DETERMINANTES Profesor: Fernando Ureña Portero

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1 : CONCEPTO, CÁLCULO DE. Definición: A cada matriz cuadrada A=a ij, de orden n, se le asigna un número real, denominado determinante de A, denotado por A o por det (A). A =det (A)= 1.-Determinante de orden uno: a 11 = a 11 ; 5 = 5 2.-Determinante de orden dos: = a 11 a 22 - a 12 a 21 ; 3.-Determinante de orden tres: Sea una matriz cuadrada de orden 3, A = (a ij ). El determinante de A se define como sigue: = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 - a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33 a 11 a 23 a 32. = (-5) (-2) (-2) (-5) 1 = = (-4) 0 (-15) = = 63 Obsérvese que hay seis productos, cada uno de ellos formado por tres elementos de la matriz. Tres de los productos aparecen con signo positivo (conservan su signo) y tres con signo negativo (cambian su signo). Regla de Sarrus: Pierre Sarrus (1798, 1861) fue un matemático francés que estableció una regla para calcular determinantes de orden 3. Los términos con signo + están formados por los elementos de la diagonal principal y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto: Los términos con signo están formados por los elementos de la diagonal secundaria y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto. Ejemplo: [ ( ) ] [ ( )]

2 Definición: Se llama MENOR COMPLEMENTARIO de un elemento a ij al valor del determinante de orden n-1 que se obtiene al suprimir en la matriz la fila i y la columna j. Definición: Se llama ADJUNTO A ij del elemento a ij, al menor complementario anteponiendo: El signo + si i+j es par y el signo es si i+j es impar. 4.-Cálculo de un determinante de cualquier orden El valor de un determinante es igual a la suma de productos de los elementos de una línea por sus adjuntos correspondientes: A =a 11 A 11 +a 12 A a 1n A 1n Ejemplo: ( ) ( ) ( ) ( ) Hallar el determinante de: DE ALGUNAS MATRICES ESPECIALES 1.-Determinante de una matriz Nula: A=0 / a ij =0; A =0; Ej.:. 2.-Determinante de la matriz Identidad: I n =1; Ej.: ; 3.-Determinante de la matriz Diagonal: A =a 11 a 22 a nn ; Ej.: 4.-Determinante de la matriz Triangular: T s = T i = a 11 a 22 a nn ; Ej:

3 PROPIEDADES DE LOS P.1. El determinante de A es igual al de su traspuesta: A = A t. P.2. El determinante de un producto es igual al producto de determinantes: A B = A B 3 2 = 6 P.3.Si se multiplican todos los elementos de una fila (o columna) de un determinante por un escalar (nº real), el determinante queda multiplicado por dicho escalar: det (F 1,F 2,,KF i,,f n )= K det (F 1,F 2,,F i,,f n ) det (C 1,C 2,,KC i,,c n )= K det (C 1,C 2,,C i,,c n ) ( ) ( ) P.4.Si una matriz A de orden n la multiplicamos por un escalar (nº real), el determinante de la nueva matriz es k n veces el determinante de A: k A =k n A. Det (k A)=det (kf 1,kF 2,,KF i,,kf n )= K n Det (F 1,F 2,,F i,,f n )=k n det(a) Det (k A)=det (kc 1,kC 2,,KC i,,kc n )= K n Det (C 1,C 2,,C i,,c n )=k n det(a) ( ) ( ) ( ) P.5.Si permutamos dos filas (o columnas) de una matriz, su determinante cambia de signo: det(f 1,F 2,F 3,,F n )=- det(f 1,F 3,F 2,,F n ) det(c 1,C 2,C 3,,C n )=- det(f 1,C 2,F n,,f 3 ) =- P.6.Si una matriz A tiene una fila (o columna) con todos sus elementos nulos, su determinante vale 0: det (F 1,0,F 3,,F n )=0; det (C 1,C 2,0,,C n )=0 P.7.Si una matriz tiene dos (o dos columnas) iguales o proporcionales, su determinante es 0: det (F 1,F 2,K F 2,,F n )=0; det (K C 3,C 2,C 3,,C n )=0

4 P.8.Si una fila (o columna) de una matriz es combinación lineal de las restantes filas (o columnas), entonces su determinante vale 0 (y viceversa): det (F 1,F 2,K F 1 +k F 2 )=0; det (K C 2 +k C 3,C 2,C 3 )=0 P.9.Si todos los elementos de una (o columna) de una matriz se descomponen en dos sumandos, entonces su determinante es igual a la suma de dos determinantes que tiene iguales todas las líneas excepto dicha línea cuyos sumandos pasa, respectivamente, a cada uno de los determinantes: det (F 1 +F 1,F 2,F 3 )= det (F 1,F 2,F 3 )+ det (F 1,F 2,F 3 ); det (C 1,C 2 +C 2,C 3 )= det (C 1,C 2,C 3 )+ det (C 1,C 2,C 3 ) P.10.Si a los elementos de una fila (o columna) se le suma una combinación lineal de otras filas (o columnas), su determinante no varía: det (F 1 +F 2,F 2,F 3 )= det (F 1,F 2,F 3 )+ det (F 2,F 2,F 3 )= det (F 1,F 2,F 3 ) det (C 1,C 2 +C 3,C 3 )= det (C 1,C 2,C 3 )+ det (C 1,C 3,C 3 )= det (C 1,C 2,C 3 ) P.11. El determinante de la matriz A -1 es:. Demostración: A A -1 =I; A A -1 = A A -1 = I =1;

