ÁLGEBRA LINEAL I Algunas soluciones a la Práctica 3

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1 ÁLGEBRA LINEAL I Algunas soluciones a la Práctica 3 Matrices y determinantes (Curso ) 2. Sea A una matriz diagonal n n y supongamos que todos los elementos de su diagonal son distintos entre sí. Demostrar que cualquier matriz n n que conmute con A ha de ser diagonal. (Examen final, junio 2002) Sea B una matriz que conmuta con A, es decir, AB = BA. Queremos ver que B es diagonal, es decir, b ij = 0 si i j. Comparemos los términos de las matrices AB y BA. El término en la fila i y columna j de AB es: a ik b kj = a ii b ij k=0 ya que los términos a ik con i k se anulan, por ser A diagonal. Por otra parte el término en la fila i y columna j de BA es: b ik a kj = b ij a jj k=0 donde de nuevo los terminos a kj con k j se anulan. Como AB = AB, entonces a ii b ij = a jj b ij y (a ii a jj )b ij = 0. Si i j, entonces a ii a jj 0, porque habíamos supuesto que los términos de la diagonal de A son todos diferentes. Por tanto b ij = 0 si i j y concluimos que B es una matriz diagonal. 4. Sea A una matriz columna de orden n 1 tal que A t A = 1 y B = Id n 2AA t. Demostrar que: a) B es simétrica Hay que comprobar que B t = B. Pero: B t = (Id n 2AA t ) t = Id t n 2(AA t ) t = Id n 2(A t ) t A t = Id n 2AA t = B. b) B 1 = B t Ahora veamos que BB t = Id. Como B t = B tenemos: BB t = BB = (Id n 2AA t )(Id n 2AA t ) = Id n 4AA t + 4AA t AA t. Ahora usamos que A t A = 1: BB t = Id n 4AA t + 4A (A t A) A t = Id n 4AA t + 4AA t = Id n. }{{} 1 (Primer parcial, enero 2008)

2 5. Sea A la matriz cuadrada de tamaño n n (n 2) cuyos elementos son { a si i = j a ij = b si i j Hallar a y b para que se verifique la relación A 2 = I, siendo I la matriz identidad n n. (Examen final, junio 1998) Como A 2 = I, los términos de la diagonal de A 2 son 1 y los términos fuera de la diagonal se anulan. Teniendo en cuenta como está definida A y haciendo el producto A A tenemos: 1 = a ik a ki = ( a ik a ki ) + a ii a ii = ( b 2 ) + a 2 = (n 1)b 2 + a 2 0 = k=1 a ik a kj = ( k=1 k=1,k i k=1,k i,k j k=1,k i a ik a kj ) + a ii a ij + a ij a jj = (n 2)b 2 + 2ab (si i j) Ahora sólo queda discutir las posibles soluciones del sistema de ecuaciones: b(2 n) - Si b 0, podemos dividir por b en la segunda ecuación. Obtenemos a =. Sustituyendo este 2 valor de a en la primera, queda una ecuación de segundo grado. Resolviéndola llegamos a: b = + 2 n, b = 2 n, - Si b = 0, entonces obtenemos a 2 = 1, es decir: a = +2 n n, ó a = 2 n n b = 0, a = +1, ó b = 0, a = 1 6. Sea X una matriz cuadrada de tamaño n n y elementos reales. Sea k un número par. Probar que si X k = Id, entonces n es también un número par. Si se cumple que X k = Id, aplicando determinantes obtenemos que det(x k ) = det( Id). Pero det(x k ) = det(x) k y det( Id) = ( 1) n. Por tanto: det(x) k = ( 1) n Como k es par, det(x) k es positivo; entonces ( 1) n ha de ser positivo y en consecuencia n tiene que ser un número par. 8. Decidir si la familia de matrices hemisimétricas regulares de M n n (K) verifica alguna de las dos condiciones: (a) dada una matriz de la familia, su inversa también pertenece a la familia; (b) dadas dos matrices de la familia, su producto también pertenece a la familia. (a) CIERTO. Una matriz hemisimétrica es aquella que es igual a su traspuesta con el signo opuesto. Basta razonar como antes pero para matrices hemisimétricas: (A 1 ) t = (A t ) 1 pero por ser A hemisimétrica A t = A, luego (A 1 ) t = A 1 y por tanto la inversa es hemisimétrica. (b) FALSO. Como antes dadas A, B hemisimétricas, veamos si AB lo es. De nuevo, (AB) t = B t A t ; por ser A, B hemisimétricas, (AB) t = ( B)( A) = BA. De aquí no se de deduce que AB sea hemisimétrica. Ejemplo: A =, B = 1 0, AB =

