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1 TEMA : MATRICES Una matriz de orden mxn es un conjunto de m n números reales dispuestos en m filas y n columnas a a a... a n a a a... an A... am am am... amn A los números reales a ij se les llama elementos de la matriz A. Los subíndices de a ij indican que este elemento está en la fila "i" y en la columna "j". Dos matrices son iguales si tienen el mismo orden y además coinciden término a término. Tema. Matrices TIPOS DE MATRICES. Una matriz es cuadrada si tiene el mismo número de filas que de columnas. En caso contrario se dice que la matriz es rectangular. Matriz fila es la de orden xn. Matriz columna es toda matriz de orden mx. Se llama matriz diagonal a la matriz cuadrada tal que todos los elementos que no están en la diagonal principal son. (La diagonal principal está formada por los elementos de la forma a ii ). Una matriz diagonal es escalar cuando todos los elementos de la diagonal principal son iguales. Se llama matriz unidad a la matriz escalar tal que todos los elementos de la diagonal principal son. Se representa I n. Una matriz es triangular cuando es cuadrada y son nulos todos los elementos que están por encima (o por debajo) de la diagonal principal. Dada una matriz cualquiera A de orden mxn. Se llama matriz traspuesta de A( y se denota A t ) a la matriz de orden nxm obtenida intercambiando en A las filas por las columnas. La traspuesta cumple las siguientes propiedades:. (A+) t = A t + t. (k A) t = k A t (siendo k un número real). (A t ) t =A. (A ) t = t A t Una matriz es simétrica si coincide con su traspuesta, es decir si A = A t. En este caso la matriz ha de ser cuadrada y a a para todos los subíndices i y j. ij ji

2 Una matriz es hemisimétrica o antisimétrica si su traspuesta coincide con su opuesta, si A t = -A. En este caso la matriz ha de ser cuadrada y aij a ji para todos los subíndices i y j; y los elementos de la diagonal principal son todos. OPERACIONES CON MATRICES Suma de matrices. Para que dos matrices puedan sumarse es necesario que tengan la misma dimensión. En tal caso la suma se obtiene sumando los elementos que están situados en el mismo lugar. Si A = (a ij ) y =(b ij ), entonces A+ = (a ij +b ij ) La suma de matrices es: a) Asociativa b) Conmutativa c) Existe elemento neutro (la matriz nula) d) Cada matriz tiene su opuesta ( Si A = (a ij ),entonces -A = (-a ij )). Producto de un número real por una matriz. El producto de un número real, k, por una matriz se obtiene multiplicando todos los elementos de A por k. Si A = (a ij ), entonces k A = (k a ij ) Este producto cumple las siguientes propiedades:. k (k A) = (k k ) A. k (A+) = k A +k. (k+k ) A = k A+k A. a = A Producto de matrices. Para que dos matrices, A y, puedan multiplicarse, es necesario que el número de columnas de A coincida con el número de filas de. Si A es de orden mxn y lo es de orden nxr, el producto será de orden mxr. El elemento ij de A se obtiene sumando los productos de los elementos de la fila "i" de A por los correspondientes de la columna "j" de. c ij b j b bnj j ai ai ain ai b j ai b j ain bnj n k a ik b kj El producto de matrices tiene las siguientes propiedades:. NO es conmutativo. A A. Producto de traspuestas (A ) t = t A t. Asociativa (A ) C = A ( C). Distributiva (A+) C = A C+ C A (+C) = A +A C. Asociativa mixta (ka) = k (A ) Tema. Matrices

3 Tema. Matrices EJERCICIOS. Dadas las matrices A, 7 y C, halla A+, A-, A t + t, A, A (+C) y A ( C).. Dadas las matrices A, y C, halla A+-C,, A t - t, A, A (+C) y A ( C).. Dadas A y, halla A +, A- y T T A.. Dadas las matrices A y, halla A, A y T A T.. Una matriz A es idempotente cuando A² = A. Demuestra que la siguiente matriz es idempotente. A =. Prueba que la matriz A = cumple que A ³= I. 6. Dada la matriz A =, determina una matriz tal que A + = A. 7. Dada la matriz A =, calcula una matriz, distinta de la matriz nula y de la matriz unidad tal que A = A. 8. Cómo son todas las matrices que conmutan con A =? 9. Resuelve el sistema Y X A X Y donde A = y =.