5 EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS PROPIEDADES DE LOS

6 CÁLCULO ABREVIADO DE UN DETERMINANTE DE CUALQUIER ORDEN Consiste en conseguir que una de las líneas del determinante esté formada por elementos nulos, menos uno: el elemento base o pivote, podrá valer 1 ó -1. Seguiremos los siguientes pasos: 1. Si algún elemento del determinante vale la unidad, se elige una de las dos líneas: la fila o la columna, que contienen a dicho elemento (se debe escoger aquella que contenga el mayor número posible de elementos nulos). 2. En caso negativo: 2.1. Nos fijamos en una línea que contenga el mayor número posible de elementos nulos y operaremos para que uno de los elementos de esa línea sea un 1 ó -1 (operando con alguna línea paralela) Dividiendo la línea por uno de sus elementos, por lo cual deberíamos multiplicar el determinante por dicho elemento para que su valor no varíe. Es decir, sacamos factor común en una línea de uno de sus elementos. 2.3.Tomando como referencia el elemento base, operaremos de modo que todos los elementos de la fila o columna, donde se encuentre, sean ceros. 2.4.Tomamos el adjunto del elemento base, con lo que obtenemos un determinante de orden inferior en una unidad al original. = 2(-58)=-116

7 EJEMPLOS DE CÁLCULO DE

8 RANGO DE UNA MATRIZ MATEMÁTICAS 2º BACH TECNOL. Y CC Definición: Menor de orden k de una matriz A es toda (sub)matriz cuadrada de orden k perteneciente a la matriz A. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Definición A: RANGO de una matriz A, Rang(A), es el orden del mayor menor con determinante no nulo de la matriz A. Definición B: RANGO de una matriz A es el número de filas o columnas linealmente independientes. Cómo obtener el Rango de una matriz?: Método A: Por determinantes: 1.-Previamente podemos descartar una fila o columna, si: Todos sus coeficientes son ceros. Hay dos filas (o columnas) iguales o proporcionales. Una fila o columna es combinación lineal de otras. 2.-Vamos calculando los determinantes de los menores de mayor dimensión (p.e. k) de la matriz dada. 3.-Si algún el determinante de algún menor es no nulo rang(a)=k 4.-Si todos los determinantes de todos los menores de orden k son nulos rang(a)<k 5.-Procedemos desde (1) con todos los menores de orden k Y así sucesivamente Termina el proceso cuando algún menor (en orden decreciente) no nulo. Ejemplo: 1.-Suprimimos la tercera columna porque es combinación lineal de las dos primeras: C 3 = C 1 + C 2 2. Comprobamos si tiene rango 1, para ello se tiene que cumplir que al menos un elemento de la matriz no sea cero y por tanto su determinante no será nulo. 2 = Tendrá rango 2 si existe alguna (sub)matriz de orden 2, tal que su determinante no sea nulo. 4. Tendrá rango 3 si existe alguna (sub)matriz cuadrada de orden 3, tal que su determinante no sea nulo. Como todos los determinantes de las (sub)matrices son nulos no tiene rango 3, por tanto r(b) = Si tiene rango 3 y existe alguna (sub)matriz de orden 4, cuyo determinante no sea nulo, tendrá rango 4. De este mismo modo se trabaja para comprobar si tiene rango superior a 4.

9 Método B: Por GAUSS: Podemos descartar una línea si: Todos sus coeficientes son ceros. Hay dos líneas iguales. Una línea es proporcional a otra. Una línea es combinación lineal de otras. F 3 = 2F 1 ; F 4 es nula; F 5 = 2F 2 + F 1 ; r(a) = 2. En general consiste en hacer nulas el máximo número de líneas posible, y el rango será el número de filas no nulas. F 2 = F 2-3F 1 F 3 = F 3-2F 1 Por tanto r(a) = 3.

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12 CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA Proposición: Una matriz A es regular o invertible (es decir, que tiene inversa) si su determinante no es nulo. En caso contrario la matriz es singular. A 0 A es regular A -1 A =0 A es singular A -1 ( ) Cálculo de la inversa de una matriz: Donde: A -1 =Matriz Inversa; A =Determinante de la matriz A; A*=Matriz adjunta, sus elementos son los adjuntos de cada elemento de la matriz A; (A*) t =Matriz traspuesta de la matriz adjunta. Ejemplo Calcular la matriz inversa de: 1. Calculamos el determinante de la matriz, en el caso que el determinante sea nulo la matriz no tendrá inversa. 2. Hallamos la matriz adjunta, que es aquella en la que cada elemento se sustituye por su adjunto. 3. Calculamos la traspuesta de la matriz adjunta. 4. La matriz inversa es igual al inverso del valor de su determinante por la matriz traspuesta de la adjunta.

13 EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LA MATRIZ INVERSA

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