Tema 4: Aplicaciones lineales

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1 Águeda Mata y Miguel Reyes, Dpto de Matemática Aplicada, FI-UPM 1 Tema 4: Aplicaciones lineales Ejercicios 1 Estudia la linealidad de las siguientes aplicaciones: (a) f : R R 3, definida por f(x, y) = (x + y, x y, x) (b) f : R R, definida por f(x) = ( 3x, x) (c) f : R R, definida por f(x, y) = (x + y, 1) (d) f : R R, definida por f(x, y) = xy (e) f : R R, definida por f(x, y) = (x cos φ y sen φ, x sen φ + y cos φ), con φ < π (f) f : R 3 P (R), definida por f(a, b, c) = a + bx + cx Estudia la linealidad de las siguientes aplicaciones: (a) f : M n n (R) { A M n n (R) : A = A t}, definida por f(a) = A+At (A t es la matriz traspuesta de A) (b) f : M (R) { A M (R) : A = A t}, definida por f(a) = AA t (c) f : P n (R) P n (R), definida por f(p(x)) = p(x + 1) (d) f : P n (R) P n (R), definida por f(p(x)) = p(x) Prueba que las siguientes aplicaciones, definidas sobre el espacio vectorial de los polinomios P(R), son lineales Obtén la imagen y el núcleo de cada una de ellas (a) f(p(x)) = p (x) (b) g(p(x)) = 4 Sean f, g : R 3 R definidas por (a) f(1, 1, ) = (, 1), f(, 1, ) = (1, 1), f(3,, 1) = (, 3) x p(t) dt (b) g(1, 1, ) = (, 1), g(, 1, ) = (1, 1), g(1,, ) = ( 1, 4), g(3,, 1) = (, 3) Averigua si son homomorfismos y, en caso afirmativo, si son monomorfismo, epimorfismo o isomorfismo 5 Sea f : P 3 (R) P (R) definida sobre el conjunto { p1 = 1 + x + x 3, p = 1 + x, p 3 = 1 + x 3, p 4 = x x 3} como f(p 1 ) = x 1, f(p ) = 1 + 3x, f(p 3 ) = x y f(p 4 ) = 1 (a) Es aplicación lineal? (b) Existe una aplicación lineal g : L ({p 1, p, p 3 }) P (R) tal que g(p 1 ) = x 3, g(p ) = x 1, g(p 3 ) = 1 + x? (c) Extiende la aplicación g a una aplicación lineal h : P 3 (R) P (R) tal que h(p i ) = g(p i ), i = 1,, 3, y Ker h = L( { 1 + x + x } )

2 Águeda Mata y Miguel Reyes, Dpto de Matemática Aplicada, FI-UPM 6 Halla una aplicación lineal f : R 3 R 3 tal que Ker f = {(x, y, z) : x + z = }, f(1,, ) sea proporcional a (,, 1) y f f = f Es f única? 7 Halla una aplicación lineal f : R 4 R 3 tal que Ker f = L ({(, 1,, 1), (, 1, 3, )}) Im f = L ({(, 1, ), (1, 1, )}) 8 Halla una aplicación lineal f : R 3 R 3 tal que Ker f = L ({(,, 1)}) Im f = L ({(1,, 1), (1, 1, 1), (, 1, )}) 9 En R 3 se consideran los subespacios S = L ({(, 1, ), (1, 1, )}) y T = L ({(1,, 1)}) (a) Expresa cada vector u = (x, y, z) R 3 como suma de un vector u S S y otro u T T (b) Demuestra que la aplicación f : R 3 R 3, definida por f(u) = u S es lineal (c) Si L es un subespacio vectorial de R 3 de dimensión, cuál es la dimensión de f(l)? 1 (a) Sean f, g : V V aplicaciones lineales Prueba que Ker(g f) = f 1 (ker g Im f) (b) Sea f : R 3 R 3 definida por f(x, y, z) = (x + z, x + 3y, 3y z) Obtén una base de f 1 (ker f Im f) 11 Sea B = {v 1, v } una base de V, y f y g dos endomorfismos sobre V definidos por { f(v1 ) = 3v 1 + v f(v ) = v 1 v { g(v1 ) = v 1 + v g(v ) = v 1 Encuentra las matrices, respecto de la base B, asociadas a f, g, f g, g f y f 3g 1 Sea f : R 3 R 3 la aplicación lineal cuya matriz, respecto de la base canónica 1 3 {e 1, e, e 3 }, es 1 1 Calcula f(e 1 ), f(e ), f(e 3 ) y f(e 1 + e e 3 ) Es 1 un isomorfismo? 13 Sea f : R 3 R 3 la aplicación lineal cuya matriz, respecto de la base canónica es Encuentra bases de la imagen y del núcleo Encuentra la matriz, respecto de las bases usuales en los correspondientes espacios, de las siguientes aplicaciones lineales: ( ) 1 (a) f : M (R) M 1 (R), definida por f(a) = A 1 ( ) ( ) (b) f : M (R) M (R), definida por f(a) = A A 1 1

