INTEGRACIÓN ANALÍTICA Y NUMÉRICA CON MAPLE

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "INTEGRACIÓN ANALÍTICA Y NUMÉRICA CON MAPLE"

Transcripción

1 Iegrcó líc y umérc co Mple INTEGRACIÓN ANALÍTICA Y NUMÉRICA CON MAPLE Auores: Mrí Teres Pérez Rodríguez Oscr Arr Grcí MAPA CONCEPTUAL Decó Propeddes INTEGRAL DE RIEMANN Cálculo Aplccoes Méodos de egrcó Co Mple Iegrcó umérc promd Proldd: ucó de desdd Cálculo de logudes de rco y rjo INTRODUCCIÓN E l culdd ls Memács esá presees e cs ods uesrs cvddes y se de orm eplíc o ecuer e lgu medd. El leguje codo mé se ve ludo por es presec, de hecho gr pre del voculro memáco prece e uesr vd dr co u sgcdo o muy lejdo del que ee e ls Cecs Ecs. Así, por ejemplo, o es dícl oír hlr de egrcó o dereccó l gee de l clle. El prmero de esos voclos hcedo Proyeco e-mh Fcdo por l Secrerí de Esdo de Educcó y Uversddes MECD

2 Iegrcó líc y umérc co Mple reerec l hecho de ucr o poer coss jus mers que el segudo se reere más e l opercó corr: seprr o dsgur coss. Ess cepcoes populres o ds o del cocepo memáco como se puder pesr. De hecho l dereccó más secll e memács es l susrccó: derec ere dos úmeros. De és se puede psr l dereccó del cálculo esml que mé d l derec ere dos úmeros pero hor ésos represe vlores de u ucó que esá mee prómos. Por logí l egrcó más secll, memácmee hldo, es l sum; l egrcó e sedo esml es eoces u sum cou de los os vlores que om u ucó e u ervlo. No es dícl pesr e sucoes de l vd rel e ls que se requer u proceso de egrcó: por ejemplo l eergí elécrc ol cosumd por u ml dure u mes se puede oeer egrdo l ucó que d el cosumo e cd se de empo dure ese perodo. De hecho l egrl es u herrme muy úl que prece e ods ls rms de l Cec y l Técc e ls que ee plccoes de gr erés. El ojeo de ese e-loque es el desrrollo y esudo de u em ásco de cálculo esml como es L Iegrl. E él presremos especl ecó l oecó de su vlor, cuesó que ordremos o desde el puo de vs líco cálculo eco como umérco cálculo promdo. Nuesro ojevo es, s perder rgurosdd memác, clrcr y hcer sequle l púlco o memáco el cocepo de egrl, sus propeddes y ls éccs elemeles pr su cálculo, sí como ser ls ses y udmeos que perm l lecor eresdo proudzr e su esudo y plccó. Por ello hemos opdo por roducr el cocepo de egrl de Rem pr l clse de ucoes cous, y que pr ells l egrl ese sempre y se dee de orm secll. S emrgo, mmos l lecor l cosul de l decó más geerl pr ucoes cods que puede ecorr e [6] y [8]. Tmé es erese hcer or que ese, demás, oros pos de egrles, como so l de Rem-Seljes o l de Leesgue, que geerlz l de Rem y pr cuy decó es ecesro el cocepo de medd que o rremos quí dedo, o sólo su complejdd, so l hecho de que pr muchs de ls plccoes ereses es sucee co l egrl e sedo de Rem vése [] pr l egrl de Leesgue y de Rem-Seljes. Juo co l decó esudmos lgus de ls propeddes más sgcvs de l egrl como so l leldd respeco l egrdo o l dvdd respeco l ervlo de egrcó demás del Teorem udmel del Cálculo que relco l egrl co l dervd y l coocd Regl de Brrow que permrá clculr egrles deds prr de u prmv de l ucó que se egr. E cuo los méodos de cálculo de egrles hy que eer e cue que l myorí de ls egrles o so clculles mede ls éccs lícs y que o posee prmvs elemeles. Por ello os prece erese esudr, juo los méodos de egrcó ec, méodos umércos secllos que os perm roducr lgus de ls des e ls que se s l egrcó promd. Ere los prmeros rremos los más usules pr el cálculo de prmvs como so el cmo de vrle o l egrcó por pres, mers que e el segudo grupo clumos méodos de cudrur áscos co odos gulmee espcdos, coocdos como órmuls de Newo-Coes, pr los csos de uo, dos y res odos. To el cálculo líco como el umérco se lusr ulzdo el mpuldor smólco Mple que perme el empleo de ms éccs. Coclumos es udd emác co vrs plccoes práccs de l egrl. Por u ldo lusrmos su ulzcó e l decó de lguos cocepos esdíscos de gr erés, les como l ucó de dsrucó o l esperz memác de vrles leors. Por oro, cosegumos u órmul sd e l egrl pr clculr logudes de rcos. Flmee, de ere ls múlples plccoes l Físc de l egrl, hemos elegdo el cálculo del rjo relzdo por u uerz e u desplzmeo reco. Proyeco e-mh Fcdo por l Secrerí de Esdo de Educcó y Uversddes MECD

3 Iegrcó líc y umérc co Mple OBJETIVOS Compreder el cocepo de egrl de Rem pr ucoes cous. Coocer ls propeddes de l egrl. Apreder clculr l egrl ded de u ucó cou dd, y se líc o umércmee. Coocer lgus plccoes de l egrl ded. Coocer el uso del mpuldor smólco Mple pr clculr egrles y ors cddes socds. CONOCIMIENTOS PREVIOS Es recomedle her leído, prevmee, los mh-loques sore cálculo derecl, sí como el roducoro l mpuldor smólco Mple. CONCEPTOS FUNDAMENTALES Decó de egrl de Rem pr ucoes cous El cocepo de egrl surge relcodo co el prolem de cálculo de áres. Pr gurs elemeles co ldos recos prece esr más o meos clro cómo relzr ese cálculo; pesemos e u rágulo o u recágulo por ejemplo. Pero l cos cm cudo se cosder gurs curvlíes. L esreg de dvdr l gur correspodee e porcoes cd vez más pequeñs y cuy áre se prom por l de u polígoo ue y usd por Kepler. Por ejemplo, pr clculr el áre u círculo de es mer se dvde e porcoes que se puede promr por rágulos cuy lur esá o más próm l rdo del círculo cuo más pequeñ es su se. Sumdo el áre de esos rágulos oeemos u promcó l superce del círculo, promcó que mejorrá s l se de los rágulos dsmuye, como se muesr e ls gurs sguees. Cudo los rágulos se mee esrechos oedremos ecmee el áre del círculo. U procedmeo o muy lejdo de ése es el que perme llegr l cocepo de egrl ded. Cosderemos el sguee prolem de cálculo de áres: dd u ucó cou posv e [,], se r de deermr el áre de l regó lmd por el eje horzol, ls recs vercles y y l grác que l ucó dee e el ervlo [,]. L coudd e los eremos del ervlo se eede e sedo lerl: e por l derech y e por l zquerd. E u prmer momeo, se puede smplcr el prolem dvdedo es regó e rjs como se muesr e l gur de l zquerd y promdo el áre de cd u de ells por l de u recágulo gur de l derech cosrudo omdo como se l porcó del ervlo [,] Proyeco e-mh Fcdo por l Secrerí de Esdo de Educcó y Uversddes MECD

