Poliedros Regulares en el 3-Toro.

Transcripción

1 Poliedros Regulares en el 3-Toro. Antonio Montero Daniel Pellicer PCCM, UMSNH-UNAM CCM,UNAM XXVIII Coloquio Víctor Neumann-Lara de Teoría de las Gráficas Combinatoria y sus Aplicaciones Morelia, Marzo Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 1 / 56

2 Índice: 1 Introducción Histórica 2 Poliedros Regulares en E 3 Poliedros Regulares Abstractos Operaciones con poliedros Realizaciones de Poliedros Regulares 3 El 3-Toro 3-Toro y sus isometrías Retículas de Puntos 4 Poliedros Regulares en el 3-Toro Poliedros Finitos Poliedros de Petrie-Coxeter 5 Conclusiones Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 2 / 56

3 Introducción Histórica Los griegos conocían los Sólidos Platónicos y probaron que son todos los sólidos convexos regulares. Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 3 / 56

4 Introducción Histórica Los griegos conocían los Sólidos Platónicos y probaron que son todos los sólidos convexos regulares. (f) Tetraedro (g) Cubo (h) Octaedro (i) Icosaedro (j) Dodecaedro Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 3 / 56

5 Introducción Histórica Poliedros de Kepler-Poinsot Con el tiempo aparecieron más poliedros regulares: Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 4 / 56

6 Introducción Histórica Poliedros de Kepler-Poinsot Con el tiempo aparecieron más poliedros regulares: Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 4 / 56

7 Introducción Histórica Poliedros de Petrie-Coxeter.. y más aún... Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 5 / 56

8 Introducción Histórica Poliedros de Petrie-Coxeter.. y más aún... Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 5 / 56

9 Introducción Histórica En los 70 s B. Grünbaum da una lista de 47 (sí 47!!!) poliedros regulares Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 6 / 56

10 Introducción Histórica En los 70 s B. Grünbaum da una lista de 47 (sí 47!!!) poliedros regulares A principios de los 80 s A. Dress describe otro poliedro y prueba que la lista de 48 poliedros regulares es completa. Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 6 / 56

11 Introducción Histórica En los 70 s B. Grünbaum da una lista de 47 (sí 47!!!) poliedros regulares A principios de los 80 s A. Dress describe otro poliedro y prueba que la lista de 48 poliedros regulares es completa. En 1982 Danzer y Schulte definen politopo abstracto. Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 6 / 56

12 Introducción Histórica En los 70 s B. Grünbaum da una lista de 47 (sí 47!!!) poliedros regulares A principios de los 80 s A. Dress describe otro poliedro y prueba que la lista de 48 poliedros regulares es completa. En 1982 Danzer y Schulte definen politopo abstracto. En 1997 P. McMullen y E. Schulte prueban, partiendo del concepto de politopo abstracto, que la lista de Grünbaum y Dress es completa. Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 6 / 56

13 Índice: 1 Introducción Histórica 2 Poliedros Regulares en E 3 Poliedros Regulares Abstractos Operaciones con poliedros Realizaciones de Poliedros Regulares 3 El 3-Toro 3-Toro y sus isometrías Retículas de Puntos 4 Poliedros Regulares en el 3-Toro Poliedros Finitos Poliedros de Petrie-Coxeter 5 Conclusiones Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 7 / 56

14 Poliedros Abstractos Definición Un poliedro abstracto P es un conjunto parcialmente ordenado con una función de rango en { 1, 0, 1, 2, 3}. Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 8 / 56

15 Poliedros Abstractos Definición Un poliedro abstracto P es un conjunto parcialmente ordenado con una función de rango en { 1, 0, 1, 2, 3}. Llamarémos vértices, aristas y caras a los elementos de rango 0, 1 y 2 respectivamente. Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 8 / 56

