MATRICES. Rango de una matriz. Matriz Inversa. Determinante de una matriz cuadrada. Sistemas de Ecuaciones Lineales. Nociones de espacios vectoriales

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1 MATRICES Rango de una matriz Matriz Inversa Determinante de una matriz cuadrada Sistemas de Ecuaciones Lineales Nociones de espacios vectoriales

2 MATRICES -DEFINICIÓN DE MATRIZ. -ALGUNOS TIPOS DE MATRICES. -IGUALDAD DE MATRICES. -OPERACIONES CON MATRICES. -APLICACIONES A LA INFORMÁTICA. -RANGO DE UNA MATRIZ.

3 DEFINICIÓN N DE MATRIZ Una tabla rectangular del tipo A a a a a... m a a a a... m a a a a... m a a a a n n n... mn se denomina MATRIZ

4 ORDEN DE UNA MATRIZ El número de filas (m) y el número de A columnas (n) definen el orden de una matriz A Si m n, se dice que la matriz es CUADRADA El orden de la matriz A es 4 x.

5 TIPOS DE MATRICES Matriz FILA: Es una matriz que consta de una sola fila.

6 TIPOS DE MATRICES Matriz FILA: Es una matriz que consta de una sola fila. B ( 4) El orden de la matriz B es x 4 Luego, el orden de toda matriz FILA es x n

7 TIPOS DE MATRICES Matriz COLUMNA: Es una matriz que consta de una sola columna.

8 TIPOS DE MATRICES Matriz COLUMNA: Es una matriz que consta de una sola columna. C - El orden de la matriz C es x Luego, el orden de toda matriz COLUMNA es m x

9 TIPOS DE MATRICES Matriz NULA: Es una matriz de cualquier orden en que todos sus elementos son iguales a cero.

10 TIPOS DE MATRICES Matriz NULA: Es una matriz de cualquier orden en que todos sus elementos son iguales a cero.

11 TIPOS DE MATRICES Matriz NULA: Es una matriz de cualquier orden en que todos sus elementos son iguales a cero

12 TIPOS DE MATRICES Matriz DIAGONAL: Es una matriz cuadrada en que todos los elementos que no están en la diagonal principal son iguales a cero.

13 TIPOS DE MATRICES Matriz DIAGONAL: Es una matriz cuadrada en que todos los elementos que no están en la diagonal principal son iguales a cero.

14 TIPOS DE MATRICES Matriz DIAGONAL: Es una matriz cuadrada en que todos los elementos que no están en la diagonal principal son iguales a cero. D 5

15 TIPOS DE MATRICES Matriz UNITARIA o IDENTIDAD: Es una matriz diagonal en que todos los elementos de la diagonal principal son iguales a uno.

16 TIPOS DE MATRICES Matriz UNITARIA o IDENTIDAD: Es una matriz diagonal en que todos los elementos de la diagonal principal son iguales a uno y los restantes iguales a cero.

17 TIPOS DE MATRICES TIPOS DE MATRICES TIPOS DE MATRICES Matriz UNITARIA o IDENTIDAD: Es una matriz diagonal en que todos los elementos de la diagonal principal son iguales a uno y los restantes iguales a cero I

18 TIPOS DE MATRICES Matriz TRIANGULAR: Es toda matriz cuadrada donde todos los elementos que están por debajo (por encima) de la diagonal principal son iguales a cero.

19 TIPOS DE MATRICES Matriz TRIANGULAR: Es toda matriz cuadrada donde todos los elementos que están por debajo (por encima) de la diagonal principal son iguales a cero.

20 TIPOS DE MATRICES Matriz TRIANGULAR: Es toda matriz cuadrada donde todos los elementos que están por debajo (por encima) de la diagonal principal son iguales a cero. E 7 Matriz TRIANGULAR SUPERIOR

21 TIPOS DE MATRICES Matriz TRIANGULAR: Es toda matriz cuadrada donde todos los elementos que están por debajo (por encima) de la diagonal principal son iguales a cero. A Matriz TRIANGULAR INFERIOR

22 IGUALDAD DE MATRICES Dos matrices A y B del mismo orden son iguales si sus elementos correspondientes son iguales. A B si y solo si a ij b ij para todo i, j. A B a b Luego A B

23 OPERACIONES CON MATRICES Adición y Sustracción de matrices.

24 OPERACIONES CON MATRICES Adición y Sustracción de matrices. Producto de un número real por una matriz.

25 OPERACIONES CON MATRICES Adición y Sustracción de matrices. Producto de un número real por una matriz. Producto de matrices.

26 OPERACIONES CON MATRICES Adición y Sustracción de matrices. Producto de un número real por una matriz. Producto de matrices.

27 OPERACIONES CON MATRICES. Suma de Matrices Dos matrices pueden sumarse cuando son del mismo orden (tienen el mismo número de filas y de columnas) y esta operación se realiza elemento a elemento. Por ejemplo : esta matriz de orden dos, solo puede ser sumada con matrices de igual orden que ella. A 4

28 4 A 5 B 5 D x 4 C x

29 OPERACIONES CON MATRICES Suma de Matrices A 4 B 5 + A+ B

30 OPERACIONES CON MATRICES Suma de matrices. A 4 B 5 + A+ B

31 OPERACIONES CON MATRICES Suma de Matrices A 4 B 5 A+ B

32 OPERACIONES CON MATRICES Suma de Matrices A 4 B 5 A+ B

33 OPERACIONES CON MATRICES Suma de Matrices A 4 B 5 A+ B

34 OPERACIONES CON MATRICES Suma de Matrices A 4 B 5 A+ B

35 OPERACIONES CON MATRICES Suma de Matrices A 4 B 5 A+ B

36 OPERACIONES CON MATRICES Suma de Matrices A 4 B 5 9 A+ B 5

37 OPERACIONES CON MATRICES Producto de un escalar cualquiera por una matriz. Se puede efectuar siempre y se realiza multiplicando cada elemento de la matriz por el escalar. Multipliquemos esta matriz por el escalar C 4 x

