Matriz inversa generalizada y descomposición del valor singular

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1 Matriz inversa generalizada y descomposición del valor singular Divulgación Fernando Velasco Luna y Jesús Hernández Suárez Laboratorio de Investigación y Asesoría Estadística, Facultad de Estadística e Informática, Universidad Veracruzana, Av. Xalapa esq. Av. Xalapa, Veracruz. fvelasco@uv.mx jeshernandez@uv.mx Ávila Camacho s/n, recibido: abril de aceptado: septiembre de resumen La descomposición de una matriz en valores singulares tiene múltiples aplicaciones en la teoría estadística, así como la matriz inversa generalizada. En este trabajo se presenta la definición de la matriz inversa generalizada. La teoría de la descomposición del valor singular de una matriz. Finalmente se presenta una caracterización de la matriz inversa generalizada en términos de la descomposición del valor singular.. Introducción En la teoría estadística son de gran utilidad las diversas descomposiciones que tiene una matriz, por ejemplo la descomposición QR, la descomposión de Schur. La descomposición de una matriz en valores singulares tiene múltiples aplicaciones en la teoría estadística, así como la matriz inversa generalizada. En la sección de este trabajo se presenta la definición de la matriz

2 F. VELASCO LUNA Y J. HERNÁNDEZ SUÁREZ inversa generalizada y su principal objetivo. La teoría de la descomposición del valor singular de una matriz se presenta en la sección. Finalmente se presenta una caracterización de la matriz inversa generalizada de una matriz A en términos de la descomposición del valor singular de tal matriz.. G-inversa de una matriz Consideremos la solución de un sistema de ecuaciones lineales consistente Ax = y, donde A es una matriz m n de rango r mín(m, n). Si las dimensiones de la matriz coinciden, así como su rango, es decir, si m = n = r, entonces existe una única solución del sistema Ax = y, la cual está dada por x = A y, donde A es la matriz inversa de A. Sin embargo, cuando A es rectangular o cuadrada singular, una representación simple de una solución del sistema Ax = y en términos de A es más complicada. Brevemente hablando, una matriz inversa generalizada de A es una matriz A tal que A y es una solución del sistema Ax = y para cualquier y que hace al sistema consistente. Definición.. Sea A una matriz de orden m n de rango r mín(m, n). La matriz A es llamada una matriz inversa generalizada (g-inversa) de la matriz A si se cumple la siguiente condición AA A = A Teorema.. Sea A cualquier matriz, siempre existe una matriz A la cual es una g-inversa de A. Demostración: Sea A una matriz m n de rango r mín(m, n); así, tenemos la existencia de dos matrices invertibles T y S tales que ( ) Ir = TAS. (.) Definamos por ( ) Ir R =

3 MATRIZ INVERSA GENERALIZADA y por ( ) Ir R D =, D D donde D, D y D son matrices cualesquiera de orden adecuado. Se tiene que la matriz R es una matriz g-inversa de la matriz R. Ahora por (.) se tiene que R = TAS y por ser las matrices T y S invertibles tenemos que A = T RS. Definiendo A = SR T, se tiene que la matriz A es una matriz g-inversa de la matriz A, como se puede ver: AA A = T RS SR TT RS = T RR RS = T RS = A. En la teoría general de matrices g-inversas, el objetivo principal es encontrar expresiones para las soluciones de sistemas de ecuaciones consistentes. El siguiente resultado nos da la relación existente entre la solución de sistemas de ecuaciones consistentes del tipo Ax = y y las matrices g-inversas de la matriz A. Lema.. La matriz A es una g-inversa de la matriz A, si y sólo si A y es una solución del sistema Ax = y para cualquier y la cual hace al sistema consistente. Demostración: Supóngase que A es una matriz g-inversa de la matriz A. or hipótesis, el sistema Ax = y es un sistema consistente; así, existe x tal que Ax = y. Ahora tenemos A(A y) = AA (y) = AA (Ax) = AA A(x) = Ax = y; así, A y es una solución del sistema consistente Ax = y. Denotando por a i al i-ésimo vector columna de la matriz A, se tiene que el sistema Ax = a i es un sistema consistente; así, por hipótesis, se tiene que A a i es una solución de Ax = a i, es decir, AA a i = a i, lo anterior se cumple para todos los vectores columna de la matriz A; así, tenemos AA A = A. Observación.. La matriz A es una g-inversa de la matriz A, si y sólo si ya es una solución del sistema xa = y para cualquier y, la cual hace al sistema consistente. or el lema anterior, una forma de encontrar expresiones para las soluciones de sistemas de ecuaciones lineales consistentes, Ax = y, es encontrando una matriz g-inversa de la matriz A.