16 Poliedros Abstractos Definición Un poliedro abstracto P es un conjunto parcialmente ordenado con una función de rango en { 1, 0, 1, 2, 3}. Llamarémos vértices, aristas y caras a los elementos de rango 0, 1 y 2 respectivamente. Una bandera es una terna (v, a, c) con v vértice, a arista y c cara donde v < a < c. Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 8 / 56

17 Poliedros Abstractos Definición Un poliedro abstracto P es un conjunto parcialmente ordenado con una función de rango en { 1, 0, 1, 2, 3}. Llamarémos vértices, aristas y caras a los elementos de rango 0, 1 y 2 respectivamente. Una bandera es una terna (v, a, c) con v vértice, a arista y c cara donde v < a < c. Además P satisface un montón de propiedades. Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 8 / 56

18 Poliedros Abstractos Algunos ejemplos: Rango 3 {a, b, c, d} 2 {a, b, c}{a, b, d}{b, c, d}{a, c, d} 1 {a, b} {a, c} {b, c} {a, d} {b, d} {c, d} 0 {a} {b} {c} {d} 1 Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 9 / 56

19 Poliedros Abstractos Algunos ejemplos: Rango 3 {a, b, c, d} Rango 3 2 {a, b, c}{a, b, d}{b, c, d}{a, c, d} 2 1 {a, b} {a, c} {b, c} {a, d} {b, d} {c, d} 1 0 {a} {b} {c} {d} Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 9 / 56

20 Poliedros Abstractos Algunos anti-ejemplos: a Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 10 / 56

21 Poliedros Abstractos Algunos anti-ejemplos: c a a v a c Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 10 / 56

22 Poliedros Abstractos Automorfismos Definición Si P es un poliedro, φ : P P es un automorfismo de P si φ es una biyección y tanto φ como φ 1 preservan orden, es decir, F G si y sólo si φ(f ) φ(g). Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 11 / 56

23 Poliedros Abstractos Automorfismos Definición Si P es un poliedro, φ : P P es un automorfismo de P si φ es una biyección y tanto φ como φ 1 preservan orden, es decir, F G si y sólo si φ(f ) φ(g). Denotamos por Γ(P) al grupo de automorfismos de P. Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 11 / 56

24 Automorfismos R 0 R 1 Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 12 / 56

25 Poliedros Abstractos Poliedros Regulares Definición Diremos que un poliedro P es regular si Γ(P) actúa transitivamente en F(P), el conjunto de banderas de P. Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 13 / 56

26 Poliedros Abstractos Poliedros Regulares Teorema Un poliedro P es regular si y sólo si para alguna bandera Φ y para todo i {0, 1, 2} existe un automorfismo ρ i de P tal que ρ i (Φ) = Φ i. Además, cada automorfismo ρ i es una involución, es decir, ρ 2 i = Id. Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 14 / 56

27 Poliedros Abstractos Poliedros Regulares ρ 0 ρ 1 ρ 2 ρ 2 ρ 1 ρ 2 ρ 1 ρ 0 ρ 0 Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 15 / 56

28 Poliedros Abstractos Poliedros Regulares Φ 0 Φ 1 Φ Φ 2 Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 16 / 56

29 Poliedros Abstractos Poliedros Regulares Φ 0 Φ 1 Φ Φ 2 ρ 0 Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 16 / 56

30 Poliedros Abstractos Poliedros Regulares Φ 0 Φ 1 Φ Φ 2 ρ 1 Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 17 / 56

31 Poliedros Abstractos Poliedros Regulares Φ 0 Φ 1 Φ ρ 2 Φ 2 Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 18 / 56

32 Poliedros Abstractos Poliedros Duales Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 19 / 56

33 Poliedros Abstractos Poliedros Duales ρ 0 Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 20 / 56

34 Poliedros Abstractos Poliedros Duales ρ 0 ρ2 Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 20 / 56

35 Poliedros Abstractos Poliedros Duales ρ 1 ρ 1 Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 21 / 56

36 ρ 2 ρ 0 Poliedros Abstractos Poliedros Duales Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 22 / 56

