+ j M Los cofactores que se requieren son los siguientes: 1 1 ( 1) + M ( 1) M ( 1) M Elaboró: M. Marcel Ruiz Martínez 2

3 lgebra universitaria Pero cada uno requiere de las matrices menores ( 1) + M ( 1) ( 1)(1) (2)( 2) [ ] [ ] [ ] ( 1) M ( 1) 4(1) 2(0) 4 ( 1) M ( 1) 4( 2) ( 1)(0) Dado que el determinante lo consideramos para el primer renglón obtuvimos la siguiente ecuación: a + a + a hora sustituyendo los valores: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) NOTESE QUE EL ELEMENTO a 12 FUE ERO, POR LO UL NO ER NEESRIO LULR EL OFTOR 12. Lo anterior puede confirmarse con EXEL usando la función MDETERM como se indica en la siguiente figura: El resultado al darle ENTER claro que es -21. omo puede notarse entre mayor sea la matriz, es mas complicado hacer el procedimiento manual, hay un consejo importante para tardarse menos, por ejemplo considere la siguiente matriz: Elegir el desarrollo de renglón o columna según la cantidad de ceros en el mismo, por ejemplo en la matriz anterior conviene desarrollar la tercera columna. La ecuación para el determinante de la matriz al desarrollar la tercera columna queda: a1 j1 j + a2 j2 j + a j j anjnj Originalmente es: a1 j1 j + a2 j2 j + a j j + a4 j4 j Solo para una matriz 4x4 a1 1 + a22 + a + a44 Para el renglón : Sustituyendo de a 1 a a 4 : ( ) ( ) ( ) ( ) Por lo tanto queda: ( ) Solo requerimos el cofactor. ( 1) i+ j M ( 1) M M Para calcular de nuevo el determinante revisamos que la primera columna tiene la mayor cantidad de ceros, por lo cual: a + a + a + + a 1 j 1 j 2 j 2 j j j... nj nj M a + a + a (2) + (0) + (0) M ( )( ) ( )( ) ( 1) M Elaboró: M. Marcel Ruiz Martínez

4 lgebra universitaria hora sustituimos 11 en M. M 2 2(1) 2 11 Recordemos que M : ( 1) M M Finalmente el determinante queda: ( ) (2) 6 6 Lo anterior puede confirmarlo con EXEL. alculo de la inversa por medio de la adjunta. Sea una matriz cuadrada: a11 a12 a1 n a21 a22 a 2n an1 an2 ann Si para cada elemento a se calcula un cofactor, puede generarse una matriz de cofactores y se define la adjunta de la matriz como la transpuesta de la matriz de cofactores tal como se muestra: n n n1 n2 nn t dj() n n2 1n 2n nn Para la matriz indicada, determinar la adjunta de, es decir, dj() Se calculan los cofactores de : Por lo tanto la matriz de cofactores de es: Trasponiendo dicha matriz tenemos la adjunta de : dj( ) Finalmente tenemos que para calcular la inversa de una matriz podemos ocupar tanto la adjunta comoo el determinante de de la siguiente manera: 1 1 ( ) adj omo puede observarse una matriz cuadrara solo puede ser invertible si su determinante es diferente de cero. Elaboró: M. Marcel Ruiz Martínez 4

5 lgebra universitaria Ejemplo: Usar las propiedades de determinantes para siguientes matrices son invertibles: Solución: 5 B 0 0 D 2 Por lo tanto solo B y no son invertibles y no tienen inversa. Para la matriz indicada (es la misma vista anteriormente): alcular el determinante: a) det() b) La adjunta de adj() c) alcular la inversa -1. Solución: ) El determinante de es igual a 25 (la comprobación puede hacerla el estudiante en clase). B) La adjunta de ya la calculamos anteriormente y fue: dj( ) Elaboró: M. Marcel Ruiz Martínez verificar si las ) Por lo tanto la inversa puede determinarse con la ecuación: 1 1 Quedando: 1 ( ) adj ( ) 1 adj Resolución de sistemas de ecuaciones. Un sistema de ecuaciones puede representarse en forma matricial de la siguiente manera, sea el sistema: 2x+y+z 0 x+y-z12 5x+2y-z15 La representación matricial del mismo sería: 2 1 x y z También se puede reducir de la forma: x b 1 Matricialmente puede despejarse así: x b Para que esta solución sea posible la inversa de la matriz debe existir, en otras palabras el determinante de la matriz m no debe ser igual a cero. 5

6 lgebra universitaria Regla de cramer. Esta regla se usa para resolver sistemas de n ecuaciones lineales con n incógnitas que tienen una solución única (un sistema de ecuaciones puede tener infinitas soluciones, ninguna solución o una solución única). Las incógnitas se encuentran con las siguientes ecuaciones: 1 2 n x1 x2 x xn Donde i es la matriz que se obtiene sustituyendo la columna i por el vector B de constantes. Ejemplo: Resolver el sistema siguiente con la regla de cramer: La matriz de coeficientes y de términos constantes son: Para encontrar 1 se sustituye la columna de constantes B por la columna 1. Se obtienen los determinantes de cada matriz quedando: Por lo tanto la solución del sistema es: 1 2 x1 x2 x x1 1 6 x x ctividad 4.4. Regla de ramer. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones por la regla de ramer. El determinante de la matriz de coeficientes es igual a - y por lo tanto diferente de cero, por lo que el sistema tiene una sola solución (si fuera igual a cero el sistema o no tiene ninguna solución o tiene múltiples soluciones, cuando ocurre cada caso puede investigarlo el estudiante). Elabore una PRÁTI DE EJERIIOS siguiendo las rubricas correspondientes: Puede enviar el documento final por correo electrónico a las siguientes direcciones: marcelrzm@hotmail.com; marcelrzm@yahoo.com.mx y marcelrz2002@yahoo.com.mx Elaboró: M. Marcel Ruiz Martínez 6