Tema 4: Matrices y Determinantes. Algunas Notas sobre Matrices y Determinantes. Álgebra Lineal. Curso

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1 Tema 4: Matrices y Determinantes Algunas Notas sobre Matrices y Determinantes Álgebra Lineal Curso Prof. Manu Vega Índice 1. Determinantes 3 2. Regla de Sarrus 3 3. Propiedades de los determinantes 3 4. Desarrollo de un determinante por los elementos de una fila (columna) 5 5. Rango de una matriz Teorema del rango Caracterización del rango mediante determinantes Transformaciones que conservan el rango de una matriz Matrices invertibles Definiciones previas Definición de matriz inversa

2 6.3. Propiedades de la matriz inversa Matrices Ortogonales 8 8. Matrices equivalentes Propiedad Matrices semejantes Propiedades de las matrices semejantes Matrices congruentes Propiedades de las matrices congruentes

3 1. Determinantes Empezaremos estudiando una regla práctica para el cálculo de determinantes de orden 3 3 y pasaremos a la resolución de determinantes de órdenes superiores. Posteriormente, estudiaremos el rango y la inversión de matrices, transformaciones elementales para el cálculo del rango y de la matriz inversa, y, por ltimo, el concepto de matrices equivalentes. 2. Regla de Sarrus Un determinante es el valor numérico de una matriz cuadrada. Para calcular el valor de un determinante de orden 3 3. La forma nemotécnica de esta regla es la siguiente: productos positivos (diagonales hacia la derecha) - productos negativos (diagonales hacia la izquierda) a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 22 a 33 + a 21 a 32 a 13 + a 12 a 23 a 31 a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33 a 11 a 23 a Propiedades de los determinantes 1. El determinante de una matriz A y el de su traspuesta A t son iguales A = A t. 2. Si todos los elementos de una fila (columna) contienen un factor común, éste puede 3

4 sacarse fuera del determinante a 11 a a 1n a 21 a a 2n λa i1 λa i2... λa in a n1 a n2... a nn = λ a 11 a a 1n a 21 a a 2n a i1 a i2... a in a n1 a n2... a nn. 3. Si se intercambian dos filas o dos columnas de un determinante, éste cambia de signo. 4. Si un determinante tiene dos filas (o dos columnas) iguales, es igual a cero. 5. Si en un determinante, se añade a una fila (columna) una combinación lineal de las otras filas (columnas) el valor del determinante no varía. 6. Si un determinante tiene una fila (columna) cuyos efectos son todos iguales a cero, es cero. 7. Si A es una matriz triangular, entonces su determinante es igual al producto de los elementos diagonales. 8. El determinante del producto de dos matrices cuadradas del mismo orden es igual al producto de los determinantes: A B = A B 4

5 4. Desarrollo de un determinante por los elementos de una fila (columna) Definición 1 Se llama menor complementario del elemento a ij, al determinante que resulta de suprimir la fila i-ésima y la columna j-ésima. Lo designaremos por M ij. M ij = a a 1j 1 a 1j+1... a 1n a i a i 1j 1 a i 1j+1... a i 1n a i a i+1j 1 a i+1j+1... a i+1n a n1... a nj 1 a nj+1... a nn Definición 2 Se llama adjunto del elemento a ij y se representa por A ij al valor A ij = ( 1) i+j M ij. El valor de un determinante es igual a la suma de los elementos de una fila (columna) multiplicados por sus respectivos adjuntos El criterio para preferir el desarrollo por una u otra línea es claro: conviene desarrollar por aquellas líneas que tengan el máximo número de elementos iguales a cero. 5. Rango de una matriz Sea A una matriz de orden m n y sean f 1, f 2,..., f m sus m vectores-fila, llamamos rango por filas de la matriz A al número máximo de vectores linealmente independientes. Sea A una matriz de orden m n y sean c 1, c 2,..., c n sus n vectores-columna, llamamos rango por columnas de la matriz A al número máximo de vectores linealmente independientes. 5