37 Poliedros Abstractos Poliedros Regulares Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 23 / 56

38 Poliedros Abstractos Poliedros Regulares ρ 0 ρ 1 ρ 2 Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 23 / 56

39 Poliedros Abstractos Poliedros Regulares Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 24 / 56

40 Poliedros Abstractos Poliedros Regulares ρ 0 ρ 1 ρ 2 Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 24 / 56

41 Poliedros Abstractos Poliedros Regulares Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 25 / 56

42 Poliedros Abstractos Poliedros Regulares ρ 0 ρ 1 ρ 2 Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 25 / 56

43 Operaciones con Poliedros De manera similar a la dualidad se pueden definir otras operaciones en poliedros regulares. La idea general es, dado un poliedro regular Q, construir un poliedro regular P a partir de Q de tal forma que Γ(P) = Γ(Q). Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 26 / 56

44 Operaciones con Poliedros De manera similar a la dualidad se pueden definir otras operaciones en poliedros regulares. La idea general es, dado un poliedro regular Q, construir un poliedro regular P a partir de Q de tal forma que Γ(P) = Γ(Q). McMullen y Schulte prueban que un poliedro regular está totalmente determinado, salvo isomorfismo, por su grupo de automorfismos y sus generadores distinguidos. Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 26 / 56

45 Operaciones con Poliedros Dualidad δ : (σ 0, σ 1, σ 2 ) (σ 2, σ 1, σ 0 ) =: (ρ 0, ρ 1, ρ 2 ). Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 27 / 56

46 Operaciones con Poliedros Dualidad δ : (σ 0, σ 1, σ 2 ) (σ 2, σ 1, σ 0 ) =: (ρ 0, ρ 1, ρ 2 ). Operación de Petrie: π : (σ 0, σ 1, σ 2 ) (σ 2 σ 0, σ 1, σ 2 ) =: (ρ 0, ρ 1, ρ 2 ). Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 27 / 56

47 Operaciones con Poliedros Dualidad δ : (σ 0, σ 1, σ 2 ) (σ 2, σ 1, σ 0 ) =: (ρ 0, ρ 1, ρ 2 ). Operación de Petrie: π : (σ 0, σ 1, σ 2 ) (σ 2 σ 0, σ 1, σ 2 ) =: (ρ 0, ρ 1, ρ 2 ). Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 27 / 56

48 Operaciones con Poliedros Dualidad δ : (σ 0, σ 1, σ 2 ) (σ 2, σ 1, σ 0 ) =: (ρ 0, ρ 1, ρ 2 ). Operación de Petrie: π : (σ 0, σ 1, σ 2 ) (σ 2 σ 0, σ 1, σ 2 ) =: (ρ 0, ρ 1, ρ 2 ). Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 27 / 56

49 Operaciones con Poliedros Schulte y McMullen usaron operaciones de este estilo para clasificar a los poliedros finitos en tres familias: Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 28 / 56

50 Operaciones con Poliedros Schulte y McMullen usaron operaciones de este estilo para clasificar a los poliedros finitos en tres familias: Familia del Tetraedro {3, 3} π {4, 3} 3 Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 28 / 56

51 Operaciones con Poliedros Schulte y McMullen usaron operaciones de este estilo para clasificar a los poliedros finitos en tres familias: Familia del Tetraedro {3, 3} π {4, 3} 3 Familia del Octaedro {6, 4} 3 π {3, 4} δ {4, 3} π {6, 3} 4 Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 28 / 56

52 Operaciones con Poliedros Schulte y McMullen usaron operaciones de este estilo para clasificar a los poliedros finitos en tres familias: Familia del Tetraedro {3, 3} π {4, 3} 3 Familia del Octaedro {6, 4} 3 π {3, 4} δ {4, 3} π {6, 3} 4 Familia del Icosaedro {10, 5} π ϕ 2 {3, 5} δ ϕ 2 {5, 3} π {10, 3} {6, 5 2 } π {5, 5 2 } δ { 5 2, 5} π ϕ 2 {6, 5} { 10 3, 3} π { 5 2, 3} δ {3, 5 2 } π { 10 3, 5 2 } ϕ 2 Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 28 / 56

