Tema 4: Aplicaciones lineales

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Tema 4: Aplicaciones lineales"

Transcripción

1 Águeda Mata y Miguel Reyes, Dpto de Matemática Aplicada, FI-UPM 1 Tema 4: Aplicaciones lineales Ejercicios 1 Estudia la linealidad de las siguientes aplicaciones: (a) f : R R 3, definida por f(x, y) = (x + y, x y, x) (b) f : R R, definida por f(x) = ( 3x, x) (c) f : R R, definida por f(x, y) = (x + y, 1) (d) f : R R, definida por f(x, y) = xy (e) f : R R, definida por f(x, y) = (x cos φ y sen φ, x sen φ + y cos φ), con φ < π (f) f : R 3 P (R), definida por f(a, b, c) = a + bx + cx Estudia la linealidad de las siguientes aplicaciones: (a) f : M n n (R) { A M n n (R) : A = A t}, definida por f(a) = A+At (A t es la matriz traspuesta de A) (b) f : M (R) { A M (R) : A = A t}, definida por f(a) = AA t (c) f : P n (R) P n (R), definida por f(p(x)) = p(x + 1) (d) f : P n (R) P n (R), definida por f(p(x)) = p(x) Prueba que las siguientes aplicaciones, definidas sobre el espacio vectorial de los polinomios P(R), son lineales Obtén la imagen y el núcleo de cada una de ellas (a) f(p(x)) = p (x) (b) g(p(x)) = 4 Sean f, g : R 3 R definidas por (a) f(1, 1, ) = (, 1), f(, 1, ) = (1, 1), f(3,, 1) = (, 3) x p(t) dt (b) g(1, 1, ) = (, 1), g(, 1, ) = (1, 1), g(1,, ) = ( 1, 4), g(3,, 1) = (, 3) Averigua si son homomorfismos y, en caso afirmativo, si son monomorfismo, epimorfismo o isomorfismo 5 Sea f : P 3 (R) P (R) definida sobre el conjunto { p1 = 1 + x + x 3, p = 1 + x, p 3 = 1 + x 3, p 4 = x x 3} como f(p 1 ) = x 1, f(p ) = 1 + 3x, f(p 3 ) = x y f(p 4 ) = 1 (a) Es aplicación lineal? (b) Existe una aplicación lineal g : L ({p 1, p, p 3 }) P (R) tal que g(p 1 ) = x 3, g(p ) = x 1, g(p 3 ) = 1 + x? (c) Extiende la aplicación g a una aplicación lineal h : P 3 (R) P (R) tal que h(p i ) = g(p i ), i = 1,, 3, y Ker h = L( { 1 + x + x } )

2 Águeda Mata y Miguel Reyes, Dpto de Matemática Aplicada, FI-UPM 6 Halla una aplicación lineal f : R 3 R 3 tal que Ker f = {(x, y, z) : x + z = }, f(1,, ) sea proporcional a (,, 1) y f f = f Es f única? 7 Halla una aplicación lineal f : R 4 R 3 tal que Ker f = L ({(, 1,, 1), (, 1, 3, )}) Im f = L ({(, 1, ), (1, 1, )}) 8 Halla una aplicación lineal f : R 3 R 3 tal que Ker f = L ({(,, 1)}) Im f = L ({(1,, 1), (1, 1, 1), (, 1, )}) 9 En R 3 se consideran los subespacios S = L ({(, 1, ), (1, 1, )}) y T = L ({(1,, 1)}) (a) Expresa cada vector u = (x, y, z) R 3 como suma de un vector u S S y otro u T T (b) Demuestra que la aplicación f : R 3 R 3, definida por f(u) = u S es lineal (c) Si L es un subespacio vectorial de R 3 de dimensión, cuál es la dimensión de f(l)? 1 (a) Sean f, g : V V aplicaciones lineales Prueba que Ker(g f) = f 1 (ker g Im f) (b) Sea f : R 3 R 3 definida por f(x, y, z) = (x + z, x + 3y, 3y z) Obtén una base de f 1 (ker f Im f) 11 Sea B = {v 1, v } una base de V, y f y g dos endomorfismos sobre V definidos por { f(v1 ) = 3v 1 + v f(v ) = v 1 v { g(v1 ) = v 1 + v g(v ) = v 1 Encuentra las matrices, respecto de la base B, asociadas a f, g, f g, g f y f 3g 1 Sea f : R 3 R 3 la aplicación lineal cuya matriz, respecto de la base canónica 1 3 {e 1, e, e 3 }, es 1 1 Calcula f(e 1 ), f(e ), f(e 3 ) y f(e 1 + e e 3 ) Es 1 un isomorfismo? 13 Sea f : R 3 R 3 la aplicación lineal cuya matriz, respecto de la base canónica es Encuentra bases de la imagen y del núcleo Encuentra la matriz, respecto de las bases usuales en los correspondientes espacios, de las siguientes aplicaciones lineales: ( ) 1 (a) f : M (R) M 1 (R), definida por f(a) = A 1 ( ) ( ) (b) f : M (R) M (R), definida por f(a) = A A 1 1

3 Águeda Mata y Miguel Reyes, Dpto de Matemática Aplicada, FI-UPM 3 (c) f : P 3 (R) P 3 (R), definida por f(1) = x + 1, f(x) = x +, f(x ) = x 3 x y f(x 3 ) = 1 ( (d) f : P 3 (R) R, definida por f(p(x)) = p(1), 1 ) p(x) dx ( ) a a + b 15 Sea f : P 3 (R) M (R) definida por f(a + bx + cx + dx 3 ) = c d a b Obtén la matriz de la aplicación lineal, su imagen y su núcleo y 1 = x + z 16 Sea f : R 3 R 4 y la aplicación lineal de ecuaciones = x y z y 3 = y 3z y 4 = x z (a) Halla las ecuaciones paramétricas e implícitas de Ker f e Im f (b) Si T = L ({(1, 1, 1, ), (, 1, 1, )}), halla las ecuaciones paramétricas e implícitas de f 1 (T ) 17 Sean f : R 3 M (R) y g : M (R) P 3 (R) las aplicaciones definidas por ( ) x1 x f(x 1, x, x 3 ) = x g(a) = ( 1 x ) ( ) x A x x x 3 x (a) Prueba que son aplicaciones lineales (b) Halla sus matrices respecto de las bases usuales Cuáles son sus rangos? (c) Halla sus núcleos e imágenes (d) Halla la matriz de g f, su rango, y su núcleo e imagen 18 En R 3 se define el endomorfismo f cuya matriz, respecto de la base canónica, es a 1 1 A a = 1 a a (a) Halla los valores de a para los que f no es automorfismo En estos casos, halla bases del núcleo y de la imagen (b) Para a =, encuentra un vector u tal que f(u) L({u}) 19 Sea M el subespacio vectorial de M (R) definido por {( ) } α + β α β M = : α, β R α α + β (a) Construye f : M (R) R 3 tal que Ker f = M (b) Existe f : M (R) R 3 que verifique (a) y sea epimorfismo? Sea f : R 3 R 3 una aplicación lineal tal que f(,, 1) = (, 5, 3) y f(v) = 3v, para todo v S = {(x, y, z) : x + z = } Halla { su matriz respecto de la base x + 4y + 3z = canónica y f 1 (r) donde r es la recta de ecuaciones x + y + z =