4 . Halla la potencia n-ésima de las matrices: A = a = E = a F = G = a C = H = b b D = a J = L = M = N P a a. a) Calcula A siendo A = 99 b) Calcula, siendo = c) Halla donde d) Dada la matriz A, halla A. 6 e) Sea la matriz A. Calcula A. x. Halla el valor de x para que la matriz A cumpla A 6 A 9 I. x. Dada la matriz A, halla. usca una matriz tal que A A A A A A, siendo A. Tema. Matrices

5 . Se consideran las matrices A y ecuación matricial A A A X.. Resuelve la 6. Halla todas las matrices que conmutan con A EJERCICIOS TEÓRICOS.. Dadas tres matrices A, y C. Se sabe que A C es de orden x y que C es de orden x. Cuál es el orden de A?. Dadas las matrices A, y C de órdenes x, x y x, respectivamente, analiza si existe cada una de las siguientes expresiones: A+C, A+C, A+C t y t +C t A.. Sea A una matriz de orden n que cumple que A =A. Definimos la matriz =A-I. Demuestra que =I.. Sea A una matriz cuadrada cualquiera. Demuestra que A+A t es una matriz simétrica y que A-A t es una matriz antisimétrica.. Sea A una matriz antisimétrica. Analiza si cada una de las matrices A, A, A, A, son matrices simétricas o antisimétricas. Qué ocurriría si A fuese simétrica? 6. Demuestra que el producto de una matriz cualquiera A por su traspuesta es una matriz simétrica. 7. Una matriz es ortogonal si al multiplicarla por su traspuesta se obtiene la matriz identidad. Demuestra que el producto de dos matrices ortogonales es otra matriz ortogonal. 8. Si A,, C son tres matrices tales que existe la matriz A +C t, analiza si existen las siguientes matrices: a) C+A t. b) C A+ t. 9. Si A,, M, N son matrices tales que (A+M) ( t +N t ) existe y es una matriz cuadrada, qué podemos decir de las dimensiones de A,, M, N?. Sea A una matriz de orden n tal que A =A. Definimos la matriz =I-A. Demostrar que: a) =. b) A = A=.. Sea una matriz cuadrada y sea =ka-i, donde es k un número real. Prueba, para cierto valor de k, que si A =A, entonces =I. Tema. Matrices

6 t C C. Demuestra que dada una matriz cuadrada cualquiera C, la matriz es t C C simétrica y la matriz es antisimétrica; y además se puede descomponer en una suma de una matriz simétrica y otra antisimétrica. 7 Aplícalo para descomponer la matriz C = 9 6. Sea A una matriz de orden n tal que A A I. Demuestra que A tiene inversa y hállala. PAEU. Hállense las matrices A cuadradas de orden que verifiquen la igualdad: A (septiembre ). Sea A una matriz cuadrada tal que A²-A=-I ( siendo I la matriz identidad). Probar que A admite inversa y utilizar la igualdad dada para expresar A - en función de A. (septiembre ). Sea M una matriz cuadrada que cumple la ecuación M²- M= I, donde I denota la matriz identidad. a) Estudiar si existe la matriz inversa de M. en caso afirmativo expresar M - en términos de M e I.. b) Hallar todas las matrices M de la forma a b que cumplan la ecuación M²- b a M= I. (junio ). Sean las matrices (junio ) A, y C.Calcular matrices C t, t C y C. a. Calcular las matices A y tales que A y A 9 (septiembre ) Tema. Matrices

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