4 Iegrcó líc y umérc co Mple correspodee y como lur el vlor de l ucó e u puo rrro de su se e l gur se h omdo el eremo derecho de l se. L sum de ls áres de los recágulos prom el áre compredd dejo de l grác de que queremos clculr. Se oserv que cuo myor es el úmero de recágulos cosderdos, es decr, cuo meor es l se de los recágulos, mejor es l promcó que oedremos l áre compredd ere y el eje. Ese hecho se lusr e ls gurs que prece coucó. E el líme, cudo ls ses se mee pequeñs se reduzc u puo, l sum de ls áres de los recágulos correspodees os drá de orm ec el áre de l superce cosderd. Es sum líme es precsmee lo que llmremos egrl de e [,]. Formlcemos hor ls des erores. Comezmos deedo el cocepo de prcó: Decó U prcó de u ervlo [,] es u coleccó de puos { } que 0 < < < <. 0 de [,] les A los puos de l prcó les deomremos odos. Cd prcó dee u coleccó de suervlos [ -, ],... e [,] cuy logud vee dd por -. Cudo es logud se l msm pr odos los suervlos dremos que l prcó es regulr. Luego e u prcó regulr los odos esá gulmee espcdos y,,,. S pr cd suervlo de l prcó se elge u puo rrro es decr, [, ] eoces l sum,, Proyeco e-mh Fcdo por l Secrerí de Esdo de Educcó y Uversddes MECD

5 5 Iegrcó líc y umérc co Mple que se cooce como sum de Rem de socd l prcó, represe l sum de ls áres de los recágulos que ee por se el suervlo correspodee y lur. El vlor de l sum de Rem depede del elegdo. Así, s es el puo dode lcz el mámo e el suervlo [ -, ] pr,..., eoces l sum correspodee se deom sum superor de Rem, mers que s e se lcz el mímo, l sum se cooce como sum eror de Rem. Cosderemos prcoes regulres, eoces s l ucó es cou los límes de ls sums de Rem cudo ede o ese y so gules se cul se el puo elegdo e cd suervlo. Jusmee ese líme os d el áre de l regó cosderd Are lm Pr el cso más geerl e el que l ucó cou o es posv se dee de orm álog ls sums de Rem. Tmé e ese cso se puede demosrr que sus límes ese y om el msmo vlor, vlor que se ulz pr der l egrl de l ucó e el ervlo [,]. Decó Dd u ucó cou e el ervlo [,], l egrl de Rem de e el ervlo [,] se deo por d y se dee como d lm L ucó se deom egrdo, los puos y se cooce como eremos de egrcó eror y superor, respecvmee y el símolo, que es u S lrgd y ue roducdo por Lez, se deom sgo egrl. Ejemplo Cosderemos l ucó ded e el ervlo [0,]. Tomemos los odos, 0,,, gulmee espcdos. L logud de los suervlos deermdos por es prcó es /. Ls sums de Rem de socds l prcó so co, L sum superor de Rem se cosgue omdo, y que l ucó es esrcmee crecee y por lo o lcz el mámo e cd suervlo e el eremo superor de ése. Se ee sum superor. Ulzdo ese resuldo clculmos hor l egrl de 0 d lm. Proyeco e-mh 5 Fcdo por l Secrerí de Esdo de Educcó y Uversddes MECD

6 6 Iegrcó líc y umérc co Mple Ejemplo co Mple El comdo de Mple RemSum perme oeer sums de Rem de u ucó socds prcoes regulres. Ese comdo dme dss poslddes pr l eleccó del puo de evlucó de l ucó, que se especc e el ercer rgumeo del comdo. E el ejemplo que presemos hemos seleccodo como el puo medo de los suervlos. El comdo RemSum se ecuer e el pquee Sude[Clculus] y áscmee su ss dme ls res poslddes sguees: RemSum,.., mehod mdpo, ops RemSum,.., mehod mdpo, ops RemSumI,.., mehod mdpo, ops dode ops hce reerec dss opcoes lgu de ls cules mecomos coucó. E l mge se puede ver lgus vres del comdo co sus slds: Proyeco e-mh 6 Fcdo por l Secrerí de Esdo de Educcó y Uversddes MECD

7 7 Iegrcó líc y umérc co Mple pr oeer l sum de orm smólc ñdmos l opcó oupu l que dmos el vlor sum; l promcó umérc l vlor de l sum se cosgue escredo los eremos del ervlo e com loe s especcr gu opcó; s se quere oeer l grác correspodee s co hcer oupuplo; el úmero de puos de l prcó se puede vrr co l opcó pro, por deeco l prcó ulzd ee 0 odos. Ors poslddes pr el vlor de l opcó mehod so: le evlú l ucó e el eremo eror de los suervlos, rgh ulz el eremo superor, upper clcul l sum superor de Rem, lower clcul l sum eror de Rem. E l mge sguee hemos cosegudo ls sums de Rem socds u prcó de odos correspodees los vlores mdpo, le y rgh pr mehod. Pr cd u de ells hemos clculdo su líme cudo ede o ulzdo el comdo lm. Osérvese que los res límes cocde y so precsmee el vlor de l egrl de l ucó se e el ervlo [0,5]. Psmos hor roducr los cocepos de ucó prmv e egrl ded. Pr ello ulzremos u resuldo coocdo como Teorem udmel del Cálculo Teorem udmel del Cálculo Ddo u ucó cou e u ervlo [,], pr e [,] se dee l ucó F d eoces l ucó F es dervle e [,] y Proyeco e-mh 7 Fcdo por l Secrerí de Esdo de Educcó y Uversddes MECD

8 8 Iegrcó líc y umérc co Mple [ ] F ' pr, dode l dervd e y se eede e sedo lerl. Decó Se deom prmv de culquer ucó F que verc F Es evdee que s F es u prmv de eoces Fc, dode c es u cose culquer, es mé u prmv de. El símolo d ó sgc u prmv de o más precsmee deo el cojuo de ods ls prmvs de y se deom egrl ded de. Ejemplo Dd l ucó k dode k es u cose rel, u prmv de es l ucó Fk. L relcó ere l egrl ded y culquer prmv de u ucó dd se eslece rvés del resuldo coocdo como Regl de Brrow que eucmos coucó Regl de Brrow Dd u ucó cou, s F es u prmv de e [,] eoces d F F Ese resuldo perme clculr egrles deds de ucoes prr de u de sus prmvs. Ejemplo co Mple El comdo perme clculr o prmvs de ucoes como egrles deds. E ls mágees sguees lusrmos l secll ss de ese comdo. Proyeco e-mh 8 Fcdo por l Secrerí de Esdo de Educcó y Uversddes MECD

9 9 Iegrcó líc y umérc co Mple E el recudro pequeño, el segudo comdo dee l ucó, el ercer comdo hll u prmv de y lmee co el curo comdo se clcul l egrl de e el ervlo [0,] e rméc ec. e E el recudro grde se dee l ucó g y se clcul, prmero, u prmv y después su egrl ere 0 y e rméc ec. Nóese que el prmer rgumeo del comdo puede ser g o drecmee l epresó que dee g. L sruccó evl% evlú l epresó medmee eror e ejecucó oeedo u promcó e com loe co 0 dígos sgcvos. Flmee emos cosegur u prmv de e l. E los resuldos de los cálculos ejecudos e l ve grde, oservmos que Mple d u prmv de l ucó como er π e e 0 d e érmos de er coocd como ucó de error, que se dee es prmv o es u ucó elemel. S emrgo, co el mpuldor sí es posle oeer u promcó umérc u egrl ded de l ucó eror. Lo hemos hecho, e ese cso, ulzdo el comdo evl. Flmee, l er clculr u prmv de l ucó e l prmv es elemel. Propeddes de l egrl E es seccó vemos ls propeddes udmeles de l egrl:. Advdd respeco l ervlo de egrcó S <c<. Leldd respeco l egrdo.. g d d os devuelve l egrl dcd pueso que mpoco es c d d g d d.. c d c d dode c es u cose rel culquer. Moooí S g pr odo [,], eoces d g d. Acocó S m y M so coses les que m M pr culquer [,] eoces 5. Vlor medo m d M d ξ pr lgú ξ c [, ] Proyeco e-mh 9 Fcdo por l Secrerí de Esdo de Educcó y Uversddes MECD