4 Águeda Mata y Miguel Reyes, Dpto de Matemática Aplicada, FI-UPM 4 1 Sea f : R 3 R 4 la aplicación lineal definida por la matriz A = (a) Halla el valor de a para que (1, a, a, ) Im f (b) Halla f 1 (1,,, ) (c) En R 3 se considera el subespacio vectorial U generado por la base B 1 = {(1, 1, 1), (1, 1, )} y en R 4 el subespacio vectorial V generado por la base B = {(1,,, 1), (1, 1, 1, 1), (,, 1, 1)} Halla la matriz de f : U V respecto de las bases dadas Halla las matrices del cambio de base de B 1 a B en los siguientes casos: (a) B 1 = {(1, 1), (3, 1)} y B = {(1, ), (, 1)} (b) B 1 = {(1,, ), (, 1, ), (,, 1)} y B = {(, 3, 4), (1,, 6), (1, 3, 5)} 3 Sea V un espacio vectorial de dimensión 3 sobre R, y sean B = {e 1, e, e 3 } y B = {e 1, e, e 3 } dos bases de V relacionadas por las ecuaciones: e 1 = e 1 e e 3 e = e e 3 = e + e 3 Encuentra los vectores de V que tienen las mismas coordenadas respecto de ambas bases 4 Sea f : R 3 R 3 una aplicación lineal tal que: f(1, 1, 1) = (1, 1, ), f( 1, 1, 1) = (,, 1) y f( 1,, 1) = (,, ) (a) Halla su matriz respecto de la base canónica (b) Halla su matriz respecto de la base B = {((1, 1, 1), ( 1, 1, 1), ( 1,, 1)} ( ) ( ) ( ) ( ) Sean A =, B =, C =, D =, S = L({A, B, C}) y g : S P (R) definida por g(a) = x, g(b) = x + 1 y g(c) = x + x + 1 (a) Halla bases del núcleo e imagen de g Halla las ecuaciones de g respecto de las bases B 1 = {A, B, C} y B = { 1, x, x }, y respecto de las bases B 3 = { ( )} 3 A, B, E = y B 1 4 = { x, x + 1, 1 } (b) Estudia si existe algún homomorfismo f : S P (R) tal que f(a) = x, f(b) = x + 1, f(c) = x + x + 1 y f(d) = x + x 6 Sea B = {e 1, e, e 3 } la base canónica de R 3 y f : R 3 R 3 definida por f(e 1 ) + f(e ) = ae 1 + (a + 1)e + e 3 f(e 1 ) + f(e 3 ) = e 1 + ae + e 3 f(e 3 ) = e 1 + e 3 (a) Halla la matriz de f respecto de B Para qué valores de a es f biyectiva?

5 Águeda Mata y Miguel Reyes, Dpto de Matemática Aplicada, FI-UPM 5 (b) Para a = 1 se considera el subespacio vectorial W = L({(1, 1, ), (,, 1)}) Es Ker f W = R 3? Es Im f Ker f = R 3? Calcula f 1 (,, ) (c) Para a =, sea B = {u 1 = e 1 e, u = e 3, u 3 = e + e 3 } Prueba que B es base y halla la matriz de f respecto de B 7 Sea f : R 3 R 3 una aplicación lineal tal que dim(im f) = 1, las ecuaciones del { Ker f respecto de la base B = {u 1 = (1,, ), u = (1, 1, ), u 3 = (1, 1, 1)} son x + y = ax y + (a + 1)z, y tal que existe v = (b,, ) (,, ) verificando que = f(v) = f (v) = u 1 +u +u 3 Halla las ecuaciones de f respecto de la base canónica 8 Sea f k : R 3 R 3 una aplicación lineal cuya matriz respecto de la base canónica 1 1 es 1 k, k R 1 1 (a) Para qué valores de k es f k isomorfismo? 1 (b) Halla, si es posible, bases respecto de las cuales la matriz de f 1 es 1 (c) Halla f 1 (S) donde S = L ({(, 1, 1), ( 3,, 1)}) 9 Sea f : R 3 R 3 una aplicación lineal y B = {e 1, e, e 3 } la base canónica Sabiendo que dim(ker f) =, e 1 e Im f, f = f y que la matriz de f respecto de B coincide con la matriz de f respecto de B = {u 1, u, u 3 }, siendo B la base de R 3 tal que u 1 = e 1 e, u = e 1 + e y u 3 = e 1 + e + e 3 (a) Halla la matriz de f respecto de B (b) Halla las ecuaciones implícitas de Ker f y de Im f 3 Sea f : M (R) P (R) la aplicación lineal definida por ( ) a b f = a(x + x ) + bx + dx c d (a) Halla la matriz de f respecto de las bases usuales (b) Halla una base de Im f, y un suplementario de Im f en P (R) (c) Halla una ( base de ) S = Ker f, un suplementario T de S en M (R), y escribe 4 la matriz como suma de una de S y otra de T 6 8 { ( ) (d) Comprueba que B = M 1 =, M = ( ) halla las coordenadas de M 3 = respecto de dicha base 3 ( )} 1 1 es una base de S y 1 1 (e) Amplía la base B = {M 1, M } a una base de M (R), de forma que las dos primeras coordenadas de M 1, M y M 3 respecto de dicha base sean nulas (f) Halla f 1 ( L ({ 3x + 4x }))

6 Águeda Mata y Miguel Reyes, Dpto de Matemática Aplicada, FI-UPM 6 31 Sean U = L ({(1, 1, 1, ), (, 1, 1, 1), (1,,, 1)}), V = L ({(,,, 1), ( 1, 1, 1, )}) y f : U V definida por f(1, 1, 1, ) = (,,, 1), f(, 1, 1, 1) = ( 1, 1, 1, 1) y f(1,,, 1) = (,,, ) (a) Obtén bases de U y V de forma que al colocar los vectores de dichas bases como filas de una matriz, se obtenga una forma canónica por filas (b) Halla la matriz de f respecto de las bases obtenidas en el apartado anterior Soluciones 1 (a), (b), (e) y (f) son aplicaciones lineales, mientras que (c) y (d) no lo son (a) y (c) son aplicaciones lineales, mientras que (b) y (d) no lo son 3 (a) Im f = P(R) y Ker f = P (R) = R (b) Im f = {q(x) P(R) : q() = } y Ker f = {} 4 f es epimorfismo, y g no es homomorfismo 5 (a) No, pues p 4 = p p 3 y f(p 4 ) f(p ) f(p 3 ) (b) Si, pues {p 1, p, p 3 } es base del subespacio que generan (c) h viene definida sobre la base B = { p 1, p, p 3, p 4 = x 3} como h(p i ) = g(p i ), i = 1,, 3, y h(p 4 ) = 5 + x + x 6 Es única: f(1,, 1) = f(, 1, ) = y f(1,, ) = (,, 1) x 1/ No es única Por ejemplo: f(x 1, x, x 3, x 4 ) = x x x 4 1 x 8 Respecto de la base canónica: f(x, y, z) = 1 y 1 z 9 (a) u S = (x z, y, ) y u T = (z,, z) (b) Es lineal (c) La dimensión de f(l) es 1 (si T L) o (si T L = {}) 1 (b) {(6,, 3)} ( ) ( ) M(f) =, M(g) =, M(f g) = ( ) y M(f 3g ) = 11 1 ( ) 3, M(g f) = 1 ( ) f(e 1 ) = (1,, ), f(e ) = (3, 1, 1), f(e 3 ) = (, 1, ) y f(e 1 + e e 3 ) = (5, 1, ) Es un isomorfismo 13 {(1, 1, 1), (, 1, 1)} es base de la imagen y {(1, 1, )} del núcleo