38 OPERACIONES CON MATRICES Producto de un escalar cualquiera por una matriz C 4 x. ( ) C

39 OPERACIONES CON MATRICES Producto de un escalar cualquiera por una matriz. C 4 x. ( ) C

40 OPERACIONES CON MATRICES Producto de un escalar cualquiera por una matriz. C 4 x. C ( ).

41 OPERACIONES CON MATRICES Producto de un escalar cualquiera por una matriz. C 4 x. C ( ).

42 OPERACIONES CON MATRICES Producto de un escalar cualquiera por una matriz. C 4 x. C ( )..4

43 OPERACIONES CON MATRICES Producto de un escalar cualquiera por una matriz. C 4 x. C ( )..4

44 OPERACIONES CON MATRICES Producto de un escalar cualquiera por una matriz. C 4 x. C (. )..4

45 OPERACIONES CON MATRICES Producto de un escalar cualquiera por una matriz. C 4 x. C ( )...4

46 OPERACIONES CON MATRICES Producto de un escalar cualquiera por una matriz. C 4 x. C ( ).. ( ).4

47 OPERACIONES CON MATRICES Producto de un escalar cualquiera por una matriz. C 4 x. C ( ).. ( ).4

48 OPERACIONES CON MATRICES Producto de un escalar cualquiera por una matriz. C 4 x. C (. ) (. ).4.

49 4 C x C. OPERACIONES CON MATRICES OPERACIONES CON MATRICES Producto de un escalar cualquiera por una matriz.

50 OPERACIONES CON MATRICES Producto de matrices Puede efectuarse cuando el número de columnas de la primera matriz coincide con el número de filas de la segunda matriz. ( En este caso se dice que las matrices son conformes para el producto ). Veamos con cual de las siguientes matrices podemos multiplicar a la matriz C dada C 4 x

51 C 4 x A 4 x

52 5 D x 4 C x 4 A x

53 OPERACIONES CON MATRICES - C Producto de matrices 4 x D 5 x M -.

54 OPERACIONES CON MATRICES Producto de matrices C 4 x D 5 x M -.+.

55 OPERACIONES CON MATRICES Producto de matrices C 4 x D - 5 x M (-)

56 OPERACIONES CON MATRICES Producto de matrices C 4 x D 5 x M (-).

57 OPERACIONES CON MATRICES Producto de matrices C - 4 x D 5 x M (-).+(-).

58 OPERACIONES CON MATRICES C Producto de matrices 4 x D - 5 x (-) M..+(-) + (-)

59 OPERACIONES CON MATRICES - C Producto de matrices 4 x D 5 x M (-).+(-).+.(-) -.

60 OPERACIONES CON MATRICES - C Producto de matrices 4 x D 5 x M (-).+(-).+.(-) -.+.5

61 OPERACIONES CON MATRICES - C Producto de matrices 4 x D 5 x M (-).+(-).+.(-)

62 OPERACIONES CON MATRICES C Producto de matrices 4 x D 5 x (-) M.+(-).+.(-)

63 OPERACIONES CON MATRICES C Producto de matrices - 4 x D 5 x (-) M.+(-).+.(-)

64 OPERACIONES CON MATRICES C Producto de matrices 4 x D 5 x (-) M.+(-).+.(-)

65 OPERACIONES CON MATRICES. C (-) M Producto de matrices 4 D x.+(-).+.(-) M x

66 EMPLEO DE LAS MATRICES EN EL PROCESAMIENTO DIGITAL DE IMÁGENES.

67 IMAGEN DIGITAL ES UNA MATRIZ DE FILAS Y COLUMNAS, DONDE CADA ELEMENTO DE ESA MATRIZ ES UN PIXEL (PICTURE ELEMENT) Y CADA PIXEL POSEE UN NIVEL DE GRIS DETERMINADO (ENTRE Y 55).

68 PIXEL Píxel, en informática, abreviatura fonética del concepto inglés picture element. Se trata de un punto en una rejilla rectilínea de miles de puntos tratados individualmente, para formar una imagen en la pantalla de la computadora o en la impresora. Igual que un bit es la unidad de información más pequeña que puede procesar un ordenador o computadora, un píxel es el elemento más pequeño que el hardware y el software de pantalla e impresora pueden manipular al crear cartas, números o gráficos. Por ejemplo, la letra A está compuesta realmente por un conjunto de píxeles dentro de una rejilla, como la que se muestra a continuación: Una imagen también se puede representar con más de dos colores. Si un píxel tiene sólo dos valores de color (normalmente blanco y negro), se puede codificar con un solo bit de información. Cuando se utilizan más de dos bits para representar un píxel, es posible representar un rango mayor de colores y niveles de gris. Con dos bits se representan cuatro colores o niveles de gris, con cuatro bits se representan dieciséis colores, y así sucesivamente.

69 LAS IMÁGENES DIGITALES POSEEN UN CONJUNTO DE AFECTACIONES TALES COMO: RUIDOS (INTERFERENCIAS) EMBORRONAMIENTOS OSCURECIMIENTOS ETC. PARA ELIMINAR O ATENUAR ESTAS AFECTACIONES, ES NECESARIO FILTRAR DICHAS IMÁGENES.