3 9. Dadas A, B M n n (IR), con A simétrica y B hemisimétrica, razonar la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones: Observamos que por ser A simétrica A = A t y por ser B hemisimétrica B t = B. (a) AB es hemisimétrica. Tenemos que: (AB) t = B t A t = BA. Si fuese hemisimétrica tendría que cumplirse (AB) t = AB. Pero por ejemplo si A = 1 0, B = 0 2 ( 0 ) Se tiene A = A t, B = B t pero: y BA = AB = ( 0 ) AB. 1 0 (b) A + B es simétrica. Es falso. Basta tomar como ejemplo las matrices del apartado anterior. (c) (A B)(A + B) es simétrica. 10. Se tiene que: ((A B)(A + B)) t = (A + B) t (A B) t = (A t + B t )(A t B t ) = (A B)(A + B), por tanto si es simétrica. (a) Describir todas las matrices singulares reales simétricas 2 2, cuya traza es nula. Supongamos que A es una matriz simétrica singular de traza nula y dimensión 2 2. Por ser simétrica coincide con su traspuesta y puede escribirse como: a b A = b c Por tener traza 0 se verifica que a+c = 0 y por ser singular, su determinante es nulo, es decir ac b 2 = 0. Analizamos el sistema: a + c = 0 ac b 2 = 0 De la primera ecuación obtenemos a = c y sustituyendo en la segunda, a 2 b 2 = 0, es decir, a 2 + b 2 = 0. Pero como a 2 y b 2 son no negativos, la única posibilidad es a = b = 0. Deducimos que la única matriz singular real simétrica de dimensión 2 2 cuya traza es 0 es la matriz nula Ω. (b) Describir todas las matrices singulares reales hemisimétricas 2 2, cuya traza es nula. Ahora si A es una matriz hemisimétrica de dimensión dos, puede escribirse como: 0 b A = b 0 La traza siempre es 0. Si su determinante es nulo, queda b 2 = 0. Por tanto de nuevo la única matriz posible es la matriz nula.

4 13. Hallar el siguiente determinante para n 2 x 1 + y 1 x 1 + y 2 x 1 + y 3 x 1 + y n x 2 + y 1 x 2 + y 2 x 2 + y 3 x 2 + y n A n = x 3 + y 1 x 3 + y 2 x 3 + y 3 x 3 + y n x n + y 1 x n + y 2 x n + y 3 x n + y n Restamos a las filas 2, 3,..., n la primera fila. Queda: x 1 + y 1 x 1 + y 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 A n = x 3 x 1 x 3 x 1 x 3 x 1 x 3 x x n x 1 x n x 1 x n x 1 x n x 1 Vemos que en cada fila 2, 3,..., n los términos son iguales. podemos sacarlos fuera: Por las propiedades del determinante, x 1 + y 1 x 1 + y 2 x 1 x 1 x 1 x A n = (x 2 x 1 )(x 3 x 1 )... (x n x 1 ) Entonces si n > 2, hay dos o más filas iguales y por tanto el determinante es 0. Si n = 2 queda: (Primer parcial, febrero 2003) A 2 = (x 2 x 1 ) x 1 + y 1 x 1 + y = (x 2 x 1 )(y 1 y 2 ) 14. Calcular el siguiente determimante: 0 x 1 x 2... x n x x x n Para qué valores reales de x 1, x 2,..., x n se anula?. Para hallar el determinante lo transformamos mediante operaciones elementales que conserven su valor. Sumaremos a la primera fila la segunda multiplicada por x 1, la tercera por x 2, la cuarta por x 3 y así sucesivamente. Nos queda: x 2 1 x x 2 n x x x n Es una matriz triangular; el determinante es el producto de los términos de la diagonal: x 2 1 x x 2 n.