7 Águeda Mata y Miguel Reyes, Dpto de Matemática Aplicada, FI-UPM 7 14 (a) 15 (d) ( ) 1 1 (b) 1 1 ( ) / 1/3 1/4 1 {( 1 1 α 1 1 ; Im f = γ (a) Ker f = {} y 1 = α y Im f: = α + β y 3 = β + γ (b) f 1 (T ): y 4 = α + 3γ x = 11α y = 5α z = 9α (c) ) α + β α β } : α, β, γ R ; Ker f = L ({ x + x 3}), α, β, γ R; 7y 1 + 6y + 3y 3 y 4 =, α R; { 3x + 3y + z = 5x + y + 5z = (b) M(f) = 1 1 ; M(g) = ; rg M(f) = rg M(g) = ({( ) ( ) ( )}) 1 1 (c) Im f = L,, ; y Ker f = {} 1 1 Im g = L ({ ({( )}) x, x, x 3}) 1 ; y Ker g = L 1 (d) M(g f) = 1 1 ; rg M(g f) = 3; Im(g f) = L ({ x, x, x 3}) ; y 1 1 Ker(g f) = {} 18 (a) a = 1 y a = Para a = 1, B Im f = {(1, 1, 1)} y B Ker f = {(1, 1, ), (1,, 1)} Para a =, B Im f = {(1, 1, ), (, 1, 1)} y B Ker f = {(1, 1, 1)} (b) u = (1, 1, ) ( ) a b 19 (a) No es única Por ejemplo: f = (, a+b c d 3 + c, 5a+b 3 + d ) ; (b) No 1 M(f, B c ) = ; y f 1 (r) = L ({(6, 11, )}) (a) a = 1/5; (b) f 1 (1,,, ) = ; (c)

8 Águeda Mata y Miguel Reyes, Dpto de Matemática Aplicada, FI-UPM 8 (a) ( ) ; (b) {u = (, α, α) : α R} (a) ; (b) (a) B Im g = { {( )} x, 1 + x } 3 y B Ker g = 1 α = b + c g : (a, b, c) B1 (α, β, γ) B con β = a + c g : (a, b, e) B3 (α, β, γ) B4 con γ = b + c α = a β = b γ = (b) No existe a 1 6 (a) M(f, B) = a 1 ; f es biyectiva si a ±1 1 1 (b) Ker f W = R 3 y Ker f Im f = R 3 ; f 1 (,, ) = (,, ) + Ker f 4 6 (c) M(f, B ) = f(x, y, z) = ( 3x 3z, x z, x z ) 8 (a) k 1 (b) B 1 = {u 1, u, u 3 = (1, 1, 1)} y B = {f(u 1 ), f(u ), v 3 } (c) f 1 (S) = L ({(3, 8, ), ( 5,, 8)}) (a) M(f, B) = { x + y = (b) Im f ; Ker f x y = z = 3 (a) (b) B Im f = { x, x } L({1}) es suplementario de Im f en P (R) {( ) ( )} {( ) ( )} (c) B S =, y, por ejemplo, B 1 1 T =, En este 1 ( ) ( ) ( ) 4 6 caso: = (d) M 3 = 1 M 1 + 3M = ( 1/, 3) B

9 Águeda Mata y Miguel Reyes, Dpto de Matemática Aplicada, FI-UPM 9 (e) {( ) ( ) 1, 1, M 1, M } (f) f 1 ( L ({ 3x + 4x })) = L ({( ) 4 1, ( ) ( )}) 3, (a) B U = {(1,,, ), (, ( 1, 1, ), (,, ), 1)} y B V = {(1, 1, 1, ), (,,, 1)} (b) M(f, B U, B V ) =

EJERCICIOS DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA 2 APLICACIONES LINEALES

EJERCICIOS DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA 2 APLICACIONES LINEALES EJERCICIOS DE TEMA APLICACIONES LINEALES APLICACIONES LINEALES ) Estudiar cuáles de las siguientes aplicaciones son lineales entre los espacios vectoriales dados: x y a) f: f(x, y) = x y x b) f: x f(x)

Más detalles

Tema 2: Espacios vectoriales

Tema 2: Espacios vectoriales Águeda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM 1 Tema 2: Espacios vectoriales Ejercicios 1. En R 2 se definen las siguientes operaciones: (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) = (x 1 + x 2, y 1 +

Más detalles

HOJA 4: APLICACIONES LINEALES

HOJA 4: APLICACIONES LINEALES HOJA 4: APLICACIONES LINEALES Estudio de la linealidad 1) Estudie la linealidad de las siguientes aplicaciones: a) ff: RR RR 2, ff(xx) = ( 3xx, 2xx) b) ff: RR 2 RR, ff(xx, yy) = xxxx c) ff: RR 2 RR 3,

Más detalles

Tema 1: Espacios vectoriales

Tema 1: Espacios vectoriales PROBLEMAS DE MATEMÁTICAS Parte I: Álgebra Primero de Ingeniería Química FACULTAD DE CIENCIAS QUÍMICAS Departamento de Matemáticas Universidad de Castilla-La Mancha Tema 1: Espacios vectoriales 1 Determina

Más detalles

EJERCICIOS DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA 1 ESPACIOS VECTORIALES

EJERCICIOS DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA 1 ESPACIOS VECTORIALES EJERCICIOS DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA ESPACIOS VECTORIALES Formas reducidas y escalonada de una matriz SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ) Encuentre una sucesión de matrices elementales E, E,..., E k tal que

Más detalles

7 Aplicaciones ortogonales

7 Aplicaciones ortogonales Águeda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM 1 7 Aplicaciones ortogonales 7.1 Aplicación ortogonal Se llama aplicación ortogonal a un endomorfismo f : V V sobre un espacio vectorial

Más detalles

2 Espacios vectoriales

2 Espacios vectoriales Águeda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM 1 2 Espacios vectoriales 2.1 Espacio vectorial Un espacio vectorial sobre un cuerpo K (en general R o C) es un conjunto V sobre el que hay

Más detalles

EJERCICIOS DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA 1 ESPACIOS VECTORIALES

EJERCICIOS DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA 1 ESPACIOS VECTORIALES EJERCICIOS DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA ESPACIOS VECTORIALES MATRICES. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Matrices ) Dada la matriz M=, prueba que n n M M, n. ) Demuestra la siguiente implicación: Si I A I AA A

Más detalles

TEMA 4. APLICACIONES LINEALES

TEMA 4. APLICACIONES LINEALES TEMA 4. APLICACIONES LINEALES 1.- Definición y propiedades. 2.- Aplicaciones lineales inyectivas y Suprayectivas. 3.- Núcleo, imagen, matriz asociada y rango de una aplicación lineal. 4.- Operaciones con