70 CARACTERÍSTICAS GENERALES DE UN FILTRO ESPACIAL.- Los filtros espaciales son matrices cuadradas de (x, 5x5, 7x7, etc.) generalmente impares para posibilitar tener siempre un píxel central en el filtro que se posicione sobre el píxel de la imagen que se está filtrando. - ( x ) EJEMPLOS DE FILTROS (5 x 5)

71 CARACTERÍSTICAS GENERALES DE UN FILTRO ESPACIAL - Los filtros espaciales comúnmente aplicados son simétricos tricos

72 Existe un tipo de filtrado, que se denomina FILTRADO LINEAL, el cual: Se reduce a recorrer toda la imagen con una ventana o máscara centrada en cada píxel, p la cual presenta un conjunto de valores o pesos que forman el llamado núcleo de convolución. El nuevo valor para el píxel p donde está centrada la máscara m es calculado mediante la suma de todos los píxeles p que son cubiertos por la máscara, los cuales previamente se multiplican por los valores correspondientes del núcleo. n

73 FILTRADO LINEAL EJEMPLO DE CONVOLUCIÓN N ESPACIAL Imagen

74 FILTRADO LINEAL EJEMPLO DE CONVOLUCIÓN N ESPACIAL XX Imagen Píxel que se va a filtrar Posición que ocupa el filtro sobre la imagen A B C D E F G H I Filtro X Columna Fila

75 FILTRADO LINEAL EJEMPLO DE CONVOLUCIÓN N ESPACIAL X A Imagen Píxel que se va a filtrar Posición que ocupa el filtro sobre la imagen A B C D E F G H I Filtro X Columna Fila

76 FILTRADO LINEAL EJEMPLO DE CONVOLUCIÓN N ESPACIAL Imagen X A+ 7 B Píxel que se va a filtrar Posición que ocupa el filtro sobre la imagen A B C D E F G H I Filtro X Columna Fila

77 7 EJEMPLO DE CONVOLUCIÓN N ESPACIAL Imagen X A+7 B FILTRADO LINEAL Columna Fila Píxel que se va a filtrar Posición que ocupa el filtro sobre la imagen + C A B C D E F G H I Filtro X

78 7 EJEMPLO DE CONVOLUCIÓN N ESPACIAL Imagen FILTRADO LINEAL Columna Fila Posición que ocupa el filtro sobre la imagen X A+7 B + C+ 9 D Píxel que se va a filtrar A B C D E F G H I Filtro X

79 7 EJEMPLO DE CONVOLUCIÓN N ESPACIAL Imagen FILTRADO LINEAL Columna Fila Posición que ocupa el filtro sobre la imagen X A+7 B + C+ 9 D Píxel que se va a filtrar + 4 E A B C D E F G H I Filtro X

80 7 EJEMPLO DE CONVOLUCIÓN N ESPACIAL Imagen X A+7 B + C FILTRADO LINEAL Columna Fila Píxel que se va a filtrar Posición que ocupa el filtro sobre la imagen + 9 D + 4 E A B C D E F G H I Filtro + 9 F X

81 7 EJEMPLO DE CONVOLUCIÓN N ESPACIAL Imagen X A+7 B + C FILTRADO LINEAL Columna Fila Píxel que se va a filtrar Posición que ocupa el filtro sobre la imagen A B C D E F G H I Filtro + 9 D + 4 E+ 9 F X + G

82 7 EJEMPLO DE CONVOLUCIÓN N ESPACIAL Imagen FILTRADO LINEAL Columna Fila Píxel que se va a filtrar Posición que ocupa el filtro sobre la imagen A B C D E F G H I Filtro X X A+7 B + C+ 9 D + 4 E+ 9 F + G+ + 6 H

83 7 EJEMPLO DE CONVOLUCIÓN N ESPACIAL Imagen FILTRADO LINEAL Columna Fila Píxel que se va a filtrar Posición que ocupa el filtro sobre la imagen A B C D E F G H I Filtro X X A+7 B + C+ 9 D + 4 E+ 9 F + G+ + 6 H+ I

84 7 EJEMPLO DE CONVOLUCIÓN N ESPACIAL Imagen FILTRADO LINEAL Píxel que se va a filtrar Posición que ocupa el filtro sobre la imagen A B C D E F G H I Filtro X X A+7 B + C+ 9 D + 4 E+ 9 F + G+ + 6 H+ I

85 7 EJEMPLO DE CONVOLUCIÓN N ESPACIAL Imagen FILTRADO LINEAL Píxel que se va a filtrar Posición que ocupa el filtro sobre la imagen A B C D E F G H I Filtro X X A+7 B + C+ 9 D + 4 E+ 9 F + G+ + 6 H+ I Nuevo valor que adopta el píxel

86 Rango de una matriz

87 RANGO DE UNA MATRIZ. -TRANSFORMACIONES ELEMENTALES. -RANGO DE UNA MATRIZ.

88 TRANSFORMACIONES ELEMENTALES Intercambiar filas o columnas. TRANSFORMACIONES ELEMENTALES TRANSFORMACIONES ELEMENTALES Intercambiar filas o columnas. 4 5 B 5 - f f 4 5 A A C 5 c c

89 TRANSFORMACIONES ELEMENTALES Intercambiar filas o columnas. TRANSFORMACIONES ELEMENTALES TRANSFORMACIONES ELEMENTALES Intercambiar filas o columnas. 4 5 B 5 - f f 4 5 A A C 5 c c

90 TRANSFORMACIONES ELEMENTALES Multiplicar una fila o columna por un número diferente de cero. TRANSFORMACIONES TRANSFORMACIONES ELEMENTALES ELEMENTALES Multiplicar una fila o columna por un número diferente de cero. f f 4 5 A C A - 4 c c B 4-8

91 TRANSFORMACIONES ELEMENTALES Sustituir una fila (columna) por una combinación n lineal de ella con otra fila (columna) A D f + f f

92 MATRICES EQUIVALENTES Sean A y B dos matrices del mismo orden. Decimos que la matriz A es equivalente a la matriz B, si B se puede obtener de A por una sucesión finita de transformaciones elementales. A B

93 PROPIEDADES DE LA EQUIVALENCIA DE MATRICES Reflexiva: A A Simétrica: A B B A Transitiva: A B B C A C

94 RANGO DE UNA MATRIZ El rango de una matriz A es el número máximo de filas, o de columnas, linealmente independientes de A. Notación: rag (A) r (A)

95 RANGO DE UNA MATRIZ Las transformaciones elementales no alteran ni el orden, ni el rango de una matriz. Dos matrices equivalentes tienen el mismo orden y el mismo rango.