53 Realizaciones de Poliedros Regulares Definición Una realización de un poliedro abstracto P es una función β : P 0 E 3 donde P 0 es el conjunto de vértices de P de tal forma que cada automorfismo de Γ(P) induce una isometría en Aff(β(P 0 )). Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 29 / 56

54 Realizaciones de Poliedros Regulares Dada una realización, es posible recuperar la estructura del poliedro definiendo recursivamente funciones β i : P i P(V i ). Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 30 / 56

55 Realizaciones de Poliedros Regulares Dada una realización, es posible recuperar la estructura del poliedro definiendo recursivamente funciones β i : P i P(V i ). Diremos que una realización β es fiel si β i es inyectiva para toda i { 1, 0, 1, 2, 3}. Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 30 / 56

56 Realizaciones de Poliedros Regulares Dada una realización, es posible recuperar la estructura del poliedro definiendo recursivamente funciones β i : P i P(V i ). Diremos que una realización β es fiel si β i es inyectiva para toda i { 1, 0, 1, 2, 3}. Diremos que β es discreta si V = β(p 0 ) es un conjunto discreto. Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 30 / 56

57 Índice: 1 Introducción Histórica 2 Poliedros Regulares en E 3 Poliedros Regulares Abstractos Operaciones con poliedros Realizaciones de Poliedros Regulares 3 El 3-Toro 3-Toro y sus isometrías Retículas de Puntos 4 Poliedros Regulares en el 3-Toro Poliedros Finitos Poliedros de Petrie-Coxeter 5 Conclusiones Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 31 / 56

58 El 3-Toro Si τ = t υ1, t υ2, t υ3 es un grupo de traslaciones con υ 1, υ 2, υ 3 linealmente independientes definimos el 3-toro generado por τ como T 3 τ = E 3 /τ = {[x] τ : x E 3 } Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 32 / 56

59 El 3-Toro Si τ = t υ1, t υ2, t υ3 es un grupo de traslaciones con υ 1, υ 2, υ 3 linealmente independientes definimos el 3-toro generado por τ como T 3 τ = E 3 /τ = {[x] τ : x E 3 } Definimos la métrica e τ en T 3 τ por: e τ ([x] τ, [y] τ ) = ínf {e(t 1 (x), t 2 (y)) : t 1, t 2 τ}. Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 32 / 56

60 El problema: Decidir para qué grupos τ generados por 3 traslaciones linealmente independientes un poliedro regular P realizado en E 3 tiene realización discreta en T 3 τ = E 3 /τ. Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 33 / 56

61 El problema: Decidir para qué grupos τ generados por 3 traslaciones linealmente independientes un poliedro regular P realizado en E 3 tiene realización discreta en T 3 τ = E 3 /τ. P β E 3 T 3 τ Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 33 / 56

62 El 3-Toro Cuándo se portan bien las isometrías? Proposición Si g es isometría de E 3, g induce una isometría ĝ de T 3 τ si y sólo si g N (τ), el normalizador de τ en Isom(E 3 ). Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 34 / 56

63 El 3-Toro Cuándo se portan bien las isometrías? Proposición Si g es isometría de E 3, g induce una isometría ĝ de T 3 τ si y sólo si g N (τ), el normalizador de τ en Isom(E 3 ). E 3 g E 3 T 3 τ ĝ T 3 τ Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 34 / 56

64 Retículas de Puntos Si τ = t υ1, t υ2, t υ3 es un grupo generado por tres traslaciones linealmente independientes la retícula de puntos asociada a τ, denotada por Λ τ, es el conjunto Λ τ = [0] τ = {mv 1 + nv 2 + kv 3 : m, n, k Z}. Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 35 / 56

65 Retículas de Puntos Ejemplos Si τ = (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) entonces Λ τ = Z 3 = Λ (1,0,0). Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 36 / 56