3 Águeda Mata y Miguel Reyes, Dpto de Matemática Aplicada, FI-UPM 3 (c) f : P 3 (R) P 3 (R), definida por f(1) = x + 1, f(x) = x +, f(x ) = x 3 x y f(x 3 ) = 1 ( (d) f : P 3 (R) R, definida por f(p(x)) = p(1), 1 ) p(x) dx ( ) a a + b 15 Sea f : P 3 (R) M (R) definida por f(a + bx + cx + dx 3 ) = c d a b Obtén la matriz de la aplicación lineal, su imagen y su núcleo y 1 = x + z 16 Sea f : R 3 R 4 y la aplicación lineal de ecuaciones = x y z y 3 = y 3z y 4 = x z (a) Halla las ecuaciones paramétricas e implícitas de Ker f e Im f (b) Si T = L ({(1, 1, 1, ), (, 1, 1, )}), halla las ecuaciones paramétricas e implícitas de f 1 (T ) 17 Sean f : R 3 M (R) y g : M (R) P 3 (R) las aplicaciones definidas por ( ) x1 x f(x 1, x, x 3 ) = x g(a) = ( 1 x ) ( ) x A x x x 3 x (a) Prueba que son aplicaciones lineales (b) Halla sus matrices respecto de las bases usuales Cuáles son sus rangos? (c) Halla sus núcleos e imágenes (d) Halla la matriz de g f, su rango, y su núcleo e imagen 18 En R 3 se define el endomorfismo f cuya matriz, respecto de la base canónica, es a 1 1 A a = 1 a a (a) Halla los valores de a para los que f no es automorfismo En estos casos, halla bases del núcleo y de la imagen (b) Para a =, encuentra un vector u tal que f(u) L({u}) 19 Sea M el subespacio vectorial de M (R) definido por {( ) } α + β α β M = : α, β R α α + β (a) Construye f : M (R) R 3 tal que Ker f = M (b) Existe f : M (R) R 3 que verifique (a) y sea epimorfismo? Sea f : R 3 R 3 una aplicación lineal tal que f(,, 1) = (, 5, 3) y f(v) = 3v, para todo v S = {(x, y, z) : x + z = } Halla { su matriz respecto de la base x + 4y + 3z = canónica y f 1 (r) donde r es la recta de ecuaciones x + y + z =

4 Águeda Mata y Miguel Reyes, Dpto de Matemática Aplicada, FI-UPM 4 1 Sea f : R 3 R 4 la aplicación lineal definida por la matriz A = (a) Halla el valor de a para que (1, a, a, ) Im f (b) Halla f 1 (1,,, ) (c) En R 3 se considera el subespacio vectorial U generado por la base B 1 = {(1, 1, 1), (1, 1, )} y en R 4 el subespacio vectorial V generado por la base B = {(1,,, 1), (1, 1, 1, 1), (,, 1, 1)} Halla la matriz de f : U V respecto de las bases dadas Halla las matrices del cambio de base de B 1 a B en los siguientes casos: (a) B 1 = {(1, 1), (3, 1)} y B = {(1, ), (, 1)} (b) B 1 = {(1,, ), (, 1, ), (,, 1)} y B = {(, 3, 4), (1,, 6), (1, 3, 5)} 3 Sea V un espacio vectorial de dimensión 3 sobre R, y sean B = {e 1, e, e 3 } y B = {e 1, e, e 3 } dos bases de V relacionadas por las ecuaciones: e 1 = e 1 e e 3 e = e e 3 = e + e 3 Encuentra los vectores de V que tienen las mismas coordenadas respecto de ambas bases 4 Sea f : R 3 R 3 una aplicación lineal tal que: f(1, 1, 1) = (1, 1, ), f( 1, 1, 1) = (,, 1) y f( 1,, 1) = (,, ) (a) Halla su matriz respecto de la base canónica (b) Halla su matriz respecto de la base B = {((1, 1, 1), ( 1, 1, 1), ( 1,, 1)} ( ) ( ) ( ) ( ) Sean A =, B =, C =, D =, S = L({A, B, C}) y g : S P (R) definida por g(a) = x, g(b) = x + 1 y g(c) = x + x + 1 (a) Halla bases del núcleo e imagen de g Halla las ecuaciones de g respecto de las bases B 1 = {A, B, C} y B = { 1, x, x }, y respecto de las bases B 3 = { ( )} 3 A, B, E = y B 1 4 = { x, x + 1, 1 } (b) Estudia si existe algún homomorfismo f : S P (R) tal que f(a) = x, f(b) = x + 1, f(c) = x + x + 1 y f(d) = x + x 6 Sea B = {e 1, e, e 3 } la base canónica de R 3 y f : R 3 R 3 definida por f(e 1 ) + f(e ) = ae 1 + (a + 1)e + e 3 f(e 1 ) + f(e 3 ) = e 1 + ae + e 3 f(e 3 ) = e 1 + e 3 (a) Halla la matriz de f respecto de B Para qué valores de a es f biyectiva?