10 0 Iegrcó líc y umérc co Mple L prmer propedd perme eeder el cocepo de egrl pr ucoes cous rozos e u ervlo [,]. Recordmos que ls ucoes cous rozos e [,] so quells que prese u úmero o de dscouddes de prmer espece e [,]. De es orm s ee dscouddes de prmer espece e los puos c,c,...,c m se dee l egrl de e [,] como c c d d d d c cm CÁLCULO DE INTEGRALES Méodos de egrcó Bjo l epresó Méodos de egrcó se eglo u sere de éccs dseñds co el de oeer el cojuo de prmvs o egrl ded de u ucó dd. Desde u puo de vs esrco se r de dervr u ucó pero el uso de l plr egrcó esá juscdo por l mporc que ls prmvs jueg rvés de l Regl de Brrow. A derec de l dervcó, dode s coocer us pocs regls elemeles, l egrcó ds mucho de ser u re mecác. El lecor o dee perder de vs que el cálculo de prmvs es u uéco re e el que o hy regls js y sí u gr doss de ucó e mgcó, desrrollle sólo rvés de l prácc y el ejercco cose. A coucó comeremos los méodos de egrcó de plccó más geerl, eucdo revemee su udmeo eórco. Cd méodo se lusrrá co u ejemplo complemee desrrolldo que, demás, servrá pr roducr ls éccs de rjo áscs del mpuldor smólco Mple. El prmer cojuo de regls de egrcó se oee s más que leer de derech zquerd ls epresoes que proporco ls dervds de ls ucoes elemeles. L pll de Mple que prece coucó lusr, sore dos csos smples, cómo oper los comdos d e pr el cálculo de dervds e egrles respecvmee. Nóese que los comdos d e oper eseclmee como verso uo del oro. No ose hy que eer presee que geer u úc prmv, es decr o ñde por s msmo l cose de egrcó. Proyeco e-mh 0 Fcdo por l Secrerí de Esdo de Educcó y Uversddes MECD

11 Iegrcó líc y umérc co Mple Operdo como se h dcdo erormee se cosruye l sguee l que recoge ls egrles coocds como meds: d C, d l C e d e C d C > 0, l cos d se C sed cos C d g C d co C cos se cosh d seh C sehd cosh C d gh C d C cosh coh seh d rcse C d rg seh C d rcg C d rggh C Nurlmee, e l myor pre de los csos l egrl que se dee clculr o es med. Los sguees méodos de egrcó r, precsmee, de rsormr y/o descompoer l ucó egrdo e epresoes áclmee recoocles como egrles meds.. INTEGRACIÓN POR DESCOMPOSICIÓN: Es cosecuec drec de l leldd de l egrl Ejemplo Clculr 5e se d [ α βg ] d α d β g d E ese cso el méodo de descomposcó perme rsormr l egrl pedd e u comcó lel de res egrles que y so meds 5e se d d 5 e d se d L sguee gur muesr el cálculo relzdo usdo Mple 5e cos C Nóese, e l prmer líe, l ulzcó del comdo I que proporco u epresó o evlud de l egrl. A coucó hemos ulzdo el comdo epd pr relzr l descomposcó de l egrl. E l úlm epresó se ulz vlue pr escrr eplícmee el vlor de cd u de ls egrles que hímos oedo e l líe eror.. INTEGRACIÓN POR PARTES: Se s e l órmul de dervcó de u produco. S u y v so dos ucoes co dervds cous se ee Proyeco e-mh Fcdo por l Secrerí de Esdo de Educcó y Uversddes MECD

12 Iegrcó líc y umérc co Mple v' d u v u u' v d E l prácc, el prolem se reduce decdr qué pre de l egrl jugrá el ppel de u. Ejemplo Clculr l d E ese cso l eleccó ov es l u. Los cálculos suele orgzrse de l sguee mer d l u du d l d l l C d dv v Cudo se ulz Mple, el comdo que relz l egrcó por pres es prs. L sguee gur lusr el cálculo de l egrl eror dero de u sesó de Mple. El prmer comdo crg el pquee sude, ecesro pr ulzr l sruccó de prs. A coucó se dee, ulzdo l orm ere I, l egrl que desemos clculr. El ercer comdo es el que relz l egrcó por pres propmee dch. Nóese que prs us dos rgumeos: l egrl que esmos clculdo y l pre que hemos seleccodo como u. El curo comdo selecco el segudo operdo de l epresó G, es decr l pre que ú qued por egrr. Pr lzr, l úlm líe prese el resuldo del cálculo compleo, escredo eplícmee l egrl orgl, el prmer operdo de l epresó G y l egrl H y evlud rvés del comdo vlue.. INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN CAMBIO DE VARIABLE S y l dervd de ϕ so cous eoces Ejemplo: Clculr g d d [ ϕ ϕ' d] ϕ Pr clculr es egrl edremos e cue que l gee es el cocee ere el seo y el coseo, lo que os permrá ulzr el cmo cos o, lo que es lo msmo, rccos Proyeco e-mh Fcdo por l Secrerí de Esdo de Educcó y Uversddes MECD

13 Iegrcó líc y umérc co Mple se cos C cos se d d g d d d l C l cos El mpuldor smólco Mple mpleme el méodo de susucó por medo del comdo chgevr. A coucó se muesr cómo se relz los cálculos por medo de ese progrm. El prmer comdo crg el pquee sude e el que se ecuer dedo chgevr. El segudo dee l egrl F, e l cul esmos eresdos. A coucó roducmos u vrle emporl G e l que remos gurddo ls mpulcoes que eecuemos prr de l egrl orgl. De erd usmos el comdo cover, co su segudo rgumeo gul scos, pr reescrr l epresó orgl e érmos de seos y coseos. E l cur epresó eecumos el cmo de vrle, lo que os proporco u egrl med que es evlud, usdo vlue, e l qu sruccó. L úlm líe prese el resuldo oedo l eecur l egrcó. Apre de los méodos geerles de egrcó epuesos erormee ese mulud de procedmeos desrrolldos pr csos más cocreos. De ere ellos merece l pe descr el sguee, por l elevd recuec co que se ulz e l prácc: INTEGRACION DE FUNCIONES RACIONALES P U ucó rcol es u cocee de dos polomos. L egrcó de ese po de Q ucoes se s e que od ucó rcol prop grdo del deomdor myor que el del umerdor se puede descompoer e sum de rccoes rreducles. L descomposcó se relz del sguee modo. A cd ríz rel r de Q co mulplcdd m le correspode m rccoes de l orm A r A, r Am,..., r m Proyeco e-mh Fcdo por l Secrerí de Esdo de Educcó y Uversddes MECD

14 Iegrcó líc y umérc co Mple Proyeco e-mh Fcdo por l Secrerí de Esdo de Educcó y Uversddes MECD. A cd pr de ríces complejs ± de Q co mulplcdd m le correspode m rccoes de l orm [ ] [ ] m m m D C D C D C,...,, Los coecees que prece e el umerdor de ls rccoes smples se oee por deccó co l ucó rcol orgl. Por oro ldo ls egrles de los dsos pos de rccoes smples vee dds por ls sguees epresoes [ ] [ ] [ ] [ ] d D C C d D C C rcg D C C d D C C r A d r A C r A d r A., l.,., l. y es úlm egrl, que deoremos por I, se puede clculr ulzdo ls sguees órmuls de reduccó [ ] C rcg I I I Señlemos que, e l prácc, l descomposcó e rccoes smples cosuye el myor osáculo pr l oecó de l egrl. Ejemplo: Clculr d 5 7 Es ácl compror que el deomdor se puede corzr e l orm, de lo que se deduce que l ríz rel es dole mers que el pr de ríces complejo cojugds ± ee mulplcdd uo. De cuerdo co lo eplcdo erormee el egrdo se puede descompoer como sgue 5 7 D C B A Reducedo el segudo memro comú deomdor e decdo el umerdor oedo co el que prece l zquerd del sgo gul, se oee el sguee ssem de ecucoes: 7 D C B A D B A D C A D C B A C A Usdo l descomposcó sí oed podemos clculr l egrl uscd:

15 5 Iegrcó líc y umérc co Mple 7 d 5 l l d rcg C d d E l sguee gur reproducmos los cálculos dero del eoro que proporco el mpuldor smólco Mple. E prmer lugr crgmos el pquee sude que e ese cso es ecesro pr poder ulzr más dele el comdo egrd. Imedmee después hemos dedo l egrl ojeo de uesro cálculo. El pso correspodee l descomposcó e rccoes smples lo relz el comdo cover, l cul hy que psrle los sguees rgumeos:. L ucó rcol que queremos descompoer. E uesro cso lo hcemos seleccodo el egrdo de F empledo l ucó egrd del pquee sude.. El po de coversó que desemos relzr sore l epresó dd e el prmer rgumeo. Pr oeer l descomposcó e rccoes smples dee usrse prrc.. L vrle depedee, e ese cso. Proyeco e-mh 5 Fcdo por l Secrerí de Esdo de Educcó y Uversddes MECD

16 6 Iegrcó líc y umérc co Mple El reso de los psos lo cosuye mpulcoes seclls: demos l epresó ulr G como l egrl de l epresó y descompues e rccoes smples y coucó usmos el comdo epd pr descompoer l egrl e sum de egrles. Por úlmo escrmos el resuldo de l egrcó empledo por u ldo l epresó o evlud F y por oro orzmos l evlucó de G por medo de vlue demás de ñdr l correspodee cose de egrcó. Aes de lzr es seccó hy que señlr que l poec del progrm Mple pr l egrcó smólc le perme, e reldd, resolver culquer de ls egrles propuess lo lrgo de es seccó usdo smplemee el comdo, como lusr l sguee gur. No ose, uesro erés h sdo lusrr ls cpcddes de Mple pr l mpulcó de epresoes, omdo como se el cálculo de egrles. L leldd y l poec de cálculo de ese mpuldor posl l reproduccó de los rzomeos relzdos sore el ppel de u mer cómod, rápd y ecz permedo que el lumo se cocere sore el odo del prolem. Se ev de es orm ls dsrccoes evlemee socds los lrgos cálculos ruros que dee relzrse de orm ulr cudo se rj mo. Todo lo eror os h permdo roducr l ss elemel de vros comdos áscos de Mple. El lecor eresdo puede cosulr l ecelee yud que orece el propo progrm pr dgr cerc de ls poslddes más vzds que orece cd sruccó. A modo de ejemplo podemos decr que u secll modccó e l llmd de l ucó ver Regl de Brrow perme clculr egrles deds: s co ñdr los eremos de egrcó l ls de rgumeos l y como muesr l sguee gur. Coclumos ese prdo dedcdo los méodos de egrcó señldo que meudo es ecesro usr vrs éccs comádols hs oeer u epresó recoocle como egrl med. Flmee, hy mulud de csos e los que ls ucoes o ee u prmv epresle e érmos de ucoes elemeles lo que hce ecesro el desrrollo de éccs umércs pr el cálculo de egrles deds. Iegrcó promd Auque, como hemos mecodo l prcpo del loque, od ucó cou es egrle eso o quere decr que se pued ecorr u epresó pr su prmv e érmos de ls ucoes elemeles. Ls ucoes elemeles so ls ucoes polómcs, rcoles, poecles, epoecles, rgoomércs, sus verss y ods quells que se puede geerr prr de ls erores mede ls opercoes sore ucoes. U ejemplo secllo de es sucó l eemos e l egrl e d Proyeco e-mh 6 Fcdo por l Secrerí de Esdo de Educcó y Uversddes MECD

17 7 Iegrcó líc y umérc co Mple cuyo egrdo es couo pero pr l que se h prodo que o es u ucó elemel. E ese cso o es posle ecorr el vlor eco de l egrl e culquer ervlo. Pero ese mé ors sucoes e ls que mpoco es posle l egrcó ec. Pésese, por ejemplo, e los csos e los que l ucó egrdo se deerm epermelmee. Pr solver ese prolem se puede ulzr éccs de promcó umérc. U prmer de pr el desrrollo de ls msms surge de l decó de egrl pueso que de ell se deduce que culquer sum de Rem se puede cosderr u promcó l vlor de l egrl. Oro eoque pr relzr l egrcó umérc cosse e susur l ucó del egrdo por or más secll que l prome de lgu mer y de l cul se coozc u prmv. Se om eoces como vlor de l egrl de prd el de l egrl de l ucó prome, uque o hy que perder de vs el hecho de que ese proceso collev u error. Ls órmuls de egrcó umérc que vmos esudr e es seccó se cosgue ulzdo polomos cuyo vlor cocde co el de l ucó del egrdo e u úmero de puos gul su grdo más. Esos puos se deom odos de egrcó y los omremos gulmee espcdos dero del ervlo de egrcó. Vemos más e delle lgus órmuls de egrcó umérc que se oee co es écc pr los csos e que se ulce polomos de grdo 0 y u solo odo regl del puo medo, de grdo y dos odos regl del rpeco y grdo co res odos regl de Smpso. E el cso más secllo e el que sólo hy u odo, ommos ése como el puo medo del ervlo [,], es decr el puo -//. El polomo de grdo 0 que cocde co e ese puo es l ucó cose P /. Iegrdo P e [,] oeemos P d d. L órmul de egrcó umérc resule es Regl del puo medo d Cudo l ucó es posv es órmul prom el áre compredd dejo de l grác de por el áre del recágulo cuy se es el ervlo [,] y su lur es / segú se muesr e l gur sguee Proyeco e-mh 7 Fcdo por l Secrerí de Esdo de Educcó y Uversddes MECD

18 8 Iegrcó líc y umérc co Mple Proyeco e-mh 8 Fcdo por l Secrerí de Esdo de Educcó y Uversddes MECD Ejemplo Pr e l órmul del puo medo d l sguee promcó l egrl e [0,] 0 0 e e d e Cosderemos hor el cso e que se ulz dos odos de egrcó. Elegmos esos odos como los eremos del ervlo. Geomércmee el polomo de grdo que om los msmos vlores que e y es u rec que ps por los puos, y, y ee por ecucó y. El polomo uscdo es por o P Iegrdo P d d P Y eemos l sguee órmul de promcó coocd como regl del rpeco Cudo l ucó es posv, óese que l órmul oed o es más que l órmul del áre del rpeco que ee por ldos el segmeo de eje ere y, los segmeos de ls recs vercles y compreddos ere 0 y y 0 y, respecvmee, y el segmeo de l rec y co eremos e los puos, y,, segú se muesr e l gur sguee Regl del rpeco d

19 9 Iegrcó líc y umérc co Mple Proyeco e-mh 9 Fcdo por l Secrerí de Esdo de Educcó y Uversddes MECD Ejemplo Pr e l órmul del rpeco d l sguee promcó l egrl e [0,] e e e d e Flmee omemos hor como odos los eremos del ervlo y juo co el puo medo del msmo /. El polomo uscdo es de grdo, γ β α P, y grácmee se represe como u curv prólc que ps por los puos,, /, / y,. S egrmos P d d P γ β α γ β α γ β α Como P, P// y P eemos ls sguees gulddes,, γ β α γ β α γ β α que os perme elmr α, β y γ pr oeer l guldd d P. L órmul de egrcó umérc oed lmee es Cudo l ucó es posv, es órmul prom el áre de l regó lmd por mede el áre de l regó lmd por l práol que d el polomo P como se ve e l gur Regl de Smpso d