96 Matriz ESCALÓN: Es toda matriz en la que el número de ceros anteriores a la primera componente distinta de cero, aumenta al pasar de una fila a la siguiente. A B MATRIZ MATRIZ ESCALÓN C

97 A f f f f f f + f f rag (A) El rango de una matriz escalón es igual al número de filas con elementos no todos nulos.

98 Determinante de una matriz cuadrada Matriz Inversa

99 MATRIZ INVERSA DE UNA MATRIZ CUADRADA. -CONCEPTO DE MATRIZ INVERSA. -CÁLCULO DE LA INVERSA POR LA ADJUNTA. - MÉTODO DE JORDAN.

100 DETERMINANTE -Regla de Sarrus. -Método de Menores.

101 MATRIZ INVERSA Una matriz cuadrada A es inversible, si existe otra matriz cuadrada B que conmuta con A y que cumple que: AxB BxA I

102 La matriz A es inversible porque existe la matriz B tal que: AxB BxA

103 MATRIZ INVERSA Si la matriz inversa existe, es única Una condición necesaria y suficiente para que una matriz A sea inversible es que el determinante de A sea diferente de A cero ( A sea no sea singular). La matriz inversa de una matriz A inversible, es una matriz que cumple: AA A A I Si una matriz cuadrada A de orden n es inversible, entonces el rango de A es n.

104 CÁLCULO DE LA INVERSA POR LA MATRIZ ADJUNTA A 4 Qué debemos hacer?

105 4 A 4 A Primer paso: Calcular el determinante de la matriz dada. CÁLCULO DE LA INVERSA POR LA MATRIZ ADJUNTA LCULO DE LA INVERSA POR LA MATRIZ ADJUNTA

106 4 A Primer paso: Calcular el determinante de la matriz dada. A CÁLCULO DE LA INVERSA POR LA MATRIZ ADJUNTA LCULO DE LA INVERSA POR LA MATRIZ ADJUNTA

107 CÁLCULO DE LA INVERSA POR LA MATRIZ ADJUNTA A 4 Segundo paso: Calcular la matriz de los cofactores.

108 CÁLCULO DE LA INVERSA POR LA MATRIZ ADJUNTA A 4 Segundo paso: Calcular la matriz de los cofactores. Cómo obtener la matriz de los cofactores?

109 CÁLCULO DE LA INVERSA POR LA MATRIZ ADJUNTA A 4 Segundo paso: Calcular la matriz de los cofactores. A (-) + 4 8

110 CÁLCULO DE LA INVERSA POR LA MATRIZ ADJUNTA A - 4 Segundo paso: Calcular la matriz de los cofactores. A (-)

111 CÁLCULO DE LA INVERSA POR LA MATRIZ ADJUNTA A - 4 Segundo paso: Calcular la matriz de los cofactores. A (-) + - 5

112 CÁLCULO DE LA INVERSA POR LA MATRIZ ADJUNTA A 4 4 Segundo paso: Calcular la matriz de los cofactores. A (-) + 4

113 CÁLCULO DE LA INVERSA POR LA MATRIZ ADJUNTA A Segundo paso: Calcular la matriz de los cofactores. A (-)

114 CÁLCULO DE LA INVERSA POR LA MATRIZ ADJUNTA A - 4 Segundo paso: Calcular la matriz de los cofactores. A (-)

115 CÁLCULO DE LA INVERSA POR LA MATRIZ ADJUNTA A - 4 Segundo paso: Calcular la matriz de los cofactores. A (-)+ - 6

116 CÁLCULO DE LA INVERSA POR LA MATRIZ ADJUNTA A 4 Segundo paso: Calcular la matriz de los cofactores. A (-)+ 9

117 CÁLCULO DE LA INVERSA POR LA MATRIZ ADJUNTA A 4 Segundo paso: Calcular la matriz de los cofactores. A (-)+

118 4 A Matriz de los cofactores:. A c CÁLCULO DE LA INVERSA POR LA MATRIZ ADJUNTA LCULO DE LA INVERSA POR LA MATRIZ ADJUNTA

119 CÁLCULO DE LA INVERSA POR LA MATRIZ ADJUNTA A c Tercer paso: Hallar la matriz adjunta. 9 6 Intercambiando en la matriz de los cofactores cada fila con la columna correspondiente

120 + A A c CÁLCULO DE LA INVERSA POR LA MATRIZ ADJUNTA LCULO DE LA INVERSA POR LA MATRIZ ADJUNTA

121 CÁLCULO DE LA INVERSA POR LA MATRIZ ADJUNTA A c A

122 CÁLCULO DE LA INVERSA POR LA MATRIZ ADJUNTA A c A

123 CÁLCULO DE LA INVERSA POR LA MATRIZ ADJUNTA Ya conozco la matriz adjunta, y la matriz inversa? Cuarto paso: Hallar la matriz inversa.

124 CÁLCULO DE LA INVERSA POR LA MATRIZ ADJUNTA Cuarto paso: Hallar la matriz inversa. - A + A A

125 POR LA MATRIZ ADJUNTA Cuarto paso: Hallar la matriz inversa. - A

126 CÁLCULO DE LA INVERSA POR LA MATRIZ ADJUNTA Cuarto paso: Hallar la matriz inversa. - A

127 - A I A Quinto Paso: Comprobación CÁLCULO DE LA INVERSA POR LA MATRIZ ADJUNTA LCULO DE LA INVERSA POR LA MATRIZ ADJUNTA

128 POR TRANSFORMACIONES ELEMENTALES ( MÉTODO M DE JORDÁN N ) A 4 Cómo proceder?

129 4 A Primer paso: Formemos la matriz bloque colocando la matriz dada A, y al lado la idéntica del mismo orden. (A I) - 4 POR TRANSFORMACIONES ELEMENTALES POR TRANSFORMACIONES ELEMENTALES ( M ( MÉTODO DE JORD TODO DE JORDÁN ) N )

130 POR TRANSFORMACIONES ELEMENTALES A ( MÉTODO M DE JORDÁN N ) 4 Segundo paso: Apliquemos las mismas transformaciones a ambas matrices.