5 El determinante se anula cuando: x x x 2 n = 0. Pero como el cuadrado de un número es siempre no negativo, la única posibilidad para que se anule la suma de cuadrados es que todos los términos sean nulos, es decir: x 1 = x 2 =... = x n = Encontrar la (única) respuesta correcta, de entre las indicadas, a las siguientes cuestiones: Si A M n n (IR) entonces. A simétrica A antisimétrica. FALSO. Ejemplo: A = Id es simétrica, pero A = Id no es antisimétrica. A simétrica A k simétrica, para cualquier k N. VERDADERO. Como A es simétrica, entonces A t = A y: (A k ) t = (A } A {{... A } ) t = } A t A t {{... A } t = (A t ) k = A k. k veces k veces Luego A k coincide con su traspuesta y así es simétrica. A simétrica A no es antisimétrica. FALSO. A = Ω es simétrica y antisimétrica al mismo tiempo. Ninguna de las anteriores respuestas es correcta. FALSO. (b) En una matriz cuadrada de orden n escribimos las filas en orden inverso. Su determinante queda multiplicado por 1. FALSO. Por ejemplo si la matriz es de orden 1 su determinante no varía. Su determinante queda invariante. FALSO. Por ejemplo si la matriz es no singular de orden 2, invertir el orden de sus filas es hacer exactamente un único cambio de posición de dos de ellas, por tanto el determinante cambia de signo. Su determinante queda multiplicado por ( 1) n. FALSO. De nuevo no se cumple para matrices no singulares de orden 2. Ninguna de las restantes respuestas es correcta. VERDADERO. Motivo I: Todas falsas hasta ahora... pues entonces es cierta. Motivo II Demos una respuesta más completa. Qué es lo que pasa realmente? Para saber si cambia de signo hay que contar cuantos cambios de posición de filas se hacen para invertir el orden completamente: - Si n es par (n = 2k), entonces intercambiamos posiciones de las filas 1 y n; 2 y n 1;... ; k y k + 1. Es decir hacemos k cambios. Por tanto el determinante queda multiplicado por ( 1) k. Si k es par, se mantiene igual; si k es impar cambia de signo. - Si n es impar (n = 2k + 1), entonces hacemos intercambios de las filas 1 y n; 2 y n 1;... ; k y k + 2. El determinante queda multiplicado por ( 1) k. Si k es par, se mantiene igual; si k es impar cambia de signo. En definitiva el determinante cambia de signo sólo cuando n = 2k ó n = 2k + 1 con k impar. Equivalentemente, cuando n es de la forma n = 4m + 2 ó n = 4m + 3.

6 (Examen final, junio 2000) (c) Sea A M n n (IR). A 2 = Ω A = Ω. FALSO. Por ejemplo tomando A = A 2 singular A singular. se cumple A = Ω, pero A Ω. VERDADERO. Si A 2 es singuar, A 2 = 0. Pero A 2 = A 2, luego A es también singular. A 2 simétrica A simétrica. FALSO. ( Motivo ) I: Ya encontramos la verdadera. Motivo II.: Otra vez el ejemplo del primer apartado, A = no es simétrica pero su cuadrado si lo es. 0 0 A 2 triangular inferior A triangular inferior. FALSO. El mismo ejemplo de los puntos anteriores. (Primer parcial, febrero 1999) (d) Sean A y B matrices reales invertibles n n. Indicar la proposición falsa. Si A y B conmutan entonces A 1 y B conmutan. VERDADERA. Se tiene: AB = BA A 1 ABA 1 = A 1 BAA 1 BA 1 = A 1 B Si A y B conmutan entonces A 1 y B 1 conmutan. VERDADERA. Se tiene: AB = BA (AB) 1 = (BA) 1 B 1 A 1 = A 1 B 1 La matriz (A 1 B) t siempre tiene inversa. VERDADERA. Ya que si A y B son inversibles su determinantes es no nulo. Por tanto det(a 1 B) = det(a) 1 det(b) 0 (A 1 B) t siempre tiene inversa la matriz (A 1 + B) t siempre tiene inversa. FALSA. Por ejemplo: A = (1) y B = ( 1).