20 0 Iegrcó líc y umérc co Mple Proyeco e-mh 0 Fcdo por l Secrerí de Esdo de Educcó y Uversddes MECD Ejemplo Pr e l regl de Smpso d l sguee promcó l egrl e [0,] e e e e e d e Aumedo el úmero de odos se puede cosegur órmuls más complcds. E geerl ls órmuls sí oeds se deom órmuls de Newo-Coes y so csos prculres de ls llmds órmuls de cudrur: Decó U órmul de cudrur o egrcó umérc sd e los odos 0,,..., es u epresó del po 0 α dode, 0,..., so coses que se cooce como coecees de cudrur. U órmul de cudrur se dce que ee grdo de precsó k s egr ecmee los polomos de grdo meor o gul que k. Ls órmuls de Newo-Coes ee grdo de precsó myor o gul que su úmero de odos meos uo. Como se puede oservr e ls gurs de es seccó, el error que se comee l promr l egrl de u ucó mede ls órmuls que hemos deducdo erormee es se precle. Pr dsmur ese error ce l posldd de dvdr el domo de egrcó e suervlos ddo u prcó del msmo y e cd uo de esos suervlos plcr l órmul correspodee. Ese proceso llev ls órmuls de cudrur compuess que vemos coucó. Ddo el ervlo [,] cosderemos u prcó regulr del msmo que lo dvd e suervlos [ -, ],,...,. E cd uo de ellos plcmos l regl del puo medo pr promr l egrl correspodee, es decr d. S llmmos h eoces pr l egrl ol edremos h d d que es l regl del puo medo compues. Nóese que es órmul cocde co l sum de Rem de e l que l ucó se evlú e el puo medo de los suervlos deermdos por l prcó. De es mer hemos recuperdo l orm de promcó que mecomos l prcpo de l seccó pero oed desde u puo de vs deree. S hor cosdermos l órmul del rpeco pr promr ls egrles e los suervlos eemos h h d d que es l regl del rpeco compues. Flmee oeemos l regl de Smpso compues. Como

21 Iegrcó líc y umérc co Mple Proyeco e-mh Fcdo por l Secrerí de Esdo de Educcó y Uversddes MECD 6 h d, sumdo ess promcó oeemos h d. Ejemplos co Mple E el pquee Sude[Clculus] de Mple esá el comdo AppromeI que perme oeer ls órmuls de cudrur compuess que cmos de esudr. L ss de ese comdo es muy precdo l de RemSum que vmos e l prmer seccó. E l hoj de rjo sguee prece l sruccó AppromeI l,.., mehod rpezod; cuy sld es l órmul compues del rpeco desrrolld e l que se h ulzdo 0 suervlos. Pr oeer u epresó más compc de es órmul ulzmos l opcó oupu co vlor sum. S se quere el vlor umérco de l órmul s dr los eremos de egrcó e com loe y lmee co l opcó pro se puede cmr el úmero de suervlos ulzdos

22 Iegrcó líc y umérc co Mple L opcó mehod dme oros vlores: mdpo y smpso geer ls órmuls de cudrur compues del puo medo y de Smpso, respecvmee. De orm más geérc se puede ulzr el vlor ewocoes[] dode es el úmero de odos de l órmul se de Newo-Coes que ee ere sus odos los eremos del suervlo que se ulz pr geerr l órmul compues que us el comdo. E l mge vemos como l órmul de Smpso se puede geerr dsmee co los vlores smpso o ewocoes[] pr l opcó mehod E l gur sguee prece el comdo AppromeI e el que hemos ddo el vlor plo l opcó oupu. Eso os perme ver grácmee como se prom l ucó egrdo, e ese cso g-, e l regl de Smpso compues. L ucó prome, que e el dujo prece e rojo, es e cd suervlo de egrcó u polomo de grdo dos que cocde co g- e res puos: los eremos y el puo medo del suervlo correspodee. Proyeco e-mh Fcdo por l Secrerí de Esdo de Educcó y Uversddes MECD

23 Iegrcó líc y umérc co Mple Ivesgmos coucó el eeco que ee, e l órmul de Smpso compues, el umeo del úmero de suervlos. Como se puede oservr e l sld se produce u mejor e l promcó. Así, el úlmo vlor oedo co 0 suervlos cosgue ls curo prmers crs decmles sgcvs ecs. Comprmos hor dsos méodos co el msmo úmero de suervlos: 0. Como vemos l regl de Smpso es superor ls del puo medo y el rpeco, cosguedo ses crs decmles ecs. CONSIDERACIONES FINALES. E ls órmuls de cudrur que hemos rdo los odos se h omdo sempre gulmee espcdos pero mé ce l posldd de ulzr odos rregulrmee reprdos e el ervlo de egrcó. De hecho, lgus órmuls los elge pr oeer u grdo de precsó más lo: so ls llmds órmuls de Guss. Todos esos ópcos esá desrrolldos e [] y [], dode se puede ecorr mé el esudo del error de ls órmuls umércs que osoros o hemos cludo quí. Flmee hremos or que cudo el mpuldor Mple o es cpz de clculr u prmv de u ucó dd, sempre puede cosegur u promcó umérc l vlor de su egrl ded e u ervlo. Ese cálculo se relz mede méodos umércos muy ecees que esá ere ls órmuls de Guss erormee mecods. Proyeco e-mh Fcdo por l Secrerí de Esdo de Educcó y Uversddes MECD

24 Iegrcó líc y umérc co Mple APLICACIONES Proldd: ucó de desdd. De mer orml, u vrle leor se puede der como u cdd cuyo vlor vee goerdo por el zr. Así, l lur de u perso, el úmero de coches que ps por u cruce o el empo de ucomeo de u omll so ejemplos de vrles leors. De u vrle leor, que represeremos por X, eres coocer cuál es l proldd co l que om u vlor sudo ere dos cddes dds y. Es cosumre represer es cdd como sgue p X L proldd dee drse ormlzd, lo que quere decr que dee omr vlores reles ere 0 y. De es orm, u cdd muy próm uo dc que el suceso es lmee prole mers que s l proldd es cerc cero el suceso ocurrrá rrmee. Ese u po de vrles leors pr ls cules el cálculo derecl e egrl desempeñ u ppel udmel. Nos reermos lo que los esdíscos llm vrles leors cous. Tod vrle de ese po llev socd lo que se cooce como su desdd de proldd, que o es so u ucó rel de cuy egrcó se deduce ls prolddes correspodees l y como se dc coucó p X d, Apre de oros muchos usos l ucó de desdd se puede empler pr hcer u esmcó del vlor esperdo o esperz memác de l vrle leor. S el cojuo de puos e el que es ds de cero lo que se deom sopore de l dsrucó esá coedo e el ervlo [c,d], eoces el vlor esperdo se clcul mé e érmos de u egrl: d E X d. c E lo que sgue presemos u pr de prolems que volucr vrles leors cous. E su resolucó se emplerá el mpuldor Mple co el de lusrr uevmee ls cpcddes y ecc que por pr el plemeo y resolucó de ls más vrds cuesoes. PROBLEMA Cero séle de comuccoes corpor dero de su equpmeo u compoee elecróco cuyo ucomeo es esecl pr el correco desrrollo de ls res de rsmsó. Se se que el empo de llo de ese compoee, epresdo e ños, vee descro por u vrle leor cou X, co ucó de desdd dd por 0, 0 0 e, > 0 00 Se pde Dujr l ucó de desdd Clculr l proldd de que el séle deje de ucor es de que lce el prmer ño desde su lzmeo. c Clculr el empo esperdo de vd úl del séle. Pr resolver el prolem hemos comezdo por der l ucó de desdd. Pr ello hemos ulzdo el comdo pecewse, que perme mejr cómodmee ucoes deds rozos. L segud líe muesr el comdo plo, ulzdo pr dujr l ucó de desdd. Nóese que sólo hemos represedo vlores posvos de l vrle depedee, y que l zquerd de cero l ucó se ul. E l grác se puede precr el mámo de l ucó de desdd que se lcz e 0, sí como el decrecmeo hc cero cudo. L ercer epresó clcul l proldd pedd e el prdo. El resuldo oedo es poco sgcvo, por lo que e l sguee líe hemos repedo el cálculo usdo evl pr oeer el msmo vlor escro e Proyeco e-mh Fcdo por l Secrerí de Esdo de Educcó y Uversddes MECD