66 Retículas de Puntos Ejemplos Si τ = (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) entonces Λ τ = Z 3 = Λ (1,0,0). Si τ = (1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1) entonces Λ τ = Λ (1,1,0). Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 36 / 56

67 Retículas de Puntos Ejemplos Si τ = (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) entonces Λ τ = Z 3 = Λ (1,0,0). Si τ = (1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1) entonces Λ τ = Λ (1,1,0). Si τ = (1, 1, 1), (2, 0, 0), (0, 2, 0) entonces Λ τ = Λ (1,1,1). Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 36 / 56

68 Retículas de Puntos Ejemplos Si τ = (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) entonces Λ τ = Z 3 = Λ (1,0,0). Si τ = (1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1) entonces Λ τ = Λ (1,1,0). Si τ = (1, 1, 1), (2, 0, 0), (0, 2, 0) entonces Λ τ = Λ (1,1,1). (a) Λ (1,0,0) (b) Λ (1,1,0) (c) Λ (1,1,1) Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 36 / 56

69 Cuándo las isometrías se portan bien con las retículas? Proposición Sean τ un grupo de traslaciones generado por 3 traslaciones linealmente independientes, g Isom(E 3 ). Entonces g N (τ) si y sólo si g preserva a Λ τ. Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 37 / 56

70 Primera aproximación: Estudiar retículas invariantes bajo reflexiones. Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 38 / 56

71 Retículas Invariantes Bajo Reflexiones Si Λ es una retícula invariante bajo la reflexión por un plano Π que intersecta a Λ, entonces Λ tiene (a lo más) dos clases de puntos: Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 39 / 56

72 Retículas Invariantes Bajo Reflexiones Si Λ es una retícula invariante bajo la reflexión por un plano Π que intersecta a Λ, entonces Λ tiene (a lo más) dos clases de puntos: Aquellos cuya proyección en Π es un punto de Λ Π. Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 39 / 56

73 Retículas Invariantes Bajo Reflexiones Si Λ es una retícula invariante bajo la reflexión por un plano Π que intersecta a Λ, entonces Λ tiene (a lo más) dos clases de puntos: Aquellos cuya proyección en Π es un punto de Λ Π. Aquellos cuya proyección en Π es punto medio entre dos puntos de Λ Π. Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 39 / 56

74 Un poco de simbología. (a) Proyección de Λ (1,0,0) en el plano x = 0.. Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 40 / 56

75 Un poco de simbología.. (a) Proyección de Λ (1,0,0) en el plano x = 0.. (b) Proyección de Λ (1,0,0) en el plano x = y.. Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 40 / 56

76 Un poco de simbología. (c) Proyección de Λ (1,1,1) en el plano x = 0.. Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 41 / 56

77 Un poco de simbología.. (c) Proyección de Λ (1,1,1) en el plano x = 0.. (d) Proyección de Λ (1,1,0) en el plano y = 0.. Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 41 / 56

78 Índice: 1 Introducción Histórica 2 Poliedros Regulares en E 3 Poliedros Regulares Abstractos Operaciones con poliedros Realizaciones de Poliedros Regulares 3 El 3-Toro 3-Toro y sus isometrías Retículas de Puntos 4 Poliedros Regulares en el 3-Toro Poliedros Finitos Poliedros de Petrie-Coxeter 5 Conclusiones Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 42 / 56

79 Poliedros Regulares en T 3 τ Qué hemos hecho? Dimos un criterio algebraico para determinar cuándo un poliedro regular realizado en E 3 admite realización en T 3. Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 43 / 56

80 Poliedros Regulares en T 3 τ Qué hemos hecho? Dimos un criterio algebraico para determinar cuándo un poliedro regular realizado en E 3 admite realización en T 3. Traducimos el criterio algebraico a un criterio geométrico en términos de retículas. Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 43 / 56