Más detalles

COMPLEMENTOS DE MATEMATICA 3 - Segundo cuatrimestre de 2007 Práctica 3 - Transformaciones lineales

COMPLEMENTOS DE MATEMATICA 3 - Segundo cuatrimestre de 2007 Práctica 3 - Transformaciones lineales Departamento de Matemática - Facultad de Ciencias Exactas y Naturales - UBA 1 COMPLEMENTOS DE MATEMATICA 3 - Segundo cuatrimestre de 27 Práctica 3 - Transformaciones lineales Ejercicio 1. Determinar cuáles

Más detalles

TEMA V. Espacios vectoriales

TEMA V. Espacios vectoriales TEMA V. Espacios vectoriales 1 1. Demostrar que cada uno de los siguientes conjuntos tiene estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo de los reales: a El conjunto (R 2, +,, R. b El conjunto (R 3,

Más detalles

5. Aplicaciones lineales

5. Aplicaciones lineales 5. Aplicaciones lineales Manuel Palacios Departamento de Matemática Aplicada Centro Politécnico Superior Universidad de Zaragoza Otoño 2010 Contents 5 Aplicaciones lineales 7 5.1 Definición y propiedades..............................

Más detalles

Álgebra y Álgebra II - Segundo Cuatrimestre 2017 Práctico 4 - Espacios Vectoriales

Álgebra y Álgebra II - Segundo Cuatrimestre 2017 Práctico 4 - Espacios Vectoriales Álgebra y Álgebra II - Segundo Cuatrimestre 2017 Práctico 4 - Espacios Vectoriales (1) Sea n N. Mostrar que el conjunto de polinomios sobre R de grado menor que n es un subespacio vectorial de R[x]. Este

Más detalles

4 Aplicaciones lineales

4 Aplicaciones lineales Águeda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM 4 Aplicaciones lineales 4. Aplicación lineal Sean V y W dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K (en general, R o C. Una aplicación

Más detalles

f(x, y, z, t) = (x + y t, x + 2y z 3t, 3x + 5y 2z 7t).

f(x, y, z, t) = (x + y t, x + 2y z 3t, 3x + 5y 2z 7t). Universidade de Vigo Departamento de Matemática Aplicada II E.T.S.I. Minas Álgebra Convocatoria de enero de 20 de enero de 20 (2.5 p.) ) Se considera la aplicación lineal f : R 4 R definida por: f(x y

Más detalles

ÁLGEBRA LINEAL E.T.S. DE INGENIERÍA INFORMÁTICA INGENIERÍAS TÉCNICAS EN INFORMÁTICA DE SISTEMAS Y GESTIÓN BOLETÍN DE PROBLEMAS DE

ÁLGEBRA LINEAL E.T.S. DE INGENIERÍA INFORMÁTICA INGENIERÍAS TÉCNICAS EN INFORMÁTICA DE SISTEMAS Y GESTIÓN BOLETÍN DE PROBLEMAS DE E.T.S. DE INGENIERÍA INFORMÁTICA BOLETÍN DE PROBLEMAS DE ÁLGEBRA LINEAL para las titulaciones de INGENIERÍAS TÉCNICAS EN INFORMÁTICA DE SISTEMAS Y GESTIÓN 1. Matrices y determinantes Ejercicio 1.1 Demostrar

Más detalles

Ejercicios resueltos de Álgebra, hoja 2. Beatriz Graña Otero

Ejercicios resueltos de Álgebra, hoja 2. Beatriz Graña Otero Ejercicios resueltos de Álgebra, hoja 2. Beatriz Graña Otero 11 de Diciembre de 2008 2 B.G.O. 104.- Determina si los siguientes subconjuntos del espacio vectorial correspondiente son subvariedades afines:

Más detalles

ESPACIOS VECTORIALES. VARIEDADES LINEALES, APLICACIONES ENTRE ESPACIOS VECTORIALES. TEOREMAS DE ISOMORFIA.

ESPACIOS VECTORIALES. VARIEDADES LINEALES, APLICACIONES ENTRE ESPACIOS VECTORIALES. TEOREMAS DE ISOMORFIA. ESPACIOS VECTORIALES. VARIEDADES LINEALES, APLICACIONES ENTRE ESPACIOS VECTORIALES. TEOREMAS DE ISOMORFIA. Índice de contenido 1. Espacio vectorial....2 Estructura de espacio vectorial...2 Subespacios

Más detalles

Núcleo e Imagen de una aplicación lineal.

Núcleo e Imagen de una aplicación lineal. PRÁCTICA Nº 8 Núcleo e Imagen de una aplicación lineal. Con esta práctica se pretende utilizar el cálculo de la expresión matricial de una aplicación lineal respecto de las bases del dominio y codominio

Más detalles

Tema 3 APLICACIONES LINEALES

Tema 3 APLICACIONES LINEALES Tema 3 APLICACIONES LINEALES Prof. Rafael López Camino Universidad de Granada 1 Definición y propiedades. Núcleo e imagen. Isomorfismos. Definición 1.1 Una aplicación f : V V entre dos espacios vectoriales

Más detalles

Hoja de diagonalización MATEMÁTICAS I

Hoja de diagonalización MATEMÁTICAS I Hoja de diagonalización MATEMÁTICAS I 8-9.- En los siguientes casos estudiar si f es una aplicación lineal y en caso afirmativo hallar una matriz A tal que f(x) Ax así como los subespacios vectoriales

Más detalles

Aplicaciones lineales.

Aplicaciones lineales. Tema 4 Aplicaciones lineales. Definición 4. Sea f: V W una aplicación entre los espacios vectoriales reales V y W. Se dice que f es una aplicación lineal si: a f(u + v = f(u + f(v; u, v V, b f(ku = kf(u;

Más detalles

Aplicaciones Lineales

Aplicaciones Lineales Aplicaciones Lineales Ximo Beneyto Tema: Pàgina : 49 APLICACIONES LINEALES Definición : Sean (E(K), +, A) y (F(K), +, A), Espacios Vectoriales construídos sobre un mismo cuerpo K, una aplicación f:e 6

Más detalles

Espacios Vectoriales

Espacios Vectoriales Espacios y subespacios vectoriales Espacios Vectoriales 1. Demuestre que con la suma y multiplicación habituales es un espacio vectorial real.. Considere el conjunto C de los números complejos con la suma

Más detalles

PRÁCTICO 5. Coordenadas y matriz de cambio de bases

PRÁCTICO 5. Coordenadas y matriz de cambio de bases Algebra y Algebra II Segundo Cuatrimestre 2012 PRÁCTICO 5 Coordenadas y matriz de cambio de bases Ejercicio 1. Probar que los vectores α 1 = (1 0 i) α 2 = (1 + i 1 i 1) α 3 = (i i i) forman una base de

Más detalles

Aplicaciones Lineales

Aplicaciones Lineales Aplicaciones Lineales AMD Grado en Ingeniería Informática AMD Grado en Ingeniería Informática (UM) Aplicaciones Lineales 1 / 47 Objetivos Al finalizar este tema tendrás que: Saber si una aplicación es

Más detalles

Aplicaciones Lineales

Aplicaciones Lineales Aplicaciones Lineales Ejercicios resueltos Ximo Beneyto PROBLEMAS RESUELTOS APLICACIONES LINEALES 1.Dada la aplicación f : ú 3 6 ú² / f(x, y, z) = (x+y-z, 2x+3z): 1.1. Probar que f es una aplicación lineal.