25 5 Iegrcó líc y umérc co Mple ocó de com loe. Como se ve, l proldd de que el séle deje de ucor lo lrgo del prmer ño es relmee pequeñ. Por úlmo, el cálculo de l vd úl ple el prolem de que el sopore de l dsrucó o esá coedo e gú ervlo cerrdo. Pr resolverlo hemos opdo por pler l egrl correspodee sore u ervlo de l orm [0,c] y ulzr u proceso de pso l líme pr recurr el sopore de decó de que es [0, ]. El vlor oedo pr el empo esperdo de vd úl es de vee ños. PROBLEMA Pr que el séle de comuccoes del ejemplo eror esé opervo es ecesro que descr u ór cuy clcó co respeco l ecudor erresre esé compredd ere y 7 grdos. Dedo múlples perurcoes l clcó de l ór vrí de l orm que e u se culquer su vlor se puede descrr por medo de u vrle leor Y que, medd e grdos, sgue u dsrucó orml de med µ 5 y desvcó ípc σ, o lo que es lo msmo, su ucó de desdd es yµ σ y e σ π Se pde Dujr l ucó de desdd. Clculr l proldd de que el séle esé opervo e u se culquer. c Clculr l clcó esperd pr l ór del séle. Proyeco e-mh 5 Fcdo por l Secrerí de Esdo de Educcó y Uversddes MECD

26 6 Iegrcó líc y umérc co Mple Comezremos deedo los vlores de los prámeros µ y σ que crcerz l dsrucó de proldd. A coucó ulzmos esos vlores pr der l ucó de desdd. El comdo plo ulzdo e l ercer líe proporco l grác pedd e el prmer prdo del prolem. E el dujo se recooce rápdmee l orm cmpd de l dsrucó guss. El sguee comdo r de clculr l proldd solcd e el prdo eecudo l egrcó de l ucó de desdd sore el ervlo de opervdd del séle. Como se ve, el resuldo prece epresdo e érmos de l ucó de error que y se rodujo e uo de los Proyeco e-mh 6 Fcdo por l Secrerí de Esdo de Educcó y Uversddes MECD

27 7 Iegrcó líc y umérc co Mple ejemplos erores. El comdo evl proporco l represecó e com loe correspodee l vlor que querímos clculr: el séle esá opervo dure cs u 70% del empo. A coucó hemos crgdo el pquee Sude[Clculus] co l ecó de corsr ese resuldo co el que proporco los méodos umércos eplcdos e ls seccoes erores. Empledo l sruccó AppromeI hemos oedo ls promcoes correspodees res méodos compuesos de egrcó umérc e odos los csos co 0 suervlos. Osérvese como, u vez más, el méodo de Smpso es clrmee superor, proporcodo curo crs sgcvs correcs dode los méodos del puo medo y el rpeco solo cosgue dos. Por úlmo, se h clculdo el vlor esperdo pr l clcó de l ór del séle sguedo u procedmeo smlr l del prolem eror, co el de resolver el prolem pledo por l o cocó del sopore de l dsrucó. E ese cso l egrl se puede clculr lícmee s gu dculd por lo que Mple por el resuldo de orm med. Nóese que el resuldo oedo cocde precsmee co el prámero µ de l dsrucó orml. Flzmos es seccó dcdo que, dedo l gr mporc que l esdísc ee e mulud de plccoes, Mple corpor el pquee s oredo hc ese po de cálculos. Ese pquee proporco ucoes especlzds pr el rmeo esdísco de cojuos de dos y pr l evlucó umérc de dsos pos de dsrucoes, sí como vzds herrmes grács que perme preser vsulmee los resuldos oedos. Por or pre el lecor eresdo e el áre de l proldd y l esds puede cosulr los dso e-ooks dspoles sore el em, dode podrá ecorr demás de ecelees roduccoes, reerecs uees más vzds. Cálculo de logudes de rco Supogmos que queremos medr l logud del rozo de curv pl ded por l grác de u ucó cou dervle ere ls css y. S uese u ucó í, es decr, kc co k y c coses reles, eoces su grác serí u rec y uesro prolem se reducrí medr l logud del segmeo de eremos, y,. Oservdo el dujo vemos que es logud vee dd por l. Supogmos hor que l ucó o es í y que eemos que medr l logud de u segmeo curvlíeo. Pueso que pr rcos recos semos clculr l logud como hemos hecho es, u prmer de es promr l curv por u rec. S emrgo, pr evr u error muy grde es coveee dvdr prevmee l curv e rcos pequeños y promr l logud de cd uo de ellos por l del segmeo que ue sus eremos. L logud ol quedrá promd por l sum de ls logudes de los segmeos. Proyeco e-mh 7 Fcdo por l Secrerí de Esdo de Educcó y Uversddes MECD

28 8 Iegrcó líc y umérc co Mple Téccmee el proceso eror es secllo: pr dvdr l curv dmos u prcó del ervlo [,] y jusmee los puos P, co cs e cd uo de los odos y orded e l mge de los odos, so los puos que dvde l curv. Eoces, s deomos por l. l logud, l rco l rco P P l P P Como l ucó es dervle e [,] el eorem del vlor medo grz l esec de u puo ξ e cd suervlo de l prcó [ -, ] vercdo y por lo o eemos l promcó ' ξ l rco ' ξ ' ξ ' ξ Es es precsmee l sum de Rem de l ucó ' socd l prcó. Cuo más se l prcó, es decr, cuo myor se, mejor será l promcó que oeemos de es mer l logud del rco. E el líme, cudo ede o, coseguremos ecmee l logud: l rco lm ' ξ ' d De es orm hemos oedo u órmul que os perme clculr l logud de u rco de curv mede u egrl ded. PROBLEMA U empres rc ejdos que cosruye oduldo láms meálcs de orm que el perl del pel resule es u od seodl cuy lur es 0.50 meros desde l líe cerl. E l gur se muesr u pel de logud 0 meros juo co su seccó logudl L empres quere ser qué logud h de eer ls plcs ecesrs pr cosrur ejdos que cur 0 meros. Proyeco e-mh 8 Fcdo por l Secrerí de Esdo de Educcó y Uversddes MECD