6 5.1. Teorema del rango En cualquier matriz el rango por filas es igual al rango por columnas Caracterización del rango mediante determinantes El rango de una matriz A es igual al orden del mayor menor complementario no nulo Transformaciones que conservan el rango de una matriz 1. Multiplicar todos los elementos de una fila o una columna por un número distinto de cero. 2. Sumar a una fila o columna una combinación lineal de las restantes filas o columnas. 3. Suprimir una fila (columna) cuyos elementos sean todos iguales a cero. 4. Suprimir una fila (columna) que sea combinación lineal de otras. 5. Intercambiar dos filas o columnas. 6. Matrices invertibles 6.1. Definiciones previas Definición 3 Una matriz cuadrada A se dice que es regular si A 0. Definición 4 Una matriz cuadrada A se dice que es singular si A = Definición de matriz inversa Definición 5 Dada una matriz A M n n se llama matriz inversa de A y se representa por A 1 aquella que tiene la propiedad 6

7 A 1 A = A A 1 = I n. Podemos calcular la inversa de dos maneras alternativas. Una con la siguiente regla: t A 11 A A 1n A 1 = 1 A 21 A A 2n. A... A n1 A n A nn La otra haciendo transformaciones elementales sobre la siguiente matriz: a 11 a a 1n a 21 a a 2n a n1 a n2... a nn Propiedades de la matriz inversa La matriz inversa si existe es única. En general, una matriz cuadrada no tiene inversa. Una matriz A es invertible si y sólo si tiene determinante no nulo. Por lo tanto, una matriz es invertible es regular. Dadas A y B, dos matrices regulares se verifica: (A B) 1 = B 1 A 1. Dada una matriz regular A se verifica: (A t ) 1 = (A 1 ) t ; A 1 = 1 A. El subconjunto de las matrices regulares del conjunto M n n constituye un subgrupo multiplicativo no conmutativo. 7

8 7. Matrices Ortogonales Una matriz cuadrada C se dice ortogonal si verifica: C C = C C = I. Las líneas de C son vectores ortonormales. 1. Si C es ortogonal entonces es regular. Aún más C = ±1. 2. Si C es ortogonal, C 1 = C t. 3. Si C 1, C 2 son ortogonales, C 1 C 2 es ortogonal. 4. Si C es ortogonal, C 1 es ortogonal. 5. El conjunto de las matrices ortogonales de orden n es un grupo multiplicativo. 8. Matrices equivalentes Decimos que dos matrices A, B M m n son equivalentes si existen dos matrices regulares E y F tales que A = E B F Propiedad Si A y B son matrices equivalentes entonces rg (A) = rg (B). 9. Matrices semejantes Se dice que dos matrices cuadradas A y B son semejantes si y sólo si existe una matriz P invertible tal que B = P 1 A P. La matriz P se llama matriz de paso. 8

9 9.1. Propiedades de las matrices semejantes (i) Si dos matrices son semejantes, entonces son equivalentes. (En general, el recíproco no es cierto) (ii) Si B = P 1 A P entonces B n = P 1 A n P. (iii) Si A y B son matrices semejantes entonces rg (A) = rg (B). (iv) La suma de dos matrices semejantes es semejante a sí misma, es decir: (v) Dadas A y B matrices semejantes (B = P 1 A P ) entonces A+B = P 1 (A+B) P. (vi) Las matrices semejantes tienen el mismo determinante. 10. Matrices congruentes Dos matrices cuadradas A y B son congruentes si y solo si existe una matriz regular P tal que B = P t A P Propiedades de las matrices congruentes (i) Si A y B son congruentes entonces son equivalentes. (ii) Si A y B son congruentes entonces rg (A) = rg (B). Referencias [1] Álgebra lineal para economía y empresa. E. Prieto. Edit. San Julián, [2] Manual de álgebra lineal para la economía y la empresa. Flor M. Guerra Casas y María J. Vázquez Cueto. Edic. Pirámide,

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