Probabilidad. Literature de ficción para níños. Literature de no ficción para níños. Literature de ficción para adultos. Otras

Transcripción

1 C APÍTULO 0 Probabilidad Resumen del contenido El Capítulo 0 presenta unos conceptos básicos de probabilidad, incluyendo clases especiales de eventos, valores esperados y permutaciones y combinaciones de conteo. Gráficas de frecuencia relativa y probabilidad El Capítulo 0 presenta las gráficas de frecuencia relativa, las cuales muestran datos categóricos. Los diagramas de barras y de círculos de frecuencia relativa muestran el por ciento o la fracción de cada categoría relativa al total para todas las categorías. Medios de comunicación Colección de la biblioteca 6% 3% 8% Otras Literature de ficción para níños Literature de no ficción para adultos 35% 4% Air emissions (69%) 4% Literature de no ficción para níños Literature de ficción para adultos Colección de la biblioteca 30 Por ciento Literature de ficción para níños Literature de no ficción para níños Literature de ficción para adultos Literature de no ficción para adultos Categoría Medios de comunicación La posibilidad de que algo ocurra, o la probabilidad de un resultado, puede determinarse de una gráfica de probabilidad relativa. Por ejemplo, para un artículo escogido al azar de la colección de la biblioteca, la probabilidad que ese artículo sea de literatura de ficción para adultos es 4% ó 0.4. Una probabilidad experimental o probabilidad observada está basada en datos o experimentos y se define como número de ocurrencias del evento.unaprobabilidad teórica, definida como número total de intentos número de diferentes maneras que un evento puede ocurrir Otras, usa cantidades conocidas. Para una número total de resultados posibles igualmente probables moneda imparcial, la probabilidad teórica de obtener cara es 50%, porque las caras son igualmente probables que las cruces. Sin embargo, al lanzar una moneda, una persona puede obtener una corrida de caras o cruces que los puede llevar a una probabilidad experimental diferente para caras. Luego de muchos lanzamientos de la moneda, la probabilidad experimental para las caras se acercaría al 50%. (continued) 00 Key Curriculum Press Discovering Algebra: Una guía para padres 4

2 Capítulo 0 Probabilidad (continuado) Eventos independientes Si usted lanza una moneda repetidamente y obtiene caras 5 veces corridas, podría decir que la posibilidad, o probabilidad, de obtener cara en el próximo lanzamiento es muy pequeña. Después de todo, la posibilidad de obtener 6 caras corridas es muy pequeña. O, usted puede pensar que la posibilidad de obtener cara en el próximo lanzamiento es grande; hay una corrida de caras. De hecho, sin embargo, la moneda no tiene memoria; la posibilidad de obtener cara en el próximo lanzamiento es 0.5, al igual que lo ha sido todo el tiempo. Se podría decir que los eventos son independientes; el resultado del sexto lanzamiento no depende del resultado del quinto lanzamiento. En el caso de eventos independientes, la probabilidad de que ambos ocurran es el producto de las probabilidades de los eventos individuales. La probabilidad de obtener caras cinco veces corridas es 3. Esto también es la probabilidad de obtener cualquier serie de caras o cruces. En otras palabras, la probabilidad de obtener Cr Cr Ca Cr Cr también es 3. No todos los eventos son independientes de los eventos anteriores. Suponga que usted tiene una bolsa con seis billetes, cinco billetes de dólar y un billete de 00 dólares. La probabilidad de seleccionar el billete de 00 dólares es en 6, o alrededor de 0.. Sin embargo, si alguien selecciona un billete de dólar y lo remueve la bolsa, la próxima persona tiene una probabilidad de en 5, ó 0., de escoger el billete de 00 dólares. Por supuesto, si la primera persona selecciona el billete de 00 dólares, entonces la próxima persona no tiene ninguna posibilidad, o una probabilidad de 0, de escoger el billete de 00 dólares. Permutaciones y combinaciones El determinar números para calcular probabilidades teóricas puede ser desafiante. A veces, los resultados a contarse son arreglos de cosas o de personas. Por ejemplo, suponga que diez personas asisten a una reunión, y usted escoge al azar tres de ellas para ganarse diferentes premios de entrada. Cualquiera de los diez podría recibir el premio de entrada A, el más valioso. Cualquiera de los que quedan podría ganarse el premio de entrada B, el próximo más valioso. Y cualquiera de los ocho restantes podría ganarse el tercer premio de entrada, C. Hay maneras que tres de las diez personas podrían arreglarse para obtener estos premios de entrada. Los arreglos se llaman permutaciones; el número de permutaciones de diez personas, tres a la vez, se abrevia 0 P 3. Si los premios de entrada fueran todos iguales, no importaría quién se llevara cuál premio. Todo lo que importa es el número de tríos de personas que ganan. Estas colecciones se llaman combinaciones. Las seis permutaciones ABC, ACB, BAC, BCA, CAB y CBA contarían como una combinación, porque A, B y C son er Lanzamiento el mismo premio. El número de combinaciones de tres personas de diez, escrito 0 C 3, es sólo 6 de 0 P 3,ó 0. Experimentos de múltiples etapas Los diagramas de árbol pueden ser útiles para determinar probabilidades de experimentos más complicados. Para dos lanzamientos de una moneda, los resultados posibles y sus probabilidades pueden mostrarse en un diagrama de árbol. P(H) = P(T) = P(H) = P(T) = P(H) = P(T) = do Lanzamiento P(H y H) = 4 P(H y T) = 4 P(T y H) = 4 P(T y T) = 4 (continued) 48 Discovering Algebra: Una guía para padres 00 Key Curriculum Press