Más detalles

EJERCICIOS DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA 3 ESPACIOS EUCLÍDEOS

EJERCICIOS DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA 3 ESPACIOS EUCLÍDEOS EJERCICIOS DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA 3 ESPACIOS EUCLÍDEOS ESPACIOS EUCLÍDEOS ) a) Decir cuál de las siguientes aplicaciones de x de no definir un producto escalar comprobar el axioma que falla: a ) x' x,y,

Más detalles

Aplicaciones lineales

Aplicaciones lineales 53 Matemáticas I : Álgebra Lineal Tema 5 Aplicaciones lineales 5. Definición. Núcleo e imagen Definición 26.- Sea f: V W una aplicación entre los espacios vectoriales reales V y W. Se dice que f es una

Más detalles

Expresa en lenguaje matemático los siguientes conjuntos:

Expresa en lenguaje matemático los siguientes conjuntos: universidad de valladolid facultad de cc ee y ee matemáticas 1 1. Expresa en lenguaje matemático los siguientes conjuntos: (a) El conjunto S 1 de los vectores de IR 3 que tienen las dos primeras componentes

Más detalles

Transformaciones lineales

Transformaciones lineales Semana 8 [1/62] 8 de septiembre de 27 Definiciones básicas Semana 8 [2/62] Definición Transformación lineal U, V dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo Ã. T : U V es una transformación (o función)

Más detalles

Problemas de exámenes de Aplicaciones Lineales y Matrices

Problemas de exámenes de Aplicaciones Lineales y Matrices 1 Problemas de exámenes de Aplicaciones Lineales y Matrices 1. Consideramos f End(R n ), que tiene matriz A respecto la base canónica. Cuál de las siguientes afirmaciones es incorrecta? a) Si v es un vector

Más detalles

TEMA 5: Aplicaciones Lineales. Diagonalización.

TEMA 5: Aplicaciones Lineales. Diagonalización. TEMA 5: Aplicaciones Lineales. Diagonalización. 1. Aplicaciones Lineales 1.1. Definición, propiedades y ejemplos. Definición 1. Dados dos espacios vectoriales V y V sobre un mismo cuerpo K, una aplicación

Más detalles

ÁLGEBRA LINEAL I Práctica 5

ÁLGEBRA LINEAL I Práctica 5 ÁLGEBRA LINEAL I Práctica 5 Espacios vectoriales (Curso 2014 2015) 1. En el espacio vectorial real IR 2 consideramos los siguientes subconjuntos: (a) A = {(x y) IR 2 x 2 + y 2 = 1}. (b) B = {(x y) IR 2

Más detalles

Matrices. Operaciones con matrices.

Matrices. Operaciones con matrices. Matrices. Operaciones con matrices. Ejercicio. Dadas las matrices ( ) ( ) 4 A = B = ( ) C = D = 4 5 ( ) 4 E = F = seleccione las que se pueden sumar y súmelas. Ejercicio. Dadas las matrices ( ) ( ) A =

Más detalles

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOLA TEKNIKOA FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOLA TEKNIKOA FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOLA TEKNIKOA.1 Definición de Aplicación Lineal. FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS 8. APLICACIONES LINEALES Sean

Más detalles

Aplicaciones Lineales. Diagonalización de matrices.

Aplicaciones Lineales. Diagonalización de matrices. Tema 2 Aplicaciones Lineales. Diagonalización de matrices. 2.1. Definiciones y propiedades Nota 2.1.1. En este tema trabajaremos con los Espacios Vectoriales R n y R m definidos sobre el cuerpo R. Definición

Más detalles

Transformaciones Lineales (MAT023)

Transformaciones Lineales (MAT023) Transformaciones Lineales (MAT03 Primer semestre de 01 1 Verónica Gruenberg Stern DEFINICION Sean U, V dos espacios vectoriales sobre un cuerpo K y sea T : U V una función. Diremos que T es una transformación

Más detalles

Espacios vectoriales y aplicaciones lineales.

Espacios vectoriales y aplicaciones lineales. Práctica 2 Espacios vectoriales y aplicaciones lineales. Contenido: Localizar bases de espacios vectoriales. Suma directa. Bases y dimensiones. Cambio de base. Aplicaciones lineales. Matriz asociada en

Más detalles

La aplicación derivada sobre el espacio E de los polinomios en una variable, E D E, es

La aplicación derivada sobre el espacio E de los polinomios en una variable, E D E, es Álgebra lineal y Geometría I Gloria Serrano Sotelo Departamento de MATEMÁTICAS 1 Aplicaciones lineales Núcleo e Imagen Tipos de aplicaciones lineales Sean E y E k-espacios vectoriales Definición 11 Una

Más detalles

A d) Estudiar la diagonalización del endomorfismo T. Es posible encontrar una base de vectores propios de R 2 [x]? Razonar la respuesta.

A d) Estudiar la diagonalización del endomorfismo T. Es posible encontrar una base de vectores propios de R 2 [x]? Razonar la respuesta. Universidad de Oviedo Ejercicio.5 puntos Se consideran las aplicaciones lineales T : R [x] R y T : R R [x] de las que se conoce la matriz A asociada a T en las bases canónicas de R [x] y R y la matriz

Más detalles

Tema 2: APLICACIONES LINEALES

Tema 2: APLICACIONES LINEALES Tema 2: APLICACIONES LINEALES Prof. Rafael López Camino Departamento de Geometría y Topología Universidad de Granada Material docente para el alumno Asignatura: Geometría I. Curso 2003/04 Licenciatura:

Más detalles

Aplicaciones bilineales y formas cuadráticas (Curso )

Aplicaciones bilineales y formas cuadráticas (Curso ) ÁLGEBRA Práctica 8 Aplicaciones bilineales y formas cuadráticas (Curso 2008 2009) 1. Comprobar si las siguientes aplicaciones son o no bilineales y en las que resulten serlo, dar la matriz que las representa

Más detalles

Teoría de la Dimensión

Teoría de la Dimensión Capítulo II Teoría de la Dimensión En este capítulo introduciremos una de las propiedades más importantes que tienen los espacios vectoriales: la dimensión. Dos son los modos posibles de llegar a la noción

Más detalles

Aplicaciones Lineales. S1

Aplicaciones Lineales. S1 Aplicaciones Lineales. S1 Leandro Marín 6 de Noviembre de 2009 Definición Definición Sea K un cuerpo y sean V y W dos espacios vectoriales sobre K. Una aplicación lineal f : V W es una aplicación entre

Más detalles

Trabajo Práctico N 5: ESPACIOS VECTORIALES

Trabajo Práctico N 5: ESPACIOS VECTORIALES Trabajo Práctico N 5: ESPACIOS VECTORIALES Ejercicio 1: Determine si los siguientes conjuntos con las operaciones definidas en cada caso son o no espacios vectoriales. Para aquellos que no lo sean, indique

Más detalles

1. DIAGONALIZACIÓN. FORMAS CANÓNICAS

1. DIAGONALIZACIÓN. FORMAS CANÓNICAS 1 1. DIAGONALIZACIÓN. FORMAS CANÓNICAS 1. Se considera la matriz: A = ( 2 3 4 13 con coeficientes en R. Hallar los valores propios, los vectores propios y una matriz P que permita la diagonalización de

Más detalles

UTN FRBA Final de Álgebra y Geometría Analítica 21/05/2013. Apellido y nombre del alumno: Leg.:.. Corrigió: Revisó:...