81 Poliedros Regulares en T 3 τ Qué hemos hecho? Dimos un criterio algebraico para determinar cuándo un poliedro regular realizado en E 3 admite realización en T 3. Traducimos el criterio algebraico a un criterio geométrico en términos de retículas. Determinamos condiciones para que una retícula quede invariante bajo una reflexión por un plano. Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 43 / 56

82 Poliedros Regulares Finitos en T 3 τ El Tetraedro Si τ es un grupo generado por tres traslaciones linealmente independientes de tal forma que Λ τ queda invariante bajo Γ(T ), entonces la proyección de Λ τ al plano de reflexión de ρ 1 ve como alguna de las siguientes: Π 0 Π 2 Π 0 Π 2 Π 0 Π 2 Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 44 / 56

83 Poliedros Regulares Finitos en T 3 τ El Tetraedro Teorema Sea τ un grupo generado por tres traslaciones linealmente independientes. El tetraedro regular T admite realización en T 3 τ si y sólo si Λ τ {aλ (1,0,0), bλ (1,1,0), cλ (1,1,1) : a > 2, b > 2, c > 2 3 }. Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 45 / 56

84 Poliedros Regulares Finitos en T 3 τ Qué pasa con la familia del octaedro? Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 46 / 56

85 Poliedros Regulares Finitos en T 3 τ El Octaedro y el Cubo Teorema Sea τ un grupo de generado por tres traslaciones linealmente independientes. El octaedro regular admite realización en T 3 τ si y sólo si Λ τ {aλ (1,0,0), bλ (1,1,0), cλ (1,1,1) : a > 2, b > 1c > 1}. Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 47 / 56

86 Poliedros Regulares Finitos en T 3 τ El Octaedro y el Cubo Teorema Sea τ un grupo de generado por tres traslaciones linealmente independientes. El octaedro regular admite realización en T 3 τ si y sólo si Λ τ {aλ (1,0,0), bλ (1,1,0), cλ (1,1,1) : a > 2, b > 1c > 1}. Corolario Sea τ un grupo de generado por tres traslaciones linealmente independientes. El cubo C admite realización en T 3 τ si y sólo si Λ τ {aλ (1,0,0), bλ (1,1,0), cλ (1,1,1) : a > 2, b > 2, c > 2}. Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 47 / 56

87 Poliedros Regulares Finitos en T 3 τ Y el icosaedro? Teorema Sea τ un grupo generado por 3 traslaciones linealmente independientes. Si G es un grupo de isometrías de E 3 que deja invariante a Λ τ, entonces G no tiene rotaciones de orden distinto a 2, 3, 4 o 6. Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 48 / 56

88 Poliedros Regulares Finitos en T 3 τ Y el icosaedro? Teorema Sea τ un grupo generado por 3 traslaciones linealmente independientes. Si G es un grupo de isometrías de E 3 que deja invariante a Λ τ, entonces G no tiene rotaciones de orden distinto a 2, 3, 4 o 6. Teorema Si P es un poliedro de la familia del icosaedro, entonces no existe τ, un grupo generado por 3 traslaciones linealmente independientes, de tal forma que P tenga realización en T 3 τ. Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 48 / 56

89 Poliedros de Petrie-Coxeter en T 3 τ (a) {4, 6 4} (b) {6, 4 4} (c) {6, 6 3} Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 49 / 56

90 Poliedros de Petrie-Coxeter en T 3 τ {4, 6 4} y {6, 4 4} Teorema Sea τ un grupo de generado por tres traslaciones linealmente independientes. El poliedro {4, 6 4} admite realización en T 3 τ si y sólo si Λ τ {4aΛ (1,0,0), 4bΛ (1,1,0), 2cΛ (1,1,1) : a, b, c Z}. Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 50 / 56