7 ÁLGEBRA LINEAL I Soluciones a los problemas adicionales Matrices y determinantes (Curso ) I. En el conjunto de las matrices n n de elementos reales, demostrar que si AA T = Ω, entonces A = Ω. Llamemos B = A T. Entonces por definición de traspuesta, b ij = a ji. Ahora por hipotésis Ω = AA t = AB. Haciendo el producto vemos que para cualquier i, j con, 1 i, j n: En particular, si i = j: 0 = 0 = a ik b kj = k=0 a ik a ik = k=0 a ik a jk Por ser A una matriz con coeficientes reales, los cuadrados a 2 ik son siempre números no negativos. Si su suma es cero, todos ellos han de ser cero, y deducimos que a ik = 0 para cualquier i, k con, 1 i, k n. Por tanto A = Ω. (Primer parcial, febrero 2000) k=0 k=0 a 2 ik II. Calcular las potencias n-simas de las siguientes matrices: El método ( de momento!) más usual es hacer a mano las primeras potencias y luego encontrar una regla general: (a) A = Calculamos las primeras potencias A 2 = , A 3 = , A 4 = , Parece razonable pensar que, en general: A n = n 0 2n Hay que comprobarlo. Se hace por inducción. Para ello: - Vemos que se cumple para A 1. - Comprobamos que, si suponemos cierta la fórmula para n 1, entonces se cumple para n, es decir: A n = A A n 1 = A n 1 0 = n 0 2(n 1) 2n (b) B = ( 1 ) 1 1 1

8 Calculamos las primeras potencias: B =, B 3 = 2 0 Ahora es fácil continuar porque: ( ), B 4 = 4 0 = ( 4)Id 0 4 B 5 = B B 4 = ( 4)B; B 6 = ( 4)B 2 ; B 7 = ( 4)B 3 ; B 8 = ( 4) 2 Id;... En general, el exponente n siempre lo podemos escribir como n = 4d + r donde r es el resto de dividir n entre 4 y por tanto es un número entero comprendido entre 0 y 3. Tendremos: B n = B 4d+r = (B 4 ) d B r = ( 4) d Id B r = ( 4) d B r En definitiva escribimos el resultado dependiendo de los 4 posibles valores de r: B n = ( 4) d 1 0, si n = 4d; B n = ( 4) d B n = ( 4) d 1 1, si n = 4d + 1; , si n = 4d + 2; 2 0 B n = ( 4) d 2 2, si n = 4d + 3; 2 2 (c) C = 0 a b c 0 0 Hacemos las primeras potencias: C 2 = 0 0 ab bc 0 0, C 3 = abc abc 0 = abc ac abc 0 Paramos en la tercera potencia. Nos fijamos que C 3 = abcid. Ahora es muy fácil multiplicar por C 3. Podemos en general hacer lo siguiente. Dado n > 0, sabemos que n = 3q + r, donde q es el cociente y r < 3 es el resto de dividir n por 3. Por tanto: C n = C 3q+r = (C 3 ) q C r = (abci) q C r = a q b q c q C r y, C n = aq b q c q a q b q c q a q b q c q, si n = 3q; 0 a q+1 b q c q 0 C n = 0 0 a q + b q+1 c q, si n = 3q + 1; a q b q c q a q+1 b q+1 c q C n = a q b q+1 c q+1 0 0, si n = 3q a q+1 b q c q+1 0