4 F. VELASCO LUNA Y J. HERNÁNDEZ SUÁREZ. Descomposición del valor singular Definición.. Sea B una matriz de orden m m. Un valor propio de la matriz B es un escalar d, para el que existe un vector x distinto de cero tal que Bx = dx. Sea d un valor propio de la matriz B. Un vector propio de la matriz B es un vector x distinto de cero tal que Bx = dx, y éste se denomina vector propio asociado al valor propio d. Sea A una matriz de orden m n. Se tiene que la matriz AA t es de orden m m y la matriz A t A es de orden n n. Teorema.. (Descomposición en valores singulares.) Sea A una matriz real de orden m n. a) Existen una matriz ortogonal U de orden m m, una matriz ortogonal V de orden n n y una matriz diagonal D = diag(σ, σ,..., σ s ), con σ i, siendo σ σ σ s, donde s = mín{m, n}, tal que es valida la descomposición en valores singulares, i.e., A = UDV t. b) Los números σi conforman los valores propios de AA t (quizás agregándole algunos ceros), y los vectores propios asociados son las columnas v i de V; igualmente, las σi conforman los valores propios de A t A (quizás agregándole algunos ceros), y los vectores propios asociados son las columnas u i de U. Las σ i se llaman los valores singulares de A, los vectores u i se llaman los vectores singulares izquierdos de A y los vectores v i se denominan los vectores singulares derechos de A que se relacionan por Av i = σ u i, para i s. Demostración: Véase Noble y Daniel (, p. ). Denotando por S c (A) al subespacio generado por los vectores columna de la matriz A: Teorema.. (Rango y valores singulares.) Sea A una matriz de orden m n, entonces a) El rango de A es igual al número de valores singulares de A distintos de cero; b) Los primeros k vectores singulares izquierdos u, u,..., u k forman una base ortonormal para el espacio columna S c (A). Demostración: Véase Noble y Daniel (, p. ).

5 MATRIZ INVERSA GENERALIZADA De los teoremas. y. se tiene el siguiente resultado: Sea A una matriz de orden m n de rango r mín(m, n) y sean d, d,..., d r las raíces cuadradas positivas de los valores propios distintos de cero de la matriz A t A. Además, sean C = [C, C ] y V = [V, V ] las matrices m m y n n conteniendo los vectores propios de AA t y de A t A, respectivamente. Las submatrices C y V corresponden a los valores propios distintos de cero d, d,..., d r y son de orden m r y n r, respectivamente. Entonces la descomposición del valor singular de la matriz A es igual a A = C DV t, (.) con D = diag(d, d,..., d r ).. Representación Las matrices C y V de la descomposición en valores singulares de la matriz A tienen la propiedad de que C t C = CC t = I m y VV = VV = I n. Sea M una matriz de orden n m la cual es particionada como M = [ ] M M M M con M de orden r r, M de orden r (m r), M de orden (n r) r y M de orden (n r) (m r). A partir de la matriz M, y tomando las matrices V y C, se puede formar la matriz producto VMC t. Definiendo se tiene [ C t ] A = [V, V ]M, C t [ ] [ M A M C t ] = [V, V ] M M C t ; desarrollando el producto de matrices se obtiene A = V M C t + V M Ct + V M Ct + V M Ct. (.) Las submatrices C, C, V y V cumplen V t V = I r, Vt V = I n r, Ct C = I r, Ct C = I m r

6 F. VELASCO LUNA Y J. HERNÁNDEZ SUÁREZ y V t V = rx(n r), Ct C = rx(m r). or definición A es una inversa generalizada de A si se cumple AA A = A. Desarrollando el producto AA, se tiene, de (.) y (.), que AA = (C DV t )(V M Ct + V M Ct + V M Ct + V M Ct ) = C DV t V M Ct + C DVt V M Ct + C DV t V M Ct + C DVt V M Ct = C DI r M C t + C DI r M Ct + C DM Ct + C DM Ct = C DM C t + C DM Ct ; así, se tiene AA = C DM C t +C DM Ct. Ahora el producto AA A toma la forma AA A = (C DM C t + C DM Ct )(C DVt ) = C DM C t C DVt + C DM Ct C DVt = C DM I r DV t + C DM DVt = C DM DV t ; así, AA A = C DM DV t, de donde se tiene que para que A sea una inversa generalizada de la matriz A es necesario y suficiente que M = D. La caracterización de una inversa generalizada de la matriz en términos de la descomposición en valores singulares de la matrix A, A = C DV t esta dada por: A = V D C t + V M Ct + V M Ct + V M Ct, donde las matrices M, M y M son arbitrarias, con la única restricción en el orden de éstas con M de orden r (m r), M de orden (n r) r y M de orden (n r) (m r).. Referencias [] Noble, Ben, y James W. Daniel, Álgebra lineal aplicada, rentice Hall Hispanoamericana,. [] Halmos,.R., Finite-Dimensional Vector Spaces, segunda edición, Van Nostrand, rinceton, Nueva Jersey,.

7 MATRIZ INVERSA GENERALIZADA [] Hoffman, K., y K. Kunze, Álgebra lineal, rentice Hall Hispanoamericana,. [] Rao, O.R., y S.K. Mitra, Generalized Inverse of Matrices and its Applications, John Wiley, Nueva York,.