Matriz Inversa. 1. Transpuesta de una matriz. 2. Matriz identidad. 3. Matriz inversa

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1 Matriz Inversa Transpuesta de una matriz Si A es una matriz m x n entones la transpuesta de A denotada por A T se dene omo la matriz n x m que resulta de interambiar los renglones y las olumnas de A Si a a A T a a a a a a En general (a ij T (a ji La transpuesta de la suma de dos matries es la suma de sus transpuestas; es deir (A + B T A T + B T Ejemplo: Sean las matries: Sean entones las matries transpuestas: A T Es posible veriar que (A + B T A T + B T Propuesto: Sean las matries: 9 B B T B Determinar: AB (AB T A T B T B T A T Veriar que (AB T B T A T Matriz identidad Si una matriz diagonal de orden n tiene todas sus entradas diagonales iguales a entones la llamaremos matriz identidad de orden n y la denotaremos por la letra I las anteriores matries uadradas que tienen unos en la diagonal prinipal y eros fuera de ella son ejemplos de matries identidad La matriz identidad atúa exatamente omo el número en la multipliaión ordinaria 3 Matriz inversa Consideremos el sistema I AI A BI IB B a x + a x b a x + a x b Eduard Rivera Henao Álgebra Lineal

2 4 Teorema de dos euaiones lineales en x y x Este sistema se puede esribir omo una sola euaión usando la notaión de vetor y matriz veámos: a a (x x (b a a b Así XAb Ahora reordemos que en una euaión algebraia de la forma xa b es posible despejar la variable x ; así x a b x ba Donde a es el inverso de a bajo la multippliaión La euaión XAb es una euaión vetor-matriial pero la división de matries no está denida para intentar despejar el vetor X pero sí podemos hablar de matries inversas Así deimos que la matriz uadrada A de orden n es invertible previsto que exista una matriz uadrada B de orden n tal que: AB B I Donde I es la matriz identidad Tenemos entones la euaión vetor-matriial XAb Así X ba donde A es la matriz inversa de A bajo la multipliaión Si A es una matriz de orden n y si A es una matriz on la propiedad de que AA A I entones A es únia Ejemplo: Si 3 0 Determinar una matriz B Si tal matriz existe on la propiedad de que AB B I Sea p q B r s hallaremos los valores pqr y s tales que AB I Así B A AB I 3 p q 0 0 r s 0 3p + r 3q + s 0 p q 0 Igualando los elementos orrespondientes de las matries tendremos: 3p + r 3q + s 0 p 0 q Así p 0 q r s 3 ; por lo tanto: 0 B 3 donde B A ya que AA I Así 4 Teorema ( A Si A es una matriz uya inversa A existe entones la inversa de A existe y (A A

3 4 Teorema 3 Propuesto: Veriar que AA I donde 0 A 0 0 y que BB I donde B Mostrar además que se umple (AB B A 0 B 0 Busaremos la forma de hallar la matriz inversa de A de una manera prátia; para esto reordaremos que el determinante de la matriz a b d es el número real denotado por o por a y denido por Para una matriz busaremos una matriz a b d b d ad b a b d x y B z u tal que AB I es deir hallaremos A donde B A Veámos: Si AB I entones a b x y 0 d z u 0 Multipliando tendremos: ax + bz ay + bu x + dz y + du 0 0 Igualando tendremos las euaiones: ax + bz ay + bu 0 x + dz 0 y + du De las euaiones igualadas a ero podemos enontrar que: y bu a x dz reemplazando en las euaiones igualadas a uno tendremos: z ad+b u a b+ad Por lo tanto: y b b+ad x d ad+b Así ( d A b ad+b b+ad d b ad b a Consideremos dos asos: ad+b a b+ad A ( d b a Si 0; no existen valores de xyzu que satisfagan el sistema exepto x y z u 0 pero entones la matriz será igual a la matriz ero y la matriz ero no tiene inversa Por lo tanto si 0 la matriz A no tendrá inversa Si 0 entones A ( d b a

4 5 Teorema 4 5 Teorema La matriz a a a a tiene inversa A si y solo si 0 Por lo tanto: A ( a a a a Ejemplo: Resolveremos el siguiente sistema de euaiones lineales usando la matriz inversa: Consideremos el sistema 3x + 4x 7 x x 9 Si esribimos una euaión vetor-matriial equivalente de la forma 3 (x x (7 9 4 Así nuestra matriz para la ual podremos hallar una inversa si Veámos: A 0 ( 4 3 Resolver el sistema es despejar el vetor X de la euaión vetor-matriial ambos lados de la igualdad por la inversa de A así: XAb tendremos: XAb Para esto multipliaremos en Veámos: ( 3 (x x 4 0 X b XAA ba XI ba X ba ( 3 (x x 4 ( (7 9 ( ( (x x ( (x x ( (x x (5 Así x 5 x Valores que satisfaen el sistema de euaiones lineales

5 6 Ejeriios propuestos 5 6 Ejeriios propuestos Hallar el determinante de la matriz A; si 0 hallar la matriz A y veriar que AA I a b d Resolver el sistema dado esribiendo una euaión vetor-matriial equivalente de la forma XAb a b d x 3x 7 5x + 4x 3 3x + 4x 0 7x x 5x + 8x 6 4x 3x 7x + 4x 0 x + 5x 3 Mostrar que para A de orden ka k donde k es un número real 4 Sea A una matriz de orden on 0 mostrar que el determinante de A es igual al reíproo del determinante de A; es deir mostrar que A 5 Mostrar que si las matries A y B son de orden on 0 B 0 se umple (AB B A Tener en uenta que B AB 6 Veriar que para 3 B Se umple (AB B A

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