131 (A I) - 4 f f - f POR TRANSFORMACIONES ELEMENTALES POR TRANSFORMACIONES ELEMENTALES ( M ( MÉTODO DE JORD TODO DE JORDÁN ) N )

132 POR TRANSFORMACIONES ELEMENTALES ( MÉTODO M DE JORDÁN N ) f + 9 f f

133 POR TRANSFORMACIONES ELEMENTALES ( MÉTODO M DE JORDÁN N ) f + - f f

134 POR TRANSFORMACIONES ELEMENTALES ( MÉTODO M DE JORDÁN N ) f + f f

135 POR TRANSFORMACIONES ELEMENTALES ( MÉTODO M DE JORDÁN N ) f + f f

136 POR TRANSFORMACIONES ELEMENTALES ( MÉTODO M DE JORDÁN N ) f f

137 POR TRANSFORMACIONES ELEMENTALES ( MÉTODO M DE JORDÁN N ) f - f

138 POR TRANSFORMACIONES ELEMENTALES ( MÉTODO M DE JORDÁN N ) 8-6 f f

139 POR TRANSFORMACIONES ELEMENTALES ( MÉTODO M DE JORDÁN N ) - A

140 POR TRANSFORMACIONES ELEMENTALES ( MÉTODO M DE JORDÁN N ) Quinto Paso: Comprobación A. A - I

141 DETERMINANTE DE UNA MATRIZ. Se llama DETERMINANTE de una matriz, a un número que se le asocia a dicha matriz. Sólo se calcula determinante a las matrices CUADRADAS. El determinante de la matriz se denota con la misma letra que la matriz pero encerrada entre barras, es decir, si la matriz se llama A, el determinante se denota: det ( A ) ó / A /

142 DETERMINANTE DE UNA MATRIZ. A 4 Si la matriz es de orden dos 4.

143 DETERMINANTE DE UNA MATRIZ. A (-).4 4 -

144 DETERMINANTE DE UNA MATRIZ. Si la matriz es de orden tres, se aplica la llamada REGLA DE SARRUS. Esta regla consiste en que a la matriz dada se le adicionan al final las dos primeras filas ( quedando con cinco filas) y se calculan los productos de sus elementos en diagonal ( de manera que abarque dicho producto a tres elementos ) y a los productos hacia abajo se le mantiene el signo y a los productos hacia arriba se les cambia el signo.

145 DETERMINANTE DE UNA MATRIZ. Veamos un ejemplo de trabajo con la REGLA DE SARRUS. -- E Regla de Sarrus

146 DETERMINANTE DE UNA MATRIZ. E Regla de Sarrus

147 DETERMINANTE DE UNA MATRIZ. E (-) Regla de Sarrus 4 5

148 DETERMINANTE DE UNA MATRIZ. E (-). + 4.(-) Regla de Sarrus 4 5

149 DETERMINANTE DE UNA MATRIZ. E (-). + 4.(-) ( Regla de Sarrus 4 5

150 DETERMINANTE DE UNA MATRIZ. E (-). + 4.(-) ( (-). - Regla de Sarrus 5

151 DETERMINANTE DE UNA MATRIZ. E (-). + 4.(-) ( (-). +.(-).5 ) (- 7 ) 5 Regla de Sarrus

152 DETERMINANTE DE UNA MATRIZ. Podremos aplicar la REGLA DE SARRUS si la matriz tiene orden superior a tres? La respuesta es NO, pues al agregar filas al final de la matriz se obtendrían más de cinco filas y por lo tanto los productos incluirían a más de tres elementos cada uno. Para las matrices de orden superior a tres se usa el llamado MÉTODO DE MENORES. Este método consiste en calcular el determinante de cualquier matriz reduciéndolo al cálculo de determinantes de orden inferior.

153 DETERMINANTE DE UNA MATRIZ. Para empezar debemos definir que entendemos por MENOR ASOCIADO A UN ELEMENTO cualquiera de una matriz. El menor asociado a un elemento dado de una matriz, es el determinante que queda al eliminar de la matriz, la fila y la columna correspondiente al elemento dado. En este caso el menor asociado al elemento que se encuentra en la fila dos y columna tres será el determinante que queda al eliminar dicha fila y columna.

154 DETERMINANTE DE UNA MATRIZ. Para empezar debemos definir que entendemos por MENOR ASOCIADO A UN ELEMENTO cualquiera de una matriz. El menor asociado a un elemento dado de una matriz, es el determinante que queda al eliminar de la matriz, la fila y la columna correspondiente al elemento dado. El menor asociado viene dado por : - -

155 DETERMINANTE DE UNA MATRIZ. Ahora que ya sabemos lo que llamamos MENOR ASOCIADO A UN ELEMENTO, podemos definir el MÉTODO DE MENORES para calcular un determinante como la suma de los productos de los elementos de una fila cualquiera (o columna) de la matriz por los menores asociados a dichos elementos. Dichos productos mantienen el signo si la suma del orden de la fila y la columna es un número par, sino, se le cambia el signo al producto. A ( ) i+ j a ij m ij n

156 DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA. 4 E ( ) () Método de Menores

157 DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA ( ) + ( ) () - () Método de Menores

158 DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA ( ) + + ( ) () - () ( ) () Método de Menores

159 Sistemas de Ecuaciones Lineales

160 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. -SISTEMA DE ECUACIONES. -INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES -MÉTODO DE GAUSS. -TEOREMA DE CRONEKER CAPELLI. -MÉTODO DE CRAMER. -MÉTODO DE LA INVERSA.