5 Águeda Mata y Miguel Reyes, Dpto de Matemática Aplicada, FI-UPM 5 (b) Para a = 1 se considera el subespacio vectorial W = L({(1, 1, ), (,, 1)}) Es Ker f W = R 3? Es Im f Ker f = R 3? Calcula f 1 (,, ) (c) Para a =, sea B = {u 1 = e 1 e, u = e 3, u 3 = e + e 3 } Prueba que B es base y halla la matriz de f respecto de B 7 Sea f : R 3 R 3 una aplicación lineal tal que dim(im f) = 1, las ecuaciones del { Ker f respecto de la base B = {u 1 = (1,, ), u = (1, 1, ), u 3 = (1, 1, 1)} son x + y = ax y + (a + 1)z, y tal que existe v = (b,, ) (,, ) verificando que = f(v) = f (v) = u 1 +u +u 3 Halla las ecuaciones de f respecto de la base canónica 8 Sea f k : R 3 R 3 una aplicación lineal cuya matriz respecto de la base canónica 1 1 es 1 k, k R 1 1 (a) Para qué valores de k es f k isomorfismo? 1 (b) Halla, si es posible, bases respecto de las cuales la matriz de f 1 es 1 (c) Halla f 1 (S) donde S = L ({(, 1, 1), ( 3,, 1)}) 9 Sea f : R 3 R 3 una aplicación lineal y B = {e 1, e, e 3 } la base canónica Sabiendo que dim(ker f) =, e 1 e Im f, f = f y que la matriz de f respecto de B coincide con la matriz de f respecto de B = {u 1, u, u 3 }, siendo B la base de R 3 tal que u 1 = e 1 e, u = e 1 + e y u 3 = e 1 + e + e 3 (a) Halla la matriz de f respecto de B (b) Halla las ecuaciones implícitas de Ker f y de Im f 3 Sea f : M (R) P (R) la aplicación lineal definida por ( ) a b f = a(x + x ) + bx + dx c d (a) Halla la matriz de f respecto de las bases usuales (b) Halla una base de Im f, y un suplementario de Im f en P (R) (c) Halla una ( base de ) S = Ker f, un suplementario T de S en M (R), y escribe 4 la matriz como suma de una de S y otra de T 6 8 { ( ) (d) Comprueba que B = M 1 =, M = ( ) halla las coordenadas de M 3 = respecto de dicha base 3 ( )} 1 1 es una base de S y 1 1 (e) Amplía la base B = {M 1, M } a una base de M (R), de forma que las dos primeras coordenadas de M 1, M y M 3 respecto de dicha base sean nulas (f) Halla f 1 ( L ({ 3x + 4x }))

6 Águeda Mata y Miguel Reyes, Dpto de Matemática Aplicada, FI-UPM 6 31 Sean U = L ({(1, 1, 1, ), (, 1, 1, 1), (1,,, 1)}), V = L ({(,,, 1), ( 1, 1, 1, )}) y f : U V definida por f(1, 1, 1, ) = (,,, 1), f(, 1, 1, 1) = ( 1, 1, 1, 1) y f(1,,, 1) = (,,, ) (a) Obtén bases de U y V de forma que al colocar los vectores de dichas bases como filas de una matriz, se obtenga una forma canónica por filas (b) Halla la matriz de f respecto de las bases obtenidas en el apartado anterior Soluciones 1 (a), (b), (e) y (f) son aplicaciones lineales, mientras que (c) y (d) no lo son (a) y (c) son aplicaciones lineales, mientras que (b) y (d) no lo son 3 (a) Im f = P(R) y Ker f = P (R) = R (b) Im f = {q(x) P(R) : q() = } y Ker f = {} 4 f es epimorfismo, y g no es homomorfismo 5 (a) No, pues p 4 = p p 3 y f(p 4 ) f(p ) f(p 3 ) (b) Si, pues {p 1, p, p 3 } es base del subespacio que generan (c) h viene definida sobre la base B = { p 1, p, p 3, p 4 = x 3} como h(p i ) = g(p i ), i = 1,, 3, y h(p 4 ) = 5 + x + x 6 Es única: f(1,, 1) = f(, 1, ) = y f(1,, ) = (,, 1) x 1/ No es única Por ejemplo: f(x 1, x, x 3, x 4 ) = x x x 4 1 x 8 Respecto de la base canónica: f(x, y, z) = 1 y 1 z 9 (a) u S = (x z, y, ) y u T = (z,, z) (b) Es lineal (c) La dimensión de f(l) es 1 (si T L) o (si T L = {}) 1 (b) {(6,, 3)} ( ) ( ) M(f) =, M(g) =, M(f g) = ( ) y M(f 3g ) = 11 1 ( ) 3, M(g f) = 1 ( ) f(e 1 ) = (1,, ), f(e ) = (3, 1, 1), f(e 3 ) = (, 1, ) y f(e 1 + e e 3 ) = (5, 1, ) Es un isomorfismo 13 {(1, 1, 1), (, 1, 1)} es base de la imagen y {(1, 1, )} del núcleo