9 (d) D = a2 ab ac ab b 2 bc. Hacemos las primeras potencias: ac bc c 2 D 2 = a4 + a 2 b 2 + a 2 c 2 a 3 b + ab 3 + abc 2 a 3 c + ab 2 c + ac 3 a 3 b + ab 3 + abc 2 a 2 b 2 + b 4 + b 2 c 2 a 2 bc + b 3 c + bc 3 a 3 c + ab 2 c + ac 3 a 2 bc + b 3 c + bc 3 a 2 c 2 + b 2 c 2 + c 4 Ahora es fácil seguir haciendo las potencias de D, porque: En general vemos que; D 3 = D 2 D = (a 2 + b 2 + c 2 )D 2 = (a 2 + b 2 + c 2 ) 2 D D 4 = D 3 D = (a 2 + b 2 + c 2 ) 2 D 2 = (a 2 + b 2 + c 2 ) 3 D... De nuevo hay que comprobarlo por inducción: D n = (a 2 + b 2 + c 2 ) n 1 D - Para n = 1 es cierto, ya que D 1 = (a 2 + b 2 + c 2 ) 1 1 D = D. - Lo suponemos cierto para n 1 y lo probamos para n: = (a 2 + b 2 + c 2 )D D n = D n 1 D = (a 2 + b 2 + c 2 ) n 2 D D = (a 2 + b 2 + c 2 ) n 2 D 2 = = (a 2 + b 2 + c 2 ) n 2 (a 2 + b 2 + c 2 )D = (a 2 + b 2 + c 2 ) n 1 D. III. Para las siguientes familias de matrices no singulares de M n n (K), decidir si verifican alguna de las dos condiciones: (a) dada una matriz de la familia, su inversa también pertenece a la familia; (b) dadas dos matrices de la familia, su producto también pertenece a la familia. (1) las matrices simétricas regulares, (a) CIERTO. Que sea regular simplemente significa que tiene inversa. Y una matriz simétrica es aquella que coincide con su traspuesta. Hay que probar que si una matriz es simétrica su inversa es también simétrica. Basta usar las propiedades de la trasposición: (A 1 ) t = (A t ) 1 pero por ser A simétrica A t = A, luego (A 1 ) t = A 1 y por tanto la inversa es simétrica. (b) FALSO. Dadas A, B simétricas, veamos si lo es AB. Tenemos (AB) t = B t A t ; por ser A, B simétricas deducimos que (AB) t = BA. Teniendo en cuenta que el producto de matrices no es conmutativo, en general BA AB y por tanto AB no tiene porque ser simétrica. Veamos un ejemplo del de dos matrices simétricas cuyo prdoducto NO lo es: A =, B = , AB = (2) las matrices regulares que conmutan con una matriz dada A M n n (K), (a) CIERTO. Supongamos que una matriz regular B conmuta con A. Veamos que también conmuta su inversa. Por conmutar A yb se tiene AB = BA. Multiplicando ambos términos, por la derecha y por la izquierda por B 1 tenemos, B 1 ABB 1 = B 1 BAB 1. Y como BB 1 = B 1 B = I queda, B 1 A = AB 1. (b) CIERTO. Supongamos que B y C conmutan con A. Veamos que entonces BC también conmuta con A: (BC)A = B(CA) = B(AC) = (BA)C = A(BC)

10 (3) las matrices ortogonales. Una matriz ortogonal es aquella cuya inversa es igual a su traspuesta. (a) CIERTO. Sea A ortogonal (A t = A 1 ). Veamos que A 1 es ortogonal: (A 1 ) t = (A t ) 1 = (A 1 ) 1 Vemos que su traspuesta coincide con su inversa y es ortogonal. (b) CIERTO. Sean A, B ortogonales. Veamos que AB es ortogonal. (AB) t = B t A t = B 1 A 1 = (AB) 1 Luego vemos que su inversa coincide con su traspuesta. IV. Calcular razonadamente el siguiente determinante: Restamos a cada columna la anterior multiplicada por 10 y queda: = = = 10 = = 10 = 10 = VI. Dada la matriz m n con m, n > 1, n 1 n n + 1 n n 1 2n A = (m 1)n + 1 (m 1)n mn 1 mn expresar a ij en función de i y j, y calcular su rango. El término a ij es de la forma: a ij = j + (i 1) n Para hallar el rango hacemos operaciones fila y columna sobre la matriz A. Le restamos la primera fila a todas las demás: n 1 n n n... n n (m 1)n (m 1)n... (m 1)n (m 1)n Ahora le restamos la primera columna a todas las demás: n 2 n 1 n (m 1)n Vemos que las filas 3,..., m son proporcionales a la segunda. Por tanto el rango es a lo sumo 2. Para ver que el rango es exactamente 2 basta mostrar un menor 2 2 de determinante no nulo: 1 1 n 0 = n.