161 FORMA GENERAL DE UN SISTEMA DE p ECUACIONES CON n INCÓGNITAS. a a a a p x x x x a a + a a... p x x x x a a + a a... p x a a n n n x x x a a pn x x x n x n n... n b b b b p

162 Sistemas de Ecuaciones Lineales puede ser Compatible Incompatible Determinado Indeterminado Única solución Infinitas soluciones No tiene solución

163 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EN FORMA MATRICIAL Matriz (A) del sistema formada por los coeficientes de las incógnitas del sistema dado. a a a a... p a a a a... p a a a a... p a a a a n n n... pn

164 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EN FORMA MATRICIAL Matriz Ampliada (A, B) formada por los elementos de la matriz A del sistema y la columna de términos independientes. A a a a a... p a a a a... p a a a a... p a a a a n n n... pn b b b b... p

165 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EN FORMA MATRICIAL Al efectuar el producto matricial AX B en el cual A es la matriz del sistema, X es la matriz columna de las incógnitas y B es la matriz columna de los términos independientes; se obtiene el sistema de ecuaciones lineales inicial. Si B, la ecuación representa un sistema de ecuaciones lineales no homogéneo. Si B, la ecuación matricial AX representa un sistema de ecuaciones lineales homogéneo en el que X es siempre solución de dicho sistema.

166 Método de Gauss en forma matricial x + y + z 5 x + y - z 4x - y + 5z Qué hacemos?

167 Método de Gauss en forma matricial Escribir la matriz ampliada (A, B) formada por los elementos de la matriz A del sistema y la columna de términos independientes. Mediante transformaciones elementales, transformar la matriz ampliada del sistema en una matriz escalón equivalente a ella. A partir de la matriz escalón escribir con dichos coeficientes el sistema equivalente al dado inicialmente. En caso que el sistema tenga solución, en la última ecuación hallamos el valor de una de las incógnitas y vamos sustituyendo en las ecuaciones anteriores.

168 Método de Gauss en forma matricial x + y + z 5 x + y - z 4x - y + 5z Qué hacemos?

169 Método de Gauss en forma matricial x + y + z 5 x + y - z 4x - y + 5z Primer Paso: Escribimos la matriz ampliada correspondiente al sistema

170 Método de Gauss en forma matricial Segundo Paso: Transformamos la matriz ampliada en una matriz escalón equivalente a ella. 5 - Qué 4-5 hacemos?

171 Método de Gauss en forma matricial Segundo Paso: Transformamos la matriz ampliada en una matriz escalón equivalente a ella. 5 - ~ 4-5 f f - f 4f - f f 5-4 ~ 5 -

172 Método de Gauss en forma matricial Segundo Paso: Transformamos la matriz ampliada en una matriz escalón equivalente a ella. f f 5-4 ~ 5 - f

173 Método de Gauss en forma matricial ~ Tercer Paso: Escribimos el sistema correspondiente a la matriz anterior. x + y + z 5 () - y + 4z 5 () z 66 ()

174 Método de Gauss en forma matricial x + y + z 5 () - y + 4z 5 () z 66 () Cuarto Paso: Despejamos la variable z en la ecuación (). z 66 Z

175 Método de Gauss en forma matricial x + y + z 5 () - y + 4z 5 () z 66 () Quinto Paso: Sustituimos el valor de z en la ecuación (). - y + 4() 5 () y

176 Método de Gauss en forma matricial x + y + z 5 () - y + 4z 5 () z 66 () Sexto Paso: Sustituimos los valores de y y z en la ecuación (). x + () + 5 () x -

177 Método de Gauss en forma matricial x + y + z 5 () - y + 4z 5 () z 66 () Séptimo Paso: Comunicar el resultado S (-; ; )

178 TEOREMA DE CRONEKER - CAPELLI Un sistema de ecuaciones es: Compatible si y solo si el rango de la matriz asociada es igual al rango de la matriz ampliada del sistema. Compatible determinado si el rango común es igual al número de incógnitas. Compatible indeterminado si el rango común es menor que el número de incógnitas.

179 MÉTODO DE CRAMER Se basa en la resolución de determinantes. Sólo es aplicable a sistemas de ecuaciones lineales que tienen igual número de ecuaciones que de incógnitas.

180 Sea el sistema de ecuaciones lineales AXB, de n ecuaciones y n incógnitas, compatible determinado, luego, la matriz A es cuadrada y no singular y por tanto, existe la matriz inversa A Premultiplicando a la izquierda ambos miembros de la ecuación matricial AX B por la matriz inversa se obtiene: A AX A B Pero como A A I, se obtiene: IX A B X A B

181 Interpretación n Geométrica de la solución n de un Sistema de dos Ecuaciones Lineales con dos incógnitas. y x - y Rectas que se cortan en un punto llamado intercepto x X y X + y 4 x + y 4 Tiene solución única S (,)

182 Interpretación n Geométrica de la solución n de un Sistema de dos Ecuaciones Lineales con dos incógnitas. y Rectas Paralelas x - 4y 4 x - y 6 x x 4y 4 x y 6 No tiene solución

183 Interpretación n Geométrica de la solución n de un Sistema de las Ecuaciones Lineales con dos incógnitas. y x 4y x y 6 Rectas coincidentes x - 4y x - y 6 Infinitas soluciones x

184 Interpretación n Geométrica de la solución n de un Sistema de dos Ecuaciones Lineales con tres incógnitas. z 4 x + y + z 4 x y 4 Planos que se cortan y Recta de Intersección

185 Interpretación n Geométrica de la solución n de un Sistema de dos Ecuaciones Lineales con dos incógnitas. 4 z x + y + z 4 4 y x y x + y + z 4 y

186 Interpretación n Geométrica de la solución n de un Sistema de dos Ecuaciones Lineales con tres incógnitas. z 4 x + y + z 4 Planos paralelos x + y + z 4 y x + y + z 4 x + y + z x

187 Interpretación n Geométrica de la solución n de un Sistema de dos Ecuaciones Lineales con tres incógnitas. z 4 x + y + z 4 Planos coincidentes 4 y 4x + y + z 8 x

188 Nociones sobre espacios vectoriales

189 Vectores. Espacios vectoriales ( E.V.)

190 Vectores Concepto de vector Operaciones con vectores Propiedades de las operaciones con vectores Interpretación geométrica en dos variables Módulo de un vector. Producto escalar

191 VECTORES Un vector es un segmento dirigido desde el punto A (punto origen o punto inicial) hasta el punto B (punto extremo o punto final); y se representa por medio de una flecha que tiene longitud, dirección y sentido.