3 Capítulo 0 Probabilidad (continuado) El valor esperado de un evento es el valor promedio hallado al multiplicar el valor de cada evento posible por su probabilidad y sumar los productos. Por ejemplo, el valor esperado en la aguja giratoria mostrada se hallaría como se muestra a continuación: (5) 4 () (6) El valor esperado de la aguja giratoria es $0.50. Problema de resumen Imagínate que tienes una bolsa con bloques de colores, tres azules y cuatro rojos. Qué clases de preguntas pueden hacerse y responderse acerca del escoger bloques de la bolsa? Preguntas que podría hacer, en su papel de estudiante para su estudiante, incluyen: Cuál es la probabilidad de sacar un bloque rojo? Un bloque azul? Cuál es la probabilidad de sacar dos bloques rojos corridos? Necesitas más información? Si los bloques rojos valen $ y los bloques azules valen $5, cuál es el valor esperado de un sorteo? Qué valores para cada bloque de color darían un valor esperado de $ para un sorteo? Trata de hallar varias posibilidades. Respuestas ejemplares La probabilidad de sacar un bloque rojo es 4 ;la probabilidad de sacar un bloque azul es 3.Para hallar la probabilidad de sacar dos bloques rojos corridos, necesitas saber si el bloque se repondrá después de sacarlo. La probabilidad de sacar dos bloques rojos reemplazándolos es , 9 mientras que la probabilidad de sacar dos bloques rojos sin reemplazarlos es ,ó.Si los bloques rojos valen $ y los bloques azules valen $5, el valor esperado de un sorteo es 4 () 3 (5) , ó $3.4. Para tener un valor esperado de $ por sorteo, hay muchas posibles combinaciones. Algunas son $3.50 por los rojos, $0 por los azules; $.5 por los rojos, $.00 por los azules; $.50 por los rojos, $8.00 por los azules. $5 $ $6 00 Key Curriculum Press Discovering Algebra: Una guía para padres 49

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5 Capítulo 0 Ejercicios de repaso Nombre Periodo Fecha. (Lecciones 0., 0.) Sharon compró una bolsa de globos de colores para una fiesta. La bolsa tenía 9 globos blancos, 39 azules, 4 rosados, verdes y 5 amarillos. a. Determina el porcentaje de cada color de globo y usa esa información para hacer un diagrama de círculo y un diagrama de barras de frecuencia relativa. b. Qué porcentaje de globos no son rosados ni blancos? c. Si Sharon busca dentro de la bolsa y saca un globo al azar, cuál es la probabilidad de que será verde?. (Lección 0.3) Considera la figura a la derecha. a. Si se coloca un punto al azar en el rectángulo grande, cuál es la probabilidad teórica de que éste caiga dentro de la región sombreada? b. Supón que colocas muchos puntos al azar, y 40 de ellos caen en la región sombreada. Estima el total de puntos colocados. 3. (Lección 0.4) Una escuela superior llevará a cabo una lotería en la cual se escogen tres dígitos diferentes entre los dígitos 09 para crear el número ganador. Para ganar, debes adivinar correctamente el número ganador. a. Supón que el número ganador adivinado debe tener los mismos tres dígitos, en el mismo orden, que el número ganador. Cuántos números de tres dígitos pueden hacerse de los dígitos 0 al 9, donde ningún dígito se usa dos veces? Cuál es la probabilidad de ganar en este caso? b. Ahora supón que el número ganador adivinado debe tener los mismos tres dígitos que el número ganador, pero los dígitos pueden estar en cualquier orden. Cuál es la probabilidad de ganar en este caso? 4. (Lecciones 0.5, 0.6) Brigham tiene una bolsa que contiene siete fichas numeradas. Hay cinco fichas rotuladas con el número y dos fichas con el número 4. Él busca en la bolsa y saca una ficha, pone la ficha a un lado y luego saca otra ficha de la bolsa. a. Qué es P? Qué es P4 4? b. Crea un diagrama de árbol para calcular las probabilidades de los diferentes resultados de los experimentos de los dos sorteos de Brigham. c. Qué es P4 y? d. Los números que Brigham saca pueden sumar 8, ó 4. Cuál es la probabilidad que la suma sea un número par? e. Halla el valor esperado de la suma. 00 Key Curriculum Press Discovering Algebra: Una guía para padres 5

