6.3. Uso de la SVD para determinar la estructura de una matriz. Primero definiremos algunas características de matrices.

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Martín Cáceres Aguilar
hace 7 años
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1 Edgar Acuña/ ESMA 6665 Lecc Uso de la SVD para determiar la estructura de ua matriz Primero defiiremos alguas características de matrices. Rago de ua matriz: Sea A ua matriz m x se etoces su rago es defiido como el úmero de columas( o filas ) liealmete idepedietes que tiee dicha matriz. Ua matriz se dice que es de rago completo por columas si todas sus columas so liealmete idepedietes. Ua matriz se dice que es de rago completo por filas si todas sus filas so liealmete idepedietes.. Ua matriz es de rago completo si es de rago completo por filas o por columas. Propiedades del rago de ua matriz a) rago(a)=rago(a ) b) rago(ab) rago(a) + rago(b)- dode B es x p. c) rago(ab) mi(rago(a),rago(b)) d) rago(a+b) rago(a)+rago(b) e) Si A es ua matriz cuadrada y de rago completo etoces su iversa existe Matlab tiee ua fució rak que estima el rago de ua matriz ( ver más adelate, lo referete a rago umérico. Normas de vectores y matrices Sea x=(x,x, x ) u vector dimesioal etoces se puede defiir las siguietes ormas vectoriales a) x = x + x + x b) x = x + x x (orma Euclideaa) c) x =maxi x i Sea A ua matriz m x etoces se puede defiir las siguietes ormas m a) A = max aij, es la mayor de la suma de los valores absolutos de las columas j i= b) A = max a i m j= ij, es la mayor de la suma de los valores absolutos de las filas Ax c) A = max x x A = max eigevalue AA', llamada la orma espectral. Se puede demostrar que

2 Edgar Acuña/ ESMA 6665 Lecc 8 76 m d) A F = i= j= A F =traza(aa ). ( a ij ), llamada la orma de Frobeius. Se puede mostrar que La fució orm de MATLAB calcula la orma de ua matriz. E R hay ua librería Matriz, dode hay ua fucio orm que calcula la orma de ua matriz. Número Codició: U problema se dice que está mal codicioado si pequeña perturbacioes e los datos causa u gra aumeto e el error relativo de la solució. El úmero codició idica si el problema está mal codicioado o o. Para u sistema de ecuacioes Ax=b, el úmero codició es A A -. Si el úmero codició es grade etoces, digamos mayor que, hay mal codicioamieto. Frecuetemete, lo que se hace es estimar el valor del úmero codició y o hay ecesidad de calcular la iversa explicitamete. Ejemplo Cosideremos el sistema Hx=b, dode H es la matriz de Hilbert de orde 5 (H[i,j]=/(i+j-)) y b=(.833,.45,.99,.8845,.7456) cuya solució exacta es (,,,,). Si la etrada (5,) que es. se perturba a. etoces la solució cambia a (.9937,.5,.4365,.8765,.568). E R, > library(matrix) > Hilbert(5) 5 x 5 Matrix of class "dpomatrix" [,] [,] [,3] [,4] [,5] [,] [,] [3,] [4,] [5,] > # Norma- >orm(hilbert(5)) [] ># Norma Frobeius > orm(hilbert(5),type="f") [].5896 > orm(hilbert(5),type="m") [] > orm(hilbert(5),type="i") [] > rcod(hilbert(5)) [].5978e-6 > # umero codicio

3 Edgar Acuña/ ESMA 6665 Lecc 8 77 >/rcod(hilbert(5)) [] E Matlab, la fució hilb() defie ua matriz de Hilbert de orde 5. La fucio cod(a) da el úmero codició de ua matriz» hilb(5) as = » x=hilb(5)oes(5,) x = » A=hilb(5)» A(5,)=. A = » iv(a)x as =

4 Edgar Acuña/ ESMA 6665 Lecc » cod(hilb(5)) as =» 4.766e+5 La SVD puede ser usada para calcular el rago de ua matriz, alguas de sus ormas y el úmero codició. Todas ellas de algua maera defie la estructura de ua matriz. Así, sea σ i el i-ésimo valor sigular de A. A =σ max. E efecto, A = USV = S =σ max. A F = σ + σ σ 3. A - =/σ mi. 4. Cod (A)= A A - =σ max /σ mi. Rago Numérico de ua matriz El úmero de valores sigulares distitos de ceros determia el rago de ua matriz. El problema es cuado aceptar que u valor sigular calculado co computadoras sea cero. Ua regla práctica es la siguiete: Aceptar u valor sigular como cero si es meor que δ= -t A, asumiedo so correctas hasta t digitos. Luego el rago umérico de ua matriz se determia cotado el úmero de valores sigulares que so mayores que δ 6.4. Calculado la SVD Como se ha visto ateriormete los valores sigulares so las raices positivas de los valores propios de la matriz simétrica A A. Si embargo, ésta o es la forma más eficiete de calcular la SVD debido a que puede haber errores de redodeo e el cálculo de A A. Ejemplo. Sea la matriz.. A=.. Los valores sigulares de A so. y. Por otro lado

5 Edgar Acuña/ ESMA 6665 Lecc A A=.. Los valores propios de A A so y 4.4, por lo tato sus raices cuadradas o daria Los valores sigulares. Existe varios algoritmos para calcular la SVD de ua matriz pero la mas usada es el Algorito de Golub, Kaha y Reish (97). El algoritmo cosiste de dos etapas. Etapa. La matriz A de orde m x es trasformada e ua matriz bidiagoal superior B usado trasformacioes ortogoales, usualmete se usa - matrices Householder. Más especificamete, B U AV= Dode B es ua matriz bidiagoal superior de la forma B= U cosiste del producto de matrices Householder y V cosiste del producto de - Householder. Etapa. La matriz Bidiagoal B es reducida a la matriz diagoal S usado u algoritmo iterativo implícito basado e QR co matrices Gives. Al fial se obtedrá ' U BV = S dode S es la matriz que cotiee los valores sigulares de A. E cada paso del proceso iterativo se obtiee ua matriz bidiagoal que tiee valores e la diagoal que so meores que la del paso aterior y cada vez se aproxima a cero. Esto se obtiee aplicado QR a la matriz tridiagoal y simétrica B B y dode para acelerar la covergecia se aplica ua factor de traslació a cada elemeto de B B. Este factor de correcció es llamado Wilkiso Shift y es igual al valor propio de la submatriz x localizada e la parte iferior de B B que resulta e cada paso.

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