11 VII. Dados x R, x 0 y la matriz x x A =, 1 x 0 x 1 x x 0 calcular det(a 3 ) y det(a 1 ). Por las propiedades del determinante: det(a 3 ) = det(a) 3 det(a 1 ) = 1 det(a) por lo que nuestro problema se reduce a calcular el det(a): x x det(a) = det = det x x 0 = 0 x x 0 x 0 x 0 x 0 x = det x 2x x 2x x = det = (4x 2 x 2 ) = 3x 2. x 2x x x 2x y en definitiva: det(a 3 ) = ( 3x 2 ) 3 = 27x 6, det(a 1 ) = 1 3x 2. VIII. Dado a R y para cada n entero positivo definimos las matrices A n M n n (R): 3 a a... a a a 3 a... a a a a 3... a a A n = a a a... 3 a a a a... a 3 (a) Calcular en función de a, det(a 4 ). (b) Calcular en función de a y n, det(a n ). Calculemos en general el det(a n ). Si sumamos todas las filas a la primera queda: 3 + (n 1)a 3 + (n 1)a 3 + (n 1)a (n 1)a 3 + (n 1)a a 3 a... a a a a 3... a a det(a n ) = = a a a... 3 a a a a... a a 3 a... a a a a 3... a a = (3 + (n 1)a) a a a... 3 a a a a... a 3

12 Ahora le restamos la primera fila multiplicada por a a todas las demás: a a det(a n ) = (3 + (n 1)a) = (3 + (n 1)a)(3 a) n a a En particular: det(a 4 ) = (3 + 3a)(3 a) 3 = 3(1 + a)(3 a) 3. IX. Encontrar la (única) respuesta correcta, de entre las indicadas, a las siguientes cuestiones: (a) Sean A, B dos matrices cuadradas reales de dimensión 2 2 tales que A B = Ω. Entonces: A = Ω ó B = Ω. FALSO. Por ejemplo, si A = rango(a) < y B = 0 0 FALSO. Por ejemplo, si A = Id y B = Ω. rango(a) + rango(b) < 3. VERDADERO. Veamos los casos posibles: - Si rango(a) = 2 entonces A es inversible, y 0 0. A B = Ω A 1 A B = A 1 Ω B = Ω rango(b) = 0 por tanto rango(a) + rango(b) = 2 < 3. - Si rango(b) = 2 entonces razonando como antes, volvemos a obtener rango(a) + rango(b) = 2 < 3. - En otro caso, rango(a) 1 y rango(b) 1 y por tanto rango(a) + rango(b) 2 < 3. A = B = Ω. FALSO. Por ejemplo, si A = Id y B = Ω. (b) Sea la matriz real de dimensión n n: Su determinante es: A = Si vamos desarrollando el determinante, sucesivamente por la primera fila tenemos que ir mutiplicando en cada paso por: ( 1) n 1, ( 1) n 2, ( 1) n 3,... hasta llegar a ( 1) 1. Por tanto el exponente de ( 1) será la suma de los n 1 primeros números enteros n(n 1) positivos, es decir: 2 ( 1)

13 FALSO. ( 1) n FALSO. ( 1) n(n 1) 2 VERDADERO. ( 1) n(n+1) 2 FALSO. (c) Dada una matriz A M n n que cumple A 2 + βa + αi = Ω si β = 0, A es siempre regular. FALSO. Por ejemplo si β = α = 0 y A = Ω se verifica la ecuación, pero A no es regular. si α = 0, A es siempre singular. FALSO. En este caso la ecuación puede escribirse. A(A + βi) = Ω. Vemos por ejemplo que si β = 1, y A = I, la ecuación se cumple pero A no es singular. si α 0, A puede ser singular. FALSO. La ecuación puede escribirse A(A + βi) = I. Si A fuese singular, aplicando determinantes tendríamos que I = A A + βa = 0. Pero en realidad I = ( 1) n 0. si β 0, A puede ser singular VERDADERO. Motivo I: Si el enunciado no miente y las demás son falsas esta ha de ser verdera. Motivo II: (MEJOR) Por ejemplo, si α = 0 y A = 0 la ecuación se cumple y A es singular (hay que fijarse, en que nos dicen que A puede ser singular, no que necesariamente lo sea). (Primer parcial, febrero 2001)