91 Poliedros de Petrie-Coxeter en T 3 τ {4, 6 4} y {6, 4 4} Teorema Sea τ un grupo de generado por tres traslaciones linealmente independientes. El poliedro {4, 6 4} admite realización en T 3 τ si y sólo si Λ τ {4aΛ (1,0,0), 4bΛ (1,1,0), 2cΛ (1,1,1) : a, b, c Z}. Corolario Sea τ un grupo de generado por tres traslaciones linealmente independientes. El poliedro {6, 4 4} admite realización en T 3 τ si y sólo si Λ τ {4aΛ (1,0,0), 4bΛ (1,1,0), 2cΛ (1,1,1) : a, b, c Z}. Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 50 / 56

92 Poliedros de Petrie-Coxeter en T 3 τ {6, 6 3} Teorema Sea τ un grupo de generado por tres traslaciones linealmente independientes. El poliedro {6, 6 3} admite realización en T 3 τ si y sólo si Λ τ {8aΛ (1,0,0), 4bΛ (1,1,0), 8cΛ (1,1,1) : a, b, c Z}. Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 51 / 56

93 Índice: 1 Introducción Histórica 2 Poliedros Regulares en E 3 Poliedros Regulares Abstractos Operaciones con poliedros Realizaciones de Poliedros Regulares 3 El 3-Toro 3-Toro y sus isometrías Retículas de Puntos 4 Poliedros Regulares en el 3-Toro Poliedros Finitos Poliedros de Petrie-Coxeter 5 Conclusiones Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 52 / 56

94 Conclusiones Qué hicimos? Abordamos el problema de determinar aquellos grupos τ generados por tres traslaciones linealmente independientes para los cuales, un poliedro realizado en E 3, admite realización en T 3 τ. Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 53 / 56

95 Conclusiones Qué hicimos? Abordamos el problema de determinar aquellos grupos τ generados por tres traslaciones linealmente independientes para los cuales, un poliedro realizado en E 3, admite realización en T 3 τ. Estudiamos las retículas Λ τ asociadas a los grupos τ, las cuales nos permitieron, por medio de análisis geométrico, determinar condiciones para que los poliedros fueran realizados. Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 53 / 56

96 Conclusiones Qué hicimos? Clasificamos los grupos τ para todos los poliedros finitos, así como para los poliedros de Petrie-Coxeter obteniendo los siguientes resultados: Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 54 / 56

97 Conclusiones Qué hicimos? Clasificamos los grupos τ para todos los poliedros finitos, así como para los poliedros de Petrie-Coxeter obteniendo los siguientes resultados: Un poliedro de la familia del tetraedro, de la familia del octaedro o de la familia de alguno de los poliedros de Petrie-Coxeter admite realización en T 3 τ si y sólo si Λ τ es aλ (1,0,0), bλ (1,1,0) o cλ (1,1,1) para algunos parámetros a, b y c que dependen de las coordenadas de los vértices del poliedro. Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 54 / 56

98 Conclusiones Qué hicimos? Clasificamos los grupos τ para todos los poliedros finitos, así como para los poliedros de Petrie-Coxeter obteniendo los siguientes resultados: Un poliedro de la familia del tetraedro, de la familia del octaedro o de la familia de alguno de los poliedros de Petrie-Coxeter admite realización en T 3 τ si y sólo si Λ τ es aλ (1,0,0), bλ (1,1,0) o cλ (1,1,1) para algunos parámetros a, b y c que dependen de las coordenadas de los vértices del poliedro. No existe grupo τ de tal forma que un poliedro de la familia del icosaedro tenga realización en T 3 τ. Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 54 / 56

99 Conclusiones Qué queda por hacer? Completar las lista de los 48. Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 55 / 56

100 Conclusiones Qué queda por hacer? Completar las lista de los 48. Completar la lista saltándose la realización en E 3. Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 55 / 56

101 Conclusiones Qué queda por hacer? Completar las lista de los 48. Completar la lista saltándose la realización en E 3. Explorar otras 3-variedades. Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 55 / 56

102 Gracias! Tero, Daniel (PCCM, CCM) Poliedros Regulares en T 3 τ Coloquio 2013, Morelia 56 / 56