UTN FRBA Final de Álgebra y Geometría Analítica 21/05/2013. Apellido y nombre del alumno: Leg.:.. Corrigió: Revisó:... UTN FRBA Final de Álgebra y Geometría Analítica 1/05/01 Apellido y nombre del alumno: Leg.:.. Corrigió: Revisó:... La condición para aprobar esta evaluación es tener bien resueltos como mínimo tres ejercicios.

Más detalles

la matriz de cambio de base de B 1 en B 2. = M 1 B 2,B 1 [1 + x + x 2 ] B1 = M B2.

la matriz de cambio de base de B 1 en B 2. = M 1 B 2,B 1 [1 + x + x 2 ] B1 = M B2. Práctica 2. Álgebra Lineal. Cambio de Base.Transformaciones Lineales. Matrices asociadas a una transformación lineal. 2do año: Lic. en Matemática y Profesorado. 1. (a) Sean B 1 = {(1, 0), (1, 1)} y B 2

Más detalles

Tema 1. Espacios Vectoriales Definición de Espacio Vectorial

Tema 1. Espacios Vectoriales Definición de Espacio Vectorial Tema 1 Espacios Vectoriales. 1.1. Definición de Espacio Vectorial Notas 1.1.1. Denotaremos por N, Z, Q, R, C, a los conjuntos de los números Naturales, Enteros, Racionales, Reales y Complejos, respectivamente.

Más detalles

Apellidos: Nombre: NIF:

Apellidos: Nombre: NIF: Universidad de Oviedo EPS de ingeniería de Gijón Dpto. Matemáticas Algebra Lineal 7/06/008 Segunda parte Apellidos: Nombre: NIF: Ejercicio 1 Sea f : R 3 R [x] una aplicación lineal definida en las bases

Más detalles

Solución a los problemas adicionales Aplicaciones lineales (Curso 2008 2009)

Solución a los problemas adicionales Aplicaciones lineales (Curso 2008 2009) ÁLGEBRA Solución a los problemas adicionales Aplicaciones lineales (Curso 2008 2009) I. Se considera el homomorfismo f : P 2 (IR) P 2 (IR) definido por las siguientes condiciones: (1) Los polinomios sin

Más detalles

vectoriales N(f) e Im(f) N(f) = (5,1,0),( 3,0,1) y f(1,0,0)=(2,-1,1). Se pide:

vectoriales N(f) e Im(f) N(f) = (5,1,0),( 3,0,1) y f(1,0,0)=(2,-1,1). Se pide: .- En los siguientes casos estudiar si f es una aplicación lineal y en caso afirmativo hallar una matriz A tal que f(x) Ax, así como los subespacios vectoriales N(f) e Im(f) a) f(x,y) = (x,-y) b) f(x,y)

Más detalles

Intersección y suma de subespacios

Intersección y suma de subespacios Intersección y suma de subespacios Objetivos Demostrar que la intersección y la suma de dos subespacios de un espacio vectorial también son sus subespaicios Requisitos Espacio vectorial, subespacio vectorial

Más detalles

Trabajo Práctico N 5: ESPACIOS VECTORIALES. Ejercicio 1:

Trabajo Práctico N 5: ESPACIOS VECTORIALES. Ejercicio 1: 6 Trabajo Práctico N 5: ESPACIOS VECTORIALES Ejercicio : Determine si los siguientes conjuntos con las operaciones definidas en cada caso son o no espacios vectoriales. Para aquellos que no lo sean, indique

Más detalles

Guía. Álgebra II. Examen parcial III. Transformaciones lineales. Teoremas los más importantes cuyas demostraciones se pueden incluir en el examen

Guía. Álgebra II. Examen parcial III. Transformaciones lineales. Teoremas los más importantes cuyas demostraciones se pueden incluir en el examen Guía. Álgebra II. Examen parcial III. Transformaciones lineales. Teoremas los más importantes cuyas demostraciones se pueden incluir en el examen 1. Teorema de la representación matricial de una transformación

Más detalles

Álgebra y Álgebra II - Segundo Cuatrimestre 2017 Práctico 5 - Transformaciones Lineales

Álgebra y Álgebra II - Segundo Cuatrimestre 2017 Práctico 5 - Transformaciones Lineales Álgebra y Álgebra II - Segundo Cuatrimestre 2017 Práctico 5 - Transformaciones Lineales (1) Cuáles de las siguientes funciones de R n en R m son transformaciones lineales? (a) T (x, y) = (1 + x, y) (b)

Más detalles

LEYES DE COMPOSICIÓN INTERNA Y ELEMENTOS DISTINGUIDOS

LEYES DE COMPOSICIÓN INTERNA Y ELEMENTOS DISTINGUIDOS LEYES DE COMPOSICIÓN INTERNA Y ELEMENTOS DISTINGUIDOS Sea una estructura formada por un conjunto A, sobre cuyos elementos se ha definido una operación o ley interna, comúnmente denotada por " * ", que

Más detalles

Ejercicio 1: Proponga al menos 3 conjuntos y las operaciones adecuadas de modo que sean espacios vectoriales.

Ejercicio 1: Proponga al menos 3 conjuntos y las operaciones adecuadas de modo que sean espacios vectoriales. Trabajo Práctico N 5: ESPACIOS VECTORIALES Ejercicio 1: Proponga al menos 3 conjuntos y las operaciones adecuadas de modo que sean espacios vectoriales. Ejercicio 2: Determine si los siguientes conjuntos

Más detalles

1. APLICACIONES LINEALES

1. APLICACIONES LINEALES 1 1. APLICACIONES LINEALES 1. Estudiar si las siguientes aplicaciones son lineales: a) f : R 2 R 3, f(x, y) = (x + y, y, x 2y). Sí es lineal. b) f : R 2 R, f(x, y) = xy. No es lineal. Basta observar que

Más detalles

MATRICES,DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

MATRICES,DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Departamento de Matemática Aplicada II EEI ÁLGEBRA Y ESTADÍSTICA Boletín n o 1 (2010-2011 MATRICES,DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1 Sean A, B, C, D y E matrices de tamaño 4 5, 4 5, 5 2,

Más detalles

ÁLGEBRA LINEAL I Soluciones a la Práctica 6

ÁLGEBRA LINEAL I Soluciones a la Práctica 6 ÁLGEBRA LINEAL I Soluciones a la Práctica 6 Aplicaciones lineales (Curso 2009 2010) 1. De las siguientes aplicaciones definidas entre espacios vectoriales reales, determinar cuáles son homomorfismos, monomorfismos,

Más detalles

Problemas de Álgebra Lineal Curso

Problemas de Álgebra Lineal Curso Problemas de Álgebra Lineal Curso 2015-2016 Preparados por los profesores de la asignatura: Gabriel Asensio Madrid Mercedes Bermejo Solera Daniel Jeremy Forrest Fox Pedro María González Manchón José Manuel

Más detalles

Problema 1. (4 puntos) Sea f la aplicación lineal de R³ en R³ definida por f(1,3,4)=(2,6,8), f(1,1,1)=(2,6,8) y f(0,1,1)=(0,0,0).