29 9 Iegrcó líc y umérc co Mple L ucó que represe el perl del pel es π se 5 L logud de l plch meálc será l de l curv dd por ere 0 y 0. Es logud se clcul ulzdo l órmul deducd pr ls logudes de rco. Necesmos eoces l dervd de π π ' cos 5 5 L logud será 0 l ' d cos π 5 d Es egrl, que es u de ls llmds egrles elípcs, o es clculle lícmee. E l sguee gur lusrmos esos cálculos co Mple. E l sld del úlmo comdo se oserv que o se puede clculr l prmv de l ucó dd y, por lo o, se dej dcd e érmos de l egrl elípc. E el pquee Sude[Clculus] de Mple esá el comdo ArcLegh que clcul drecmee l logud de rco de l ucó dd e el prmer rgumeo ere los vlores especcdos e el segudo, como lusrmos coucó Como l egrl o es clculle co éccs lícs vmos oeer u promcó umérc su vlor ulzdo l regl de Smpso compues. Co el mpuldor Mple podemos comprr l promcó proporcod por ese méodo y el vlor que clcul Mple ulzdo méodos umércos más soscdos. Tmé lusrmos como luye e l promcó el umeo e el úmero de suervlos Proyeco e-mh 9 Fcdo por l Secrerí de Esdo de Educcó y Uversddes MECD

30 0 Iegrcó líc y umérc co Mple Por deeco, Mple d ls promcoes e com loe co 0 crs sgcvs. Pr modcr ese úmero se ulz el comdo Dgs, que prece como prmer sruccó e l gur sguee, dode le hemos ddo el vlor 0. Cálculo del rjo relzdo por u uerz El cocepo ísco de rjo se ecuer esrechmee relcodo co l de de uerz. Iuvmee, uque o sepmos dr u decó orml de lo que es u uerz, odos pesmos e que cudo cú sore u ojeo se produce u eeco sore el msmo que se rduce ormlmee e su desplzmeo. De es orm s u ojeo se desplz lo lrgo de u ryecor rec descr por u ucó, l segud ley de Newo del movmeo dee l uerz F sore dcho ojeo como el produco de l ms del msmo por l celercó, es decr d F m d E el cso de que l celercó se cose mé lo será l uerz y eoces se dee el rjo relzdo por F e el desplzmeo, que deoremos por W, como W F d dode d es l dsc recorrd por el ojeo. Cosderemos hor el cso de u desplzmeo reco ere ls poscoes y producdo por u uerz o cose que depede de l poscó del ojeo, es decr, FF co. E ese cso podemos dvdr el desplzmeo ol e pequeños desplzmeos, lo que se cosgue ddo u prcó regulr del ervlo [,] < < < < 0 y e cd uo de los suervlos de l prcó prommos l uerz por u cose que es F,,. Eoces precsmee el vlor que om e u puo rrro del suervlo: [ ] el rjo e cd uo de los pequeños desplzmeos se puede promr por F F y es promcó será o mejor cuo más pequeñ se l logud del suervlo. El rjo ol qued promdo por Proyeco e-mh 0 Fcdo por l Secrerí de Esdo de Educcó y Uversddes MECD

Números reales y sus propiedades.

Números reales y sus propiedades. Núeros reles y sus propieddes. (Nots redctds por A. DIEGO y M. I. PLATZECK pr el curso de Mteátic Geerl) Los úeros turles,,,..., h sido credos por el hore pr cotr los ojetos de cojutos fiitos, el úero

Más detalles

SISTEMAS LINEALES E INVARIANTES EN EL TIEMPO

SISTEMAS LINEALES E INVARIANTES EN EL TIEMPO CAPÍTULO DOS SISTEMAS LINEALES E INVARIANTES EN EL TIEMPO. Iroducció E ese capíulo se iroduce y discue varias propiedades básicas de los sisemas. Dos de ellas, la liealidad y la ivariabilidad e el iempo,

Más detalles

Al grupo de investigadores de CIMNE por su ayuda y dedicación: Jerzy Rojek, Francisco Zarate, Joan Miquel Canet y Eva Balsa.

Al grupo de investigadores de CIMNE por su ayuda y dedicación: Jerzy Rojek, Francisco Zarate, Joan Miquel Canet y Eva Balsa. Hay hombres que lucha u día y so bueos. Hay otros que lucha u año y so mejores. Hay quees lucha muchos años y so muy bueos. Pero hay los que lucha toda la vda. Esos so los mprescdbles. Maro Beedett A m

Más detalles

RAÍCES COMPLEJAS DE LAS FUNCIONES CUADRÁTICAS: INTERPRETACIÓN GRÁFICA

RAÍCES COMPLEJAS DE LAS FUNCIONES CUADRÁTICAS: INTERPRETACIÓN GRÁFICA RAÍCES COMPLEJAS DE LAS FUNCIONES CUADRÁTICAS: INTERPRETACIÓN GRÁFICA Hydeé Blnco Insttuto Superor del Profesordo "Dr. Joquín V. González" Buenos Ares (Argentn) RESUMEN En este rtículo se present un form

Más detalles

R eq 5 R 1 1 R 2 1 R 3 1 c Resistores en serie. (resistores en serie) R 1 R 2 R 3. (resistores en paralelo) a V 5 0 (regla de las uniones) (26.

R eq 5 R 1 1 R 2 1 R 3 1 c Resistores en serie. (resistores en serie) R 1 R 2 R 3. (resistores en paralelo) a V 5 0 (regla de las uniones) (26. CPÍTULO 26 UMN esistores en serie y en prlelo: Cundo se conectn en serie vrios resistores 1, 2, 3,..., l resistenci equivlente eq es l sum de ls resistencis individules. n un conexión en serie fluye l

Más detalles

INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES GENERA- LES.

INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES GENERA- LES. INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES GENERA- LES. 6. En l integrl dole f(, ), colocr los límites de integrción en mos órdenes, pr los siguientes recintos: i) trpecio de vértices (, ), (, ), (, ) (, ). ii)

Más detalles

CALOR Y TEMPERATURA. b) T real = 47.76 C c) T = -400 C

CALOR Y TEMPERATURA. b) T real = 47.76 C c) T = -400 C CALOR Y TEMPERATURA 1.- En un lugr en que l presión tmosféric es 760 mm de mercurio, introducimos un termómetro centígrdo en hielo fundente y luego en vpor de gu hirviendo. El termómetro, ml grdudo, mrc

Más detalles

Segundo ciclo. Cálculo mental con números naturales. Aportes para la enseñanza. Ministerio de Educación

Segundo ciclo. Cálculo mental con números naturales. Aportes para la enseñanza. Ministerio de Educación Segundo ciclo Cálculo mental con números naturales Aportes para la enseñanza Escuela Primaria Ministerio de Educación Segundo ciclo Cálculo mental con números naturales Aportes para la enseñanza ESCUELA

Más detalles

., " ," 11. 2. LA CONSTRUCCiÓN DEL OBJETO

.,  , 11. 2. LA CONSTRUCCiÓN DEL OBJETO 2. LA CONSTRUCCiÓN DEL OBJETO EL M '.TODO DE LA ECONOM/ A POUTlCA Al resumir, en la ntroducción gen eral di' 1857, los principios de su método, Marx rechaza a la /lez "la ilusión de Hegel" que considera

Más detalles

TEMA 11: EQUILIBRIOS ACIDO BASE

TEMA 11: EQUILIBRIOS ACIDO BASE TEMA 11: EQUILIBRIOS AIDO BASE Ls recciones ácidobse, especilmente quells que ocurren en disolución cuos, son de trscendentl importnci pr l químic experimentl, l biologí, l geologí, y por lo tnto, pr numerosos

Más detalles

CONSEJERÍA DE EDUCACIÓN EN EL REINO UNIDO E IRLANDA EMBAJADA DE ESPAÑA Acti / España 15 Actividades para la clase de español educacion.