192 OPERACIONES CON VECTORES u r + v r Adición: La resultante de dos vectores se obtiene por la llamada Ley del paralelogramo, esto es ( u r + v r ) es la diagonal del paralelogramo: r u y r v

193 OPERACIONES CON VECTORES Multiplicación por un escalar: El producto de un número real k por un vector a r ka r se obtiene multiplicando la magnitud de por k y conservando la misma dirección si k ó la dirección puesta si k <. a r

194 PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON VECTORES Adición de vectores: Cualesquiera que sean los vectores y se cumplen: u + v v v, u, z v + u ( + u ) + z - - v v + ( u + z ) - v + v v v v v v + v v 4- Para todo existe un tal que ( -,se llama opuesto de )

195 PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON VECTORES Multiplicación de un vector por un escalar: Cualesquiera que sean los vectores y λ, μ, números reales se cumple que: v v v, - λ ( μ ) (λ μ) - (λ + μ ) λ + μ v v u v v+u v - λ ( ) λ + λ 4- u v v

196 PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON VECTORES Interpretación geométrica en dos variables: Si en un sistema de coordenadas cartesiano, hacemos coincidir el origen de coordenadas con el punto de referencia O de las figuras anteriores, la relación entre las operaciones definidas y los puntos finales queda:

197 Matemáticamente, identificamos un vector con su punto final, es decir, el par ordenado (a,b) a, b números reales es un vector. Sin embargo, conocemos vectores de más de dos componentes. Generalizando esta noción, llamamos vector a una n-upla ordenada de números reales (a, a, a,... a n ) y mediante una nueva generalización podemos considerar que las coordenadas de las n-uplas sean otros objetos matemáticos. El conjunto de todas las n-uplas ( a, a, a,... a n ) de números reales denotada por R n, se llama un n espacio. Los a i, i,,...,n se llaman componentes o coordenadas.

198 Espacios vectoriales ( E.V.) Generalización del concepto de vector como todo elemento de un espacio vectorial El espacio vectorial R n Producto escalar en R n. Espacios vectoriales euclídeos. Norma de un vector de R n. Espacios vectoriales normados. Producto vectorial de dos vectores de R. Sistemas de vectores de R n l. i. y l. d.

199 Espacios vectoriales ( E.V.) Aquí se generaliza el concepto de vector como todo elemento de un espacio vectorial. Hemos estudiado otros con juntos de objetos matemáticos en los que están definidas las operaciones anteriores y que tienen propiedades análogas a las que enunciamos anteriormente. Veamos a continuación algunos ejemplos:

200 El conjunto de matrices de un mismo orden, con las operaciones usuales de adición de matrices y multiplicación de un número real por una matriz. El conjunto de vectores del plano con origen O, con las operaciones usuales de adición de vectores y multiplicación de un número real por un vector. El conjunto de todos los polinomios con coeficientes reales con las operaciones usuales de adición de polinomios y multiplicación de un número real por un polinomio. El conjunto de funciones en una variable real, con las operaciones usuales de adición de funciones y multiplicación de un número real por una función. El conjunto de funciones en una variable real, con las operaciones usuales de adición de funciones y multiplicación de un número real por una función.

201 El espacio vectorial R n. Cada uno de los números reales que forman una eneada, se denomina componente de la eneada. Sean ( x, x, x,..., x n ) e ( y, y, y,..., y n ) de R n x y - si y sólo si x y ; x y ; x y ;... ; x n yn x x y - + ( x, x, x,..., x n ) + ( y, y, y,..., y n ) ( x + y ; x + y ; x + y ; x n + y n ) - λ x λ ( x, x, x,...,x n ) (λx, λx, λx,..., λx n ) El conjunto R n con las operaciones definidas es un espacio vectorial real. y

202 Algunos elementos del Espacio Vectorial R n. El vector nulo de R n es la eneada (,,,..., ). El opuesto de cualquier vector ( x, x, x,..., x n ) de R n el vector ( -x, -x, -x,..., - x n ) Los vectores de la forma (,,..., ); (,,,..., ); (,,,..., ); ; (,,..., ) se denominan vectores canónicos de R n e e e e e e e e ; ; ;... ; n. Ejemplo: R (, ); e (, ) R y se denotan (,, ); (,, ); (,, ), etc. Otros vectores de R n son (,, 4 ) de R, x u ( -, 4,,, ) de R 5,etc. es

203 Algunos elementos del Espacio Vectorial R n. Los conjuntos solución de los sistemas de ecuaciones lineales (S.E.L) son subconjuntos del espacio vectorial real R n. Si el S.E.L es homogéneo el conjunto solución también es un espacio vectorial real. Si el S.E.L es no homogéneo el conjunto solución no es un espacio vectorial real. En efecto, el conjunto solución de los S.E.L. incompatibles es el conjunto vacío, la suma de soluciones no es solución de un SEL no homogéneos, y además, la solución trivial, no es solución de dicho sistema.

204 Producto escalar en los espacios vectoriales R n El producto escalar x. de dos vectores ( x, x, x,..., x n ) e ( y, y, y,..., y n ) de R n es por definición: x y y x y x y + x y + x y x n y n x x Ejemplo: El producto escalar de los vectores y ( -, 4,,, ) e ( 4,,, -, 5 ) de R 5 es y. (-)(4) + (4)() + ()() + ()(-) + ()(5) -

205 Definición de espacio vectorial euclídeo Un espacio vectorial euclídeo, es un espacio vectorial, en el que se haya definido un producto escalar.

206 Norma de un vector de R n A partir de la definición de producto escalar en R n, es posible definir una norma en R n de la siguiente manera : x Ejemplo: x x x + x xn La norma del vector (,, 4 ) de R es 5 5 x x Los vectores cuya norma es uno ( x ) se denominan vectores unitarios. Ejemplo: Los vectores canónicos de R n son vectores unitarios.

207 Definición de espacio vectorial normado Un espacio vectorial normado, es un espacio vectorial, en el que se haya definido una norma. Note que en un espacio vectorial euclídeo siempre es posible definir una norma mediante la relación x x x, de donde se deduce que todo espacio vectorial euclídeo es un espacio vectorial normado.