Problema 1. (4 puntos) Sea f la aplicación lineal de R³ en R³ definida por f(1,3,4)=(2,6,8), f(1,1,1)=(2,6,8) y f(0,1,1)=(0,0,0). Problema 1. (4 puntos) Sea f la aplicación lineal de R³ en R³ definida por f(1,3,4)=(2,6,8), f(1,1,1)=(2,6,8) y f(0,1,1)=(0,0,0). a) Demostrad que (1,3,4), (1,1,1) i (0,1,1) son una base de R³. b) Decid

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL Tema 3. Transformaciones Lineales

PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL Tema 3. Transformaciones Lineales Tema. Transformaciones Lineales TEMA: TRANSFORMACIÓN LINEAL, NÚCLEO Y RECORRIDO Problema : Sean P el espacio vectorial real de los polinomios de grado menor o igual a dos con coeficientes reales y la transformación

Más detalles

102 EJERCICIOS DE ALGEBRA LINEAL por Francisco Rivero Mendoza Ph.D.

102 EJERCICIOS DE ALGEBRA LINEAL por Francisco Rivero Mendoza Ph.D. 102 EJERCICIOS DE ALGEBRA LINEAL por Francisco Rivero Mendoza Ph.D. Tema 1. Espacios Vectoriales. 1. Dar la definición de cuerpo. Dar tres ejemplos de cuerpos. Dar un ejemplo de un cuerpo finito 2. Defina

Más detalles

ALGEBRA. Escuela Politécnica Superior de Málaga

ALGEBRA. Escuela Politécnica Superior de Málaga ALGEBRA. Escuela Politécnica Superior de Málaga Tema 1. Espacios Vectoriales. Sistemas de ecuaciones. Espacio vectorial. Espacios vectoriales R n. Dependencia e independencia lineal. Base. Matrices y determinantes.

Más detalles

Problemas de Espacios Vectoriales

Problemas de Espacios Vectoriales Problemas de Espacios Vectoriales 1. Qué condiciones tiene que cumplir un súbconjunto no vacío de un espacio vectorial para que sea un subespacio vectorial de este? Pon un ejemplo. Sean E un espacio vectorial

Más detalles

Clase 15 Espacios vectoriales Álgebra Lineal

Clase 15 Espacios vectoriales Álgebra Lineal Espacios vectoriales Clase 5 Espacios vectoriales Álgebra Lineal Código Escuela de Matemáticas - Facultad de Ciencias Universidad Nacional de Colombia En esta sección estudiaremos uno de los conceptos

Más detalles

Problemas de Espacios Vectoriales

Problemas de Espacios Vectoriales Problemas de Espacios Vectoriales Natalia Boal Francisco José Gaspar María Luisa Sein-Echaluce Universidad de Zaragoza 1 En IR 2 se definen las siguientes operaciones + : x, y + x, y = x + x, y + y, IR

Más detalles

Tema 3: MATRICES. Prof. Rafael López Camino Departamento de Geometría y Topología Universidad de Granada

Tema 3: MATRICES. Prof. Rafael López Camino Departamento de Geometría y Topología Universidad de Granada Tema 3: MATRICES Prof. Rafael López Camino Departamento de Geometría y Topología Universidad de Granada Material docente para el alumno Asignatura: Geometría I. Curso 2003/04 Licenciatura: Matemáticas

Más detalles

Práctica 2. Producto interno

Práctica 2. Producto interno Práctica 2. Producto interno 1. (a) Encontrar las condiciones que deben cumplir los coeficientes a 11, a 12, a 21 y a 22 para que la expresión defina un producto interno en R 2. (u, v) = a 11 u 1 v 1 +

Más detalles

COLEGIO UNIVERSITARIO CARDENAL CISNEROS. Libro de Ejercicios de Matemáticas Empresariales II

COLEGIO UNIVERSITARIO CARDENAL CISNEROS. Libro de Ejercicios de Matemáticas Empresariales II COLEGIO UNIVERSITARIO CARDENAL CISNEROS Libro de Ejercicios de Matemáticas Empresariales II Manuel León Navarro 2 Capítulo 1 Ejercicios lección 1 1. Sea el conjunto de las matrices cuadradas de orden 2

Más detalles

ALGEBRA. Escuela Politécnica Superior de Málaga

ALGEBRA. Escuela Politécnica Superior de Málaga ALGEBRA. Escuela Politécnica Superior de Málaga Tema 1. Espacios Vectoriales. Sistemas de ecuaciones. Espacio vectorial. Espacios vectoriales R n. Dependencia e independencia lineal. Base. Matrices y determinantes.

Más detalles

CLASIFICACIÓN AFÍN DE CÓNICAS

CLASIFICACIÓN AFÍN DE CÓNICAS Álgebra lineal y Geometría I Gloria Serrano Sotelo Departamento de MATEMÁTICAS CLASIFICACIÓN AFÍN DE CÓNICAS Sea E un R-espacio vectorial de dimensión. Sean E = e 1, e un plano vectorial de E y e 0 un

Más detalles

1. Espacios Vectoriales Reales.

1. Espacios Vectoriales Reales. . Espacios Vectoriales Reales. El Álgebra Lineal es una rama de la Matemática que trata las propiedades comunes de todos los sistemas algebráicos donde tiene sentido las combinaciones lineales y sus consecuencias.

Más detalles

Práctica 1. Espacios vectoriales

Práctica 1. Espacios vectoriales Práctica 1. Espacios vectoriales 1. Demuestre que R n (C n ) es un espacio vectorial sobre R (C) con la suma y el producto por un escalar usuales. Es C n un R-espacio vectorial con la suma y el producto

Más detalles

Álgebra Lineal Grupo A Curso 2011/12. Espacios vectoriales. Bases...

Álgebra Lineal Grupo A Curso 2011/12. Espacios vectoriales. Bases... Álgebra Lineal Grupo A Curso 2011/12 Espacios vectoriales. Bases 61) Dados los vectores v 1,v 2,...,v n linealmente independientes, probar que también lo son los vectores u 1 = v 1 u 2 = v 1 + v 2... u

Más detalles

INGENÍERIA INFORMÁTICA. PROBLEMAS DE ALGEBRA

INGENÍERIA INFORMÁTICA. PROBLEMAS DE ALGEBRA INGENÍERIA INFORMÁTICA. PROBLEMAS DE ALGEBRA C. Galindo 1. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones x 1 + 3x 2 2x 3 + 2x 5 = 0 2x 1 + 6x 2 5x 3 2x 4 + 4x 5 3x 6 = 1 5x 3 + 10x 4 + 15x 6 = 5 2x 1 + 6x

Más detalles

Transformaciones lineales

Transformaciones lineales Capítulo 3 Transformaciones lineales Las transformaciones lineales son las funciones con las que trabajaremos en Álgebra Lineal. Se trata de funciones entre K-espacios vectoriales que son compatibles con

Más detalles

9 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Ecuaciones diferenciales de primer orden en forma normal

9 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Ecuaciones diferenciales de primer orden en forma normal Miguel Reyes, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM 1 9 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Ecuaciones diferenciales de primer orden en forma normal 9.1 Definición Se llama ecuación diferencial ordinaria