CONSEJERÍA DE EDUCACIÓN EN EL REINO UNIDO E IRLANDA EMBAJADA DE ESPAÑA Acti / España 15 Actividades para la clase de español educacion. EMBAJADA DE ESPAÑA CONSEJERÍA DE EDUCACIÓN EN EL REINO UNIDO E IRLANDA Acti / Espñ 15 educcion.es Acti/Espñ 15 DICIEMBRE 2011 Acti/Espñ es un publicción de l Consejerí de Educción en el Reino Unido e Irlnd

Más detalles

3 Potencias y raíces de números

3 Potencias y raíces de números Potecis y ríces de úeros reles. Potecis de expoete turl. Defiició. El producto tiee sus siete fctores igules. Este producto se puede idicr de for brevid coo. se ll poteci, y l fctor, bse. El úero de veces

Más detalles

Sentido y efectos del vínculo fraterno

Sentido y efectos del vínculo fraterno Compiladores CZERNIKOWSKI, ESTHER; GASPARI, RICARDO; MATUS, SUSANA MOSCONA, SARA Autores BERLFEIN, ELENA; CZERNIKOWSKI, ESTHER; GASPARI, RICARDO; GOMEL, SILVIA; MATUS, SUSANA; MOSCONA, SARA; STERNBACH,

Más detalles

Incertidumbre e información

Incertidumbre e información Microeconomí Avnzd Fcultd de Ciencis Económics y Administrción Universidd de l Reúlic Universidd de l Reúlic Fcultd de Ciencis Económics y Administrción Microeconomí Avnzd Nots Docentes Incertidumre e

Más detalles

INDICE UNIDAD I UNIDAD II

INDICE UNIDAD I UNIDAD II INDICE UNIDAD I TEORIA DEL MUESTREO Muestras aleatorias Errores e el muestreo Distribucioes muestrales Teorema del límite cetral Distribució muestral de medias Distribució muestral de proporcioes Distribució

Más detalles

Electromagnetismo. es nula. Encuentre el campo eléctrico en todo el espacio.

Electromagnetismo. es nula. Encuentre el campo eléctrico en todo el espacio. Electromgnetismo olución Prueb 1 de Cátedr Profesor: José ogn C. 17 de Abril del 24 Ayudntes: Pmel Men. Felipe Asenjo Z. 1. Un distribución de crg esféricmente simétric de rdio tiene un densidd interior

Más detalles

ESCALA ABREVIADA DE DESARROLLO. Dirección General. Dr. NELSON ORTIZ PINILLA Consultor - Unicef

ESCALA ABREVIADA DE DESARROLLO. Dirección General. Dr. NELSON ORTIZ PINILLA Consultor - Unicef ESCALA ABREVIADA DE DESARROLLO Dirección Generl Dr. NELSON ORTIZ PINILLA Consultor - Unicef CONTENIDO Pág. PRESENTACION 3 1. CONSIDERACIONES INICIALES 5 2. FUNDAMENTACION CONCEPTUAL DE LA 5 ESCALA 2.1.

Más detalles

Acasi 27 a r'ios de la crisis de la deuda, a dos decenios

Acasi 27 a r'ios de la crisis de la deuda, a dos decenios REFORMAS ESTRUCTURALES La economía mexicana después de dos decenios de reformas ALICIA PUYANA JOSÉ ROMERO * Acasi 27 a r'ios de la crisis de la deuda, a dos decenios ele iniciad as las reformas estructurales

Más detalles

2. MAGNITUDES FÍSICAS

2. MAGNITUDES FÍSICAS . MAGNITUDES FÍSICAS Cundo físic estudi gún specto de nturez o primero que hce es desindr o más crmente posibe cuá es prte de nturez que e interes, seprándo de resto. L prte que está bjo estudio se m sistem.

Más detalles

Funciones sin primitiva elemental

Funciones sin primitiva elemental Funciones sin primitiva elemental Carlos Ivorra (http://www.uv.es/ivorra) 1 Introducción La función de densidad de la distribución normal (con media 0 y desviación típica 1) viene dada por la función f(t)

Más detalles

GENOCIDIO I. INTRODUCCIÓN

GENOCIDIO I. INTRODUCCIÓN Núm. 14, enero-junio 2006 GENOCIDIO a) Comentarios sobre la sentencia de la Suprema Corte de Justicia de la Na ción en el caso de los Hal co nes Ma nuel BECERRA RAMÍREZ* I. INTRODUCCIÓN La de ci sión de

Más detalles

SOCORRO! DIOS ME ESTÁ LLAMANDO A LAS MISIONES

SOCORRO! DIOS ME ESTÁ LLAMANDO A LAS MISIONES SOCORRO! DIOS ME ESTÁ LLAMANDO A LAS MISIONES Un manual práctico de preparación para el campo misionero DANY JOHNSON PABLO MAUGER SOCORRO! DIOS ME ESTÁ LLAMANDO A LAS MISIONES Dany Johnson y Pablo Mauger

Más detalles

CAPITULO 6 Sobre el sentido común de la justicia M e t a f í s i c a y p r a g m á t i c a d e l a r e s p o n s a b i l i d a d La principal distinción política entre sentido común y lógica radica en

Más detalles

Datos del autor. Nombres y apellido: Germán Andrés Paz. Lugar de nacimiento: Rosario (Código Postal 2000), Santa Fe, Argentina

Datos del autor. Nombres y apellido: Germán Andrés Paz. Lugar de nacimiento: Rosario (Código Postal 2000), Santa Fe, Argentina Datos del autor Nombres y apellido: Germán Andrés Paz Lugar de nacimiento: Rosario (Código Postal 2000), Santa Fe, Argentina Correo electrónico: germanpaz_ar@hotmail.com =========0========= Introducción

Más detalles

LA EMERGENCIA DE LAS MUJERES EN EL PODER HAY CAMBIOS?

LA EMERGENCIA DE LAS MUJERES EN EL PODER HAY CAMBIOS? LA EMERGENCIA DE LAS MUJERES EN EL PODER HAY CAMBIOS? Cecilia Blondet DOCUMENTO DE TRABAJO Nº 92 Serie: Sociología y Política 13 Esta pu bli ca ción for ma par te de la in ves ti ga ción Las mu je res

Más detalles

Copyright 1988 Alcoholics Anonymous World Services, Inc.

Copyright 1988 Alcoholics Anonymous World Services, Inc. Alcohólicos Anónimos es una comunidad de hombres y mujeres que comparten su mutua experiencia, fortaleza y esperanza para resolver su problema común y ayudar a otros a recuperar se del alcoholismo. El

Más detalles

Teoría de errores - Incertezas de medición

Teoría de errores - Incertezas de medición Ejemplos Ejercicios Misceláneas Evaluación Teoría de errores - Incertezas de medición Errores de medición. Precisión y eactitud. Cifras significativas. Errores absolutos y relativos. Histogramas. Errores

Más detalles

Estudio de ceros de ecuaciones funcionales

Estudio de ceros de ecuaciones funcionales Capítulo 1 Estudio de ceros de ecuaciones funcionales Problema 1.1 Calcular el número de ceros de la ecuación arctang(x) = 4 x, dando un intervalo 5 donde se localicen. Solución: Denimos f(x) = arctan(x)

Más detalles

Estrategias de enseñanza y aprendizaje Formación del profesorado y aplicación en la escuela

Estrategias de enseñanza y aprendizaje Formación del profesorado y aplicación en la escuela Estrategias de enseñanza y aprendizaje Formación del profesorado y aplicación en la escuela Por Carles Monereo (coord.), Montserrat Castelló, Mercè Clariana, Montserrat Palma, Maria L. Pérez. Editorial

Más detalles

PRESENTACIÓN. INEGI. Mujeres violentadas por su pareja en México

PRESENTACIÓN. INEGI. Mujeres violentadas por su pareja en México PRESENTACIÓN El Instituto Ncionl de Estdístic, Geogrfí e Informátic (INEGI), con el propósito de dimensionr, crcterizr y dr conocer l prevlenci de l violenci hci ls mujeres en el pís, y de contribuir l

Más detalles