7 Águeda Mata y Miguel Reyes, Dpto de Matemática Aplicada, FI-UPM 7 14 (a) 15 (d) ( ) 1 1 (b) 1 1 ( ) / 1/3 1/4 1 {( 1 1 α 1 1 ; Im f = γ (a) Ker f = {} y 1 = α y Im f: = α + β y 3 = β + γ (b) f 1 (T ): y 4 = α + 3γ x = 11α y = 5α z = 9α (c) ) α + β α β } : α, β, γ R ; Ker f = L ({ x + x 3}), α, β, γ R; 7y 1 + 6y + 3y 3 y 4 =, α R; { 3x + 3y + z = 5x + y + 5z = (b) M(f) = 1 1 ; M(g) = ; rg M(f) = rg M(g) = ({( ) ( ) ( )}) 1 1 (c) Im f = L,, ; y Ker f = {} 1 1 Im g = L ({ ({( )}) x, x, x 3}) 1 ; y Ker g = L 1 (d) M(g f) = 1 1 ; rg M(g f) = 3; Im(g f) = L ({ x, x, x 3}) ; y 1 1 Ker(g f) = {} 18 (a) a = 1 y a = Para a = 1, B Im f = {(1, 1, 1)} y B Ker f = {(1, 1, ), (1,, 1)} Para a =, B Im f = {(1, 1, ), (, 1, 1)} y B Ker f = {(1, 1, 1)} (b) u = (1, 1, ) ( ) a b 19 (a) No es única Por ejemplo: f = (, a+b c d 3 + c, 5a+b 3 + d ) ; (b) No 1 M(f, B c ) = ; y f 1 (r) = L ({(6, 11, )}) (a) a = 1/5; (b) f 1 (1,,, ) = ; (c)

8 Águeda Mata y Miguel Reyes, Dpto de Matemática Aplicada, FI-UPM 8 (a) ( ) ; (b) {u = (, α, α) : α R} (a) ; (b) (a) B Im g = { {( )} x, 1 + x } 3 y B Ker g = 1 α = b + c g : (a, b, c) B1 (α, β, γ) B con β = a + c g : (a, b, e) B3 (α, β, γ) B4 con γ = b + c α = a β = b γ = (b) No existe a 1 6 (a) M(f, B) = a 1 ; f es biyectiva si a ±1 1 1 (b) Ker f W = R 3 y Ker f Im f = R 3 ; f 1 (,, ) = (,, ) + Ker f 4 6 (c) M(f, B ) = f(x, y, z) = ( 3x 3z, x z, x z ) 8 (a) k 1 (b) B 1 = {u 1, u, u 3 = (1, 1, 1)} y B = {f(u 1 ), f(u ), v 3 } (c) f 1 (S) = L ({(3, 8, ), ( 5,, 8)}) (a) M(f, B) = { x + y = (b) Im f ; Ker f x y = z = 3 (a) (b) B Im f = { x, x } L({1}) es suplementario de Im f en P (R) {( ) ( )} {( ) ( )} (c) B S =, y, por ejemplo, B 1 1 T =, En este 1 ( ) ( ) ( ) 4 6 caso: = (d) M 3 = 1 M 1 + 3M = ( 1/, 3) B

9 Águeda Mata y Miguel Reyes, Dpto de Matemática Aplicada, FI-UPM 9 (e) {( ) ( ) 1, 1, M 1, M } (f) f 1 ( L ({ 3x + 4x })) = L ({( ) 4 1, ( ) ( )}) 3, (a) B U = {(1,,, ), (, ( 1, 1, ), (,, ), 1)} y B V = {(1, 1, 1, ), (,,, 1)} (b) M(f, B U, B V ) =