Más detalles

ÁLGEBRA LINEAL Problemas, 2006/2007

ÁLGEBRA LINEAL Problemas, 2006/2007 ÁLGEBRA LINEAL Problemas, 2006/2007 Nota: si no se especifíca lo contrario suponemos que las matrices y espacios vectoriales están definidos sobre un cuerpo K arbitrario 1 Una matriz A de orden n n se

Más detalles

4.1 El espacio dual de un espacio vectorial

4.1 El espacio dual de un espacio vectorial Capítulo 4 Espacio dual Una de las situaciones en donde se aplica la teoría de espacios vectoriales es cuando se trabaja con espacios de funciones, como vimos al final del capítulo anterior. En este capítulo

Más detalles

solucionario matemáticas II

solucionario matemáticas II solucionario matemáticas II UNIDADES 8-4 bachillerato 8 Determinantes 4 9 Sistemas de ecuaciones lineales 46 Fin bloque II 0 Vectores 8 Rectas planos en el espacio 68 Propiedades métricas 08 Fin bloque

Más detalles

MATEMÁTICAS: EBAU 2017 MODELO CASTILLA Y LEÓN

MATEMÁTICAS: EBAU 2017 MODELO CASTILLA Y LEÓN MATEMÁTICAS: EBAU 207 MODELO CASTILLA Y LEÓN Opción A Ejercicio A x y + z = Dado el sistema de ecuaciones lineales { 3x + λy =, se pide: 4x + λz = 2 a) Discutir el sistema (existencia y número de soluciones)

Más detalles

ALGEBRA LINEAL Y GEOMETRÍA I

ALGEBRA LINEAL Y GEOMETRÍA I ALGEBRA LINEAL Y GEOMETRÍA I TEMA 3: Autovalores y Autovectores. Introducción Ya conoces que las aplicaciones lineales entre espacios vectoriales, al elegir bases en ellos, las puedes representar por matrices.

Más detalles

ESPACIOS Y SUBESPACIOS VECTORIALES

ESPACIOS Y SUBESPACIOS VECTORIALES ESPACIOS Y SUBESPACIOS VECTORIALES. ESPACIO VECTORIAL REAL Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos llamados vectores, junto con dos operaciones, llamadas suma y multiplicación por un escalar

Más detalles

Clase de Álgebra Lineal

Clase de Álgebra Lineal Clase de Álgebra Lineal M.Sc. Carlos Mario De Oro Facultad de Ciencias Básicas Departamento de matemáticas 04.2017 Page 1 Espacios vectoriales Definicion. Espacio Vectorial (E.V.) Un V espacio vectorial

Más detalles

ALGEBRA Y GEOMETRIA ANALITICA

ALGEBRA Y GEOMETRIA ANALITICA Diplomatura en Ciencia y Tecnología ALGEBRA Y GEOMETRIA ANALITICA SEGUNDO CUATRIMESTRE DE 009 Profesora Mariana Suarez PRACTICA N 8: RECTA EN EL ESPACIO PLANO ALGEBRA Y GEOMETRIA ANALITICA - Segundo cuatrimestre

Más detalles

Cuestiones de Álgebra Lineal

Cuestiones de Álgebra Lineal Cuestiones de Álgebra Lineal Algunas de las cuestiones que aparecen en esta relación están pensadas para ser introducidas en un plataforma interactiva de aprendizaje de modo que los parámetros a, b que

Más detalles

Problemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid (Resueltos) Isaac Musat Hervás

Problemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid (Resueltos) Isaac Musat Hervás Problemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid (Resueltos) Isaac Musat Hervás de mayo de 13 Capítulo 6 Año 5 6.1. Modelo 5 - Opción A Problema 6.1.1 ( puntos) Justificar razonadamente

Más detalles

Más ejercicios y soluciones en fisicaymat.wordpress.com MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES

Más ejercicios y soluciones en fisicaymat.wordpress.com MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES - Considere el sistema 3 5 7 0 3 3 6 0 3 4 6 0 a) Estudie para qué valores del número real a, la única solución del sistema es la nula. b) Resuélvalo, si

Más detalles

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD Opción A xcos(x)+b sen(x) Ejercicio 1.- [2 5 puntos] Sabiendo que lím x 0 x 3 es finito, calcula b y el valor del límite. Ejercicio 2.- Sean f : R R y g : R R las funciones definidas mediante f(x) = x(x

Más detalles

Subspacios Vectoriales

Subspacios Vectoriales Subspacios Vectoriales AMD Grado en Ingeniería Informática AMD Grado en Ingeniería Informática (UM) Subspacios Vectoriales 1 / 25 Objetivos Al finalizar este tema tendrás que: Saber si un subconjunto es

Más detalles

Problemas y Ejercicios Resueltos. Tema 6: Diagonalizacion.

Problemas y Ejercicios Resueltos. Tema 6: Diagonalizacion. Problemas y Ejercicios Resueltos. Tema 6: Diagonalizacion. Ejercicios 1.- Sea f End V. Demostrar que la suma de subespacios f-invariantes es f-invariante. Solución. Sean U, W dos subespacios f-invariantes

Más detalles

ALGEBRA 1- GRUPO CIENCIAS- TURNO TARDE- Espacios vectoriales

ALGEBRA 1- GRUPO CIENCIAS- TURNO TARDE- Espacios vectoriales Resumen teoría Prof. Alcón ALGEBRA 1- GRUPO CIENCIAS- TURNO TARDE- Espacios vectoriales Sea (K, +,.) un cuerpo con característica 0. Podemos pensar K = Q, R o C. Si V es un conjunto cualquiera en el que

Más detalles

Espacios vectoriales

Espacios vectoriales Espacios vectoriales [Versión preliminar] Prof. Isabel Arratia Z. Algebra Lineal 1 En el estudio de las matrices y, en particular, de los sistemas de ecuaciones lineales realizamos sumas y multiplicación

Más detalles

Material de Examen de Álgebra Lineal. Recopilado por Rafael Ramírez Ros (http://www.ma1.upc.edu/ rafael/al/)

Material de Examen de Álgebra Lineal. Recopilado por Rafael Ramírez Ros (http://www.ma1.upc.edu/ rafael/al/) Material de Examen de Álgebra Lineal Recopilado por Rafael Ramírez Ros (http://www.ma1.upc.edu/ rafael/al/) Versión 2.4 : Junio de 2007. Copyright c Rafael Ramírez Ros La reproducción total o parcial de

Más detalles

TEMAS 6 Y 7 RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

TEMAS 6 Y 7 RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO Temas 6 y 7 Rectas y planos en el espacio Matemáticas II - 2º Bachillerato 1 TEMAS 6 Y 7 RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO RECTAS Y PLANOS EJERCICIO 1 : Halla el volumen del tetraedro determinado por los ejes

Más detalles

Bases y dimensión. Problemas teóricos. En todos los problemas se supone que V es un espacio vectorial sobre un campo F. p=1

Bases y dimensión. Problemas teóricos. En todos los problemas se supone que V es un espacio vectorial sobre un campo F. p=1 Bases y dimensión Problemas teóricos Bases de un espacio vectorial En todos los problemas se supone que V es un espacio vectorial sobre un campo F. Definición de base. Sean b 1,..., b n V. Se dice que

Más detalles