6 SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO 0. a. Hay 50 globos en total. Halla el porcentaje de cada color dividiendo el número de ese color por 50. Por ejemplo, nú mero de verdes número total , así que 4% de los globos son verdes. Multiplica el porcentaje por 360 para hallar la medida del ángulo de cada sector. Por ejemplo, , así que el ángulo del sector que representa el número relativo de globos verdes es Gráficas ejemplares se muestran abajo. Blanco Porcentaje Azul 6% Blanco Rosado 6% Verde 4% 6% Azul b. Los globos rosados y blancos juntos forman 6% 6% % del total, así que el porcentaje de globos que no son rosados ni blancos es 00% % 8%. c. 4% de los globos son verdes, así que la probabilidad de que ella saque uno verde es 4%, ó a. El área sombreada es cuadrados, y el área del rectángulo completo es 8 4 cuadrados. Por lo tanto, la probabilidad de que un punto trazado al azar caiga en la región sombreada es,ó b. Resuelve la proporción cuadrados sombreados cuadrados totales Amarillo 38% Rosado Color Verde Amarillo 40 puntos en el área sombreada x puntos totales. 4 Invierte la proporción. x Multiplica ambos lados por 40. x 3.3 Multiplica. Aproximadamente 3 puntos fueron trazados. 3. a. Hay 0 opciones para el primer dígito, 9 opciones para el segundo y 8 opciones para el tercero así que el número total de números de tres dígitos formados del 0 al 9 sin repetición es También puedes calcular 0 P 3. La probabilidad de adivinar el número ganador es b. Para cada número de tres dígitos hay 3 6 maneras de arreglar los dígitos. Debido a que el orden de los dígitos no importa, divide el número de permutaciones que hallaste en 3a por 6, para obtener También puedes calcular 0 C 3. La probabilidad de adivinar el número ganador es a. P significa la probabilidad que Brigham saque un en su segundo sorteo, dado que sacó un en su primer sorteo. Si Brigham sacó un en el primer sorteo, entonces quedarían cuatro y dos 4 en la bolsa, para un total de 6 fichas. Por lo tanto, P 4 6,ó.Si 3 Brigham sacó un 4 en el primer sorteo, entonces quedarían cinco y un 4 en la bolsa para su segundo sorteo, así que P b. La primera rama de este diagrama de árbol indica las probabilidades de los resultados posibles del primer sorteo de Brigham, y la segunda rama muestra las probabilidades de su segundo sorteo. er Sorteo P( 5_ ) = P(4 ) = _ do Sorteo P( ) = _ 3 P(4 ) = 3 P( 4 ) = 5_ 6 P(4 4 ) = 6 P( y ) = P( y 4 ) = 5 P(4 y ) = c. Multiplica las probabilidades a lo largo de los ramales que llevan al resultado 4 y. P4 y ,ó. d. Suma las probabilidades de los resultados que dan sumas pares. P(suma es par) P y P4 y 4 0. e. Para cada resultado, multiplica la suma de los números por la probabilidad del resultado, y luego halla la suma de los resultados. Valor esperado P y 4 P y 4 P y 4 P4 y P(4 y 4 ) = El valor esperado de la suma de los dos sorteos de Brigham es de 8 6,o aproximadamente.3. 5 Discovering Algebra: Una guía para padres 00 Key Curriculum Press