208 Producto vectorial de dos vectores de R En muchas ocasiones dados dos vectores e de R, es necesario encontrar un tercer vector que sea ortogonal x y simultáneamente a e. Para ello se define un producto de vectores en R conocido con el nombre de producto vectorial. x y

209 Definición de producto vectorial. Si y son dos vectores de R, llamaremos producto vectorial de con al vector x definido por: x k x j x i x x r r r r + + k y j y i y y r r r r + + x y k y x y x j y x y x i y x y x r r r ) ( ) ( ) ( + + x y y x ó x - + x y y y y x x x k j i y y x x i y y x x j y y x x k

210 Sistemas de vectores L.I. y L.D. Combinación lineal de un sistema de vectores Dependencia e independencia lineal de un sistema finito de vectores. Número máximo de vectores l.i. en un sistema de vectores. Dimensión de un espacio vectorial.

211 Sistema de vectores Un sistema de vectores es todo conjunto ordenado de vectores. Esto significa que, por ejemplo, no son iguales los r e r r ; e e ; sistemas de vectores { } ; { } y { }. r e r r ; e e ; r e r r ; e e; Combinación lineal de un sistema de vectores. Se denomina combinación lineal de un r x r x r ; x ; r ;...; sistema { } de n vectores de un x n espacio vectorial E con λ, λ,... λ n escalares a la expresión λ x + λ x λ n x n.

212 Expresión de un vector cualquiera como combinación lineal de los vectores de un sistema. Ejemplo Expresar el vector ( ) de R n combinación lineal del sistema { x vectores canónicos de R n x x, x...,, r e r e x n r ; e ; ;...; r e n como } de x r e r e r λ + λ + λ λ n e r e r n

213 x r e r x x, x...,, x n x x x λ + λ + λ λ n e r ( ) λ (,,..., ) + λ (,,,..., ) + (λ,,..., ) + (, λ,,..., ) + (,, λ,..., ) (,,..., λ n ) (λ, λ, λ,..., λ n ) De donde λ ; λ ; λ ;.; λ n n e r x e r n λ (,,,..., ) λ n (,,...,) r x Luego ( x, x, x,..., xn) xe + xe + xe r r r x n r e n

214 Asi que, siempre es posible expresar un vector cualquiera como combinación lineal de los vectores del sistema del sistema { r e r e r ; e ; ;...; e n } de vectores canónicos de R n y que los coeficientes de la combinación lineal son precisamente, las componentes del vector. r x Ejemplo x Expresar el vector (,, -) como combinación lineal del sistema de vectores A{ (,, ); (, 4, )} R.

215 Si es posible hallar los coeficientes de λ, λ se podrá escribir la combinación lineal de los vectores de A: x r,, ) λ (,,) + (,4,) ( λ (,, ) (λ,λ,) + (λ,4λ,λ ) Pero la igualdad anterior significa que: x λ λ + + λ 4 λ λ a) (,, ) (,4,) ; ( -,,)} R Resp: NO b r

216 DEPENDENCIA LINEAL DE UN SISTEMA FINITO DE VECTORES Dado un espacio vectorial real E, un { a, a sistema A de k vectores de E es linealmente dependiente, si al menos un vector de A se puede expresar como combinación lineal de los restantes vectores de A.,..., a k Sea E un espacio vectorial y A un sistema de vectores de E. Entonces A es linealmente dependiente, si y solo si, existe una relación de dependencia no trivial entre los vectores de A. } { a, a,..., a k } a i

217 Para determinar si el sistema de vectores B {(,,), R (,,), (,,)} es linealmente independiente o linealmente dependiente, planteamos la relación de dependencia lineal: λ (,,) + λ(,,) + λ(,,) Efectuando las operaciones indicadas: ( λ + λ + λ + λ + λ, λ + λ ) de donde: λ + λ λ + λ + λ λ + λ (,,) (,,)

218 Resolvamos este sistema de ecuaciones lineales homogéneo; para ello transformaremos en escalón, la matriz M del mismo: ~ ~ M Como r(m) y n (r(m) < n) este sistema de ecuaciones es indeterminado El sistema de ecuaciones equivalentes es: + λ λ y su solución:, λ λ λ λ λ + λ + λ λ

219 Lo anterior permite afirmar que además de la relación trivial, existe una relación no trivial entre los vectores del sistema dado y por tanto es L.D. Una relación de dependencia lineal entre los vectores del sistema anterior es (,, ) - (,, ) - (,, ) (,, ). En resumen, la relación de dependencia lineal, conduce a un sistema de ecuaciones lineales homogéneos, por lo tanto: si r(a) k n (número de incógnitas) el sistema de vectores dado es L.I. si r(a) < n el sistema de vectores dado es L.D.

220 Número máximo de vectores l.i. en un sistema de vectores. Para determinar si un sistema de vectores de R n es linealmente independiente o linealmente dependiente, basta con calcular el rango r(a) de la matriz del sistema que se obtiene al plantear la relación de dependencia lineal y compararlo con el número de incógnitas del sistema de ecuaciones. Pero al calcular el r(a), como sabemos, estamos hallando el número máximo de vectores l.i. de la matriz A, y como dichas columnas están formadas por las componentes de los vectores del sistema de vectores dado, al calcular r(a) estamos hallando el número máximo de vectores l.i. del sistema de vectores dado.

221 4 Como r(a), el número máximo de vectores l.i. del sistema de vectores D es. A Ejemplo: Determinar el número máximo de vectores l.i del sistema de vectores D{(,,, ) ; (,,, - ) ;(,,, ) ; (,, 4, ) } de R 4. Consideremos la matriz A cuyas columnas están formadas por las componentes de los vectores del sistema de vectores dado.

222 Dimensión de un espacio vectorial. La dimensión de un espacio vectorial E, es igual al número máximo de vectores linealmente independientes de E. El número máximo de vectores linealmente independientes de R n es n.

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